_ТАУ Конспект лекций для заочников. Основные понятия теории автоматических систем

• Название: Основные понятия теории автоматических систем
• Дата: 03.03.2023
• Размер: 0.81 Mb.
• Имя файла: _ТАУ Конспект лекций для заочников.pdf
• Тип: Лекция; #967461
• страница: 3 из 9

3.2. Типы интегрирующих и дифференцирующих звеньев
3.2.1. Идеальное интегрирующее звено
Отличительной особенностью динамических звеньев интегрирующего типа является наличие
«чистого»
p в знаменателе передаточной функции, например
( )
( )
,
1
( )
kB p
W p
p A p



  .
Уравнение и передаточная функция идеального интегрирующего звена


1 1
2
dt
x
k
x
или
1 1
2
x
k
px

,
p
k
p
W
1
)
(

Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена представлена на рис.3.15.
Re
Im
A

0


0

0 2


0

Рис.3.15. АФЧХ идеального интегрирующего звена

4
Аналитическое выражение АФЧХ идеального интегрирующего звена имеет вид


j
k
j
W
1
)
(


,


1
)
(
k
A

,
2
)
(





Логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики показаны на рис.3.16.

1


1 1
lg
20 k
с

m
L
дек
дб
20

2


Рис.3.16. ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального интегрирующего звена
Аналитическое выражение ЛАЧХ и ЛФЧХ имеет вид


lg
20
lg
20
)
(
1


k
Lm
,
2
)
(





Переходная и весовая функции, изображенные на рис.3.17.
t
0
)
(t
h
t
0 1
k
)
(t

Рис.3.17. Переходная и весовая функции
Аналитическое выражение переходная и весовая функции имеют вид
,
)
(
1
t
k
t
h

,
)
(
1
k
t


0

t
Пример идеального интегрирующего звена показан на рис.3.18.
R
C
1 1
u
x

2 2
u
x

Рис.3.18. Интегрирующее звено

5
Также в первом приближении идеальными интегрирующими звеньями являются все двигатели, как электрические, так и гидравлические и пневматические, если выходной величиной является угол поворота выходного вала.
3.2.2. Идеальное дифференцирующее звено
Отличительной особенностью динамических звеньев дифференцирующего типа является наличие «чистого»
p в числителе передаточной функции, например
( )
( )
,
1
( )
kp B p
W p
A p



 
Уравнение и передаточная функция идеального дифференцирующего звена имеет вид
2 1
1 1
,
( )
x
k px
W p
k p


Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена представлена на рис.3.19.
Re
Im

0


0


0 2

A
0
Рис.3.19. АФЧХ идеального дифференцирующего звена
Аналитическое выражение АФЧХ идеального дифференцирующего звена
1 1
(
)
,
,
2
W j
jk
A k



 



Логарифмическая амплитудная и фазовая частотные характеристики показаны на рис.3.20.

1


1 1
lg
20 k
m
L
дек
дб
20 2

Рис.3.20. ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена
Аналитическое выражение ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена имеет вид
1
( ) 20lg
20lg ,
2
Lm
k


 



Переходная и весовая функции

6
),
(
)
(
1
t
k
t
h


,
)
(
)
(
1
dt
t
d
k
t



0

t
Примерами идеального дифференцирующего звена являются тахогенератор и
RC
-цепь с усилителем. Примеры идеального дифференцирующего звена показаны на рис.3.21.
R
2 2
u
x

C
1 1
u
x

2 2
u
x



1
x
Рис.3.21. Примеры идеального дифференцирующего звена
3.2.3. Звенья с модулированным сигналом
Звенья с модулированным сигналом (на несущей переменного тока) отличаются тем, что сигнал, характеризующий передачу воздействия в цепи регулирования
)
(
1
t
U
, является огибающей несущих колебаний
)
(
1
t
u
, имеющих заданную сравнительно большую частоту
0

, рис.3.22. Такой вид имеет, например, передача сигналов в цепях на переменном токе.
1
u
2
u
t
0 1
u
0

1
U
Рис.3.22. Звенья с модулированным сигналом
Для получения частотной характеристики такого звена нужно выходной сигнал
)
(
1
t
U
изменять по синусоидальному закону с некоторой частотой
 и с единичной амплитудой. Тогда входная величина будет
1 1
0 0
( ) cos sin cos
u
U t
t
t
t





или


1 0
0 1
sin(
)
sin(
) .
2
u
t
t



  
 
Соответственно на выходе получим зависимость амплитуды A сигнала
2
U
от частоты, различную при различных передаточных функциях. Например, чтобы получить аналог обычного апериодического звена, рис.3.23 слева, надо схему звена на переменном токе составить так, чтобы его амплитудная частотная характеристика имела вид, показанный на рис.3.23 справа, где обозначено



0



7
A

0
A

0

Рис.3.23. Амплитудная частотная характеристика
Такой подход является основой для получения аналогов различных типов звеньев на переменном токе.

1
Лекция 5
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
4.1. Передаточная функция и характеристики разомкнутой цепи звеньев
Системы автоматического управления (САУ) как правило, являются замкнутыми системами, но при проектировании и анализе качества процесса управления часто возникает необходимость рассмотрения разомкнутой цепи звеньев, которая затем замыкается. Предварительно рассмотрим различные способы соединения динамических звеньев между собой.
4.1.1. Цепь из последовательно соединенных звеньев
Структурная схема последовательного соединения представлена на рис.4.1.
вх
x
1
x
2
x
1
n
x

вых
x
1
( )
W p
2
( )
W p
( )
n
W p

Рис.4.1. Структурная схема последовательного соединения звеньев
Предположим, что все передаточные функции, входящие в рассматриваемое соединение, известны
1 2
1 2
2 1
( -1)
( )
( )
( )
( )
;
( )
;
;
( )
( )
( )
( )
bыx
bx
n
x
p
x p
x p
W p
W p
W p
x
p
x p
x
p




Если перемножить между собой все левые части передаточных функций и все правые части, то получится передаточная функция последовательной цепи звеньев
1 2
1
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
i
i
W p
W p W p
W p
W p





(4.1)
Передаточная функция разомкнутой цепи последовательно соединенных звеньев равна
произведению передаточных функций всех звеньев.
4.1.2. Цепь из параллельно соединенных звеньев
Структурная схема параллельного соединения представлена на рис.4.2.
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
)
( p
W
n
вых
x


1
x
2
x
n
x
Рис.4.2. Структурная схема параллельного соединения звеньев
Если известны все передаточные функции звеньев
( )
( )
;
1,
( )
i
i
bx
x p
W p
i
n
x
p

 
, то выходной сигнал цепи
1
( )
n
bыx
i
i
x
p
x



, следовательно, передаточная функция параллельно соединенных звеньев имеет вид

2 1
( )
( )
( )
( )
n
bыx
i
i
bx
x
p
W p
W p
x
p




(4.2)
Передаточная функция разомкнутой цепи параллельно соединенных звеньев равна сумме
передаточных функций всех звеньев.
4.1.3. Цепи с местной обратной связью
Структурная схема цепи с местной обратной связью (ОС) приведена на рис.4.3.
)
( p
W
ос
x
)
( p
W
ос
вх
x
вых
x
1
x
Рис.4.3. Структурная схема цепи с местной ОС
На рис.4.3. знаками «
 » обозначается знак сигнала, поступающего из цепи обратной связи.
При отрицательной ОС (ООС)
1
( )
( )
( )
bx
oc
x t
x t
x t


, а при положительной ОС (ПОС)
1
( )
( )
( )
bx
oc
x t
x t
x t


. Составим систему уравнений, описывающую динамическое поведение звена с
ОС


1 1
( )
( )
( ),
( )
( )
( ),
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) .
bx
oc
oc
oc
bыx
bыx
bx
oc
bыx
x p
x
p
x
p
x
p
W
p x
p
x
p
W p x p
W p x
p
W
p x
p











(4.3)
Следовательно, передаточная функция цепи с ОС будет иметь вид
( )
( )
( )
( )
1
( ) ( )
bыx
з
bx
oc
x
p
W p
W p
x
p
W
p W p



(4.4)
Передаточная функция цепи с местной ОС равна отношению передаточной функции
прямой цепи
)
( p
W
к выражению


1
( ) ( )
oc
W
p W p

, причем, знак «+» соответствует цепи с ООС,
а знак «–» соответствует ПОС.
Если обратная связь представляет собой пропорциональное звено, то такая ОС называется
жесткой обратной связью (ЖОС).
Если обратная связь содержит звенья дифференцирующего типа с передаточными функциями
( )
W p
Tp

или
( )
( )
( )
pkB p
W p
A p

и т.п., то такая обратная связь называется гибкой ОС
(ГОС) или дифференцирующей ОС.
Если обратная связь содержит звенья интегрирующего типа с передаточными функциями вида
( )
( )
,
1
( )
n
kB p
W p
n
p A p

  , то такая обратная связь называется интегрирующей ОС.
4.1.4. Общий коэффициент усиления разомкнутой цепи
Статический режим работы характеризуется коэффициентом усиления. Чтобы определить коэффициент усиления необходимо в передаточной функции цепи положить
0

p
Общий коэффициент усиления последовательного соединения равен произведению
коэффициентов усиления всех последовательно соединенных звеньев

3





n
i
i
n
i
k
k
1
,
1
,
, где
i
k – коэффициент усиления отдельного звена.
Коэффициент усиления параллельного соединения равен сумме коэффициентов всех
параллельно соединенных звеньев





n
i
i
n
i
k
k
1
,
1
,
Коэффициент усиления цепи с местной ОС равен отношению коэффициента усиления
k
прямой цепи к выражению


k
k
oc

1
k
k
k
k
oc


1
з
4.1.5. Частотные характеристики цепи звеньев
Рассмотрим получение частотных характеристик на примере, из которого ясен общий метод.
Предположим, что задана передаточная функция разомкнутой цепи в виде
)
1 2
)(
1
(
)
1
(
)
(
2 2
2 2
1 1





T
p
T
p
T
p
p
k
p
W


, (4.5) причем
6 0


(при таком значении коэффициента демпфирования можно будет не учитывать
«горба» АЧХ колебательного звена).
Амплитудная и фазовая частые характеристики имеют вид


2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
4
)
1
(
)
1
(
)
1
(







T
T
T
k
A





,
2 2
2 2
1 1
1 2
2








T
T
arctg
arctgT
arctg






Их можно изобразить графически, а по ним – построить и АФЧХ, рис.4.4.
Re
Im
A
A

0


0


0

0 2



2 3


Рис.4.4. АЧХ, ФЧХ и АФЧХ

4
Асимптотическую логарифмическую амплитудную характеристику можно строить непосредственно по заданной передаточной функции. Для этого надо помнить, что, согласно характеристикам типовых звеньев, каждому сомножителю типа
)
1
(

Tp
в знаменателе соответствует точка излома характеристики при
T
1


с последующим наклоном 20 b дek


, а каждому сомножителю такого же типа в числителе соответствует точка излома при
T
1


с последующим наклоном
20 b дek


. Сомножителю же типа
)
1 2
(
2 2
2 2

 T
p
T

в знаменателе соответствует излом с наклоном 40 b дek


, если
1 5
0



. При
5 0


нужно добавочно строить
«горб» и вычислять превышение H .
Таким образом, пронумеровав по порядку все сомножители передаточной функции



 

 









5 2
2 2
2 4
1 3
2 1
1
)
1 2
(
)
1
(
)
1
(
)
(





T
p
T
p
T
p
p
k
p
W


для каждого из них получим характеристики, показанные на рис.4.5. и обозначенные соответствующими цифрами.

1 1
lg
20 k
m
L
1

1 2
дек
дб
20

3
дек
дб
20

1 1
T
4
дек
дб
20

2 1
T
5
дек
дб
40

Рис.4.5. ЛАЧХ звеньев
Простое сложение их дает искомую логарифмическую характеристику данной разомкнутой цепи звеньев, показанную на рис.4.6. Из рис.4.5. и рис.4.6. видно, что можно стоить непосредственно суммарную характеристику
)
(

Lm
по передаточной функции
)
( p
W
, не изображая отдельных частей характеристики, то есть легко можно обойтись без рис.4.5. Частоты в точках изломов
,...)
1
,
1
(
1 1
T

называются сопрягающими.
При более сложных формах передаточных функции
)
( p
W
, например, при наличии внутренних обратных связей, построение ЛАЧХ усложняется. Однако часто можно и сложные формы передаточных функций
)
( p
W
приводить к аналитическому виду, разложив на множители многочлены числителя и знаменателя.

5

1 1
lg
20 k
m
L

1
дек
дб
20

1 1
T
дек
дб
20

2 1
T
дек
дб
60


c

1 2


2 3





0
Рис.4.6. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой цепи
Для любой разомкнутой цепи звеньев, как и для отдельного звена, зная её передаточную
функцию, можно определить аналитическое выражение переходной функции и весовой функции.

1
Лекция 6
4.2. Структурные преобразования
Для удобства расчетов автоматических систем бывает необходимо преобразовывать структурную схему системы к какому-либо желаемому виду. Например, для построения ЛАЧХ удобно, чтобы разомкнутая часть САУ состояла из цепи последовательно соединенных звеньев.
Рассмотрим некоторые правила простейшего преобразования структурных схем, пользуясь которыми можно производить эквивалентные преобразования структурных схем к желаемому виду.
1. Можно использовать любую из трех формул (4.1), (4.2), (4.4) для разных случаев соединения звеньев. Пусть, например, задана структурная схема цепи звеньев представленная на рис.4.7.
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
)
( p
W
з
)
(
4
p
W
)
(
5
p
W
)
(
6
p
W
)
( p
W
oc
)
(
7
p
W
вых
x
Рис.4.7. Разомкнутая часть САУ
Используя формулы (4.1), (4.2), (4.4) её можно преобразовать к цепи последовательных звеньев. Такая структурная схема представлена на рис.4.8.
вх
x
)
(
1
p
W
вых
x
)
(
2
p
W
)
(
8
p
W
)
(
5
p
W
)
(
9
p
W
)
(
7
p
W
Рис.4.8. Преобразованная структурная схема разомкнутой части САУ
Где
)
(
)
(
1
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
6 6
9 4
3 8
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W
oc




Общая передаточная функция всей цепи звеньев будет иметь вид
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
7 9
5 8
2 1
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W

2. Можно переносить внешнее воздействие вперед или назад по цепи таким образом, чтобы не менялась передача сигнала на выход этой цепи. Например, если внешнее воздействие
f приложено, как показано на рис.4.9,
а), то его можно перенести по цепи вперед, добавив передаточную функцию тех звеньев, через которые сделан перенос
)
(
2
p
W
, рис.4.9,
в).
При переносе внешнего воздействия
f по цепи назад следует добавлять передаточную функцию, обратную передаточной функции звеньев, через которые сделан перенос
,
)
(
1 1
p
W
рис.4.9,
с).

2
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
вых
x
f
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
вых
x
)
(
2
p
W
f
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
вых
x
)
(
1 1
p
W
f
Рис.4.9. Перенос точки приложения сигнала
f
3.
Последовательно соединенные звенья можно, согласно с формулой (4.1), менять
местами без изменения общей передаточной функции цепи.
4.
Можно производить
перенос звена параллельно контура вперед или назад по цепи с соответствующими добавлениями. На рис.4.10,
a) приведен пример переноса звена
)
(
3
p
W
параллельно контура вперед (рис.4.10,
в)) и назад (рис.4.10,с)) по цепи.
Причем при параллельном переносе звена
вперед по цепи, необходимо добавить передаточную функцию, обратную передаточной функции звеньев, через которые был сделан перенос
)
(
1 2
p
W
. А при параллельном переносе звена
назад по цепи, необходимо добавить передаточную функцию тех звеньев, через которые был сделан перенос
1
( ).
W p
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
1
вых
x
)
(
3
p
W
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
2
вых
x
)
(
1 2
p
W
)
(
3
p
W
1
вых
x
2
вых
x
вх
x
)
(
1
p
W
)
(
2
p
W
)
(
3
p
W
1
вых
x
2
вых
x
)
(
1
p
W
Рис.4.10. Перенос звена параллельно контура
Руководствуясь правилами п.4. можно
переносить место включения цепи обратной связи
)
(
oc
p
W
вперед или назад параллельно контура. Пример приведен на рис.4.11,
а), (рис.4.11,в) – перенос вперед, рис.4.11,
с) – перенос назад).

3
По аналогии с рассмотренными правилами, можно производить преобразование любых структурных схем.
вх
x
)
(
1
p
W
вых
x
)
(
2
p
W
)
(
3
p
W
)
(
4
p
W
)
( p
W
oc
вх
x
)
(
1
p
W
вых
x
)
(
2
p
W
)
(
3
p
W
)
(
4
p
W
)
( p
W
oc
)
(
1 4
p
W
вх
x
)
(
1
p
W
вых
x
)
(
2
p
W
)
(
3
p
W
)
(
4
p
W
)
( p
W
oc
)
(
3
p
W
Рис.4.11. Перенос места включения цепи
)
(
oc
p
W
Рассмотрим пример получения общей передаточной функции сложной разомкнутой цепи с использованием структурных преобразований.
Структурная схема цепи приведена на рис.4.12.
1
W
2
W
3
W
7
W
8
W
4
W
5
W
6
W
вх
x
вых
x
f
Рис.4.12. Структурная схема сложной разомкнутой цепи
Первый шаг преобразования показан на рис.4.13., где согласно правилам п.4. и п.5., имеем
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
8 4
10 3
6 9
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W
p
W


, и, кроме того, по правилу п.2. сделан перенос назад внешнего воздействия
f .

4 1
W
2
W
7
W
5
W
вх
x
вых
x
f
1 1 W
3
W
4
W
9
W
10
W
Рис.4.13. Промежуточное преобразование структурной схемы
Второй шаг преобразования изображен на рис.4.14., где согласно правилу п.1. получим
1 2
3 1
2 3
11 2
3 10 2
3 4
8 3
4 6
12 4
9 3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
1
( )
( )
( )
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
W p W p W p
W p W p W p
W p
W p W p W p
W p W p W p W p
W p W p
W p
W p
W p
W p
W p








11
W
12
W
7
W
5
W
вх
x
вых
x
f
1 1 W
Рис.4.14. Второе преобразование
Наконец, на основании схемы рис.4.14. находим окончательно общее выражение передаточной функции всей разомкнутой цепи по каждому из двух входных воздействий отдельно


11 12 5
7 11 11 12 5
1 7
11
( )
( )
( )
( )
( )
,
( )
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 1
( )
( )
âû õ
x
âõ
âû õ
f
x
p
W p W p W p
W p
x
p
W p W p
x
p
W p W p W p
W p
f p
W p
W p W p






Аналогично этому примеру можно производить структурные преобразования, приводя к желаемым простым видам любые сложные структуры самых различных систем.

5