Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем

Название	Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем
Анкор	teoria_polya.docx
Дата	16.05.2018
Размер	0.77 Mb.
Формат файла
Имя файла	teoria_polya.docx
Тип	Документы #19304
страница	2 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Свойства градиента.
1) ${\rm grad}\, (u+v) ={\rm grad}\, u +{\rm grad}\, v$ ,
т.е. градиент алгебраической суммы скалярных полей

есть сумма градиентов указанных полей. Это свойство непосредственно вытекает из определения градиента, т.к. производная суммы равна сумме производных.

2) Градиент произведения скалярных полей ${\rm grad}\, (u\cdot v)=u\cdot {\rm grad}\, v+v\cdot {\rm grad}\, u$ .
В правой части последнего равенства стоит сумма векторов, где

- скалярные множители.

3) ${\rm grad}\, (c\cdot u)=c\cdot {\rm grad}\, u$ , где

- постоянное произвольное число,
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак градиента.

4) Градиент частного скалярных полей ${\rm grad}\, \left( \cfrac{u}{v} \right) =\cfrac{u\cdot {\rm grad}\, v-v\cdot {\rm grad}\, u}{v^2}$ .

5) Градиент сложной функции ${\rm grad}\, f(u)=\frac{df}{du} \cdot {\rm grad}\, u$ .

В правых частях всех свойств знаки

обозначают сложение и вычитание векторов, а знак произведения - есть произведение вектора на скаляр.

Пример 3. Найти градиент потенциала электростатического поля, образованного точечным зарядом, помещенным в начало координат:

$u=\cfrac{e}{r} =\cfrac{e}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}$ , где $r=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$ .

Решение.
Для нахождения градиента будем использовать формулу ${\rm grad} u=\frac{\partial u}{\partial x}\bar i +\frac{\partial u}{\partial y}\bar j +\frac{\partial u}{\partial z}\bar k$ .
Найдем проекции градиента, т.е. частные производные скалярного поля:
$\cfrac{\partial u}{\partial x}=\cfrac{du}{dr} \cdot \cfrac{\partial r}{\partial x} =-\cfrac{e}{r^2} \cdot \cfrac{\partial r}{\partial x} = -\cfrac{e}{r^2} \cdot \cfrac{x}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}} = -\cfrac{e}{r^2} \cdot \cfrac{x}{r} =-\cfrac{ex}{r^3}$ .
Аналогично можно найти $\cfrac{\partial u}{\partial y} =-\cfrac{ey}{r^3},\; \; \; \cfrac{\partial u}{\partial z} =-\cfrac{ez}{r^3}$ .
Поэтому искомый градиент будет равен:
${\rm grad} \left( \cfrac{e}{r} \right) =-\cfrac{ex}{r^3} \cdot \bar i -\cfrac{ey}{r^3} \cdot \bar j -\cfrac{ez}{r^3} \cdot \bar k =-\cfrac{e}{r^3} \cdot (x\bar i +y\bar j +z\bar k )=-\cfrac{e}{r^3} \cdot \bar r$ , где $\bar r = x\bar i +y\bar j+z\bar k$ есть радиус-вектор произвольной точки пространства.
Знак "минус" говорит о том, что градиент потенциала электростатического поля направлен противоположно радиус-вектору произвольной точки поля. Т.к. поверхностями уровня поля $u=\cfrac{e}{r}$ являются концентрические сферы, а нормаль сферы совпадает с ее радиусом, то градиент ${\rm grad} u$ направлен по радиусу сферы к ее центру.

Вопрос. Максимальное значение производной по направлению скалярного поля

в точке $m(1;\; -1;\; 1)$ равно

$\sqrt{6}$

$\sqrt{2}$

Виды скалярных полей

Во многих физических задачах приходится иметь дело с полями, обладающими теми или иными специальными свойствами симметрии, облегчающими изучение таких полей. Укажем некоторые частные случаи.

Плоскопараллельное поле
Если скалярное поле

в какой-либо декартовой системе координат можно описать функцией, зависящей не от трех, а от двух координат, т.е. $u=u(x,\; y)$ , то такое поле называется плоскопараллельным (или двумерным).

Т.е. поле

будет плоскопараллельным, если в пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого поле

переходит само в себя. Поверхности уровня такого поля - это семейство цилиндрических поверхностей, причем в соответствующим образом выбранной системе координат они задаются уравнениями вида $u(x,\; y)=c$ , где

- произвольное число.

Осесимметрическое поле
Если для поля

можно подобрать такую цилиндрическую систему координат, в которой оно изображается функцией, зависящей только от переменных $r=\sqrt{x^2 +y^2}$ и

, но не от угла $\varphi$ , то это поле называется осесимметрическим.

Иначе говоря, поле

является осесимметрическим, если оно переходит само в себя при повороте пространства на произвольный угол вокруг некоторой фиксированной прямой - оси симметрии этого поля. Поверхности уровня такого поля представляют собой поверхности вращения.

Если эти поверхности вращения - круглые цилиндры, т.е. поле

в цилиндрической системе координат задается функцией, зависящей ишь от одной координаты

, то поле называется цилиндрическим.

Сферическое поле
Если значения поля

зависят лишь от расстояния точки

до некоторой фиксированной точки

, то такое поле называется сферическим полем.

Поверхности уровня такого поля - семейство концентрических сфер.

Вопрос. Скалярное поле потенциала электрического заряда

, задаваемого формулой $u=\cfrac{e}{r}$ , где $r=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$ , является

Плоскопараллельным

Сферическим

Цилиндрическим

Осесимметрическим
Векторное поле

Определение. Если в каждой точке

пространственной области $\omega$ задан определенный вектор $\bar a=\bar a (m)$ , то говорят, что в этой области задано векторное поле.

Если в пространстве выбрать декартову систему координат, то векторное поле задается тремя скалярными полями (функциями) $p(x,y,z),\; \; \; q(x,y,z),\; \; \; r(x,y,z)$ , являющимися проекциями вектора $\bar a (m)$ на координатные оси декартовой системы:

$\color{red} \boxed{\color{blue} \bar a=\bar a(m)=p(x,y,z)\bar {\imath} + q(x,y,z)\bar {\jmath} + r(x,y,z)\bar k}$ .

Векторное поле тоже может быть плоским, например, $\bar a = \bar a(m) = p(x,y)\bar {\imath} + q(x,y)\bar {\jmath}$ .
В дальнейшем будем рассматривать векторные поля, компоненты которых непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка.

Примерами векторных полей могут служить:
1) поле скоростей стационарного потока жидкости (оно определяется так: пусть область $\omega$ заполнена жидкостью, текущей текущей в каждой точке с некоторой скорость $\bar v$ , не зависящей от времени, но различной в разных точках области; тогда поставив в соответствие каждой точке $m\in \omega$ вектор $\bar v = \bar v (m)$ , получим векторное поле скоростей жидкости);
2) поле тяготения (пусть в пространстве распределена некоторая масса, тогда на материальную точку

единичной массы действует гравитационная сила);
3) электрическое поле (если в пространстве распределены каким-либо образом заряды, то на единичный электрический заряд , помещенный в точку

, эти заряды действуют с определенной силой $\overline{f} (m)$ .

Определение. Векторной линией поля $\bar a$ называется такая линия, в каждой точке которой касательная направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля.

Если векторное поле $\bar a(m)$ есть поле скоростей жидкости, то векторные линии - это траектории частиц жидкости.

Напряженность электростатического поля определяется вектором $\overline{e} =\cfrac{e}{r^3} \cdot \bar r_$ , где

- электрический заряд, $\bar r$ - радиус-вектор направления, соединяющего заряд с точкой поля. Поэтому для положительного заряда векторными линиями будут лучи, выходящие из заряда.
Для магнитного поля векторными линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.

Найдем уравнения векторных линий. Пусть $\bar r =x\bar i +y\bar j +z\bar k$ есть радиус-вектор какой-нибудь векторной линии. Тогда вектор $d\bar r=dx\bar i+dy\bar j+dz\bar k$ направлен по касательной к ней. По определению векторного поля векторы $\bar a$ и $d\bar r$ должны быть коллинеарны, откуда следует пропорциональность их проекций. Поэтому всякое векторное поле $\bar a(m)$ обладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

$\color{red} \boxed{\color{blue} {{dx} \over {p(x,y,z)}} = {{dy} \over {q(x,y,z)}} = {{dz} \over {r(x,y,z)}}}$

Замечание. Если векторное поле плоское, то дифференциальное уравнение векторных линий имеет вид:

$\color{red} \boxed{\color{blue} \left\{ \begin{array} {l} {{{dx} \over {p(x,y)} }= {{dy} \over {q(x,y)}} }\\ z = const. \end{array} \right.}$

В силу теоремы существования и единственности через каждую точку

, при соблюдении условий этой теоремы, будет проходить одна определенная векторная линия. Если провести все векторные линии, проходящие через все точки некоторого куска поверхности $\sigma$ , то их совокупность даст векторную трубку. Причем нормаль $\bar n$ к векторной трубке в некоторой точке ортогональна вектору $\bar a(m)$ , т.е. $\bar a \bot \bar n$ .

Пример 1. Для плоского векторного поля $\bar a = x\ln x\bar i + (2y + \ln x)\bar j$ найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку $m(e;\; 2)$ .
Решение.
Так как $p = x\ln x$ и $q = 2y + \ln x$ , то, согласно замечанию, уравнение семейства определяется общим решением дифференциального уравнения

$\cfrac{dx}{x\ln x} = \cfrac{dy}{2y + \ln x}\; \; \leftrightarrow\; \; (2y + \ln x) - x \cdot \ln x \cdot y\' = 0$ .

Это уравнение линейное первого порядка. Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде $y = c\ln ^2 x - \ln x$ .
Выделим из этого семейства одно решение – то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку $m(e;\; 2)$ . Подставив в общее решение

, получим

. Итак, искомая векторная линия $y = 3\ln ^2 x - \ln x$ (синим цветом на чертеже отмечена точка с координатами $(e;\; 2)$ ).

1 2 3 4 5 6 7