Опр. 10 Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:
Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как
Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или . 14.2.2. Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y)области D, в которой задана функция f(x, y), определяет - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в Dполе направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое уравнением , и три интегральные кривые (три частных решения) этого уравнения. Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая: . Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые. Для примера построим изоклины уравнения . Перебираем различные значения постоянной C, строим линии уровня функции , соответствующие этим значениям С(т.е. прямые ), и на этих линиях ставим чёрточки в направлении, определяемым значением С (, где - угол между чёрточкой и положительным направлением оси Ох): - ось Оу; ; ; и т.д. Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром). 14.2.3. Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию
Уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. 14.4.0. Основные понятия. Напомним определения раздела 14.1 обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решений: Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): . Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Опр. Частным решением уравнения на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение, что: 1. Любое решение этого соотношения относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) является частным решением уравнения ; 2. Любое частное решение уравнения может быть получено из общего решения при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: . 14.4.1. Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка: требуется найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа. В случае уравнения второго порядка это означает, что требуется найти решение, проходящее через заданную точку (x0, y0,) с заданным угловым коэффициентом y1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Пусть функцияf(x, y, p1, p2, …, pn-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D n + 1-мерного евклидового пространства переменных (x, y, p1, p2, …, pn-1), и пусть точка (x0, y0, y1, y2, …, yn-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x0существует решение уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18). Это решение единственно. 5. Теория линейных уравнений. 14.5.1. Общие понятия. Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x)и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:
Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. для , то, умножая (19) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:
; дальше мы будем рассматривать уравнение (20). Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида
Задача Коши для уравнений (20) и (21) ставится также, как и для общего уравнения n-го порядка (17) : требуется найти решение уравнения (20) или (21), удовлетворяющее начальным условиям
где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа. Для уравнения (17) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции и её производных ; если привести (20) к виду (17): , то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f(x) и pi(x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (17) заключался в том, что найдётся окрестность точки x0, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (20) и (21) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы: Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), pi(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x0 - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (22) существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению (20) и начальным условиям (22). Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условиятеоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально. 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую производных, в функцию, имеющую k - nпроизводных:
С помощью оператора Ln(y) неоднородное уравнение (20) можно записать так:
однородное уравнение (21) примет вид
Теорема 14.5.2. Дифференциальный оператор Ln(y) является линейным оператором. Док-во непосредственно следует из свойств производных: 1. Если C = const, то 2. Наши дальнейшие действия: сначала изучить, как устроено общее решение линейного однородного уравнения (25), затем неоднородного уравнения (24), и потом научиться решать эти уравнения. Начнём с понятий линейной зависимости и независимости функций на интервале и определим важнейший в теории линейных уравнений и систем объект - определитель Вронского. 14.5.3. Определитель Вронского. Линейная зависимость и независимость системы функций. Опр. 14.5.3.1. Система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно зависимой на интервале (a, b), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a, b): для . Если равенство для возможно только при , система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется линейно независимой на интервале (a, b). Другими словами, функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b). Примеры: 1. Функции 1, x, x2, x3 линейно независимы на любом интервале (a, b). Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше трёх корней, поэтому равенство = 0 для возможно только при . Пример 1 легко обобщается на систему функций 1, x, x2, x3 , …, xn. Их линейная комбинация - многочлен степени - не может иметь на (a, b) больше n корней. 3. Функции линейно независимы на любом интервале (a, b), если . Действительно, если, например, , то равенство имеет место в единственной точке . 4. Система функций также линейно независима, если числа ki (i = 1, 2, …, n) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко. Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского. Опр. 14.5.3.2. Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y1(x), y2(x), …, yn(x) называется определитель
14.5.3.3.Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале. Док-во. Если функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что
Продифференцируем по x равенство (27) n - 1 раз и составим систему уравнений Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского (26). При эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е. на (a, b). |