_ТАУ Конспект лекций для заочников. Основные понятия теории автоматических систем
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
2.4 Характеристическое уравнение звена Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции ( ) W p (2.6) приравненный к нулю ( ) 0 A p . Корни характеристического уравнения называются полюсами передаточной функции. А корни полинома числителя передаточной функции ( ) 0 B p , так и называются нулями передаточной функции. Применительно к рассматриваемому звену (2.5) характеристическое уравнение имеет вид 0 ) 1 ( ) ( 1 2 2 2 p T p T p A Характеристическое уравнение применяется для исследования динамических свойств звена. 2.5 Весовая функция звена Введем понятие единичного импульса ) ( t , называемого дельта-функцией. График дельта- функции ) ( t представлен на рис.2.3. 4 1 x 0 t ( ) 0; 0 (0) 1; 0 t t или t ( ) t Рис.2.3. Дельта-функция Весовая функция ) ( t – это реакция динамического звена на единичный импульс ) ( t Поскольку, согласно выражению передаточной функции (2.5), выходная величина ) ( ) ( ) ( 1 2 p x p W p x , а изображение дельта-функции равно 1 ) t ( ) ( 1 L t x , то весовая функция ) (t определяется из передаточной функции ( ) W p посредством обратного преобразования Лапласа следующим образом ) ( ) ( ) ( 1 2 p W L t t x График весовой функции рассматриваемого звена (2.5) представлен на рис.2.4. 0 ( ) t t Рис.2.4. Весовая функция Соответственно, передаточная функция ) ( p W будет изображением по Лапласу весовой функции ( ) t ) ( ) ( t L p W 2.6 Переходная функция звена Вначале введем понятие единичного ступенчатого воздействия 1( ) t . Графическое изображение единичного ступенчатого воздействия представлено на рис.2.4. ) ( 1 t x t 0 0 ; 1 ) ( 1 0 ; 0 ) ( 1 t t t t ) ( 1 t Рис.2.4. Единичное ступенчатое воздействие Переходной функцией ) ( t h называется реакция звена на единичное ступенчатое воздействие ) ( 1 t . Пример графика переходной функции ) ( t h для звена (2.5) представлен на рис.2.5. 5 0 ( ) h t t Рис.2.5. Переходная функция Поскольку 2 1 ( ) ( ) ( ) x p W p x p , а изображение единичного ступенчатого воздействия равно p L x 1 ) t ( 1 1 , то переходная функция определяется из передаточной функции посредством обратного преобразования Лапласа следующим образом 1 2 1 ( ) ( ) ( ) x t h t L W p p 2.7.Частотные характеристики звена Частотными характеристиками называются реакции звена на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме. Все звенья САУ являются в первом приближении фильтрами нижних частот (ФНЧ). Предположим, что на вход звена (2.5) подается синусоидальное воздействие 1 ( ) sin x t t , тогда выходом этого звена будет сигнал вида 2 sin( ) x A t . Соответствующие графики представлены на рис.2.6, где А – усиление амплитуды входного сигнала динамическим звеном, а – сдвиг по фазе. 1 x t 0 1 2 x t 0 A Рис.2.6. Входное и выходное синусоидальные воздействия Чтобы определить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазо-частотную характеристику (ФЧХ) динамического звена достаточно в передаточной функции звена сделать формальную замену p на j в соответствующей степени. Тогда комплексный коэффициент передачи, или амплитудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ) звена можно получить из передаточной функции ) ( p W по формуле ( ) ( ) p j W p W j Например , для звена (2.5) АФЧХ будет иметь вид 1 1 2 2 2 1 ( 1) ( ) ( ( ) 1) k j W j T j T j (2.7) Модуль АФЧХ ) ( j W A – и есть АЧХ, аргумент АФЧХ ) ( arg j W является фазой, или ФЧХ. Пример графиков частотных характеристик рассматриваемого звена представлен на рис.2.7. Графическое изображение АФЧХ называется годографом. Все графики частотных 6 характеристик строятся при изменении частоты от нуля до бесконечности 0 . А график годографа строится в прямоугольных координатах ( ) Re( ) Im( ) W j j j j . Полярные и прямоугольные координаты связаны между собой посредством формулы ( ) j Ae W j 0 A 0 Re Im A 1 k 0 Рис.2.7. Графики частотных характеристик звена АЧХ, ФЧХ и АФЧХ Частотные характеристики могут быть получены экспериментальным путем и имеют большое значение для исследования частотных свойств динамического звена. 2.8 Логарифмические частотные характеристики звена Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики в логарифмическом масштабе называются соответственно логарифмической амплтудно-частотной (ЛАЧХ)и логарифмической фазочастотной (ЛФХЧ)характеристиками ). ( arg ) ( ) ( lg 20 ) ( lg 20 ) ( j W j W A Lm На графиках ЛАЧХ и ЛАЧХ частота откладывается в логарифмическом масштабе и имеет размерность 1 cek , а логарифм амплитуды измеряется в децибелах дб . ЛАЧХ и ЛФЧХ используются для синтеза корректирующих звеньев САУ. Пример графиков логарифмических характеристик приведен на рис.2.8. lg A 0 0 2 Рис.2.8. ЛАЧХ и ЛФЧХ 1 Лекция 3 ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ Типы звеньев САУ различаются по виду передаточных функций ) ( p W или виду дифференциальных уравнений. Основные типы звеньев делятся на три группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие. 3.1. Позиционные звенья САУ Позиционными звеньями называются такие звенья, в передаточной функции которых ) ( ) ( ) ( p A p кB p W полиномы числителя и знаменателя ) ( p A и ) ( p B имеют свободные члены равнее 1. Эти звенья обладают статической характеристикой 1 1 2 x k x (при 0 p ), определяющей их состояние равновесия, называемое свойством позиционности. 3.1.1. Идеальное усилительное звено Идеальное усилительное звено также называется безинерционным. Уравнение и передаточная функция звена 1 1 2 x k x , 2 1 1 ( ) ( ) ( ) x p W p k x p . (3.1) Амплитудно-фазовая частотная характеристика: 0 ) ( , ) ( , ) ( 1 1 k A k j W Графики и амплитудно-фазочастотных характеристик безинерционного звена представлены на рис.3.1. Re Im 1 k A 0 0 1 k 0 Рис.3.1. АЧХ, ФЧХ и АФЧХ безинерционного звена Примерами безинерционных звеньев могут служить жесткие механические и гидравлические передачи, электронный усилитель на низких частотах, гироскоп и некоторые измерительные датчики. 3.1.2. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка Уравнение и передаточная функция звена ) 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) 1 ( 1 1 1 2 1 1 2 1 p T k p x p x p W x k x p T . (3.2) Амплитудно-фазовая частотная характеристика , 1 ) ( , ) 1 ( ) ( 2 2 1 1 1 1 T k A j T k j W 1 1 1 2 2 2 2 1 1 ( ) , ( ) Re( ) Im( ), Re( ) , Im( ) 1 1 arctgT W j j k T T T Графики амплитудно-фазочастотных характеристик представлены на рис.3.2. 2 0 A 1 k 1 2 k 1 1 T 0 ( ) t 2 Re Im A 1 k 0 Рис.3.2. Амплитудно-фазочастотные характеристики АЧХ, ФЧХ и АФЧХ Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика имеет вид 2 2 1 1 ( ) 20 lg ( ) 20 lg 20 lg 1 Lm A k T Эта характеристика имеет асимптоты при 1 lg 20 ) ( : 0 k Lm при lg 20 lg 20 ) ( : 1 1 T k Lm Асимптота 1 lg 20 ) ( T Lm имеет наклон -20дб/дек, а 1 lg 20 ) ( k Lm является горизонталью. Пересекаются они в точке 1 1 T . Сама ЛАХ (обозначении на рис.3.3 пунктиром) близка к этим асимптотам. Поэтому в инженерных расчетах разницей пренебрегают и считают, что логарифмическая амплитудная частотная характеристика апериодического звена имеет вид ломаной, состоящей из двух прямых. Lm 0 0 2 1 20 lg k 1 1 T c 20 дб дек Рис.3.3. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена Из анализа графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что чем меньше постоянная времени 1 T , тем больший диапазон частот ( c 0 ) входного сигнала апериодическое звено «пропускает» с усилением. Так как частота среза равна 1 1 T k с 3 Аналитическое выражение переходной функции ( ) h t , согласно решению уравнения апериодического звена (3.2), при ) ( 1 1 t x и нулевых начальных условиях 2 (0) 0 x имеет вид 0 ), 1 ( ) ( 1 1 1 t e k t h t T . (3.3) А аналитическое выражение весовой функции, когда на вход звена подается дельта- функция ) ( 1 t x , можно определить, продифференцировав выражение переходной функции 0 , ) ( 1 1 1 1 t e T k dt dh t t T . (3.4) Обе эти характеристики изображены на рис.3.4 и рис.3.5 соответственно. Постоянная времени 1 T характеризует степень инерционности апериодического звена, то есть длительность переходного процесса. 0 ( ) h t t 1 T 1 k 0 ( ) t t 1 k 1 T Рис.3.4. Переходная функция Рис.3.5. Весовая функция апериодического звена Примером апериодического звена являются (в первом приближении) электродвигатели, генераторы, электрические печи, а также исполнительные механизмы, электронные и магнитные усилители, проходные четырехполюсники, содержащие индуктивности и емкости. Например, LR - цепь, показанная на рис.3.6. L R i x u x 2 1 Рис.3.6. Принципиальная схема LR -цепи 3.1.3. Апериодическое звено второго порядка Уравнение и передаточная функция имеют вид ) 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 p T p T k p W p x k p x p T p T . (3.5) Причем предполагается, что 2 1 2T T , так как при этом корни характеристического уравнения будут вещественными. В этом случае передаточную функцию второго порядка можно записать в виде ) 1 )( 1 ( ) ( 4 3 1 p T p T k p W , где 4 3 , T T – постоянные времени. Амплитудно-фазовая характеристика звена представлена на рис.3.7. и имеет аналитическое выражение 4 1 3 4 ( ) ( 1)( 1) k W j T j T j , 1 2 2 2 2 3 4 ( ) ( 1)( 1) k A T T , 3 4 ( ) arctgT arctgT 3 4 1 T T 0 A 1 k 0 Re Im A 1 k 0 Рис.3.7. Амплитудно-фазочастотные характеристики Логарифмическая амплитудная характеристика звена ) 1 ( lg 20 ) 1 ( lg 20 lg 20 ) ( 2 2 4 2 2 3 1 T T k Lm Lm 0 1 20 lg k c 3 3 1 T 4 4 1 T Рис.3.8. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена второго порядка В граничном случае, когда 2 1 2T T и 4 3 T T , отмеченные на оси абсцисс характерные точки совпадут в одну. Аналитическое выражение переходной и весовой функций имеют вид 0 ), ( ) ( ), 1 ( ) ( 4 3 4 3 1 1 4 3 1 1 4 3 4 1 4 3 3 1 t e e T T k t e T T T e T T T k t h t T t T t T t T Переходная и весовая функции аналогичны характеристикам апериодического звена второго порядка и имеют вид, представленный на рис.3.9. и рис.3.10. соответственно. 5 0 ( ) h t t 1 k 0 ( ) t t 1 k Рис.3.9. Переходная функция Рис.3.10. Весовая функция Примерами апериодических звеньев второго порядка являются: двигатели постоянного тока при учете инерционности цепи якоря; электромашинный усилитель; двойная цепочка RC пр. 1 Лекция 4 (продолжение) 3.1.4. Колебательное звено Уравнение и передаточная функция звена ) 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 p T p T k p W p x k p x p T p T Причем предполагается, что 2 1 2T T , так что корни характеристического уравнения – комплексносопряженые. Общепринятая запись передаточной функции колебательного звена в виде 1 2 ) ( 2 2 1 Tp p T k p W , где 2 1 2 2 , T T T T . Коэффициент демпфирования принимает значения в пределах 1 0 , так как при 1 звено становится апериодическим звеном второго порядка. АФЧХ колебательного звена при различных значениях коэффициента демпфирования представлена на рис.3.11. 0 A 1 k 0.5 0.2 0 1 T 0 0.5 0.2 0 2 Re Im 1 k 0 A 1 T Рис.3.11. АЧХ, ФЧХ, и АФЧХ колебательного звена Аналитическое выражение АФЧХ колебательного звена имеет вид 1 2 2 ( ) , ( ) 2 ( ) 1 k W j T j T j 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) 1 (1 ) 4 k T A arctg T T T 2 Амплитудная характеристика уменьшается с увеличением , то есть 1 ) ( k A , если 1 707 , 0 . При 707 , 0 появляется «горб» на характеристике ) ( A , который уходит в бесконечность при 0 . Поэтому величина коэффициента демпфирования 2 1 2T T называется параметром затухания. Из этого выражения видна роль постоянных времени 1 T и 2 T в уравнении звена. Постоянная времени 2 T «раскачивает » колебания, а 1 T «демпфирует» их. Графики ЛАЧХ колебательного звена представлены на рис.3.12. Lm 0 1 20 lg k c 2 0.5 0.2 0 0.5 0.2 0 1 T Рис.3.12. ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена Аналитическое выражение ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена имеет вид 2 2 2 2 2 2 1 4 ) 1 ( lg 20 lg 20 ) ( T T k Lm , 2 2 1 2 ) ( T T arctg При значениях 1 5 0 характеристика близка к ломаной кривой, а если 5 , 0 , то получается «горб». Переходная и весовая характеристики колебательного звена изображены на рис.3.13. и соответственно имеют вид 0 ( ) h t t 1 k 0.5 0.2 0 0 ( ) t t Рис.3.13. Переходная и весовая функции колебательного звена 3 Аналитическое выражение переходная и весовая функции колебательного звена 2 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) 1 (cos sin , 1 1 ( ) sin , 0. 1 t T h t k e t t T T k t t t T T При коэффициенте демпфирования 0 колебания становятся незатухающими, а при коэффициенте демпфирования 1 колебания вырождаются в апериодический процесс. Примеры колебательных звеньев изображены на рис.3.14. L R C 1 1 u x 2 2 u x C m Рис.3.14. Примеры колебательных звеньев Если коэффициент демпфирования 0 , такое звено называется консервативным, это частный случай колебательного звена. |