|
|
Математика. Определители. Свойства. Вычисление. Определитель или детерминант
23. Предел функции, свойства Раскрытие неопределённостей вида (бесконечность/бесконечность).
Свойства предела функции
1. Для того, чтобы число А было пределом f(x) при x->a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в виде f(x)=A+альфа(х), где альфа(х) – бесконечно малая.
2. Предел постоянной величины равен самой постоянной. Lim C, x->a = C.
3. Если f(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то предел lim f(x), x->a >=0 (lim f(x) x->a, <=0)
4. Если функции f1(x), f2(x) имеют пределы в точке а, то и их сумма, произведение и частное имеет пределы, причем lim (f1(x)+f2(x)), x->a=lim f1(x), x->a+lim f2(x), x->a, так же с произведением и частным
5. Если f(x) имеет предел в точке а, то lim (f(x))^n, x->a = (lim f(x), x->a)^n, где n – натуральное число
6. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Lim cf(x), x->a = cLim f(x), x->a.
7. Если для функций f(x), f1(x), f2(x) в некоторой окрестности в точке а выполняется неравенство f1(x)<=f(x)<=f2(x) и предел lim f1(x), x->a=lim f2(x), x->a=A, то lim f(x), x->a = A.
8. Lim c^x, x->б = бесконечности, если c>1 и 0, если 0
Разделить все на х в наивысшей степени, учитывая уменьшение степени в корне.
Lim(x->0) sin 5x/sin3x = [0/0]=lim(x->0) x sin5x/x sin3x = lim(x->0) sin5x/x*lim(x->0) x/sin3x=lim(x->0) 5sin5x/5x*lim 3sin3x/3x)=5/3
Lim(x-unl) (1+1/x)x=e;
1/x=a=>x=1/a, a->0
Lim(a-0) (1+a)1/2=e
Lim(x-0) (loga(1+x))/x = lim(x-0) 1/x*loga(1+x)=lim(x-0) loga(1+x)1/x=logalim(x-0)(1+x)1/x=logae
Lim(x-0) ln(1+x)/x=ln e=1
Lim(x-0) ax-1/x=|ax-1=t;ax=t+1;ln ax=ln(t+1)
Сравнение бесконечно малых функций
Пусть a(x,b(x) – бесконечно малые ф-ции при х->a
Тогда
1. Lim(x->a) a(x)/b(x)=0 => a(x) – бесконечно малая более высокого порядка, чем b(x)
2. Lim(x->a) a(x)/b(x) =c <>0=> a и b – бесконечно малые функции одного порядка
3. Lim(x->a) a(x)/b(x) = 1 => a u b – эквивалентные бесконечно малые функции
4. Lim(x->a) d(x)/bn(x) = c <>0 => a – бесконечно малая функция н-ного порядка относительно b(x)
Cos2x=1-2sin2x
Теорема: если б.м. а(х) эквивалентна а1(х) и b(x)
b1(x) и lim(x->a)a(x)/b(x) => lim(x->a)a1(x)/b1(x)
1. Sin kx
kx
2. Tg kx
kx
3. Arcsin kx
kx
4. Arctg kx
kx
5. Ekx-1
kx
6. Akx
kx ln a
7. Ln |1+kx|
kx
8. 1-cos kx
kx2/2
23. Предел функции, теоремы о пределах. Неопределённость вида 0/0.
Бесконечно большие и бесконечно малые.
Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству xa < имеет место неравенство f(x) > M.
limx a=
Функция ограниченная при x a.
Функция ограниченная при x .
Теорема. Если limx a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x a.
Бесконечно малые и их свойства. limx a (x)=0
Теорема. 1. Если f(x)=b+, где - б.м. при x a, то limx a f(x)=b и обратно, если limx a f(x)=b, то можно записать f(x)=b+(x).
Теорема. 2. Если limx a (x)=0 и (x) 0, то 1/ .
Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если u(x) z(x) v(x), и limx a u(x)=limx a v(x)=b, то limx a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").
Первый замечательный предел.
0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)
|
|
Второй замечательный предел.
Переменная величина
при n имеет предел, заключенный между 2 и 3.
В данной работе мы рассмотрим неопределенность вида  для функции  . Для нахождения предела функции мы применяем метод преобразования, метод замены и определение бесконечно малых величин.
Пусть требуется найти предел дроби
 (1)
где P(x) и Q(x) функции определенные в окрестности предельного аргумента a, но в самом предельном значении обращаются в ноль.
Теорема 1. Пусть число a для многочлена n-й степени P(x) = Pn(x) является k кратным решением, а для многочлена m-й степени Q(x) = Qn(x) является r кратным решением, тогда
 (2)
где Pn-k(a) и Qm-r(a) значения соответствующих многочленов Pn-k(x) и Qm-r(x) в точке x = a.
Доказательство. Так как, число a является решением многочленов Pn(x) и Qm(x), то их в любое время можно представить в виде:
Тогда
 (3)
Биномы (x - a)k и (x - a)r в окрестности точки x = a бесконечно малы, а их основания эквивалентные бесконечно малые.
Отсюда
Полагаясь на последнее равенство, можно из (3) предела получить формулу (2).
25. 1-ый Замечательный предел.
Первый замечательный предел:
|
|
|
Скачать 0.67 Mb.