_ТАУ Конспект лекций для заочников. Основные понятия теории автоматических систем
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Лекция 9 5.4.2. Критерий устойчивости Найквиста Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на использовании частотных характеристик разомкнутой части САУ, и даёт привило, согласно которому, по виду АФЧХ разомкнутой части системы можно судить об устойчивости замкнутой системы. Рассмотрим разные случаи. 1. Система устойчива в разомкнутом состоянии, её передаточная функция имеет вид n m p a p b K p А p KB p W n n m m , ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( , система не обладает свойствами астатизма. Введем вспомогательную функцию ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 p А p D p А Bp K p А p W p W , где ) ( p D – характеристический полином замкнутой системы, а ) ( p А – характеристический полином разомкнутой части. Чтобы получить АФЧХ подставим j p , то есть ) ( ) ( ) ( 1 j А j D j W По критерию Михайлова изменение аргумента ) ( j А при 0 равно 2 n , так как предполагается, что разомкнутая часть устойчива. С другой стороны, требуется, чтобы система была устойчивой и в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение аргумента ) ( j D при 0 также равнялось 2 n . Отсюда следует, что изменение аргумента ) ( 1 j W должно быть 0 ) ( arg ) ( arg ) ( arg 1 j A j D j W Это значит, что годограф ) ( 1 j W не должен охватывать начало координат, как показано на рис.5.9. 0 0 K ) ( 1 j W 1 0 1 Im 0 K ) ( 1 j W 1 1 Re 1 Im 1 Re Рис.5.9. Годографы ) ( 1 j W Михайлова Вернемся к рассмотрению функции ) ( j W – АФЧХ разомкнутой части системы, имеющей вид 1 ) ( ) ( 1 j W j W . Соответствующие годографы показаны на рис.5.10. 0 0 K 1 0 Re Im 0 K 1 Im Re Рис.5.10.Годографы Найквиста для устойчивых САУ 2 Отсюда следует формулировка частотного критерия Найквиста. Если разомкнутая часть системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой части системы не охватывала точку с координатами ( 1; 0) Имея в виду довольно сложное очертание АФЧХ, к рассмотренной формулировке критерия Найквиста добавляют разъяснение, что понимать под термином «….не охватывает точку с координатами ( 1; 0) ». Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки ( 1; 0) , но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки ( 1; 0) должно равняться числу отрицательных (снизу вверх) переходов. Первый график на рис.5.10 соответствует случаю, когда и при уменьшении K и при увеличении K система может стать неустойчивой. Второй график – случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой части системы K . Неустойчивость замкнутой системы иллюстрируется на рис.5.11. 0 0 K 1 0 Re Im 0 K 1 Im Re Рис.5.11.Годографы Найквиста для неустойчивых систем 2. Система, нейтральная в разомкнутом состоянии. Характеристический полином разомкнутой части системы ) ( p А имеет нулевые корни, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой части системы ) ( p W имеет соответственно нулевые полюса n m p a p p b K p А p KB p W n n m m , ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( Это соответствует астатическим системам, причем порядок астатизма. Рассмотрим случай, когда порядок астатизма 1 , то ) 1 ( ) ( n n p a p p А Плоскость корней ) ( p А имеет вид, примерно такой, как показано на рис.5.12. 0 Рис.5.12. Плоскость корней Подстановка j p при 0 означает перемещение вдоль оси от точки 0 вверх. При этом чтобы все корни оставались слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса j e p , 2 0 Тогда при 0 p получим 3 ( ) j j K K W p KR e p e , 2 0 , где R – большая величина, R при 0 . Следовательно, точке 0 плоскости корней соответствует на характеристике ) ( j W четверть окружности бесконечного радиуса, как показано на рис.5.13. 0 Re Im 1 R Рис.5.13. Дополнение годографа окружностью бесконечного радиуса Поскольку при этом все корни ) ( p А остаются слева, то формулировка критерия качества остается такой же, как и для случая устойчивой разомкнутой части системы, а именно: годограф не должен охватывать точку с координатами ( 1; 0) . В случае 2 , и 3 аналогично получаем ту же формулировку критерия – неохват точки ( 1; 0) , как показано на рисунке 5.14. для устойчивых астатических систем. 0 Re 1 R Im или или 0 1 R Im Re Рис.5.14. Примеры годографов Найквиста Во всех остальных случаях замкнутая система будет неустойчивой. 3. Система неустойчива в разомкнутом состоянии. Пусть характеристический полином ) ( p А разомкнутой части системы имеет l корней с положительной вещественной частью. Тогда вспомогательная функция 1 ( ) ( ) ( ) D p W p À p при замене p j , согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы, должна иметь следующее изменение аргумента ) ( j А при 0 : 1 arg ( ) arg ( ) arg ( ) ( 2 ) 2 2 W j D j A j n n l l Это значит, что для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов частотного годографа через отрицательную полуось на участке от 1 до была равна 2 l , где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы ( ) À p , лежащих в правой полуплоскости (т.е. положительных). Например, если передаточная функция разомкнутой системы 4 ( 1) ( ) 1 m m n n K b p W p a p , имеет 1 l (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы амплитудно- фазовая характеристика разомкнутой части системы должна иметь вид, примерно как показано на рис.5.15, a) или b), а в случае 3 l на рис.5.15, c). 0 Re 1 Im 0 K ) a 0 1 0 K ) b 0 1 0 K ) c Im Im Re Re Рис.5.15. Годографы устойчивых САУ При этом начальная точка характеристики, начинающаяся на оси абсцисс левее ( 1) , считается как половина перехода. 5.5. Частотные оценки качества Простейшей из частотных оценок качества переходного процесса является запас устойчивости. Запас устойчивости определяет степень близости замкнутой системы к границе устойчивости по виду её годографа в разомкнутом состоянии. Определение запаса устойчивости по годографу Найквиста показано на рис.5.16,a). Здесь введены следующие обозначения: A – запас по амплитуде; – запас по фазе; K – коэффициент усиления разомкнутой части системы (добротность). А на рис.5.16,b) показано, как находить запас по амплитуде Lm и фазе по логарифмическим характеристикам. Рис.5.16. Определение запаса устойчивости по амплитуде и фазе Оценки качества удобно делать в особенности, когда есть возможность снятия экспериментальных амплитудно-фазовых частотных характеристик. АФЧХ снимается путем подачи на вход величины t x sin 1 при различных значениях и замера каждый раз амплитуды 2 A и фазы 2 на выходе ) sin( 2 2 2 t A x 0 Re 1 1 R 0 A K Im a) 0 0 1 1 c 2 Lm Lm b) 1 Лекция 10 6. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 6.1. Понятие точности САУ После затухания переходного процесса ( ) nep y t в САУ останется только установившейся процесс управления (см. разд.5) как показано на рис.6.1. ( ) yc t 0 ( ) ( ) ( ) y t g t t t ( ) ( ) пер вын y t y t ( ) ( ) пер вын t t ( ) g t ( ) yc t 0 ( ) ( ) ( ) y t g t t t ( ) g t ( ) вын y t ( ) вын t p t ( ) ( ) пер вын y t y t ( ) ( ) пер вын t t p t ( ) вын t ( ) вын y t 6.1. Пример графиков переходных процессов в САУ Как видно из рис.6.1. формой установившегося процесса ) (t y вын определяется точность системы автоматического управления (САУ). При этом установившаяся ошибка системы будет ( ) ( ) ( ) ус вын t g t у t . (6.1) А полное значение ошибки, существенное для начала процесса управления, равно ( ) ( ) ( ) t g t у t . (6.2) Точность системы задается и определяется в установившихся режимах работы САУ. 6.2. Установившаяся ошибка при произвольном внешнем воздействии. Коэффициенты ошибок Полное знание ошибки ) (t , определяющее точность работы системы, также представляет собой сумму переходной ( ) ï åð t и вынужденной ( ) âû í t составляющих ошибки ) ( ) ( ) ( t t t вын пер . (6.3) После затухания переходной составляющей ошибки ) (t пер , то есть после затухания переходного процесса p t , точность работы системы будет определяться только вынужденной составляющей ошибки ) (t вын Если известна передаточная функция системы для ошибки по задающему воздействию ( ) ( ) ( ) g p p g p (4.9), то изображение ошибки воспроизведения этого задающего воздействия ) (t g имеет вид ( ) ( ) ( ) g p p g p , (6.4) а ) (t – текущее значение ошибки можно определить, непосредственно решая уравнение (6.4). Это удобно сделать, когда ) ( 1 ) ( t t g Затем, устремив t определить 2 0 1 ( ) lim ( ) lim ( ) yc g t p t t Ф p p . (6.5) Но если задающее воздействие ) (t g носит произвольный характер, то установившуюся ошибку ) (t ус удобней определять, используя метод коэффициентов ошибки. Суть метода коэффициентов ошибки заключается в следующем. Необходимо передаточную функцию системы для ошибки от задающего воздействия ( ) g p разложить в ряд Тейлора по степеням p 0 1 2 2 2 2 0 0 0 2 0 1 2 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2! ( ) 1 , ! i g g g g p p p C C C i g i i i i p C d p d p p p р p dp dp d p р C C p C p C p i dp (6.6) где коэффициенты 0 ( ) 1 , 1, ! i g i i p d Ô p C i n i dp – называются коэффициентами ошибки. Подставим (6.6) в уравнение (6.5) и, перейдя к оригиналу, получим ( ) 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i yc i t C g t C g t C g t C g t , (6.7) где ) ( 0 t g C первое слагаемое в уравнении (6.7) имеет смысл статической ошибки, второе слагаемое ) ( 1 t g C – скоростной ошибки, третье 2 ( ) C g t – ошибки ускорения входного сигнала и т.д. Формулой (6.6) при достаточно высоких степенях p пользоваться трудно, поэтому поступают следующим образом. Поскольку передаточная функция для ошибки ( ) g p представляет собой отношение полиномов, то 2 2 0 1 2 0 1 2 2 0 0 1 2 ( ) m k m g k n k n b b p b p b p p C C p C p C p a a p a p a p . (6.8) Если теперь в выражении (6.8) привести к общему знаменателю левые и правые части уравнения, и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях p , получим 0 0 0 1 1 0 0 1 2 2 0 1 1 0 2 0 1 1 0 1 0 1 0 1 , , , , 0 , m m m m m m m b C a b C a C a b C a C a C a b C a C a C a C a C a C a а рекуррентная формула будет иметь вид 0 1 1 ) ( a a C b C k i k i k k k .(6.9) Причем, в (6.9) 0 k b при m k и 0 k a , при n k 3 Существует и еще один способ определения коэффициентов ошибок i , 0, C i n в выражении (6.8). Для этого необходимо разделить полином числителя передаточной функции для ошибки по задающему воздействию ( ) g p на полином знаменателя в столбик. Коэффициенты при степенях p результата деления являются искомыми коэффициентами ошибок i C . При использовании этого способа необходимо запомнить одно правило: полиномы числителя и знаменателя должны располагаться по возрастанию степени p . |