Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем

Название	Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем
Анкор	teoria_polya.docx
Дата	16.05.2018
Размер	0.77 Mb.
Формат файла
Имя файла	teoria_polya.docx
Тип	Документы #19304
страница	1 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Скалярное поле

Термин "поле" обычно употребляется в физике для обозначения части пространства (или всего пространства), в которой рассматривается некоторое физическое явление. Если речь идет о процессе, характеризующемся скалярной величиной (температура, давление и т.д.), поле называется скалярным.

Определение. Числовая функция

, заданная в каждой точке

некоторой пространственной области $\omega$ , называется скалярным полем (то есть каждой точке

этой области ставится в соответствие число

).

Введя в области, где задано скалярное поле, декартовы координаты, можно представить это поле в виде функции

, определенной в области $\omega$ . Если поле задано функцией двух переменных

, то оно называется плоским. Эту функцию мы всегда в дальнейшем будем предполагать непрерывной и имеющей непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным.

Можно добавить, что величина

, характеризующая скалярное поле, может зависеть не только от координат точки

, но также и от времени. Однако мы ограничимся рассмотрением лишь таких полей, где

не зависит от времени. Такие поля называются стационарными.

Примерами скалярных полей могут служить:
1) поле температур некоторого нагретого тела (в каждой точке

этого тела $\omega$ задана соответствующая температура

),
2) потенциал электростатического поля задается формулой

$u=\cfrac{e}{r} =\cfrac{e}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}$ ,

где

- заряд, а $r=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$ - расстояние от произвольной точки

до заряда, помещенного в начало координат,
3) поле давлений,
4) поле плотности вещества и др.

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня – множества точек пространства, в которых функция принимает постоянное значение:

– уравнение различных поверхностей уровня при различных значениях

.
В плоском поле

– уравнение линий уровня. С помощью линий уровня обычно изображаются рельеф местности на топографических картах, а именно, на них проводятся линии, состоящие из точек, имеющих одну и ту же высоту над уровнем моря (эти линии называются горизонталями). Распределение температур, давления, количества осадков и т.п. обычно также изображаются на специальных картах с помощью соответствующих линий уровня (они называются изотермами в случае поля температур или изобарами в случае поля давления).

Пример 1. Построить поверхности уровня потенциала электростатического поля $u=\frac{e}{r}$ .
Решение.
Так как $u=\cfrac{e}{r} = \cfrac{e}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}$ , то поверхности уровня будут задаваться так:

$\cfrac{e}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}} =c$ или $\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}=c$ ,

где

- некоторое положительное число, при этом для электростатического поля заряд

есть величина постоянная.
Возведем в квадрат обе части последнего равенства и получим уравнение сферы с центром в начале координат $o(0,\, 0,\, 0)$ и переменным радиусом

.

Значит, поверхностями уровня электростатического поля будет семейство концентрических сфер с центром в точке, где находится заряд

.

При изучении скалярного поля методами анализа мы должны в первую очередь описать его локальные свойства, т.е. изменение величины

при переходе от данной точки

к близким точкам. Для этого используют понятие производной по направлению.

Пусть скалярное поле

определено в области $\omega \in {\rm r}^3$ .
Зафиксируем точку $m_0 \in \omega$ и выберем некоторое направление, определяемое вектором $\bar \ell$ ; если существует предел ${{\partial u} \over {\partial \bar \ell }} ={\lim }\limits_{\delta l \to 0} {{\delta u} \over {\delta l}}$ , то его называют производной функции

по направлению $\bar \ell$ в заданной точке

, где $\delta u = u\left( m \right) - u\left( {m_0 } \right)$ , $\delta l = \left| {\overline {mm_0 } } \right|$ , $\overline {mm_0 } ||\bar \ell$ .

Пусть скалярная функция

дифференцируема в точке

. Производную функции

в точке

по направлению вектора $\bar \ell = (\ell _1 ,\ell _2 ,\ell _3 )$ вычисляют по формуле

$\color{red} \boxed{\color{blue} \left. {{{\partial u} \over {\partial \bar \ell }}} \right|_{m_0 } = \left. {{{\partial u} \over {\partial x}}} \right|_{m_0 } \cdot \cos \alpha + \left. {{{\partial u} \over {\partial y}}} \right|_{m_0 } \cdot \cos \beta + \left. {{{\partial u} \over {\partial z}}} \right|_{m_0 } \cdot \cos \gamma}$ ,

где $\cos \alpha = {{\ell _1 } \over {\left| {\bar \ell } \right|}},\cos \beta = {{\ell _2 } \over {\left| {\bar \ell } \right|}},\cos \gamma = {{\ell _3 } \over {\left| {\bar \ell } \right|}}$ – направляющие косинусы вектора $\bar \ell$ .
Производная поля в данной точке

по направлению $\bar \ell$ характеризует скорость изменения поля в этом направлении.

Пример 2. Найти производную скалярного поля $u=x\sqrt{y} +y\sqrt{z}$ в точке $m_0 (2;\; 4;\; 4)$ в направлении вектора $\bar \ell =(2;\; -2;\; 1)$ .
Решение.
Для нахождения производной по направлению будем использовать формулу ${\left. {{{\partial u} \over {\partial \bar \ell }}} \right|_{m_0 } = \left. {{{\partial u} \over {\partial x}}} \right|_{m_0 } \cdot \cos \alpha + \left. {{{\partial u} \over {\partial y}}} \right|_{m_0 } \cdot \cos \beta + \left. {{{\partial u} \over {\partial z}}} \right|_{m_0 } \cdot \cos \gamma}$
Найдем частные производные заданной функции: $u\'_x =\sqrt{y} ,\; \; \; u\'_y =\frac{x}{2\sqrt{y}} +\sqrt{z} ,\; \; \; u\'_z =\frac{y}{2\sqrt{z}}$ .
Вычислим значения частных производных в заданной точке $m_0 (2;\; 4;\; 4)$ , т.е. при

:
$u\'_x (m_0)=\sqrt{4} =2,\; \; \; u\'_y (m_0) =\frac{2}{2\sqrt{4}} +\sqrt{4} =\frac{5}{2} ,\; \; \; u\'_z (m_0)=\frac{4}{2\sqrt{4}}$ .
Найдем значения направляющих косинусов:
$\bar \ell = \left( {2;\; - 2;\; 1} \right) \; \rightarrow \; \left| {\bar \ell } \right| = \sqrt {2^2 + ( - 2)^2 + 1^2 } =3$ ,
поэтому $\cos \alpha = {{\ell _1 } \over {\left| {\bar \ell } \right|}} = {2 \over 3},\; \; \; \cos \beta = {{\ell _2 } \over {\left| {\bar \ell } \right|}} = - {2 \over 3},\; \; \; \cos \gamma = {{\ell _3 } \over {\left| {\bar \ell } \right|}} = {1 \over 3}$ .
Подставим все найденные величины в расчетную формулу для производной по направлению и получим:
${{\partial u} \over {\partial \bar \ell }}\left( {m_0 } \right) = 2 \cdot {2 \over 3} + {5 \over 2} \cdot \left( { - {2 \over 3}} \right) + 1 \cdot {1 \over 3} = 0$ .
Ответ: ${{\partial u} \over {\partial \bar \ell }}\left( {m_0 } \right) = 0$ .

Можно установить, что по направлению, касательному к поверхности уровня, производная от заданной функции равна нулю. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть кривую, лежащую на поверхности уровня. Вдоль такой кривой приращение функции равно нулю $\delta u =0$ , т.к. на поверхности уровня значения функции постоянны. Поэтому ${{\partial u} \over {\partial \bar \ell }} =\lim\limits_{\delta l \to 0} {{\delta u} \over {\delta l}} = 0$ .

Определение. Градиентом скалярного поля в точке

называется вектор

$\color{red}\boxed{\color{blue} {\rm grad}\, u = \left. {{{\partial u} \over {\partial x}}} \right|_m \cdot \bar {\imath} + \left. {{{\partial u} \over {\partial y}}} \right|_m \cdot \bar {\jmath} + \left. {{{\partial u} \over {\partial z}}} \right|_m \cdot \bar k}$

Между производной поля

по направлению $\bar \ell$ и градиентом в точке

существует следующая связь:

$\color{red} \boxed{\color{blue} {{\partial u} \over {\partial \bar \ell }} = {\rm grad}\, u \cdot \bar \ell_0}$ ,

где $\bar \ell _0$ - орт вектора $\bar \ell$ , т.е. единичный вектор, сонаправленный с вектором $\bar \ell$ .

Из этого равенства следует, что в каждой точке

, не являющейся критической, градиент направлен в сторону максимального возрастания поля

, а модуль градиента равен величине скорости этого возрастания:

$\color{red} \boxed{\color{blue} \max {{\partial u} \over {\partial \bar \ell }} = \left| {{\rm grad}\, u} \right| = \sqrt {\left( {{{\partial u} \over {\partial x}}} \right)^2 + \left( {{{\partial u} \over {\partial y}}} \right)^2 + \left( {{{\partial u} \over {\partial z}}} \right)^2 }}$ .

1 2 3 4 5 6 7