Основы надежности Основы надежности и диагностики и диагностики
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
1 Биноминальный закон Это распределение числа n появлений некоторого события A в m опытах. Если вероятность появления события A в одном опыте равна P, то вероятность появления n событий в m опытах: (1 ) n n n m n m m Q C Q Q − = − , (3.6) где n m C - число сочетаний из m по n. 30 ! !( )! n m m C n m n = − . (3.7) Свойства биноминального закона: а) математическое ожидание числа событий [ ] N M n m Q = = ⋅ ; б) среднее квадратическое отклонение числа событий (1 ) m P P σ = ⋅ − . (3.8) Если увеличивать m, то биноминальное распределение приблизится к нормальному: n T m = (3.9) с дисперсией 2 (1 ) Q Q D m σ − = = (3.10) 2 Закон Пуассона Распределение числа событий n за время τ. Это вероятность ( ) ( ) ! n n Q e n λτ λτ τ − = , (3.11) λ - интенсивность отказов. Свойства закона Пуассона: а) математическое ожидание числа событий от времени τ: [ ] M n λ τ = ⋅ ; (3.12) б) среднее квадратическое отклонение: σ λτ = , (3.13) [ ] M n D = . (3.14) Распределение Пуассона соответствует простейшему закону отказов (отсутствует закономерность между отказами, т.е. отказы независимы). Используется данное распределение для определения числа событий за время τ , т.е. количество отказов устройства за n-й промежуток времени. 3.3.2 Законы распределения для непрерывных величин К непрерывным случайным величинам могут быть отнесены наработка на отказ, наработка между двумя отказами, время восстановления, ресурс. В таблице 3.2 приведены законы распределения, получившие наибольшее применение в теории надежности. Условные обозначения: t – наработка до отказа – случайная, непрерывная, положительная величина; σ – среднеквадратическое отклонение; Т – средняя наработка на отказ; m, λ – параметры модели; Ф – нормированная функция Лапласа [4]. 31 Таблица 3.2 – Законы распределения сроков службы Закон ƒ (t) P(t) и F(t) 1 2 3 Нормальный (Гаусса) 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( σ π σ T t e t f − − = 0 ( ) t P t Ф T σ − = Логарифмический нормальный 2 1 2 1 2 ) ln (ln 1 2 1 ) ( σ π σ T t e t t f − − = − = 1 1 ln ln ) ( σ T t Ф t P Экспоненциальный t e t f λ λ − = ) ( T t t e e t P = = − λ ) ( Вейбулла 0 ( ) B t f t e λ λ − = 0 ( ) B t P t e λ − = t 1 T 1 T 2 0,5 P(t) 2 t f(t) T 2 T 1 2 1 σ 2 σ 1 <σ 2 σ 2 =0,5 σ 1 =0,1 t f(t) σ 2 σ 1 P(t) t t P(t) 2 1 1 f(t) λ 2 t λ λ 1 <λ 2t B>1 f(t) t B<1 B=1 t P(t) B>1 B<1 B=1 1 32 Продолжение таблицы 3.2 1 2 3 Релея 2 2 2 2 ( ) t c t f t e c − = 2 2 2 ( ) t c P t e − = Гамма-распределение T t m m e m Г T t t f − − = ) ( ) ( 1 1 ∫ ∞ = t dt t f t P ) ( ) ( Равномерное распределение 2 1 1 ( ) f t const T T = = − 1 2 1 ( ) T t P t T T − = − Рассмотрим основные числовые показатели и краткую характеристику каждого из них. 1 Нормальное распределение (распределение Гаусса) широко используется для решения задач вычисления надежности объектов, для которых типичен износ. Отказы объектов носят постепенный характер вследствие старения элементов. Плотность вероятности момента отказов 2 0 2 ( ) 2 1 ( ) 2 t T f t e σ σ π − − ⋅ = ⋅ Она зависит от двух параметров : среднего значения времени работы до отказа Т 0 и среднеквадратичного отклонения наработки на отказ σ Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму , симметричную относительно среднего значения Т 0 Вероятность безотказной работы 1 t P(t) f(t) t m=1 t P(t) m>1 m>1 m=1 f(t) t T 1 t f(t) T 2 P(t) 1 T 1 t T 2 33 0 ( ) ( ) t T P t Ф σ − = , (3.15) где Ф – табулированный интеграл Лапласа. Интенсивность отказов 2 0 2 ( ) 2 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) t T f t e t T P t Ф σ λ π σ σ − − ⋅ = = − − ⋅ ⋅ − . (3.16) Нормальная плотность распределения отлична от нуля при t < 0. Этот недостаток несущественен , если Т 0 >> σ При этом условии частью кривой распределения при t < 0 можно пренебречь Если это условие не выполняется , то использование нормального распределения приводит к погрешностям Часть кривой распределения при t < 0 отсекают Получают усеченное нормальное распределение Формулы к усеченному нормальному распределению следующие Вероятность безотказной работы : 0 0 ( ) ( ) ( ) T t Ф P t Т Ф σ σ − = . (3.17) Интенсивность отказов : 2 0 2 ( ) 2 0 ( ) 2 ( ) t T e t T t Ф σ λ π σ σ − − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ . (3.18) Среднее время безотказной работы : 2 0 2 2 0 0 0 2 ( ) T ус e T T T Ф σ σ π σ − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ . (3.19) 34 Таблица 3.3 – Значение функции Лапласа Ф(s) s Ф s Ф 0,0 0,5000 1,6 0,9452 0,1 0,5398 1,7 0,9553 0,2 0,5793 1,8 0,9641 0,3 0,6179 1,9 0,9713 0,4 0,6554 2,0 0,9772 0,5 0,6915 2,1 0,9821 0,6 0,7257 2,2 0,9861 0,7 0,7580 2,3 0,9893 0,8 0,7881 2,4 0,9917 0,9 0,8159 2,5 0,9938 1,0 0,8413 2,6 0,9952 1,1 0,8643 2,7 0,9964 1,2 0,8849 2,8 0,9973 1,3 0,9032 2,9 0,9981 1,4 0,9191 3,0 0,9986 1,5 0,9332 Если вероятность безотказной работы задана и требуется определить время t = T, при котором обеспечивается данное значение P(t), то пользуются таблицами квантилей нормального распределения (таблица 3.4). Таблица 3.4 – Квантили z нормального распределения P z P z 0,50 0,0000 0,80 0,8416 0,51 0,0250 0,81 0,8779 0,52 0,0501 0,82 0,9154 0,53 0,0753 0,83 0,9542 0,54 0,1004 0,84 0,9940 0,55 0,1257 0,85 1,0360 0,56 0,1510 0,86 1,0800 0,57 0,1764 0,87 1,1260 0,58 0,2019 0,88 1,1750 0,59 0,2275 0,89 1,2270 0,60 0,2533 0,90 1,2820 0,61 0,2793 0,91 1,3410 0,62 0,3055 0,92 1,4050 0,63 0,3319 0,93 1,4760 0,64 0,3585 0,94 1,5550 0,65 0,3853 0,95 1,6450 0,66 0,4125 0,96 1,7510 0,67 0,4399 0,97 1,8810 0,68 0,4677 0,98 2,0540 35 Продолжение таблицы 3.4 P z P z 0,69 0,4959 0,99 2,3260 0,70 0,5244 0,991 2,3660 0,71 0,5534 0,992 2,4090 0,72 0,5828 0,993 2,4570 0,73 0,6128 0,994 2,5120 0,74 0,6433 0,995 2,5760 0,75 0,6754 0,996 2,6520 0,76 0,7063 0,997 2,7480 0,77 0,7388 0,998 2,8780 0,78 0,7722 0,999 3,0900 0,79 0,8064 Нормальный закон рекомендуется применять при постепенных отказах, особенно тогда, когда начальное значение параметра имеет большую дисперсию, а его изменение во времени протекает достаточно стабильно. Интенсивность отказов при нормальном и усеченном нормальном распределениях резко возрастает с течением времени, что характерно для стареющих устройств. 2 Логарифмически нормальное распределение. Этому закону подчиняется случайная величина, логарифм которой распределен нормально. Логарифмически нормальное распределение является асимметричным и определяется двумя параметрами Т 0 и σ 0 . Основные зависимости – 2 0 2 0 (ln ln ) 2 0 1 ( ) 2 t T f t e t σ σ π − − = (3.20) и 0 0 ln ln ( ) T t P t Ф σ − = . (3.21) Числовые показатели логарифмически нормального распределения определяются по формулам : - математическое ожидание наработки до отказа ( ) 2 0 0 exp ln 0.5 m T T σ = − ; (3.22) - дисперсия 2 2 2 0 0 0 [exp(2ln )](exp 1) D T σ σ σ = = + − . (3.23) Логарифмически нормальный закон распределения может быть применен для описания случайного времени наработки (срока службы) до отказа во многих случаях, особенно в тех, когда дисперсия выходного параметра возрастает по мере старения машины. 36 3 Экспоненциальное распределение . Экспоненциальный закон является однопараметрическим, удобным для расчетов надежности, особенно для сложных расчлененных систем, и широко применяется при решении различных задач. Для этого закона используют формулы ( ) t f t e λ λ − = ⋅ , (3.24) ( ) t P t e λ − = , (3.25) где λ =1/T m – параметр распределения, определяющий интенсивность отказов; T m – средняя наработка до отказа. Экспоненциальное распределение хорошо описывает случай, когда вероятность отказа не зависит от длительности предыдущего использования изделия, т.е. когда возникают в основном внезапные, а не постепенные отказы. 4 Распределение Вейбулла. Согласно распределению Вейбулла, вероятность безотказной работы определяется по формуле 0 ( ) B t P t e λ − ⋅ = , (3.26) где λ 0 и В – параметры. Частота отказов 0 0 1 0 ( ) '( ) B B t t B f t P t B t e e λ λ λ λ − ⋅ − ⋅ − = − = ⋅ ⋅ = . (3.27) Интенсивность отказов 1 0 B B t λ λ − = ⋅ ⋅ . (3.28) Среднее время безотказной работы 1 0 0 0 1 ( ) (1 ) B T P t dt Г В λ ∞ − = = ⋅ + ∫ , (3.29) где ) В ( Г 1 1 + ⋅ – табулированная гамма-функция. 1 0 ( ) x t Г х t e dt ∞ − − = ⋅ ∫ Закону Вейбулла хорошо подчиняется распределение отказов в объектах, содержащих большое количество однотипных неремонтируемых элементов (полупроводниковых приборов, микромодулей и т. д.). Данное распределение является очень универсальным: при В = 1 данное распределение превращается в экспоненциальное; при В > 1 оно изменяет свою форму от близкой к нормальному распределению до асимметричной; при В < 1 кривая вероятности близка к гиперболе. Данное свойство позволяет соответствующим подбором параметров λ 0 и В обеспечить хорошее совпадение результатов опытных данных с аналитическими выражениями параметров надежности. 37 Поведение системы на участке приработки хорошо описывается законом распределения Вейбулла с параметром В < 1, а на участке старения В > 1. Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла при В = 1. 5 Распределение Релея. Это распределение получено из закона Вейбулла при m = 2, поэтому оно является однопараметрическим и асимметричным и удобно для описания распределения положительных случайных величин, хотя и обладает значительно меньшей универсальностью, чем предыдущее. Основные зависимости распределения Релея: 2 2 2 2 1 ( ) t С f t e С − = , (3.30) 2 2 2 ( ) t С P t e − = . (3.31) Значение параметра распределения С полностью определяет данный закон. 6 Гамма-распределение имеет два положительных параметра – λ и m. Если m целое число, это распределение иногда называют распределением Эрланга. В этом случае распределение Эрланга можно считать композицией из m независимых случайных величин, имеющих одинаковое экспоненциальное распределение с параметром λ . Основные зависимости гамма-распределения: 1 ( ) exp( ) ( ) m m t f t t Г m λ λ − ⋅ = − , (3.32) где 1 0 ( ) m x x Г m x e dx ∞ − − = = ⋅ ∫ . (3.33) Плотность гамма - распределения напоминает по форме кривой плотность распределения Вейбулла При этом m – параметр формы , а λ – параметр масштаба При m = 1 гамма - распределение превращается в экспоненциальное 7 Равномерное распределение. При данном распределении все события ( отказы ) совершаются за отрезок времени от t = T 1 до t = T 2 , и вероятность их появления одинакова для любых одинаковых промежутков времени внутри данного отрезка Поэтому 2 1 1 ( ) f t const T T = = − , (3.34) 1 2 1 ( ) T t P t T T − = − , (3.35) для 2 1 T t T ≤ ≤ 38 Равномерное распределение может заменить экспоненциальное при T 1 =0 и значениях P(t) > 0,9 (линеаризация экспоненты). В заключение следует отметить, что закон нормального распределения наиболее часто встречается в природе, а закон Вейбулла – охватывает практически все явления, т.к. при m = 1 – экспоненциальный закон, при m >1 – близок к нормальному, при m = 2 – распределение Релея. Основная задача при расчете показателей надежности заключается в том, чтобы получить такое распределение, которое с высокой степенью достоверности отражало бы события и процессы, приводящие к отказам изделия. 39 4 Методы расчета показателей надежности восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем. Надежность и эффективность систем автоматизации В теории надежности вопрос о расчете систем на надежность занимает одно из центральных мест. Именно эта проблема была первостепенной задачей исследования надежности. Расчет надежности систем предваряется анализом комплекса влияющих на нее факторов. Это сделано по следующим причинам. Во-первых, надежность любого класса закладывается при проектировании и конструировании, реализуется при изготовлении и расходуется при эксплуатации. И на каждом из этих этапов жизни объектов на них действуют свои специфические факторы. Во-вторых, на выбор метода расчета системы на надежность оказывает большое влияние вид и характер внешних и внутренних факторов и, что весьма важно, характер отказов элементов, подверженных влиянию этих факторов. 4.1 Факторы, влияющие на надежность объектов Надежность сложных систем зависит от разнообразных факторов, раздельное и комплексное изучение которых необходимо, поскольку без раскрытия физической природы отказов затруднительно выбрать наиболее подходящие направления работ по обеспечению и повышению надежности как отдельных видов оборудования, так и систем в целом [3]. Все множество факторов, влияющих на оборудование сложных систем, принято классифицировать по области их действия (рисунок 4.1). Рисунок 4.1 – Классификация факторов по области действия В зависимости от вида оборудования классификация факторов, влияющих на надежность, может несколько видоизменяться. Например, для Факторы, влияющие на надежность Конструктивные Производственные Эксплуатационные Объективные Субъективные 40 такого специфического оборудования, как АСУ, классификацию факторов можно представить в виде, приведенном на рисунке 4.2. Рисунок 4.2 – Факторы, влияющие на надежность оборудования АСУ К конструктивным факторам относятся: – выбор структурной и функциональной схем, способов резервирования и контроля; – определение материалов и комплектующих элементов; – выбор режимов и условий работы элементов в системе; – назначение требований к допускам на технологические характеристики элементов; – выбор установок и защит на технологические параметры установки; – учет психофизиологических особенностей операторов; – разработка эксплутационной документации и др. При проектировании и конструировании объекта закладывается его надежность. К производственным факторам (технологическим факторам произ- водства, монтажа и наладки оборудования систем) относятся следующие: – входной контроль качества материалов и элементов, получаемых от предприятий-поставщиков (смежников); – организация технологического процесса изготовления оборудования; – контроль качества продукции на всех этапах технологического процесса (точность выполнения заданной формы и размеров, обеспечение прочностных, электрических, магнитных и других характеристик объектов, обеспечение требуемой шероховатости обработанной поверхности, прочности соединений и т.п.); – квалификация изготовителей; Факторы, влияющие на надежность АСУ Аппаратурные (технические) Неаппаратурные К он ст р ук ти в н ы е (с хе м н ы е) П р ои зв од ст в ен н ы е М ат ем ат и ч ес к ое и п р огр ам м н ое об ес п еч ен и е В л и я н и е ч ел ов ек а- оп ер ат ор а В л и я н и е ус л ов и й р аб от ы 41 – обеспечение качества, контроль монтажа и наладки оборудования систем; – условия работы на производстве и др. При производстве (изготовлении) объекта обеспечивается его на- дежность. Эксплуатационные факторы. К эксплуатационным относятся факторы, которые появляются вне сферы проектирования и производства объектов. По характеру воздействия на объект эксплуатационные факторы можно подразделить на объективные (воздействия внешней среды) и субъективные (воздействие обслуживающего персонала). Объективные факторы, оказывающие влияние на надежность объектов, можно классифицировать на две группы: внешние и внутренние факторы. К внешним факторам относятся воздействия, обусловленные внешней средой и условиями применения. Это, прежде всего, климатические факторы (низкие и высокие температуры, влажность, солнечная радиация), механические воздействия (вибрация, удары), электромагнитное и радиационное излучения, агрессивная среда и др. Внутренние факторы связаны с изменением параметров объектов и конструкционных материалов: старением, износом, коррозией. Эти изменения происходят с течением времени под влиянием внешних факторов. Необходимо отметить, что в действительности все перечисленные факторы влияют на надежность объекта в комплексе. Из климатических факторов наиболее существенно на объекты влияют солнечная радиация, низкие и высокие температуры воздуха, влажность воздуха, скорость ветра, туманы, метели, пыльные бури и т.п. Изменения свойств материалов также зависят от интенсивности и продолжительности воздействия перечисленных факторов и их наиболее неблагоприятного сочетания. Воздействие климатических факторов вызывает определенного вида отказы, интенсифицирует потоки отказов, возникающих в результате случайных перегрузок, усталостных явлений в металле, действия сил трения, несовершенства структурной схемы объекта и др. Так, насосно-компрессорное оборудование находится в основном в закрытых помещениях, и поэтому действие на него климатических факторов и атмосферных явлений ограничено. Однако большая часть технологического оборудования предприятий добычи, транспорта и переработки нефти эксплуатируется на открытом воздухе и в негерметизированных помещениях и подвержено воздействию климатических факторов и атмосферных явлений. Для такого вида оборудования влияние климатических факторов показано на рисунке 4.3. Меры защиты от неблагоприятного воздействия климатических факторов, атмосферных влияний и других объективных факторов должны приниматься на этапах проектирования и конструирования объектов. 42 Рисунок 4.3 – Схема комплексного влияния основных климатических факторов и атмосферных явлений на надежность объектов Под субъективными эксплуатационными факторами, влияющими на надежность объектов, понимается: – квалификация обслуживающего персонала; Низкие температуры воздуха Высокая влажность воздуха и влага Солнечная радиация Высокие температуры воздуха Низкая влажность воздуха Коррозия металлов Снижения вязкости стали Ухудшение свойств смазочных материалов Старение полимерных материалов Снижение несущей способности элемента Ускорение изнашивания деталей Старение и охрупчивание резины Снижение электричес- кой прочности изоляции Внезапные отказы Износовые отказы Отказы кабелей, прорезиненных элементов Отказы электрообо- рудования Пыльные бури Туман Жидкие осадки Иней Снижение коэффицин- та трения Атмосферные явления Климатические факторы 43 – обученность обслуживающего персонала; – организация и качество технического обслуживания и регламентных работ; – методы и способы организации эксплуатации объектов; – организация сбора и анализа сведений о надежности объектов. Особо важное значение влияние субъективных факторов имеет для надежности сложных систем, таких как «человек—техника». Рассмотрим кратко это на примере такой человеко-машинной системы, как АСУ. Многочисленными исследованиями установлено, что от 25 до 40% отказов АСУ вызывается дефектами обслуживания: нарушением инструкций при эксплуатации, ошибками в восприятии сигналов, запаздыванием и ошибками в действиях оператора и т.д. Ориентировочное представление о влиянии квалификации обслуживающего персонала на надежность АСУ дают следующие цифры, полученные для системы, состоящей из 200 000 элементов. Если при обслуживании системы слабо обученным составом среднюю наработку на отказ принять за 0,74 усл. ед., то при обслуживании той же системы составом средней квалификации показатель надежности поднимается до 10 усл. ед. (увеличение около 14 раз), а при обслуживании составом высокой квалификации (техниками и инженерами) показатель надежности улучшается до 70 усл. ед. (увеличение около 100 раз). Повышение эксплуатационной надежности, обусловленной влиянием на нее человека, осуществляется в двух направлениях: 1) приспособления техники к психофизиологическим особенностям человека-оператора в процессе ее проектирования (рациональное расположение приборов, кнопок, рычагов, стрелок, индикаторов, выбор освещенности, ограничение шума, учет требований к быстроте реакции человека, к объему его памяти и т.д.); 2) приспособления человека к техническим требованиям машины (отбор операторов, тренировка и обучение их выполнению операций обслуживания). |