_ТАУ Конспект лекций для заочников. Основные понятия теории автоматических систем
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Лекция 13 9. ЦИФРОВЫЕ САУ 9.1.Особенности динамики систем управления непрерывными динамическими объектами с цифровыми регуляторами В теории автоматического управления системы с цифровой реализацией законов управления называют цифровыми или цифроаналоговыми системами. В таких системах роль цифрового регулятора (ЦР) выполняет устройство цифровой обработки сигналов (ЦОС), работающее в реальном времени. Объектом управления может быть любой динамический объект, процессы в котором (физические, химические и пр.) являются непрерывными функциями времени и могут быть описаны в общем случае нелинейными дифференциальными уравнениями. Процесс реализации управляющего алгоритма в ЦР состоит в последовательном выполнении ряда арифметических и логических операций по заданной программе. Каждая такая операция выполняется за конечное время, т.е. алгоритм управления в процессоре ЦОС (ПЦОС) выполняется за конечный интервал времени . Преобразование непрерывных величин в коды и кодов в непрерывные величины в устройствах АЦП и ЦАП также осуществляется за конечные интервалы времени ÀÖÏ и ÖÀÏ (циклы преобразования). Но поскольку ЦР обычно реализует несколько алгоритмов, т.е. обслуживает несколько каналов системы управления, то к очередной реализации первого алгоритма он может приступить лишь спустя промежуток времени T ,где ÀÖÏ ÖÀÏ ÀËÃ На рис.9.1. изображена простейшая временная диаграмма работы цифрового регулятора в САУ. Из диаграммы видно, что при реализации алгоритма управления, для какого-либо канала системы, информация с преобразователя АЦП вводится лишь в дискретные моменты времени , 1, t kT k N Вывод информации также осуществляется в дискретные моменты времени t kT , как показано на рис.9.1. T АЛГ ЦАП 1 t 1 t АЛГ ЦАП n t n t АЦП АЦП Рис.9.1. Временная диаграмма работы ЦР в САУ Таким образом, как и в любой системе ЦОС, в цифровом регуляторе осуществляется квантование сигналов по времени. Если учесть, что в преобразователях АЦП и ЦАП имеет место еще и квантование сигналов по уровню, то становится очевидным, что с точки зрения ТАУ цифроаналоговая система автоматического управления является дискретно-непрерывной нелинейной системой. Общих (стандартных) методов синтеза таких систем не существует, т.к.невозможно составить такую математическую модель, которая адекватно отображала бы динамические характеристики всех элементов цифровой и непрерывной части САУ. Даже если пренебречь эффектом квантования по уровню, что возможно при достаточно большом числе разрядов 2 преобразователей и ПЦОС, и использовать линейные модели объекта и регулятора, проблема адекватности реальной системы и ее модели остается по следующим причинам: Если исследовать систему как непрерывную (например, с использованием аппарата дифференциальных уравнений и преобразования Лапласа), непрерывная модель цифрового регулятора не будет отражать его дискретные свойства. Если исследовать систему как дискретную (с использованием разностных уравнений и z - преобразования), дискретная модель объекта будет неточно отражать его непрерывные свойства. Кроме того, дискретное представление дискретно-непрерывных САУ приводит к весьма громоздким вычислениям. В современных промышленных автоматических системах управления широкое распространение получили так называемые линейные законы управления (линейная коррекция), при которых управляющие устройства выполняют операции суммирования, интегрирования, дифференцирования, масштабирования. В аналоговом исполнении эти устройства реализуются в виде промышленных регуляторов, операционных усилителей или пассивных электрических цепей. Методы синтеза таких систем в теории управления хорошо разработаны и не вызывают затруднений. Для того, чтобы при цифровой реализации этих алгоритмов показатели качества цифроаналоговой САУ были адекватны показателям качества непрерывной системы, необходимо выбирать параметры цифрового регулятора с учётом особенностей их влияния на процессы управления. В этой ситуации большая роль в проектировании систем с ЦР отводится компьютерному моделированию, благодаря которому процедура синтеза приобретает следующий вид. 1. Для непрерывного объекта выполняется синтез аналогового регулятора в соответствии с выбранным методом и заданными в технических условиях (ТУ) критериями качества управления. 2. Оценивается устойчивость и качество процессов управления в заданном ТУ диапазоне входных воздействий и начальных значений регулируемых величин в синтезированной модели САУ. 3. В этих же режимах исследуется дискретно-непрерывная модель системы с цифровой реализацией закона управления, определенного в п.1. Оценивается влияние на качество динамических процессов таких специфических характеристик цифрового регулятора, как эффекты квантования по времени, квантования по уровню и временно́е запаздывание в ПЦОС, ЦАП и АЦП. Анализ результатов моделирования позволяет выбрать допустимую величину интервала квантования по времени в ЦР, тип и разрядность ЦАП и АЦП, а также допустимые диапазоны изменения управляющих и регулируемых величин, при которых качество управления в САУ с ЦР удовлетворяет заданным требованиям. Если свойства цифроаналоговой системы не соответствуют условиям технического задания, то п.п. 1 3 повторяются с новой моделью регулятора до тех пор, пока не получится желаемого результата. 9.2.Требования к основным характеристикам цифрового регулятора Рассмотрим требования к основным характеристикам цифрового регулятора на примере системы управления линейным динамическим объектом, структурная схема которой показана на рис.9.2. ( ) g t ( ) x t АЦП ПЦОС ( ) oy W p ( ) e t [ ] e kT [ ] u kT ЦАП ( ) u t Цифровой регулятор ЦР Рис.9.2. Структурная схема САУ с цифровым регулятором 3 9.2.1.Выбор величины интервала квантования по времени Т Интервал Т является одной из главных характеристик цифрового регулятора, таккак он определяет частоту 1 Ä f T , с которой опрашивается АЦП и выдаётся управляющее воздействие [ ] u kT , где 0,1, 2, k номера временны́х отсчетов сигналов.Чем выше частота квантования (частота дискретизации) Ä f , темближе динамика цифроаналоговой системы приближается к динамике непрерывной САУ. При выборе величины интервала квантования T в цифровых системах управления следует руководствоваться теоремой Котельникова, в соответствии с которой должно выполняться условие min 2 T T , (9.1) где min T минимальная постоянная времени объекта управления. Однако это условие не всегда выполнимо, так как при достаточно малых значениях min T повышаются требования к быстродействию ПЦОС. На практике при цифровой реализации регуляторов обычно ориентируются на условие (0,01 0,1) p T t , (9.2) где p t – время регулирования замкнутой непрерывной САУ. Невыполнение условия (9.2) приводит к искажению процессов управления вплоть до потери устойчивости. 9.2.2.Формирование управляющего воздействия в ПЦОС В отличие от аналогового регулятора, который выдаёт управляющее воздействие в виде непрерывной функции времени ( ) u t , цифровой процессор формирует коды управляющих воздействий. Эти коды можно представить в виде так называемых решётчатых функций [ ] u kT , значения которых определены только в дискретные моменты времени t kT Линейные алгоритмы управления [ ] ( [ ]) u kT f e kT реализуются в виде разностных уравнений (уравнений в конечных разностях), являющихся аналогами дифференциальных уравнений. Аналогом первой производной для решётчатой функции является обратная разность [ ] [ ] [( 1) ] u kT u kT u k T Аналогом второй производной для решётчатой функции служит вторая обратная разность 2 [ ] [ ] [( 1) ] [ ] 2 [( 1) ] [( 2) ] u kT kT u k T u kT u k T u k T Аналогично определяются конечные разности высших порядков. Покажем процедуру перехода от дифференциального уравнения к разностному уравнению на примере пропорционально-интегрального закона управления (ПИ-регулятора). Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид ( ) 1 ( ) ( ) p p u U p W p K e p T p , где ( ) ( ) ( ) e p g p x p L-изображение сигнала рассогласования. Этой передаточной функции соответствует интегральное уравнение 1 ( ) ( ) ( ) p u u t K t T e e t dt . (9.3) Дляперехода к дифференциальному уравнению продифференцируем правую и левую части уравнения (9.3) ( ) ( ) 1 ( ) p u du t de t K e t dt dt T . (9.4) 4 Чтобы перейти от дифференциального уравнения (9.4) к уравнению в конечных разностях, выполняем следующую замену , ( ) [ ], ( ) ( ) dt t T u t u kT e t e kT , ( ) [ ] [ ] [( 1) ] du t u kT u kT u k T , ( ) [ ] [ ] [( 1) ] de t e kT e kT e k T Тогда получим [ ] [ ] 1 [ ] p u u kT e kT K e kT T T T .(9.5) Из выражения (9.5) вытекает алгоритм формирования управляющего воздействия для ПИ- регулятора [ ] [( 1) ] ( ) [ ] [( 1) ] p p u T u kT u k T K e kT K e k T T . (9.6) Аналогичным образом записываются алгоритмы управления для других законов. В соответствии с полученным алгоритмом составляется программа расчета управляющих воздействий на алгоритмическом языке, принятом для используемого устройства ЦОС. Оценивается время выполнения программы ÀËÃ , котороевместе со временем преобразования в ЦАП ЦАП и в АЦП АЦП является нижней границей для интервала квантования T , т.е. должно выполнятьсяусловие T , (9.7) где ÀÖÏ ÖÀÏ ÀËÃ Таким образом, допустимый интервал квантования по времени ограничивается неравенствами (9.2) и (9.7), которые позволяют выбрать ПЦОС с требуемым быстродействием ЦР. Следует учитывать, что между моментами ввода информации с ОУ в цифровой регулятор и моментами выдачи управляющих воздействий на ОУ существует временнόе запаздывание, обусловленное конечным временем обработки информации как в преобразователях АЦП и ЦАП, так и в процессоре. Это означает, что при T код управляющего воздействия [ ] u kT поступает на объект с запаздыванием на такт T , что ухудшает качество управления и может привести к потере устойчивости. Однако, чем выше быстродействие контроллера, тем меньше величина . Если T , то временем запаздывания можно пренебречь. Учитывая то, что точность вычислений в современных ПЦОС высока, влиянием эффекта квантования сигналов по уровню в МК, также можно пренебречь. 9.2.3. Выбор характеристик преобразователей ЦАП и АЦП Основными характеристиками преобразователей ЦАП и АЦП, влияющими на динамику системы, являются их разрядность и напряжение питания.Вследствие того, что число разрядов в преобразователях ЦАП и АЦП обычно меньше числа разрядов в МК, квантование по уровню приводит к искажению сигналов. Покажем связь сигналов на выходе преобразователей с входными сигналами. Статические характеристики преобразователей приведены на рис.9.3. Преобразователь АЦП. Математическая модель АЦП может быть представлена как нелинейное дискретное звено с многоступенчатой релейной статической характеристикой, показанной на рис.9.3, а). Число отличных от нуля уровней нелинейности статической характеристики АЦП равно 1 2 1 ï ð N . (9.8) Зависимость между дискретными и непрерывными значениями сигнала рассогласования в тактовые моменты времени можно выразить следующим образом [ ] [ ] [ ] e kT e kT kT , (9.9) где [ ] kT ошибка квантования. 5 Эта величина лежит в пределах 2 [ ] 2 e e kT и меняется скачком всякий раз, когда отсчеты непрерывного входного сигнала [ ] e kT переходит через середину между двумя соседними уровнями квантования. Ц max e max e Ц e e e АЦП max u u Ц u u ЦАП с AИМ max u ) а ) в ) б 0 Ц u 0 0 ЦАП с ШИМ T Рис.9.3. Статические характеристики ЦАП и АЦП Интервал квантования сигналов по уровню e , равный величине младшего значащего разряда преобразователя, вычисляется по формуле 1 max 2 1 e e , (9.10) где 1 число разрядов, а max Ï Ð e U напряжение питания преобразователя АЦП. Ошибка квантования тем меньше, чем больше число разрядов 1 . Например, при 1 10 , что соответствует 1023 уровням квантования, ошибка квантования e составляет примерно 0,05% При числе двоичных разрядов преобразователя 1 7 ошибку [ ] kT можно рассматривать как шум квантования. Следует отметить, что при больших уровнях квантования (меньшем числе разрядов) в системе могут возникнуть регулярные автоколебания, частота которых жёстко связана с частотой квантования по времени 1 Ä f T . Преобразователи ЦАП с АИМ и ШИМ Процесс преобразования кода в аналоговый сигнал можно представить двумя операциями: преобразованием цифрового кода в импульсный сигнал (декодирование) и преобразованием импульсного сигнала в сигнал заданной формы (формирование). Декодирование сопровождается квантованием сигнала по уровню. Модель ЦАП так же, как и АЦП, можно представить в виде нелинейного дискретного звена. При амплитудно-импульсной модуляции (АИМ) сигналы на выходе ЦАП представляют собой прямоугольные импульсы длительности T , амплитуда которых пропорциональна кодам управляющих воздействий в тактовые моменты времени 0, , 2 , , , T T kT и в пределах одного периода дискретности остается постоянной. Статическая характеристика ЦАП с амплитудно-импульсной модуляцией показана на рис.9.3, б). Она отражает зависимость между значениями двоичных кодов Ö u на входе и амплитудой прямоугольных импульсов u на выходе преобразователя. Число уровней квантования Ï Ð N определяется по формуле 2 2 ï ð N , следовательно,цена младшего значащего разряда преобразователя Ö равна 2 max 2 u u , (9.11) где 2 число разрядов, max Ï Ð u U напряжение питания преобразователя ЦАП. 6 Статическая характеристика ЦАП с широтно-импульсной модуляцией показана на рис.9.3, в). Характеристика отражает связь между значениями двоичных кодов Ö u на входе и длительностью прямоугольных импульсов на выходе преобразователя. Интервал квантования по уровню равен 2 2 u T . (9.12) Отметим, что площади импульсов при АИМ и ШИМ на интервалах времени T равны между собой, т.е. max S uT u , следовательно, величины u и связаны пропорциональной зависимостью u , где max u T – коэффициент пропорциональности. Графики на рис.9.4 иллюстрируют процессы в цифровом регуляторе при амплитудно- импульсной и широтно-импульсной модуляции управляющего сигнала. При выборе напряжений питания ЦАП и АЦП необходимо учитывать, что абсолютные значения преобразуемыхвеличин не должны превышать допустимых значений max e и max u . В противномслучае преобразователи будут работать на участках насыщения своих статических характеристик, т. е. при max max [ ] , [ ] e kT e e kT e , при max max [ ] , [ ] u kT u u kT u в случае АИМи T в случае ШИМ. Такие режимы могут привести к потере управляемости системы и, как следствие, к потере устойчивости. Рис.9.4. Процессы управления в САУ с ЦР ( ) e t 0 kT k e 0 kT T 2T 3T 4T 5T 6T 7T8T k u 0 kT ( ) u t 0 kT A? ? kT ? ? ? ( ) u t 0 |