Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем

Название	Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем
Анкор	teoria_polya.docx
Дата	16.05.2018
Размер	0.77 Mb.
Формат файла
Имя файла	teoria_polya.docx
Тип	Документы #19304
страница	6 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Ротор

Определение. Если векторное поле $\bar a = p\bar i + q\bar j + r\bar k$ имеет дифференцируемые в точке

составляющие $p,\; q,\; r$ , то ротором (или вихрем) векторного поля $\bar a$ в точке

называется вектор

$\color{blue} {\rm rot}\, \bar a = \left( {{{\partial r} \over {\partial y}} - {{\partial q} \over {\partial z}}} \right)\bar i + \left( {{{\partial p} \over {\partial z}} - {{\partial r} \over {\partial x}}} \right)\bar j + \left( {{{\partial q} \over {\partial x}} - {{\partial p} \over {\partial y}}} \right)\bar k$ ,

где частные производные вычислены в этой точке.

В символической форме ${\rm rot}\, \bar a$ имеет вид:

$\color{red} \boxed{\color{blue} {\rm rot}\, \bar a = \left| {\begin{array} {ccc} {{\bar i} & {\bar j} & {\bar k} \\ {{\partial \over {\partial x}}} & {{\partial \over {\partial y}}} & {{\partial \over {\partial z}}} \\ p & q & r \end{array}} } \right|}$ .

Поясним физический смысл ротора векторного поля. Рассмотрим векторное поле $\bar a$ как поле скоростей движущейся жидкости. Поместим в таком потоке, в определенной его точке, бесконечно малое колесико с лопастями, расположенные по окружности этого колесика. Под воздействием потока жидкости такое колесико будет вращаться с некоторой скоростью, зависящей от направления оси колесика.
Выберем систему координат так, чтобы его ось колесика совпадала бы с осью

. Найдем ротор поля линейных скоростей $\bar v$ твердого тела, вращающегося вокруг оси

с постоянной угловой скоростью $\bar \omega$ , причем $\bar \omega =(0,\; 0,\; \omega)$ .
Тогда линейная скорость вращения тела будет равна:
$\overline v = {\bar \omega \times \bar r} = \left| {\begin{array} {ccc} {{\bar i} & {\bar j} & {\bar k} \\ 0 & 0 & \omega \\ x & y & z \end{array} } } \right| = \bar i \cdot \left| {\begin{array} {cc} {0 & \omega \\ y & z \end{array} } } \right| - \bar j \cdot \left| {\begin{array} {cc} {0 & \omega \\ x & z \end{array} } } \right| + \bar k \cdot \left| {\begin{array} {cc} {0 & 0 \\ x & y \end{array} } } \right| =$
$= - \omega y \cdot \bar i + \omega x \cdot \bar j + 0 \cdot \bar k$ ,
где $\bar r =(x,\; y,\; z)$ – радиус вектор точки

.
Тогда по определению ротора получим (здесь определитель раскрываем по первой строке):
${\rm rot}\, \overline v = \left| {\begin{array} {ccc} {{\bar i} & {\bar j} & {\bar k} \\ {{\partial \over {\partial x}}} & {{\partial \over {\partial y}}} & {{\partial \over {\partial z}}} \\ { - y\omega } & {x\omega } & 0 \end{array} } } \right| = \bar i \cdot \left| {\begin{array} {cc} {{{\partial \over {\partial y}}} & {{\partial \over {\partial z}}} \\ {x\omega } & 0 \end{array} } } \right| - \bar j \cdot \left| {\begin{array} {cc} {{{\partial \over {\partial x}}} & {{\partial \over {\partial z}}} \\ { - y\omega } & 0 \end{array} } } \right| + \bar k \cdot \left| {\begin{array} {cc} {{{\partial \over {\partial x}}} & {{\partial \over {\partial y}}} \\ { - y\omega } & {x\omega } \end{array}} } \right| =$
$= \bar i \cdot \left( {{{\partial \left( 0 \right)} \over {\partial y}} - {{\partial \left( {x\omega } \right)} \over {\partial z}}} \right) - \bar j \cdot \left( {{{\partial \left( 0 \right)} \over {\partial x}} + {{\partial \left( {y\omega } \right)} \over {\partial z}}} \right) + \bar k \cdot \left( {{{\partial \left( {x\omega } \right)} \over {\partial x}} + {{\partial \left( {y\omega } \right)} \over {\partial y}}} \right) =$
$= \bar i \cdot \left( {0 - 0} \right) - \bar j \cdot \left( {0 + 0} \right) + \bar k \cdot \left( {\omega + \omega } \right) = 2\bar \omega$ .
С точностью до постоянного множителя ротор поля скоростей $\overline v$ представляет собой угловую скорость вращения твердого тела, т.е. он характеризует "вращательную компоненту" поля скоростей. С этим связано само название «ротор» (от латинского «вращатель»).

Направление ротора совпадает с направлением наибольшей плотности циркуляции.

Вопрос. Вторая координата ротора векторного поля $\bar a =x\bar i -3z^2 \bar j +y\bar k$ равна
(введите с клавиатуры только число)

Ваш ответ
0

Формула Стокса

Если функции $p,\; q,\; r$ дифференцируемы в области

и в этой области расположен некоторый замкнутый контур

, то для любой незамкнутой поверхности $\omega \subset t$ , имеющей границу

, имеет место формула Стокса:

$\color{red} \boxed{\color{blue} c = \oint\limits_l {(\bar a,d\bar r) = \iint\limits_{\omega} {{\rm rot}\, \bar a\cdot \bar n^0 } } ds}$ ,

где на $\omega$ берется та сторона, в точках которой вектор нормали $\bar n^0$ направлен так, чтобы видимый с его конца обход контура

совершался бы против часовой стрелки (ориентация поверхности согласована с обходом контура).

Формула Стокса позволяет свести вычисление циркуляции векторного поля $\bar a$ по контуру

к вычислению потока поля ${\rm rot}\, \bar a$ через незамкнутую поверхность $\omega$ , опирающуюся на контур

(здесь

– граница незамкнутой поверхности $\omega$ ). Заметим, что $\omega$ – любая поверхность, имеющая границей контур

, поэтому возможен наиболее простой ее выбор.

Если через контур

провести две поверхности $\omega_1$ и $\omega_2$ , то

$\iint\limits_{\omega _1 } {{\rm rot}\, \bar a\cdot \bar n^0 ds = \iint\limits_{\omega _2 } {{\rm rot}\, \bar a\cdot \bar n^0 } }ds$ .

Учитывая, что $\omega_1$ и $\omega_2$ ограничивают некоторую пространственное тело

и, меняя направление нормали на поверхности $\omega_2$ на противоположное, т.е. на внешнее по отношению к

, получим

$\iint\limits_{\omega _1 \cup \omega _2 } {{\rm rot}\, \bar a\cdot \bar n^0 }ds = 0$ ,

т. е. поток вихря через замкнутую поверхность равен . Это означает, что поле вихря является соленоидальным.

Пример. Найти по формуле Стокса циркуляцию векторного поля $\bar a = z\bar i + 2yz\bar j + y^2 \bar k$ по линии

пересечения с координатными плоскостями той части поверхности

, которая лежит в 1 октанте, т.е. $x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0$ .
Решение.
Находим ротор заданного векторного поля:
${\rm rot}\, \bar a = \left| {\begin{array} {ccc} {{\bar i} & {\bar j} & {\bar k} \\ {{\partial \over {\partial x}}} & {{\partial \over {\partial y}}} & {{\partial \over {\partial z}}} \\ z & {2yz} & {y^2 } \end{array} } } \right| = \left( {{{\partial \left( {y^2 } \right)} \over {\partial y}} - {{\partial \left( {2yz} \right)} \over {\partial z}}} \right)\bar i - \left( {{{\partial z} \over {\partial z}} - {{\partial \left( {y^2 } \right)} \over {\partial x}}} \right)\bar j + \left( {{{\partial \left( {2yz} \right)} \over {\partial x}} - {{\partial z} \over {\partial y}}} \right)\bar k =$
$= \left( {2y - 2y} \right)\bar i - (1-0)\bar j + (0-0)\bar k = \bar j$

Пусть поверхностью с границей

является поверхность $\omega :\; \; x^2 +9y^2 =9 - z$ . Она является эллиптическим параболоидом и расположена в первом октанте.
Вычислим циркуляцию:
$c =\oint\limits_{abca} {\bar a\cdot d\bar r = \iint\limits_\omega {{\rm rot}\, \bar a\cdot \bar n^0 } }ds$ .

Нормаль к поверхности $\omega$ равна $\bar n ={\rm grad}\, \omega=({\omega}\'_x ,\, {\omega}\'_y ,\, {\omega}\'_z )=(2x,\; 18y,\; 1)$ . Тогда единичная нормаль имеет координаты: $\bar n ^0 =\cfrac{(2x,\; 18y,\; 1)}{\sqrt{4x^2 +324y^2 +1}}$ . Откуда $\cos \beta =\frac{18y}{\sqrt{4x^2 +324y^2 +1}}$ . В данном случае $\cos \beta>0$ , т.к.

в первом октанте. При этом скалярное произведение векторов ${\rm rot}\, \bar a$ и $\bat n^0$ равно:
${\rm rot}\bar a \cdot \bar n^0 = \left( {0;1;0} \right) \cdot {{\left( {2x;18y;1} \right)} \over {\sqrt {4x^2 + 324y^2 + 1} }} = {{18y} \over {\sqrt {4x^2 + 324y^2 + 1} }}$ .

Отсюда по формуле $c = \iint\limits_\omega {{\rm rot} \bar a \cdot \bar n^0 ds} = \iint\limits_{d_{xz} } {{\rm rot} \bar a \cdot \bar n^0 \cdot {{dxdz} \over {\left| {\cos \beta } \right|}}}$ получим:
${c = \iint\limits_{d_{xz} } {\cfrac{18y}{\sqrt {4x^2 + 324y^2 + 1}} \cdot {\cfrac{dxdz}{\left| {\frac{18y}{\sqrt {4x^2 + 324y^2 + 1} }} \right|}}} = \int\limits_0^3 {dx\int\limits_0^{9 - x^2 } {dz} } = \int\limits_0^3 {\left( {9 - x^2 } \right)dx} = 18}$ .
Ответ:

.

Вопрос. Используя формулу Стокса, циркуляцию векторного поля $\bar a =x\bar i -3z^2 \bar j +y\bar k$ по линии пересечения параболоида

с координатной плоскостью

можно свести к вычислению интеграла:

$c=\iint\limits_{d_{yz}} {(1+6z)dydz}$

$c=\iint\limits_{d_{yz}} {\frac{(1;\; 2y;\; 2z)}{\sqrt{1+4y^2 +4z^2}}dydz}$

$c=\iint\limits_{d_{yz}} {\frac{1+6z}{\sqrt{1+4y^2+4z^2}}dydz}$

$c=\iint\limits_{d_{yz}} {(1+6z)\cdot (1;\; 2y;\; 2z)dydz}$

Виды векторных полей

Определение. Векторное поле называется соленоидальным в области $\omega$ , если его дивергенция равна нулю в каждой точке этой области $\color{red} \boxed{\color{blue} {\rm div}\, \bar a=0}$ .

Для соленоидального поля характерно, что в области $\omega$ отсутствуют источники и стоки, а поток $\pi _\omega (\bar a) = 0$ для любой замкнутой поверхности $s \subset \omega$ , т.к. по теореме Остроградского-Гаусса $\pi _\omega \left( {\bar a} \right) = \mathop{{\int\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\omega {\bar a \cdot d\overline s } = \mathop{\int\!\!\!\int\!\!\!\int}\limits_{\kern-5.5pt t}{{\mathop{\rm div}\nolimits} \bar a\,dxdydz}$ .
Для соленоидальных полей имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, состоящий в следующем.
Теорема. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки остается постоянным вдоль этой трубки.

1 2 3 4 5 6 7