Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем

Название	Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем
Анкор	teoria_polya.docx
Дата	16.05.2018
Размер	0.77 Mb.
Формат файла
Имя файла	teoria_polya.docx
Тип	Документы #19304
страница	3 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Пример 2. Определить векторные линии магнитного поля, образованного постоянным электрическим током с силой

, текущим по бесконечно длинному прямолинейному проводу.
Решение.
Если принять провод за ось

, то вектор $\overline{h}$ напряженности магнитного поля выражается формулой
$\overline{h} =\cfrac{2i}{\rho ^2} (-y\bar i+x\bar j),\; \; \; \;$ где $\rho$ - расстояние от произвольной точки

до провода.
В данном случае $p(x,y,z)=-\frac{2i}{\rho ^2} y,\; \; \; q(x,y,z)=\frac{2i}{\rho ^2} x,\; \; \; r(x,y,z)=0$ .
Поэтому дифференциальные уравнения векторных линий примут вид:

$\cfrac{dx}{-y} =\cfrac{dy}{x} =\cfrac{dz}{0}$ ,

здесь сократили на общий множитель $\frac{2i}{\rho ^2}$ .
Последняя система равносильна системе
$\left\{ \begin{array} {l} {dz = 0} \\ {\cfrac{dx}{ - y} = \cfrac{dy}{x}} \end{array} } } \right. \; \rightarrow \; \left\{ \begin{array} {l} {z = const} \\ {\int {xdx} = \int {\left( { - y} \right)dy} } \end{array} } } \right. \; \rightarrow \; \left\{ \begin{array} {l} {z = c_1 } \\ {\cfrac{x^2 }{2} + \cfrac{y^2 }{2} = c_2 } \end{array} } } \right.$
Значит, векторные линии напряженности магнитного поля определяются уравнениями

, где

- константы. Эти линии являются окружностями с центрами на оси

, лежащими в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

Вопрос. Векторными линиями векторного поля $\bar a= 4y\bar i -9x\bar j$ являются

семейство гипербол $\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{9} =c$

семейство прямых $y=\frac{4}{9} x+c$

семейство эллипсов $\frac{x^2}{4} +\frac{y^2}{9} =c$

семейство парабол $y=\frac{4}{9} x^2 +c$

Поток векторного поля

Пусть в поле вектора $\bar a = p(x,y,z)\bar i + q(x,y,z)\bar j + r(x,y,z)\bar k$ задана ориентированная поверхность $\omega$ . Обозначим через $\bar n^0 = \cos \alpha \bar i + \cos \beta \bar j + \cos \gamma \bar k$ единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной точке.

Если для наглядности считать, что вектор $\bar a$ - вектор скорости несжимаемой жидкости, движущейся стационарно, а поверхность $\omega$ находится в этой жидкости. Подсчитаем количество жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени.

Для этого разобьем поверхность $\omega$ на

элементарных поверхностей $\delta \omega _1$ , $\delta \omega _2$ , ..., $\delta \omega _n$ . В каждой из этих поверхностей $\delta \omega _i$ выберем точку

, отложим от нее вектор нормали $\bar n_i$ . Условимся при этом, что если $\omega$ замкнутая поверхность, то $\bar n_i$ берется по направлению внешней нормали. Если же $\omega$ незамкнута, то выберем произвольно направление нормалей так, чтобы они лежали по одну сторону от поверхности. Поверхности $\delta \omega _i$ в силу их малости можно считать плоскими, а вектор $\bar a$ постоянным во всех точках $\delta \omega_i$ и равным $\bar a (m_i)$ .
Поэтому количество жидкости $\delta \pi_i$ , протекающей через поверхность $\delta \omega_i$ , будет приблизительно равно объему цилиндрической фигуры с основанием $\delta \omega_i$ и и образующей $\bar a (m_i)$ , т.е.

$\delta \pi _i \approx s_{\cyr{osn}} \cdot h = \left| {\delta \omega _i } \right| \cdot \left| {\bar a(m_i )} \right| \cdot \cos \angle \left( {\bar a(m_i ),\bar n_i } \right) = \bar a_n (m_i ) \cdot \delta s_i$ ,

где $\bar a_n (m_i )$ - проекция вектора $\bar a (m_i)$ на нормаль $\bar n_i$ и $\delta s_i$ - площадь поверхности $\delta \omega_i$ .

Общее количество жидкости $\pi$ , протекающей через поверхность $\omega$ в единицу времени, равно сумме количеств жидкости, протекающей через все элементарные поверхности. Поэтому будем иметь:
$\pi \approx \sum\limits_i {\left| {\bar a(m_i )} \right| \cdot \delta s_i }$

Если существует предел полученных интегральных сумм при неограниченном увеличении числа элементов разбиения поверхности $\omega$ и при стремлении диаметра разбиения (т.е. наибольшего размера поверхностей, входящих в разбиение) к нулю, то он является поверхностным интегралом функции $\bar a_n (m)$ по поверхности $\omega$ и обозначается ${\pi = \iint\limits_\omega {\bar a_n ds} }$ .

Определение. Поверхностный интеграл 1 рода по поверхности $\omega$ от скалярного произведения вектора $\bar a$ на вектор $\bar n ^0$ называется потоком векторного поля через ориентированную поверхность $\omega$ и обозначается $\pi _{\omega} (\bar a)$ :

$\color{red}\boxed{\color{blue} \pi _{\omega} (\bar a) = \iint\limits_{\omega} {(\bar a,\bar n^0 )ds} = {\iint\limits_{\omega}} {(p\cos \alpha + q\cos \beta + r\cos \gamma )ds}}$

В случае замкнутой поверхности $\omega$ поток записывается в виде $\color{red} \boxed{\color{blue} \pi _{\omega} (\bar a) = \mathop{{\iint}\mkern-24mu \bigcirc}\limits_{\omega} {(\bar a,\bar n^0 )ds}}$ .

Если ввести в рассмотрение вектор $d\bar s = \bar n^0 \cdot ds$ и обозначить его проекции на оси координат $dydz,\; \; dxdz,\; \; dxdy$ , то формулу для потока можно переписать в виде

$\color{red}\boxed{\color{blue} \pi _{\omega} (\bar a) ={ \iint\limits_{\omega}} {(\bar a,\bar n^0 )ds} = {\iint\limits_{\omega}} {(\bar a,d\bar s)} = {\iint\limits_{\omega}} {pdydz + qdydz + rdydz}}$ ,

где вектор $d\bar s$ направлен по нормали к выбранной стороне поверхности $\omega$ . Правая часть последнего равенства является поверхностным интегралом 2 рода.

Если, например, $\bar a$ – поле скоростей текущей жидкости в области

и $\omega \subset t$ – незамкнутая поверхность с выбранным направлением нормали $\bar n ^0$ , то поток $\pi _{\omega} (\bar a)$ равен количеству жидкости, проходящей в единицу времени через поверхность $\omega$ в направлении вектора $\bar n ^0$ . Если $\omega$ – замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область

с внешней нормалью $\bar n ^0$ , то поток $\pi _{\omega} (\bar a)$ равен разности количеств втекающей в эту область жидкости и вытекающей. В случае, если поток $\pi _{\omega} (\bar a)>0$ , то в области

имеются источники (где векторные линии порождаются), а если $\pi _{\omega} (\bar a)<0$ , то это указывает на наличие в области

стоков (где векторные линии заканчиваются). А если $\pi _{\omega} (\bar a)=0$ , тогда либо нет ни источников ни стоков, либо источники и стоки уравновешивают друг друга.

Если ориентированная поверхность $\omega$ задана явно непрерывно дифференцируемой функцией

, где $(x,y) \in d_{xy}$ , то можно получить следующую формулу, связывающую поверхностный интеграл по поверхности $\omega$ с двойным интегралом по проекции $d_{xy}$ этой поверхности на плоскость

:

$\color{red} \boxed{\color{blue} \pi _{\omega} (\bar a) = \mathop{\iint\limits_{\omega}} {pdydz + qdxdz + rdxdy} = \pm \iint\limits_{d_{xy} } {(\bar a,\bar n^0 )\bigr|_{z = z(x,y)} } \right. \cdot {{dxdy} \over {\left| {\cos \gamma } \right|}}}}$ ,

где знак «плюс» берется, когда угол $\angle (\bar n^0 ,oz)$ острый.
Если поверхность $\omega$ задана явно уравнением

, где $(x,z) \in d_{xz}$ или

, где $(y,z) \in d_{yz}$ , то соответственно меняются роли переменных в последней формуле.

Пример. Найти поток векторного поля $\bar a = z\bar i - 4y\bar j + 8x^2 \bar k$ через часть поверхности параболоида $\omega:\; \; z = x^2 + y^2 + 1$ , отсеченной плоскостью

, если нормаль $\bar n$ к заданной поверхности составляет тупой угол с осью аппликат.
Решение.
Поток векторного поля $\bar a$ будем искать по формуле $\pi = \iint\limits_{d_{xy} } {\left. {(\bar a,\bar n^0 )} \bigr|_{z = z(x,y)} \cdot {{dxdy} \over {\left| {\cos \gamma } \right|}}}$ , где $\bar n^0$ – единичный вектор нормали к заданной поверхности $\omega$ , угол $\gamma = \angle \left( {\bar n^0 ,oz} \right)$ , область $d_{xy}$ – проекция поверхности $\omega$ на плоскость

.

Для поверхности $\omega:\; \; z = x^2 + y^2 + 1$ или

нормаль $\bar n = {\rm grad} \, \omega = \left( {{\omega}\'_x ;\; {\omega}\'_y ;\; {\omega}\'_z } \right) = \left( {2x;\; 2y;\; - 1} \right)$ , тогда единичный вектор нормали $\bar n^0 = \cfrac{{\rm grad}\, \omega}{\left| {\rm grad}\, \omega \right|} = \cfrac{( 2x;\; 2y;\; - 1)}{\sqrt {4x^2 +4y^2+1} }$ , В данном случае $\cos \gamma =- \frac{1}{\sqrt {4x^2 + 4y^2 + 1} } < 0$ , т.е. $\gamma> {\pi \over 2}$ (тупой угол).
Найдем скалярное произведение $(\bar a,\bar n^0 )$ :
$(\bar a,\bar n^0 ) = \left( {z; - 4y;8x^2 } \right) \cdot {{\left( {2x;2y; - 1} \right)} \over {\sqrt {4x^2 + 4y^2 + 1} }} = {{2xz - 8y^2 - 8x^2 } \over {\sqrt {4x^2 + 4y^2 + 1} }}$ .
Т.к. проекцией заданной поверхности $\omega$ на плоскость

является круг радиуса

(потому что $x^2 + y^2 + 1 = 2 \rightarrow x^2 + y^2 = r^2 =1$ ), то при вычислении соответствующего двойного интеграла необходимо будет перейти в ПСК (полярную систему координат).
Вычислим требуемый поток векторного поля:
$\pi = \iint\limits_{d_{xy} } {\cfrac{2xz - 8y^2 - 8x^2 }{\sqrt {4x^2 + 4y^2 + 1} }\biggr|_{z = x^2 + y^2 + 1} \cdot {\cfrac{dxdy}{\frac{1}{\sqrt {4x^2 + 4y^2 + 1}} } =$
$= \iint\limits_{d_{xy} } {\left( {2x\left( {x^2 + y^2 + 1} \right) - 8\left( {x^2 + y^2 } \right)} \right)dxdy} = \biggr|$ ПСК $\begin{array} {l} {x = \rho \cos \varphi ,\; \; y = \rho \sin \varphi ,\; \; \left| j \right| = \rho } \\ {d_{xy} \to d^* :\; 0 \le \rho \le 1,\; \; 0 \le \varphi \le 2\pi } \end{array} }\; \; \biggr|=$
$= \int\limits_0^1 {d\rho } \int\limits_0^{2\pi } {\left( {2\rho \left( {\rho ^2 + 1} \right)\cos \varphi - 8\rho ^2 } \right) \cdot } \rho d\varphi =- 4\pi$ .

1 2 3 4 5 6 7