Основы надежности Основы надежности и диагностики и диагностики
 Скачать 2.54 Mb.
|
|
4.3.2 Методы расчета надежности резервированных систем 4.3.2.1 Классификация методов резервирования систем Достигнутый в настоящее время уровень надежности элементной базы электроники, радиотехники, механических элементов, электротехники характеризуется значениями интенсивности отказов λ=10 -6 ...10 -7 1/ч. В ближайшем будущем следует ожидать повышения этого уровня до λ=10 -8 1/ч. Это даст возможность поднять наработку на отказ системы, состоящей из N = 10 6 элементов, до значения 100 ч, что явно недостаточно. Необходимая надежность сложных систем может быть достигнута только при использовании различных видов резервирования [1]. Резервирование – это одно из основных средств обеспечения заданного уровня надежности (особенно безотказности) объекта при недостаточно надежных элементах. В соответствии с ГОСТ 27.002-89 [8] резервированием называется применение дополнительных средств и (или) возможностей с целью со- хранения работоспособного состояния объекта при отказе одного или нескольких его элементов. Таким образом, резервирование – это метод повышения надежности объекта путем введения избыточности. В свою очередь, избыточность — это дополнительные средства и (или) возможности, 53 сверхминимально необходимые для выполнения объектом заданных функций. Задачей введения избыточности является обеспечение нормального функционирования объекта после возникновения отказа в его элементах. Существуют разнообразные методы резервирования. Их целесообразно разделять по следующим признакам (рисунок 4.7): вид резервирования, способ соединения элементов, кратность резервирования, способ включения резерва, режим работы резерва, восстанавливаемость резерва. Рисунок 4.7 – Классификация методов резервирования Структурное резервирование, иногда называемое аппаратурным (эле- ментным, схемным), предусматривает применение резервных элементов структуры объекта. Суть структурного резервирования заключается в том, что в минимально необходимый вариант объекта вводятся дополнительные элементы. Элементы резервированной системы носят следующие названия. Основной элемент — элемент структуры объекта, необходимый для выполнения объектом требуемых функций при отсутствии отказов его элементов. Резервный элемент — элемент объекта, предназначенный для выполнения функций основного элемента в случае отказа последнего. Определение основного элемента не связано с понятием минимальности основной структуры объекта, поскольку элемент, являющийся основным в одних режимах эксплуатации, может служить резервным в других условиях. Резервируемый элемент — основной элемент, на случай отказа, которого в объекте предусмотрен резервный элемент. На рисунках 4.8 – 4.10 приведены схемы соединения основных и резервных элементов, так называемым параллельным соединением элементов. Системой с параллельным соединением элементов называется такая система, которая отказывает только в случае отказа всех ее элементов [7]. 54 а) б) а – принципиальная схема, б – расчетная схема Рисунок 4.8 – Пример параллельного соединения элементов а) б) а – принципиальная схема, б – расчетная схема Рисунок 4.9 – Пример параллельно-последовательного соединения элементов СУХТП а) б) а - функциональная схема, б – расчетная схема Рисунок 4.10 – Пример мостового соединения элементов Временное резервирование связано с использованием резервов времени. При этом предполагается, что на выполнение объектом необходимой работы отводится время, заведомо большее минимально необходимого. Резервы времени могут создаваться за счет повышения производительности объекта, инерционности его элементов и т.д. Информационное резервирование — это резервирование с применением избыточности информации. Примерами информационного резервирования являются многократная передача одного и того же сообщения по каналу связи; применение при передаче информации по каналам связи различных кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки, которые появляются в результате 55 отказов аппаратуры и влияния помех; введение избыточных информационных символов при обработке, передаче и отображении информации. Избыток информации позволяет в той или иной мере компенсировать искажения передаваемой информации или устранять их. Функциональное резервирование — резервирование, при котором за- данная функция может выполняться различными способами и техническими средствами. Например, функция передачи информации в АСУ может выполняться с использованием радиоканалов, телеграфа, телефона и других средств связи. Поэтому обычные усредненные показатели надежности (средняя наработка на отказ, вероятность безотказной работы и т.п.) становятся малоинформативными и недостаточно пригодными для использования в данном случае. Наиболее подходящие показатели для оценки функциональной надежности: вероятность выполнения данной функции, среднее время выполнения функции, коэффициент готовности для выполнения данной функции. Нагрузочное резервирование — это резервирование с применением нагрузочных резервов. Нагрузочное резервирование, прежде всего, заключается в обеспечении оптимальных запасов способности элементов выдерживать действующие на них нагрузки. При других способах нагрузочного резервирования возможно введение дополнительных защитных или разгружающих элементов. Перечисленные виды резервирования могут быть применены либо к системе в целом, либо к отдельным элементам системы или к их группам. В первом случае резервирование называется общим, во втором – раздельным. Сочетание различных видов резервирования в одном и том же объекте называется смешанным. По способу включения резервных элементов различают постоянное, динамическое, резервирование замещением, скользящее и мажоритарное резервирование. Постоянное резервирование — это резервирование без перестройки структуры объекта при возникновении отказа его элемента. Для постоянного резервировании существенно, что в случае отказа основного элемента не требуется специальных устройств, вводящих в действие резервный элемент, а также отсутствует перерыв в работе (рисунки 4.11 – 4.13). Постоянное резервирование в простейшем случае представляет собой параллельное соединение элементов без переключающих устройств [3]. Рисунок 4.11 – Общее резервирование с постоянно включенным резервом Рисунок 4.12 - Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом 56 Рисунок 4.13 – Смешанное резервирование с постоянно включенным резервом Динамическое резервирование — это резервирование с перестройкой структуры объекта при возникновении отказа его элемента. Динамическое резервирование имеет ряд разновидностей. Резервирование замещением — это динамическое резервирование, при котором функции основного элемента передаются резервному только после отказа основного элемента. Включение резерва замещением (рисунки 4.14, 4.15) обладает следующими преимуществами: – не нарушает режима работы резерва; – сохраняет в большей степени надежность резервных элементов, так как при работе основных элементов они находятся в нерабочем состоянии; – позволяет использовать резервный элемент на несколько основных элементов. Существенным недостатком резервирования замещением является необходимость наличия переключающих устройств. При раздельном ре- зервировании число переключающих устройств равно числу основных элементов, что может сильно понизить надежность всей системы. Поэтому резервировать замещением выгодно крупные узлы или всю систему, а во всех других случаях — при высокой надежности переключающих устройств. Скользящее резервирование — это резервирование замещением, при котором группа основных элементов объекта резервируется одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может заменить любой отказавший основной элемент в данной группе (рисунок 4.16) [3]. Рисунок 4.14 – Общее резервирование с включением резерва замещением Рисунок 4.15 - Раздельное резервирование с включением резерва 57 а) б) Рисунок 4.16 – Скользящее резервирование однотипными (а) и неоднотипными (б) элементами В системах управления нашло широкое применение мажоритарное резервирование (с использованием «голосования»). Этот способ основан на применении дополнительного элемента, называемого мажоритарным, или логическим, элементом. Логический элемент позволяет вести сравнение сигналов, поступающих от элементов, выполняющих одну и ту же функцию. Если результаты совпадают, то они передаются на выход устройства [3]. На рисунке 4.17 изображено резервирование по принципу «2 из 3», т.е. любые два совпадающих результата из трех считаются истинными и проходят на выход устройства. По такому принципу построены многие схемы подсистем систем управления и защиты (СУЗ). Можно применять соотношения «3 из 5» и др. Главное достоинство этого метода – обеспечение повышения надежности при любых видах отказов элементов и повышение достоверности информационно-логических объектов. Рисунок 4.17 – Мажоритарное резервирование Степень избыточности характеризуется кратностью резервирования. Кратность резерва — это отношение числа резервных элементов объекта к числу резервируемых ими основных элементов, выраженное несокращенной дробью. Резервирование с целой кратностью имеет место, когда один основной элемент резервируется одним или более резервными элементами. Резервирование с дробной кратностью – это такое резервирование, когда два и более однотипных элементов резервируются одним и более резервными элементами. Наиболее распространенным вариантом резервирования с дробной кратностью является такой, когда число основных элементов превышает число резервных. Резервирование, кратность которого равна единице, называется дублированием. В зависимости от режима работы резерва различают нагруженный, облегченный и ненагруженный резервы. Нагруженный резерв – это резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в 58 режиме основного элемента. При этом принимается, что элементы нагруженного резерва имеют тот же уровень безотказности, долговечности и сохраняемости, что и резервируемые ими основные элементы объекта. Облегченный резерв – это резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной. Элементы облегченного резерва обладают, как правило, более высоким уровнем безотказности, долговечности и сохраняемости, чем основные элементы. Ненагруженный резерв — это резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента. Для элементов ненагруженного резерва условно полагают, что они никогда не отказывают и не достигают предельного состояния. Резервирование, при котором работоспособность любого одного или нескольких резервных элементов в случае возникновения отказов подлежит восстановлению при эксплуатации, называется резервированием с восстановлением, в противном случае имеет место резервирование без вос- становления. Восстанавливаемость резерва обеспечивается при наличии контроля работоспособности элементов. При наличии резервирования это особенно важно, так как в этом случае число скрытых отказов может быть больше, чем при отсутствии резервирования. В идеальном варианте отказ любого элемента объекта обнаруживается без задержки, а отказавший элемент незамедлительно заменяется или ремонтируется. 4.3.2.2 Расчет надежности при общем и раздельном резервировании систем Общее резервирование с постоянно включенным резервом (см. рисунок 4.11). Допущения: 1) отказы элементов системы описываются простейшим потоком отказов; 2) резервируемые и резервные элементы равнонадежны. Задано: 1) число основных элементов в системе N; 2) ВБР j-го элемента; 3) кратность резервирования. Требуется определить характеристики надежности резервированной системы. ВБР системы с последовательной схемой соединения элементов без резервирования при независимых отказах равна [14] 0 1 ( ) ( ) N i i P t P t = = ∏ , (4.14) а вероятность отказа 0 1 ( ) 1 ( ) N i i Q t P t = = − ∏ . (4.15) 59 Для экспоненциального закона надежности ( ) , i t i P t e λ − ⋅ = (4.16) 0 1 ( ) N t i i P t e −Λ = = ∏ (4.17) 4.3.2.3 Расчет надежности при резервировании систем с дробной кратностью Будем рассматривать случай резервирования системы с дробной кратностью и нагруженным резервом (рисунок 4.18) [3]. Рисунок 4.18 – Резервирование с дробной кратностью при нагруженном резерве При резервировании с дробной кратностью нормальная работа резервированного соединения возможна при условии, если число исправных элементов не меньше необходимого для нормальной работы. Кратность резервирования определяется из соотношения ( ) / , m Z N N = − (4.18) где Z – общее число элементов расчета резервированного соединения; N – число элементов, необходимое для нормальной работы соединения; Z-N — число резервных элементов. Пусть резервированная система состоит из N основных и К резервных элементов (N> К). При отказе одного из основных элементов, на его место без перерыва в работе включается один из резервных (резервные элементы также могут отказывать). Таких замещений, не нарушающих работу резервированной системы в целом, не может быть больше К. Средняя наработка до отказа такой резервированной системы в предположении абсолютно надежных переключающих устройств и равнонадежных элементов с интенсивностью отказов каждого λравна 1 1 1 1 ( ). 1 СРс T N N N K λ = + + + + − (4.19) 60 Безотказная работа системы в течение времени t будет иметь место, если за это время осуществится хотя бы одна из гипотез: Н о — все элементы исправны; H 1 — один элемент отказал, (К + N — 1) элементов исправны; (H i - i) элементов отказали, (К+N-i) элементов исправны; (Н к - К) элементов отказали, N элементов исправны. Число различных вариантов равно ( )! !( )! i N K N K С i K N i + + = + − (4.20) Тогда ВБР системы можно определить из выражения [ ] [ ] 0 ( ) 1 ( ) ( ) , K i N K i i c N K i P t C P t P t + − + = = − ∑ (4.21) где P(t) — вероятность безотказной работы элемента при условии, что все элементы равнонадежны. Для мажоритарного резервирования по схеме «2 из 3» вероятность безотказной работы системы можно подсчитать по формуле 2 3 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) , c М P t P t P t P t = − (4.22) где P(t) — ВБР одного канала (элемента, подсистемы); P M (t) — ВБР мажоритарного органа. 4.4 Расчет показателей надежности восстанавливаемых систем Изучение вероятностных процессов занимает большое место в анализе и обеспечении надежности сложных систем, так как их функционирование представляет собой реализацию вероятностных процессов. Вероятностным (или случайным) процессом называется случайная функция, аргументом которой является время. Чтобы охарактеризовать вероятностный процесс, необходимо указать тип процесса и его числовые характеристики. Существует большое количество различных типов вероятностных процессов. Поскольку функционирование сложных систем, как правило, сопровождается простейшими потоками отказов и восстановлений (простейшим называется поток, обладающий свойством ординарности, стационарности и отсутствием последствий), наиболее подходящим для описания таких процессов является Марковский процесс. Кроме того, время работы до отказа и время восстановления имеют экспоненциальный характер. Марковский процесс – процесс, у которого для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от ее состояния в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Характеристику процесса удобно сопровождать графическим изображением (графом состояний и переходов). С 61 его помощью изображаются процессы перехода системы из одного состояния в другое в случайный момент времени. Граф переходов может быть представлен либо матрицей переходов, либо системой уравнений. Одним из основных (инженерных) методов является метод, основанный на использовании понятия графов переходов между состояниями [3]. Этот метод распадается на два вида: 1) граф интенсивности перехода. Основное условие использования этого метода – это то, что потоки событий простейшие, т.е. отказы и восстановления описываются экспоненциальными законами; 2) метод переходных матриц вероятностей. В принципе, может быть любой закон распределения вероятности, но инженерное использование его проблематично. Рассмотрим функционирование восстанавливаемой системы при следующих предположениях: 1) поток отказов носит пуассоновский характер и интенсивность отказов равна λ; 2) время восстановления системы является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону ( ) 1 µ t в Р t е − = − , где µ - интенсивность восстановления; 3) система может находиться в двух состояниях: состоянии 1 (работоспособности) и 2 (ремонта). Поведение системы с точки зрения работоспособности опишем графом переходов. На рисунке 4.19 кружки с номером означают состояние системы, а стрелки (дуги) направление переходов системы и вероятности этих переходов за бесконечно малый интервал времени. Вероятность переходов в силу сделанных предложений и свойства показательности закона надежности не зависят от времени. Введем вероятности нахождения системы в состоянии 1 и 2 как Р 1 (t) и Р 2 (t). Очевидно, что Р 1 (t) + Р 2 (t)=1 для любого момента времени. Рисунок 4.19 – Граф переходов объекта Рассмотрим поведение системы в интервале времени [0,t+∆t]. Тогда система в момент t+∆t будет находиться в состоянии 1, если она в момент времени t находилась в этом состоянии, и за время ∆t не наблюдалось отказов, а также если система в момент времени t находилась в состоянии 2, и за время ∆t был закончен ее ремонт. Тогда по формуле полной вероятности 62 1 1 2 ( ) ( ) ( )(1 ) t µ t Р t t Р t е Р t е λ − ∆ − ∆ + ∆ = + − Так как е -λ∆t ≈1- λ∆t, е -µ∆t ≈ µ∆t, то 1 1 2 ( ) ( )(1 ) ( ) Р t t Р t t Р t µ t λ + ∆ = − ∆ + ∆ Аналогичные рассуждения приводят к уравнению 2 2 1 ( ) ( )(1 ) ( ) Р t t Р t µ t Р t t λ + ∆ = − ∆ + ∆ Предельный переход при ∆ t → 0 дают дифференциальные уравнения , описывающие поведение системы во времени : 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). dP t P t P t dt dP t P t P t dt λ µ λ µ = − + = − (4.23) Вышеприведенное уравнение получило название дифференциальное уравнение Колмогорова - Чепмена Произведем переход к изображению по Лапласу и определим Р 1 (s). Решение уравнения можно получить , используя преобразования Лапласа Основные соотношения между значениями f(t) и f(s) приведены ниже : f(t) f(s)= ∫ ∞ − 0 ) ( ) exp( dt t f st 1 1/s e ±at (1/s±a) f(t) F(s) ) ( ' t f sF(s) ) (t f n ) (s F s n n t 1 / ! + n s n [ ] 1 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1; ( ) ( ) ( ) 0; ( ) ( ) / ( ) . sP s P s P s sP s P s P s P s s s s λ µ λ µ µ λ µ + − = − + = = + + + Для того чтобы привести выражение Р 1 (t) к табличному , умножим и разделим правую часть на постоянную величину ( λ + µ ). В результате получим 63 1 ( ) 1 ( )( ) 1 1 ( ) , ( )( ) ( ) t s P s s s s s P t e λ µ µ λ µ µ λ µ λ µ λ µ λ µ µ λ λ µ λ µ − + + + = = ⋅ ⋅ + + + + + + = + + + (4.24) Выражение справа состоит из постоянной и убывающей с течением времени частей. Постоянную часть называют стационарным коэффициентом готовности. Г К µ λ µ = + - стационарный коэффициент готовности. 1 ( ) ( ) Г К t P t ≈ при ∞ → t На рисунке 4.20 представлена функция готовности Рисунок 4.20 – Функция готовности Граф переходов системы с учетом восстановления в общем случае изображен на рисунке 4.21. Рисунок 4.21 – Граф переходов системы с восстановлением Для получения системы дифференциальных уравнений непосредственно по виду графа переходов используют следующие правила : 1 Для каждого из возможных состояний системы записывается уравнение , в левой части которого - dt dP i , а справа - столько слагаемых , сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием 2 Если стрелка направлена в данное состояние , то перед слагаемым ставится плюс , если стрелка направлена из данного состояния - минус 64 3 Каждое из слагаемых будет равно произведению интенсивности перехода из данного состояния (либо в данное состояние) на вероятности состояния, из которого выходит стрелка. 4 Вероятность нулевого состояния определяется выражением 0 01 1; 01 01 12 10 21 10 ; 1 10 1 1 n n n n P λ λ λ λ λ µ µ µ µ µ − − = + + + + 5 Вероятность каждого из состояний определяется выражением 01 12 1; 1 ; 1 21 10 i i i i i i P P λ λ λ µ µ µ − − − = ⋅ (4.25) Расчет надежности, связанный с решением дифференциальных уравнений, достаточно трудоемок. Поэтому разработаны приемы, упрощающие расчет. Исследования характеристик надежности, формируемых под воз- действием потока отказов и восстановления, позволяют сделать вывод о том, что при существующих соотношениях λи µ сравнительно быстро наступает период установившегося режима, когда вероятности состояний объекта становятся постоянными, т.е. dP j (t)/dt=0. Тогда система дифференциальных уравнений (4.23) становится системой алгебраических уравнений: 1 2 1 2 1 2 0 ( ) ( ), 0 ( ) ( ), ( ) ( ) 1. P t P t P t P t P t P t λ µ λ µ = − + = − + = (4.26) Решив систему (4.26), получаем стационарный коэффициент го- товности 1 г Р К µ λ µ = = + Для облегчения расчетов можно пользоваться следующим правилом. Если состояния заданы графом, имеющим вид (рисунок 4.21), тогда расчет надежности производится в следующей последовательности. Записать уравнения состояний для каждого состояния по правилу: в левой части написать нуль, а правой части — столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием (каждой стрелке должно соответствовать слагаемое, представляющее собой произведение интен- сивности перехода на вероятность того состояния, из которого происходит переход; выходящей стрелке соответствует минус, входящей - плюс). 65 Вероятности каждого из состояний определяют выражениями 12 2 1 21 23 12 3 1 32 21 ( 1) ( 2)( 1) 12 1 ( 1) ( 1)( 2) 21 ; ; k k k k k k k k k P P P P P P λ µ λ λ µ µ λ λ λ µ µ µ − − − − − − = ⋅ = ⋅ = ⋅ (4.27) Запись для вероятности k- го состояния в (4.27) следует читать так : вероятность k- го состояния равна произведению коэффициента на вероятность первого состояния Р 1 Коэффициент равен дроби , числитель которой – произведение интенсивностей отказов , стоящих над стрелками , идущими вправо до k- го состояния , а знаменатель – произведение интенсивностей восстановлений , стоящих над стрелками , идущими влево от k- го состояния до первого |