Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем

Название	Определение. Числовая функция, заданная в каждой точке некоторой пространственной области, называется скалярным полем
Анкор	teoria_polya.docx
Дата	16.05.2018
Размер	0.77 Mb.
Формат файла
Имя файла	teoria_polya.docx
Тип	Документы #19304
страница	7 из 7

1 2 3 4 5 6 7

Доказательство.
Пусть $\bar a$ - соленоидальное поле, т.е. ${\rm div}\, \bar a =0$ . Рассмотрим некоторую векторную трубку, т.е часть часть пространства ограниченную векторными линиями, пересекающими некоторый заданный контур. Пересечем векторную трубку двумя поперечными сечениями

. Эти сечения вместе с боковой поверхностью

образуют замкнутую поверхность $\omega$ .
Т.к. поле соленоидально, то поток через замкнутую поверхность $\omega$ равен нулю: $\pi _\omega \left( {\bar a} \right) = \mathop{{\int\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\omega {\bar a \cdot \bar n\, ds } = \mathop{\int\!\!\!\int\!\!\!\int}\limits_t{{\rm div}\, \bar a\,dxdydz} =0$ . Поэтому получим:

$\mathop{{\int\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\omega {\bar a \cdot \bar nds} = \int\!\!\!\int\limits_{s_1 } {\bar a \cdot \bar nds} + \int\!\!\!\int\limits_{s_2 } {\bar a \cdot \bar nds} + \int\!\!\!\int\limits_{s_3 } {\bar a \cdot \bar nds} = 0$ .

На боковой поверхности

вектор $\bar a$ направлен по касательной к векторной линии, т.е. лежит в касательной плоскости. Поэтому $\bar a$ перпендикулярен вектору нормали к поверхности

, т.е. $\bar a\cdot \bar n =0$ , откуда $\int\!\!\!\int\limits_{s_3 } {\bar a \cdot \bar nds} = 0$ .
На поверхностях

направления нормалей берутся внешними к поверхностям. На поверхности

(см. рисунок) внешняя нормаль направлена в сторону, противоположному направлению векторных линий. Поэтому заменив ее на внутреннюю нормаль и, соответственно, поменяв ориентацию

, будем иметь:

$\iint\limits_{s_1 } {\bar a \cdot \bar nds} - \iint\limits_{s_2 } {\bar a \cdot \bar nds} = 0 \; \; \rightarrow \; \; \iint\limits_{s_1 } {\bar a \cdot \bar nds} = \iint\limits_{s_2 } {\bar a \cdot \bar nds}$ .

Поэтому поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и тоже значение. Иногда соленоидальное поле назвают трубчатым.
Это согласуется с физическими моделями соленоидальных полей, когда говорят, что поле несжимаемо, что через поперечное сечение трубки проходит одинаковое количество векторных линий. Т.е. векторные линии не возникают и не пропадают ни в какой точке поля. Они либо уходят в бесконечность, либо являются замкнутыми.

Пример 1. Поле напряженности $\overline h = 2j \cdot \cfrac{ - y\bar i + x\bar j}{x^2 + y^2 }$ магнитного поля, образованного электрическим током, текущему по бесконечному прямолинейному проводу, соленоидально всюду, кроме точек оси

, т.к. ${\rm div}\, \overline h = p\'_x + q\'_y = 2j \cdot \cfrac{2yx - 2xy}{\left( {x^2 + y^2 } \right)^2 } = 0$ .

Пример 2. Поле электрической напряженности точечного заряда $\overline e = e \cdot \cfrac{\bar r}{r^3 }$ также соленоидально всюду, за исключением начала координат.

Определение. Векторное поле $\bar a$ называется безвихревым в области $\omega$ , если в каждой ее точке $\red {\rm rot}\bar a = \bar 0$ .

Определение. Векторное поле $\bar a = p\bar i + q\bar j + r\bar k$ , заданное в области $\omega$ , называется потенциальным, если в этой области существует такая скалярная функция

, что вектор $\bar a$ можно представить в виде градиента этой функции:

$\color{red} \boxed{\color{blue} \bar a = {\rm grad}\, u}$ .

Функция

называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля $\bar a$ .

Из формулы $\bar a = {\rm grad}\, u$ следует, что

$p = {{\partial u} \over {\partial x}},\; \; q = {{\partial u} \over {\partial y}},\; \; r = {{\partial u} \over {\partial z}}$ и

,

т. е.

– есть полный дифференциал потенциала этого поля. Критерием потенциальности векторного поля $\bar a$ служит равенство

$\color{red} \boxed{\color{blue} {\rm rot}\, \bar a = \bar 0}$ .

Следовательно, для того чтобы ВП было потенциальным необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.
Выполнение условия ${\rm rot}\, \bar a = \bar 0$ в области

приводит не только к потенциальности ВП, но и к следующим результатам:
а) в области

существует потенциал

, который может быть определен с точностью до постоянной по формуле

$\color{red} \boxed{\color{blue}u(x,y,z) = \int\limits_{x_0 }^x {p(\chi,\, y_0 ,\, z_0 )} d\chi + \int\limits_{y_0 }^y {q(x,\, \gamma,\, z_0 )} d\gamma + \int\limits_{z_0 }^z {r(x,\, y,\, \zeta )d\zeta + c} }$

где $(x_0 ,y_0 ,z_0 ) \in t$ – любая фиксированная точка;

– переменная точка в области

;

– произвольная постоянная. Во втором интеграле формулы постоянен

, а в третьем

постоянные величины;

б) циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру $l \subset \omega$ равна нулю:

$c = \oint\limits_l {\bar a\cdot d\bar r = 0}$ .

Если же хотя бы в одной точке, внутренней по отношению к контуру

, поле $\bar a$ не определено, циркуляция по этому контуру может и не обратиться в нуль, хотя поле потенциально;

в) для любых двух точек

области

значение линейного интеграла векторного поля $\bar a$

$\int\limits_{ab} {\bar a\cdot d\bar r}$

не зависит от пути интегрирования в области

;

г) линейный интеграл этого поля вдоль любого контура $ab \subset t$ , соединяющего точки

равен разности значений потенциала

в конечной и начальной точках контура:

$\int\limits_{ab} {\bar a\cdot d\bar r = u(x_1 } ,y_1 ,z_1 ) - u(x_0 ,y_0 ,z_0 )$ .

Физический смысл этого результата: если $\bar a$ – силовое поле, то разность потенциалов между точками

равна работе, которую поле совершает при перемещении материальной точки из

.

Пример 3. Доказать, что векторное поле $\bar a= (x^2 - 2yz)\bar i + (y^2 - 2yz)\bar j + (z^2 - 2xy)\bar k$ является потенциальным. Найти его потенциал и вычислить линейный интеграл поля от точки

до точки

.
Решение.
Так как поле определено и дифференцируемо в любой точке пространства и ${\rm rot}\bar a = \bar 0$ (проверьте самостоятельно), то данное поле потенциально. Найдем потенциал поля, взяв в качестве точки

начало координат:
$u(x,y,z) = \int\limits_0^x {(\chi ^2 } - 2yz) \biggr|_{y = 0,\atop z = 0} } d\chi + \int\limits_0^y {(\gamma^2 } - xz) \biggr|_{z = 0} d\gamma + \int\limits_0^z {(x^2 } - 2xy)d\zeta + c =$
$= {{x^3 } \over 3} + {{y^3 } \over 3} + {{z^3 } \over 3} - 2xy + c$ .

Вычислим линейный интеграл :
$\int\limits_{ab} {\bar a\cdot d\bar r =u(x,y,z)\biggr|_a^b= {1 \over 3}} {({x^3 + y^3 + z^3 - 6xyz + 3c})} \biggr|_{a(1;1;1)}^{b( - 1;2; - 2)} = {{22} \over 3}$ .

Определение. Векторное поле $\bar a$ называется гармоническим, если оно одновременно является и потенциальным и соленоидальным, т.е. ${\rm rot}\, \bar a = \bar 0$ и ${\rm div}\, \bar a = 0$ .

Из определения следует, что гармоническое поле одновременно является полем безвихревым и без источников и стоков. Потенциал этого поля удовлетворяет условию: ${\rm div}\, {\rm grad} u = 0$ .

Пример 4. Выяснить тип векторного поля $\bar a = (y + z)\bar i + (x + z)\bar j + (x + y)\bar k$ .
Решение.
Найдем ротор векторного поля $\bar a$ :
${\rm rot}\, \bar a = \left| {\begin{array} {ccc}{{\bar i} & {\bar j} & {\bar k} \\ {{\partial \over {\partial x}}} & {{\partial \over {\partial y}}} & {{\partial \over {\partial z}}} \\ {y + z} & {x + z} & {x + y} \end{array} } } \right| = \left( {1 - 1} \right)\bar i - \left( {1 - 1} \right)\bar j + \left( {1 - 1} \right)\bar k = \bar 0$ .

Рассчитаем дивергенцию векторного поля $\bar a$ :
${\rm div}\, \bar a = {{\partial (y + z)} \over {\partial x}} + {{\partial (x + z)} \over {\partial y}} + {{\partial (x + y)} \over {\partial z}} = 0$
Следовательно, поле $\bar a$ – гармоническое.

Существует теорема Гельмгольца о разложении произвольного поля на две компоненты - потенциальную и соленоидальную.

Теорема. Если дивергенция и ротор векторного поля $\bar a$ определены в каждой точке области

пространства, то всюду в

функция может быть представлена в виде суммы безвихревого (потенуиального) поля $\bar p$ и соленоидального поля $\bar s$ :

$\bar a= \bar p +\bar s$ ,

где ${\rm rot}\, \bar p =\bar 0$ и ${\rm div}\, \bar s =0$ для всех точек области

.

Замечание. Для описания электромагнитных полей существуют система уравнений Максвелла, накопленных к середине XIX века на основе экспериментальных результатов.
1) ${\rm rot}\, \overline h = \bar j_{\cyr{pr}} + {{\partial \overline d} \over {\partial t}}$ , т.е. электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле.
2) ${\rm rot}\, \overline e = - {{\partial \overline b} \over {\partial t}}$ , т.е. изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.
3) ${\rm div}\, \overline d = \rho$ , т.е. электрический заряд является источником электрической индукции.
4) ${\rm div}\, \overline b = 0$ , т.е. магнитных зарядов не существует.

Вопрос. Поле $\bar a=(4x-3yz)\, \bar i+(4y-3xz)\, \bar j+(4z-3xy)\, \bar k$ является

Гармоническим

Недостаточно данных для ответа

Соленоидальным

Произвольным

Потенциальным

1 2 3 4 5 6 7