Опр. 10 Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X

• Название: Опр. 10 Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X
• Дата: 21.06.2018
• Размер: 0.99 Mb.
• Имя файла: matan.docx
• Тип: Документы; #47604
• страница: 5 из 6

14.5.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (25). 
14.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство. 
Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых L_n(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y₁(x), y₂(x) - частные решения (25), то функции Cy, y₁(x) + y₂(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим 
если L_n(y) = 0, то L_n(Cy) = CL_n(y) = 0; 
если L_n(y₁) = 0 и L_n(y₂) = 0, то L_n(y₁ + y₂) = L_n(y₁) + L_n(y₂) = 0. 
Следствие. Если y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) - тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25). 
Теорема 14.5.4.2. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b). 
Док-во. Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x₀) является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C₁, C₂, …, C_n. Рассмотрим линейную комбинацию функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) с этими коэффициентами C₁, C₂, …, C_n: y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x₀, т.е. является решением задачи Коши 
, 
 
Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) = 0 для . Таким образом, система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b). 
Теорема 14.5.4.3. Если определитель Вронского W(x) системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала. 
Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию . 
Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так: 
Теорема 14.5.4.4. Если W(x) - определитель Вронского системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо  на интервале (a, b)(что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо  в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)). 
14.5.5. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений. 
Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений. Фундаментальной системой решенийлинейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называется любая линейно независимая система y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) его n частных решений. 
Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения: 
y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x). 
Док-во. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y_чо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа  и найдём постоянные C₁, C₂, …, C_nкак решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений 
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C₁, C₂, …, C_n и сравним её с функцией y_чо(x). Функции y(x) и y_чо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x₀, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y_чо(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + … + C_n y_n(x). Теорема доказана. 
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n. 
Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений. 
Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

.	Возьмём любую точку  и сформулируем для уравнения (21) nзадач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:
Ln(y1) = 0;		Ln(y2) = 0;		Ln(yn) = 0;

Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x₀ равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n, и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения. 
14.5.6. Формула Лиувилля. 
Теорема 14.5.6.1. Определитель Вронского системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению , где p₁(x) - коэффициент при n - 1 производной. 
Док-во. Докажем эту теорему для уравнения второго порядка . Пусть y₁(x), y₂(x) - частные решения этого уравнения, тогда, . 
Так как y₁(x), y₂(x) - решения уравнения, то

, .	Умножим первое из этих уравнений на - y2(x), второе - на y1(x)и сложим:

. В первой из квадратных скобок стоит W(x), во второй - , поэтому , что и требовалось доказать. 
Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n-го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского
 
так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) удовлетворяет уравнению ; поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим 
 
т.е. . 
Решим это уравнение относительно W(x). Функция W(x) = 0 является решением этого уравнения; если , то  Интегрируем последнее выражение в пределах от x₀до x:   (Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W(x) - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W(x) и W(x₀) всегда имеют один знак). Окончательно

.

(28)

Формула (28)называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W(x₀) = 0, то ; если , то  ни в одной точке интервала (a, b).

14.5.7. Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) с отличным от нуля на отрезке (a, b)вронскианом W(x). Требуется составить линейное однородноеуравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x). 
Эта задача решается просто. Так как общее решение этого уравнения должно быть равноy(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x), система функций y(x), y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима, поэтому её определитель Вронского (имеющий порядок n + 1) должен быть равен нулю:  
Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим искомое уравнение. Пример: составить линейное уравнение, у которого фундаментальная система решений равна y₁(x) = cos x, y₂(x)= x³. Решение: 
 
Заметим, что коэффициент при старшей производной оказывается равным вронскиану фундаментальной система решений:  Дальнейшие преобразования дают , или . Это и есть искомое уравнение. Его коэффициенты непрерывны на любом интервале, на котором .

14.5.8. Понижение порядка линейного однородного уравнения, если известно одно его частное решение. Пусть для линейного уравнения известно частное решение y₁(x). Заменой y(x) = z(x) y₁(x), это уравнение может быть преобразовано в уравнение, допускающее понижение порядка. Продемонстрируем эту идею на примере уравнения второго порядка . Пусть y₁(x) - частное решение этого уравнения, т.е. . Перейдём к переменной z(x), связанной с y(x) соотношением y(x)=z(x)y₁(x). Тогда ; подставляем эти выражения в уравнение: 
Последнее уравнение не содержит явно неизвестную функцию z(x), поэтому допускает понижение порядка. В рассматриваемом случае уравнения второго порядка получим линейное уравнение первого порядка, которое решается:   
Можно доказать, что вронскиан системы функций  равен , т.е. отличен от нуля и, следовательно, функции y₁(x), y₂(x) образуют фундаментальную систему решений. Можно, однако, наоборот, получить выражение для y₂(x) исходя из этого значения вронскиана, следующего их формулы Лиувилля. Запишемформулу Лиувилля так . Поделив это выражение на y₁(x), (y₁(x))², получим . Выражение слева - производная дроби , поэтому . Интегрируем: , , и так как мы ищем решение y₂(x), линейно независимое с y₁(x), то берём . 
Пример: найти общее решение уравнения . 
Решение: это линейное однородное уравнение, нахождение его общего решения означает нахождение фундаментальной системы решений. Как уже упоминалось, в общем случае нахождение фундаментальной системы решений возможно только для уравнения с постоянными коэффициентами, однако в некоторых случаях удаётся найти частные решения, исходя из структуры уравнения. В рассматриваемом случае в коэффициенты уравнения входят степени x и ln x, поэтому можно попытаться искать частное решение в виде y = x^k или y = ln x. Предположим, что уравнение имеет частное решение вида y₁ = x^k. Тогда ; после подстановки этих выражений в уравнение получим , . Уравнение удовлетворяется, если  это имеет место только при k = 1. Итак, функция y₁(x) = x - частное решение этого уравнения. Для нахождения второго частного решения, линейно независимого с первым, приведём уравнение к виду с коэффициентом при старшей производной, равным единице: , и воспользуемся формулой : . 
Итак, фундаментальная система решений этого уравнения: y₁(x) = x, y₂(x) = ln x, общее его решение y(x) = C₁ x + C₂ ln x.