Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем

Название	Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем
Анкор	teoria_polya.docx
Дата	16.05.2018
Размер	0.77 Mb.
Формат файла
Имя файла	teoria_polya.docx
Тип	Документы #19304
страница	4 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Вопрос. Поток векторного поля $\bar a =x\bar i +y\bar j +z\bar k$ через часть плоскости $p:\; \; x+y+z=1$ , лежащей в первом октанте, т.е. при $x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0$ , (нормаль $\bar n =(1;\; 1;\; 1)$ составляет острый угол с осью

)
выражается формулой

$\iint\limits_{d_{xy}} \sqrt{3} (x+y+z)dxdy$

$\iint\limits_{d_{xy}} (x+y+z)dxdy$

$\iint\limits_{d_{xy}} 1\cdot dxdy$

$\iint\limits_{d_{xy}} \frac{x+y+z}{\sqrt{3}} dxdy$
Дивергенция

Рассмотрим векторное поле $\bar a$ и некоторую замкнутую поверхность $\omega$ в этом поле. Допустим, что поток вектора $\bar a$ через внешнюю сторону поверхности $\omega$ положителен, т.е. $\pi_{\omega} (\bar a)> 0$ .

Если рассматривать заданное векторное поле как поле скоростей движущейся жидкости, то положительность потока указывает, что количество жидкости, вытекающей из тела

, заключенного внутри замкнутой поверхности $\omega$ , больше, чем количество жидкости, втекающей в это тело. То есть внутри тела

должны находиться источники поля, обильность (или интенсивность) которых характеризуется величиной потока через $\omega$ . Аналогично в случае отрицательного потока внутри тела должны находиться стоки. Характеристикой интенсивности источника или стока служит средняя удельная интенсивность, которая определяется отношением потока $\pi$ вектора $\bar a$ через замкнутую поверхность $\omega$ к объему

тела

, ограниченного поверхностью: $\cfrac{\mathop{{\iint}\mkern-21mu \bigcirc} \limits_{\omega} \bar a \cdot d\bar s}{v_t}$ .

Чтобы получить характеристику удельной интенсивности источника (или стока) в каждой отдельной точке, поступают так. Рассмотрим некоторую точку

векторного поля $\bar a$ и заключим ее внутри небольшой замкнутой поверхности $\omega$ (например, внутри сферы достаточно малого радиуса). Объем тела, ограниченного поверхностью $\omega$ обозначим $\delta v$ . Разделив поток $\pi$ вектора $\bar a$ через замкнутую поверхность $\omega$ на объем $\delta v$ , получим среднюю удельную интенсивность $\cfrac{\mathop{{\iint}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_ {\omega} \bar a \cdot d\bar s}{\delta v}$ . Предел этой величины, когда объем $\delta v$ стремится к нулю и $\delta v$ стягивается в точку

, если такой предел существует, называют дивергенцией вектора $\bar a$ и обозначают ${\rm div} \bar a$ .

Определение. Дивергенцией векторного поля $\bar a$ в точке

называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность $\omega$ , окружающую точку

, к объему $\delta v$ тела

, ограниченного этой поверхностью, при стремлении диаметра

тела

к нулю:

$\color{red} \boxed{\color{blue} {\rm div}\, \bar a (m) = \mathop {\lim }\limits_{d \to 0} \cfrac{\mathop{{\iint}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\omega \bar a \cdot \bar n^0 ds}{\delta v}}$

По знаку дивергенции можно судить о наличии источника или стока векторного поля в точке

. Так, если ${\rm {div}}\bar a(m)>0$ , то в точке

– источник, а если ${\rm {div}}\bar a(m) <0$ , то – сток. Если ${\rm {div}}\bar a(m)>0$ , то в точке

нет ни источника, ни стока или они уравновешивают друг друга. Абсолютная величина $\left| {\rm {div}}\bar a(m) \right|$ характеризует мощность источника или стока в точке

.

Можно доказать, что для векторного поля $\bar a$ в области

дивергенция равна

$\color{red} \boxed{\color{blue} {\rm div}\, \bar a(m) = \left. {{{\partial p} \over {\partial x}}} \right|_m + \left. {{{\partial q} \over {\partial y}}} \right|_m + \left. {{{\partial r} \over {\partial z}}} \right|_m}$

в любой точке $m\in t$ .

На основании этой формулы можно проверить выполнимость свойств дивергенции.
1) ${\rm div}\, (\bar a+\bar b)={\rm div}\, \bar a+{\rm div}\, \bar b$ ,
которое следует из линейности операции дифференцирования.

2) ${\rm div}\, (u\cdot \bar a)=u\cdot {\rm div}\, \bar a+\bar a\cdot {\rm grad}\, u$ ,

т.к. при $\bar a=(a_x ,\; a_y ,\; a_z )$ имеем $u\cdot \bar a=(u\cdot a_x ,\; u\cdot a_y ,\; u\cdot a_z )$ , поэтому
${\rm div}\, (u\cdot \bar a)= \frac{\partial}{\partial x} (u\cdot a_x )+\frac{\partial}{\partial y} (u\cdot a_y )+\frac{\partial}{\partial z} (u\cdot a_z )=$
$=u\cdot \left( \frac{\partial a_x}{\partial x} +\frac{\partial a_y}{\partial y} +\frac{\partial a_z}{\partial z} \right) +a_x \frac{\partial u}{\partial x} +a_y \frac{\partial u}{\partial y} +a_z \frac{\partial u}{\partial z} =$
$=u\cdot {\rm div}\, \bar a+\bar a\cdot {\rm grad}\, u$ .

3) ${\rm div}\, (f(r)\cdot \bar r)=3f(r)+r\cdot f\'(r)$ ,

где $\bar r =x\bar i +y\bar j +z\bar k$ - радиус-вектор произвольной точки, $r=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$ - расстояние от этой точки до начала координат.

Пример 1. Вычислить дивергенцию электростатического поля напряженности $\overline e =\frac{e}{r^3} \bar r$ , создаваемого зарядом

.
Решение.
Воспользуемся свойством (3), в котором $f(r)=\frac{e}{r^3}$ :
${\rm div}\, \overline e =3f(r)+r\cdot f\'(r)=3\cdot \frac{e}{r^3} +r\cdot \left( \frac{e}{r^3} \right) \' =3\cdot \frac{e}{r^3} +r\cdot e \cdot \left( \frac{-3}{r^4} \right) =0$ .
Так как ${\rm div}\, \overline e =0$ , то в любой точке поля, где определен вектор $\overline e$ , нет ни источников ни стоков.
Ответ: ${\rm div}\, \overline e =0$ .

Пример 2. Найти дивергенцию поля $\bar a= r^2 \cdot \bar c$ , где

- расстояние от произвольной точки до начала координат, $\bar c =(c_1 ,\; c_2 ,\; c_3 )$ - постоянный вектор.
Решение.
Т.к.

- расстояние от произвольной точки $m(x,\; y,\; z)$ до начала координат $o(0,\; 0,\; 0)$ , то $r=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}$ или

.
Тогда вектор $\bar a$ имеет координаты $a_x =c_1 (x^2 +y^2 +z^2),\; \; \; a_y =c_2 (x^2 +y^2 +z^2),\; \; \; a_z =c_3 (x^2 +y^2 +z^2 )$ .
По формуле ${\rm div}\, \bar a =\frac{\partial a_x}{\partial x} +\frac{\partial a_y}{\partial y} +\frac{\partial a_z}{\partial z}$ найдем дивергенцию заданного вектора:
${\rm div}\, \bar a =\left( c_1 (x^2 +y^2 +z^2) \right) \'_x +\left( c_2 (x^2 +y^2 +z^2 ) \right) \'_y +\left( c_3 (x^2 +y^2 +z^2 ) \right) \'_z =$
$=c_1 \cdot 2x+c_2 \cdot 2y+c_3 \cdot 2z=2\cdot (c_1 x+c_2 y+c_3 z)=2\, \bar c \cdot \bar r$ ,
где $\bar r =(x,\; y,\; z)$ - радиус-вектор произвольной точки $m(x,\; y,\; z)$ , т.е. $\bar r =\overline{om}$ .
Ответ: ${\rm div}\, (r^2 \bar c)=2\bar c \cdot \bar r$ .

Вопрос. Дивергенция векторного поля $\bar a= (\sin y+3x)\bar i +(x^2 y-1)\bar j +(5-x^2 z)\bar k$ равна

(введите с клавиатуры только число)

Ваш ответ
3

Теорема Остроградского-Гаусса

Если функции $p,\; \; q,\; \; r$ дифференцируемы в замкнутой области

, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью $\omega$ , то имеет место формула Остроградского-Гаусса
$\color{red} \boxed{\color{blue} \mathop{{\iint}\mkern-24mu \bigcirc}\limits_{\omega} {pdydz + qdxdz + rdxdy = \iiint\limits_t {\left( {{{\partial p} \over {\partial x}} + {{\partial q} \over {\partial y}} + {{\partial r} \over {\partial z}}} \right)} } dxdydz}$ ,

где выбрана внешняя сторона поверхности $\omega$ .

Для векторного поля $\bar a$ в области

существует дивергенция, вычисляемая по формуле
${\rm div}\, \bar a(m) = \left. {{{\partial p} \over {\partial x}}} \right|_m + \left. {{{\partial q} \over {\partial y}}} \right|_m + \left. {{{\partial r} \over {\partial z}}} \right|_m$

в любой точке $m\in t$ .

Тогда формула Остроградского-Гаусса в векторной форме имеет вид
$\color{red} \boxed{\color{blue} {\pi = {\mathop{{\iint}\mkern-24mu \bigcirc}\limits_{\omega}{(\bar a,\bar n^0 } )ds = \iiint\limits_t {\rm div}\, \bar a\, dv}}}$ .

1 2 3 4 5 6 7