_ТАУ Конспект лекций для заочников. Основные понятия теории автоматических систем
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Пример. 2 0 1 2 2 0 1 2 ( ) m m g n n b b p b p b p p a a p a p a p , тогда 2 2 0 1 2 0 1 2 2 3 0 1 2 3 m n m n b b p b p b p a a p a p a p C C p C p C p . (6.10) Аналогичным образом определяется ошибка по возмущающему воздействию. Для этого достаточно знать соответствующую передаточную функцию ( ) ( ) ( ) ( ) f f p p p f p 6.3. Понятие астатизма Если классифицировать САУ по точности в установившемся режиме, то основным классификационным признаком может служить порядок астатизма . Порядок астатизма равен номеру первого, не равного нулю коэффициента ошибки по рассматриваемому воздействию в формуле установившейся ошибки (6.7). Порядок астатизма по входному сигналу ) ( t g и возмущающему воздействию ) ( t f в общем случае может не совпадать и зависит от точки приложения возмущающего воздействия. Системы нулевого порядка астатизма 0 – называются статическими системами. Такие системы отрабатывают даже постоянное входное воздействие 0 ( ) g t g const с ошибкой, то есть 0 0 C в выражении (6.7) Системы первого порядка астатизма 1 , то есть 0 0 C (6.7), постоянное входное воздействие отрабатывают без ошибки, рис.6.3. А входные сигналы, содержащие скоростную составляющую, отрабатываются с постоянной ошибкой, рис.6.4. Системы второго порядка астатизма 2 , то есть 0 0 C и 0 1 C (6.7), отрабатывают постоянные входные сигналы и сигналы, содержащие скоростную составляющую без ошибки. А сигналы, содержащие составляющую ускорения, отрабатываются с постоянной ошибкой. Пример. На рис.6.2 приведена структурная схема системы с астатизмом первого порядка. g f 1 1 1 p T k y 1 2 2 p T k p k 3 Рис.6.2. Система с астатизмом первого порядка Для этой системы передаточная функция разомкнутой части системы будет иметь вид 3 2 1 2 1 , ) 1 )( 1 ( ) ( k k k K p T p T p K p W р 4 Следовательно, передаточная функция для ошибки по задающему воздействию представляется как 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) g ð T T p T T p p p W p T T p T T p p K Разложив это выражение в ряд Тейлора, получим 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 3 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) 2 g T T T T T T p p p p K K K K K K Отсюда, сравнивая с (6.6) находим коэффициенты ошибок 1 2 1 2 1 2 0 1 2 3 2 2 3 ( ) ( ) 1 2 1 6 1 0, , , 2 , 2! 3! T T T T T T C C C C K K K K K K Из примера видно, что коэффициент 0 C соответствует статической, а 1 C – скоростной ошибке. Допустим, задающее воздействие имеет вид 2 ) ( 2 0 0 at t v g t g , тогда at v g 0 , a g В соответствии с формулой (6.7) и определенными коэффициентами ошибок, установившаяся ошибка системы от задающего воздействия будет равна 2 1 2 0 0 0 0 1 2 2 ( ) 1 1 1 1 ( ) 0 2 ( ) 2 2! yc T T at a t g v t v at a v at a T T K K K K K Важно отметить, что общий коэффициент усиления K разомкнутой цепи (добротность), стоит в знаменателе. Следовательно, увеличение добротности K влечет за собой уменьшение всех видов установившихся ошибок замкнутой системы. Увеличение добротности – главный фактор повышения точности замкнутой системы автоматического управления (но до некоторого предела). Аналогичным образом можно определить коэффициенты ошибок и установившуюся ошибку системы по возмущающему воздействию. Необходимо только использовать соответствующую передаточную функцию ( ) f p Рассмотрим графики отработки астатической САУ различных входных воздействий. Входное воздействие постоянное const g t g 0 ) ( 0 ( ) g t g t 0 ус ) (t y 0 ) (t р t ( ) ( ) ( ) y t t g t Рис.6.3. Отработка постоянного входного воздействия Постоянное входное воздействие САУ отрабатывает без установившейся ошибки. Входное воздействие имеет скоростную составляющую t v g t g 0 0 ) ( 5 t v g t g 0 0 ) ( t ус 0 ) (t y ус ) (t р t ( ) ( ) ( ) y t t g t Рис.6.4. Отработка скоростной составляющей входного сигнала Входное воздействие, содержащее скоростную составляющую, САУ отрабатывает с постоянной установившейся ошибкой. Входное воздействие имеет составляющую ускорения 2 ) ( 2 0 0 at t v g t g 2 0 0 2 ) ( t a t v g t g t ус 0 ( ) ( ) ( ) y t t g t ) (t y ) (t р t ус Рис.6.5. Отработка ускорения Из анализа графиков, представленных на рис.6.3 – 6.5 можно сделать следующее заключение. Система автоматического управления, обладающая первым порядком астатизма 1 , отрабатывает различные задающие воздействия ( ) g t с разной степенью точности ( ) yc t Если задающее воздействие является постоянным const g t g 0 ) ( , то установившаяся ошибка САУ будет равна нулю ( ) 0 yc t , (см. рис.6.3). Если задающее воздействие содержит скоростную составляющую t v g t g 0 0 ) ( , то установившаяся ошибка САУ будет постоянной 0 1 ( ) yc t v K , (см. рис.6.4). Если задающее воздействие имеет составляющую ускорения 2 ) ( 2 0 0 at t v g t g , то установившаяся ошибка САУ будет нарастать после окончания переходного процесса 0 1 2 1 ( ) ( ) yc a t v at a T T K K , (см. рис.6.5.), т.е. система управления не отрабатывает такого рода входные воздействия. 1 Лекция 11 7. ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА 7.1. Показатели качества переходного процесса Если САУ устойчива (см. разд.5), то переходные процессы в ней затухают с течением времени, т.е. обеспечивается принципиальная возможность прихода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии. Однако далее требуется, во-первых, чтобы это установившееся состояние было достаточно близко к заданному (см. разд.6), и во-вторых, чтобы затухание переходного процесса было достаточно быстрым, а колебания при этом были бы невелики. Поэтому после обеспечения устойчивости системы надо позаботиться о требуемом качестве процесса управления, в понятие которого входят, в частности: точность системы в установившемся состоянии, качество переходного процесса. В понятие качества системы входит ряд показателей, таких как: 1. Установившаяся ошибка (6.5) ( ) lim ( ) yc t t t 2. Время регулирования p t или длительность переходного процесса (быстродействие). Теоретически переходной процесс в устойчивой линейной системе затухает в бесконечности, т.е. разница между текущим значение выходной величины ( ) y t и установившимся значением yc y стремится к нулю ( ) 0 yc y t y при t . Практически же длительность переходного процесса ограничивают тем моментом, когда отклонения становятся пренебрежительно малыми, например, величина наперёд заданного отклонения ð не составит более 5% от установившегося значения yc y ( ) , yc ð p y t y t t ; где (1% 5%) ð 3. Время максимального перерегулирования m t – момент времени, когда текущее значение ( ) y t достигает своего максимума.(*) 4. Максимальное перерегулирование max ( ) 100% 100% yc yc yc y t y y y y 5. Количество колебаний N за время переходного процесса p t .(*) 6. Период колебаний 0 T .(*) Замечание. Показатели качества переходного процесса, отмеченные *, не являются основными. Все перечисленные характеристики переходного процесса приведены на рис.7.1. t y 0 р t m t y ( ) g t yc y yc max y 0.05 yc y Рис.7.1. Показатели качества переходного процесса 2 Как же определить показатели качества переходного процесса? Прямой путь определения показателей качества переходного процесса из аналитического выражения переходной процесса ) (t y или аналитического выражения переходного процесса для ошибки ) (t Установившееся состояние выходной величины yc y определяется при t из ) (t y lim ( ) yc t y y t Установившаяся ошибка ( ) yc t определяется при t из аналитического выражения переходного процесса ошибки lim ( ) yc t t или из выражения (6.7) через коэффициенты ошибки. Показатели качества переходного процесса также можно определить непосредственно из графика переходного процесса, (см. рис.7.1.) полученного экспериментальным путем или путем моделирования численными или аналоговыми методами. Приближенные или косвенные оценки качества переходного процесса определяются корневым методом, если известен характеристический полином замкнутой системы управления 0 ) ( ) ( ) ( p kB p A p D (см. подразд. 4.4.). Если известно аналитическое выражение характеристического полинома 0 ) ( p D , то всегда можно определить его корни и представить их распределение на комплексной плоскости, как показано на рис.7.2. 0 Re Im Рис.7.2. Распределение корней на комплексной плоскости На рис.7.2. введены следующие обозначения. 1. Степень устойчивости i i Re min , действительная часть минимального корня характеристического полинома взятая по абсолютной величине. 2. Длительность переходного процесса p t связана со степенью устойчивости следующей зависимостью i p t min Re 1 ) 5 3 ( 1 ) 5 3 ( . (7.1) 3. Колебательность переходного процесса определяется величиной tg , где Im( ) Re( ) i i tg – максимальное по абсолютному значению отношение, т.е ) Re( ) Im( max i i i 4. Количество колебаний N за время переходного процесса p t определяется с помощью по формуле Im( ) 0,5 0,5max 0,5 Re( ) i i i N tg 3 5. Период колебаний переходного процесса оценивается max 0 ) Im( 2 i T 6. Время максимального перерегулирования равно 2 0 T t m 7. Максимальное перерегулирование связано с колебательностью переходного процесса следующей зависимостью max 100% e Возникает вопрос, почему в формуле (7.1) оценки длительности переходного процесса системы взят интервал ) 5 3 ( ? Чтобы ответить на него рассмотрим промер оценки времени регулирования p t апериодического звена первого порядка, передаточная функция которого 1 1 ) ( Tp p W Соответствующий характеристический полином имеет вид ( ) 1 0 A p Tp . Корень этого характеристического полинома равен T 1 . Запишем дифференциальное уравнение относительно выходной координаты ) (t y и решим его, при следующих начальных условиях 1 ) 0 ( y и задающем воздействии 0 ) ( t g 0 y y T , t T e t y 1 ) ( . (7.2) График переходного процесса изображен на рис.7.3. t y 0 р t 1 0, 05 0, 05 Рис.7.3. Пример переходного процесса апериодического звена первого порядка Из решения дифференциального уравнения (7.2) следует, что установившееся состояние выходной величины 0 yc y при t . Тогда 5%-й допуск от этого установившегося значения равен 05 , 0 . Подставим положительное значение этого допуска 05 , 0 в левую часть решения дифференциального уравнения (7.2) 1 0,05 p t T e и определим длительность переходного процесса p t log(0,05) 3 p t T T Если требуется оценить время регулирования с точностью не хуже, чем 1%, то длительность переходного процесса p t равна log(0,01) 5 p t T T Таким образом, если допустимая наперед заданная точность расчета ð равна 5%, то при оценках длительности переходного процесса p t по формуле (7.1) выбирается нижняя граница интервала ) 5 3 ( . Такая точность расчета характерна для большинства технических систем. Если же рассчитывается высокоточная система, используется 1%-й допуск, и, следовательно, выбирается верхняя граница интервала ) 5 3 ( . Пример. Определить косвенные оценки качества переходного процесса системы управления, используя выражение передаточной функции. 4 Пусть передаточная функция разомкнутой части системы имеет вид 3 ( ) (0,05 1)(0, 2 1)( 1) p W p p p p Тогда, согласно (4.8) передаточная функция замкнутой системы будет равна 8 3 2 2 ( ) 0,75 ( ) 1 ( ) 1,56 10 6,5 10 0,313 1 p p W p p W p p p p , (7.3) а передаточная функция для ошибки по задающему воздействию согласно (4.10) имеет вид 3 3 2 2 8 3 2 2 2,5 10 6,5 10 0,313 0.25 ( ) 1 ( ) 1,56 10 6,5 10 0,313 1 g p p p p p p p p . (7.4) Определим установившуюся ошибку через коэффициенты ошибки по формуле (6.7) ( ) 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i yc i t C g t C g t C g t C g t Из формулы (6.6) следует, что 3 3 2 2 0 8 3 2 2 0 0 2,5 10 6,5 10 0,313 0.25 ( ) 0, 25 1,56 10 6,5 10 0,313 1 g p p p p p C p p p p , 1 0 ( ) 0,234 g p d p C dp , 2 -2 2 2 0 ( ) 1 2,45 10 2! g p d p C dp Таким образом, установившаяся ошибка при задающем воздействии ( ) 1( ) g t t будет равна 0 ( ) 0, 25 ( ) 0,234 ( ) ст yc t g t g t -2 2,45 10 ( ) g t 0 0, 25 Исследуемая система обладает астатизмом нулевого порядка 0 , ( 0 0 C ). Корни характеристического полинома ( ) p 8 3 2 2 ( ) 1,56 10 6,5 10 0,313 1 0 D p p p p Равны 1,2 -2,528 3.565 p j 3 20,943 p Следовательно, степень устойчивости min Re 2,528 i i Можно оценить время регулирования min 1 1 (3 5) (3 5) (3 5) 1,187 1,979 2 Re p i t c Также, зная корни характеристического полинома, можно определить колебательность переходного процесса Im( ) max 1,410 Re( ) i i i Количество колебаний N за время переходного процесса p t не превышает 0,71 N Период колебаний переходного процесса равен 0 max 2 1.762 Im( ) i T c Время максимального перерегулирования определяется по формуле 0 0,881 2 m T t c Величина максимального перерегулирования оценивается по формуле 100% 10,78% e 5 На рис.7.4. представлены результаты моделирования переходной функции по задающему воздействию ( ) h t и для ошибки ( ) t в среде Matlab. Из анализа графиков следует, что предварительные оценки качества переходных характеристик практически совпадают с результатами моделирования. Рис.7.4. Графики переходной функции ( ) h t и переходной функции для ошибки ( ) t t (sec) h( t) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 System: W Settling Time (sec): 1.4 System: W Settling Time (sec): 1.4 System: W Peak amplitude: 0.829 Overshoot (%): 10.5 At time (sec): 0.939 System: W Final Value: 0.75 t (sec) e( t) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 System: W Final Value: 0.25 System: W Final Value: 0.25 |