Опр. 10 Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X

• Название: Опр. 10 Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X
• Дата: 21.06.2018
• Размер: 0.99 Mb.
• Имя файла: matan.docx
• Тип: Документы; #47604
• страница: 1 из 6

Неопределённый интеграл.

1. 
   Первообразная функция.
   

Опр.10.1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. . 
Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x). 
Первообразная определена неоднозначно: для функции  первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим

Свойства первообразной.

1. 
   Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: ).
   
2. 
   Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F₁(x) может быть представлена в виде F₁(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.
   

Док-во. Так как функции F(x) и F₁(x) - первообразные для f(x), то (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале) 

3. 
   Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.
   

Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

2. Неопределённый интеграл и его свойства.

Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .
Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то, где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. 
   .
   
2. 
    (или ).
   

Определенный интеграл

1. Определение.

11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [a,b] (b>a) задана непрерывная функция y = f(x) , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x). 
Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x₀ = a, x₁ ,x₂ , …, x_n-1 = a, x_n = b на n частей [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; символом  будем обозначать длину i-го отрезка: . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение  (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [x_i-1 , x_i] и высотой  ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: . 
S_ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i , i = 1,2,…,n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S_ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S_ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е. 
.

11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим :  ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку  и составим сумму . 
Сумма  называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка[a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается . 
Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. 
Кратко определение иногда записывают так: . 
В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению: 
Если b=a, то ; если b<a, то .

11.1.3. Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.
Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любого  найдётся такое число , что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству , то, независимо от выбора точек  выполняется неравенство. Требование непрерывности f(x) достаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва на [a,b] при условии их ограниченности (т.е. все точки разрыва должны быть точками разрыва первого рода). Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: если f(x)неограничена на [a,b], то она неограничена на каком-либо [x_i-1 , x_i], т.е. на этом отрезке можно найти такую точку , что слагаемое , а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа). 
11.1.4. Геометрический смысл определённого интеграла. Как следует из пункта 11.1.1, если f(x) >0 на отрезке [a,b], то  равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f(x).

11.2. Свойства определённого интеграла.

• 
  1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация A f(x) + B g(x) (A, B = const), и 
  . 
  Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  выполняется  . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства. 
  2. Аддитивность. Если y = f(x) интегрируема по отрезку [a,b] и точка c принадлежит этому отрезку, то . 
  Док-во. Если f(x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [a,b], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [a,c] и [c,b]. Будем брать такие разбиения отрезка [a,b] , чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_i0, . Тогда . В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и . 
  Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f(x) интегрируема по [c, a]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что . 
  При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a. 
  3. Интеграл от единичной функции ( f(x) = 1). Если f(x) =1, то 
  Док-во. Еслиf(x) = 1 , то для любого разбиения 
  = x_n - x₀ = b – a, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение. 
  4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке  выполняется неравенство  , и функции f(x), g(x) интегрируемы по отрезку [a,b], то . 
  Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек  при  . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство. 
  5. Теоремы об оценке интеграла. 
   5.1. Если на отрезке [a,b] функция удовлетворяет неравенству , то  . 
  Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство. 
  5.2. Если функция f(x) интегрируема по отрезку [a,b], то . 
  Док-во. . 
  6. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что . 
  Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число  заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что . 
  Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если  непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка  такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [a,b] и высотой f(c) (на рисунке выделен цветом).
  

3. Вычисление определённого интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

11.3.1. Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования:  (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема: 
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и . 
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе. 
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда  , где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом  (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует  , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

11.3.2. Формула Ньютона-Лейбница. Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и F(x) - некоторая первообразная функции , то . 
Док-во. Мы установили, что функция  - первообразная непрерывной f(x). Так как F(x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F(x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b. Окончательно, . 
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь  читается как "подстановка от a до b"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: . 
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

11.3.3. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то . 
Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно,  , откуда и следует доказываемое равенство. 
Пример: .

11.3.4. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция 

1. 
   определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,
   
2. 
   ,
   
3. 
   функция  непрерывна на отрезке [a, b].
   

Тогда .