Электроника. Организация эвм и систем однопроцессорные эвм

• Название: Организация эвм и систем однопроцессорные эвм
• Анкор: Электроника
• Дата: 14.12.2022
• Размер: 4.17 Mb.
• Имя файла: Book_1.doc
• Тип: Конспект; #845557
• страница: 9 из 18

2.2. Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления основание S = 2, т.е. используются всего два символа: 0 и 1. Двоичная система счисления проще десятичной. Однако двоичное изображение числа требует большего (для многоразрядного числа примерно в 3,3 раза) числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы создает большие удобства для проектирования ЭВМ, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Также достоинством двоичной системы счисления является простота двоичной арифметики.

В общем виде двоичное число выглядит следующим образом:
, где .
Вес каждого разряда в двоичной системе счисления кратен 2 или 1/2.

Пример.

Двоичное число – 101101₍₂₎.

Веса

,

т.е. .

Как и в десятичной, в двоичной системе счисления для отделения целой части от дробной используется точка. Значение веса разрядов справа от точки равно основанию двоичной системы (2), возведенному в отрицательную степень. Такие веса – это дроби вида: 1/2, 1/2², 1/2³, 1/2⁴, 1/2⁵ или 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Их можно выразить через десятичные дроби: 2^-1 = 0.5, 2^-2 = 0.25, 2^-3 = 0.125, 2^-4 = 0,0625.

В общем случае двоичное число имеет целую и дробную части, например 1101101.10111.

Каждая позиция, занятая двоичной цифрой, называется битом. Бит является наименьшей единицей информации в ЭВМ. Наименьшим значащим битом (МЗР) называют самый младший двоичный разряд, а самым старшим двоичным разрядом – наибольший значащий бит (СЗР). В двоичном числе эти биты имеют соответственно наименьший и наибольший вес. Обычно двоичное число записывают так, что старший значащий бит является крайним слева.

2.2.1. Преобразование двоичных чисел в десятичные

Для преобразования двоичных чисел в десятичные необходимо сложить десятичные веса всех разрядов двоичного числа, в которых содержатся единицы.
Пример.

Преобразовать целое двоичное число 11001100₍₂₎ в десятичное.

Преобразование вещественного двоичного числа 101.011₍₂₎ будет выглядеть следующим образом:


Если преобразуемое число большое, то операцию перевода удобнее делать отдельно для целой и дробной частей.

2.2.2. Преобразование десятичных чисел в двоичные

При работе с ЭВМ, особенно с микропроцессорами, очень часто приходится выполнять преобразование десятичных чисел в двоичные.

Для преобразования целого десятичного числа в двоичное необходимо разделить его на основание новой системы счисления (S = 2). Полученное частное снова делится на основание новой системы счисления, до тех пор пока частное, полученное в результате очередного деления, не будет меньше основания новой системы счисления. Последнее частное (являющееся старшим значащим разрядом) и все полученные остатки от деления составляют число в новой системе счисления.

Проиллюстрируем преобразование на примере.
Пример.

Перевести целое десятичное число 10₍₁₀₎ в двоичное число.

Если процедуру перевода выполняет человек, то последний шаг получения частного, равного нулю, никогда не делается. Если перевод выполняется ЭВМ, то он необходим. Таким образом, полный вариант преобразования 10₍₁₀₎ будет иметь следующий вид:

Пример.

Десятичное число 57₍₁₀₎ преобразовать в двоичное число.

Для перевода дробных чисел (или дробных частей вещественных чисел) требуется другая процедура преобразования. Рассмотрим ее на примере.

Пример.

Десятичное число 0.375₍₁₀₎ преобразовать в двоичное число.

1. 
   Умножим дробь на основание новой системы счисления S = 2: 2*0.375 = 0.75.
   
2. 
   Если результат умножения меньше единицы, то СЗР присваивают значение 0. Если больше единицы, то присваивают значение 1. Поскольку 0.75<1, то СЗР=0.
   
3. 
   Результат предыдущей операции вновь умножаем на основание новой системы счисления 2. Если бы он был больше единицы, то в этой операции умно­жения участвовала бы только его дробная часть. В данном случае: 2*0.75=1.5.
   
4. 
   Поскольку 1.5>1, то ближайшему разряду справа от СЗР присваивается значение один, а следующая операция умножения производится только над дробной частью числа 1.5, т.е. над числом 0.5: 2*0.5=1.
   
5. 
   Шаги описанной процедуры повторяются до тех пор, пока либо результат умножения не будет точно равен 1 (как в рассматриваемом примере), либо не будет достигнута требуемая точность.
   

Таким образом, 0.375₍₁₀₎ = 0.011₍₂₎.

Если в результате умножения на основание новой системы счисления S = 2 результат не равен единице, операцию останавливают при достижении необходимой точности, а целую часть результата последней операции умножения используют в качестве значения МЗР.
Пример.

Десятичное число 0.34375₍₁₀₎ преобразовать в двоичное число.

Таким образом, 0.34375₍₁₀₎ = 0.01011_(2).
Пример.

Десятичное число 0.3₍₁₀₎ преобразовать в двоичное число.

Далее будут следовать повторяющиеся группы операций и результатов, поэтому ограничимся восемью разрядами, т.е. 0.3₍₁₀₎ = 0.01001100₍₂₎.

Из рассмотренных выше примеров видно, что если десятичное число дробное, то его преобразование в двоичное должно выполняться отдельно над его целой и дробной частями.

Следует иметь в виду, что рассмотренные процедуры перевода целых и дробных чисел из десятичных в двоичные и обратно являются общими для перевода чисел в любых позиционных системах счисления (т.е. целое число делится на основание системы счисления, в которую число переводится, а правильная дробь умножается). Притом надо помнить, что при выполнении переводов чисел из одной системы счисления в другую все необходимые арифметические действия выполняются в той системе счисления, в которой записано переводимое число.

2.2.3. Двоично-десятичная система счисления

Эта система имеет основание S = 10, но каждая цифра изображается четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Обычно данная система счисления используется в ЭВМ при вводе и выводе информации. Однако в некоторых типах ЭВМ в АЛУ имеются специальные блоки десятичной арифметики, выполняющие операции над числами в двоично-десятичном коде. Это позволяет в ряде случаев существенно повышать производительность ЭВМ.

Например, в автоматизированной системе обработки данных чисел много, а вычислений мало. В этом случае операции, связанные с переводом чисел из одной системы в другую, существенно превысили бы время выполнения операций по обработке информации.

Перевод чисел из десятичной системы в двоично-десятичную весьма прост и заключается в замене каждой цифры двоичной тетрадой.
Пример.

Записать десятичное число 572.38₍₁₀₎ в двоично-десятичной системе счисления.

Обратный перевод также прост: необходимо двоично-десятичное число разбить на тетрады от точки влево (для целой части) и вправо (для дробной), дописать необходимое число незначащих нулей, а затем каждую тетраду записать в виде десятичной цифры.
Пример.

Записать двоично-десятичное число 10010.010101_(2-10) в десятичной системе счисления.


Перевод чисел из двоично-десятичной в двоичную систему осуществляется по общим правилам, описанным выше.