_ТАУ Конспект лекций для заочников. Основные понятия теории автоматических систем
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Передаточная функция между произвольными узлами схемы На основании исследования алгебраических уравнений, описывающих структурою схему линейной системы, Мейсеном в 1953г. было предложено правило вычисления передаточной функции между двумя заданными узлами. Это правило выражается следующей формулой , ) ( 1 )) ( 1 ( ) ( ) ( 1 1 1 s i рki s i рki r k прk mn p W p W p W p W здесь ) ( p W прk сумма r передаточных функций различных прямых путей из узла m в узел n ) ( p W рki передаточная функция разомкнутого контура, взятая со знаком, соответствующим типу обратной связи. Произведения включают все s замкнутых контуров системы. Знакам «*» обозначено исключение из скобки всех членов, содержащих произведения передаточных функций одних и тех же звеньев (включая звенья с передаточной функцией, равной единице). На рис.4.15. показаны прямые пути (их два, обозначены - - цветами) и замкнутые контура (их тоже два, обозначены - - цветами) для вывода передаточной функции «вход-выход». 1 W 2 W 3 W 7 W 8 W 4 W 5 W 6 W вх x вых x f Рис.4.15. Прямые пути и замкнутые контура «вход-выход» Передаточные функции «вход-выход» для структурной схемы, представленной на рис.4.15. имеет вид 1 2 3 4 5 1 2 5 6 1 2 3 7 2 3 4 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bыx x bx W p W p W p W p W p W p W p W p W p x p W p x p W p W p W p W p W p W p W p W p На рис.4.16. показаны прямые пути (их два, обозначены - - цветами) и замкнутые контура (их тоже два, обозначены - - цветами) для вывода передаточной функции относительно возмущающего воздействия f . 6 1 W 2 W 3 W 7 W 8 W 4 W 5 W 6 W вх x вых x f Рис.4.16. Прямые пути и замкнутые контура «возмущение-выход» Передаточные функции относительно возмущающего воздействия для структурной схемы, представленной на рис.4.16. имеет вид 2 3 4 5 2 5 6 1 2 3 7 2 3 4 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bыx f x p W p W p W W p W p W p W p W p f p W p W p W p W p W p W p W p W p 1 Лекция 7 4.4. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы Рассмотрим обобщенную структурную схему замкнутой системы, рис.4.17. ) ( p W р f y g Рис.4.17. Структурная схема замкнутой системы Где ) ( ) ( ) ( p A p kB p W р – передаточная функция разомкнутой цепи, в общем случае сложная функция, полученная путем преобразования, k – коэффициент усиления разомкнутой части системы, ) (t g – внешнее задающее воздействие, ) (t f – возмущающее внешнее воздействие, как правило, не одно и ) (t – сигнал ошибки. Отрицательная обратная связь между выходом и входом, называется главной ООС. Передаточные функции замкнутой системы записывается отдельно для каждой комбинации входа и выхода, то есть для каждой пары , , gy fy y Возмущающее воздействие ) (t f может быть приложено в любой точке схемы. Если при помощи правила 2 структурных преобразований (см. подпункт 4.2.) перенести возмущающее воздействие к выходу системы, то структурная схема примет вид, показанный на рис.4.18. ) ( p W р f ) ( p M 1 x 2 x g y Рис.4.18. Преобразованная структурная схема замкнутой системы Динамическое звено с передаточной функцией ) ( ) ( ) ( p A p R p M на самом деле не существует, а представляет собой какую-то часть передаточной функции разомкнутой части системы ) ( p W p Проделав операцию переноса точки приложения сигнала возмущения ) (t f , мы тем самым разделили каналы прохождения сигналов ) (t g и ) (t f . Для задающего воздействия ) (t g схема прохождения сигналов сохраняется в полном виде ) ( p W p На выходе имеем условно 1 2 y x x , хотя на самом деле ) ( p M входит в общую схему как часть ) ( p W p Основные соотношения, описывающие динамику системы, в изображениях по Лапласу будут иметь вид ) ( ) ( ) ( p y p g p , (4.6) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p f p M p p W p y р . (4.7) 2 В расчетах автоматических систем применяют три основных вида передаточных функций замкнутой системы. 1. Главная передаточная функция замкнутой системы, которая определяется при условии 0 ) ( t f ( ) ( ) ( ) ( ) ç y p p W p g p С учетом выражений (4.6) и (4.7) имеем ( ) ( ) ( ) ( ) p y p W p g p y p , Откуда ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ð ð W p kB p p W p A p kB p (4.8) 2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию (при 0 ) ( t f ), согласно выражения (4.6) имеет вид ( ) ( ) 1 ( ) ( ) g p p p g p , (4.9) или с учетом (4.8) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ð kB p A p p p W p A p kB p A p kB p . (4.10) 3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию ) (t f определяется при условии равенства нулю задающего воздействия 0 ) ( t g ( ) ( ) ( ) f y p p f p Из формул (4.6), (4.6), при выполнении условия 0 ) ( t g , следует ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 1 ( ) ( ) ( ), p p y p W p y p M p f p y p W p M p f p откуда ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) f p M p R p p W p A p kB p . (4.11) 4. Передаточная функция для ошибки по возмущающему воздействию ( ) f p будет той же, что и для регулируемой величины ( ) f p , но с обратным знаком ( ) ( ) ( ) ( ) f f p p p f p . (4.12) Важно отметить, что знаменатель всех видов передаточных функции замкнутой системы один и тот же. Для замкнутой системы в целом, зная передаточные функции, можно перейти к дифференциальному уравнению, представленному в изображениях по Лапласу ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) p f p p W p M p y p p g p p f p g p f p W p W p kB p R p y p g p f p A p kB p A p kB p Следовательно, дифференциальное уравнение замкнутой системы имеет вид ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p f p R p g p kB p y p kB p A .(4.13) Итак, зная передаточную функцию звеньев системы, можно исключительно алгебраическим путем определить общее дифференциальное уравнение всей замкнутой системы в целом при любой её сложности. Это является одним из основных преимуществ использования аппарата передаточных функций. 3 Характеристический полином замкнутой системы имеет вид ( ) ( ) ( ) 0 D p A p kB p . Прядок дифференциального уравнения замкнутой системы (4.13), как и разомкнутой цепи, определяется степенью полинома ) ( p A , но коэффициенты существенно отличаются за счет прибавления многочлена ) ( p kB . Поэтому все динамические и частотные свойства замкнутой САУ будут отличаться от динамических и частотных свойств разомкнутой цепи, состоящей из тех же звеньев. В классической форме записи дифференциальное уравнение (4.13), описывающее динамику САУ, можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 0 1 0 0 ( ) n n m r n n m r a y a y a y a y a y b g b g b g f f t .(4.14) На основе передаточной функции по ошибке от задающего воздействия (4.10) и возмущающего воздействия (4.12) можно выразить ошибку, вернее изображение ошибки, в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f p p g p p f p Следовательно, дифференциальное уравнение для ошибки в изображениях по Лапласу имеет вид ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p f p R p g p A p p kB p A .(4.15) Левая часть дифференциального уравнения, или характеристическое уравнение для ошибки САУ, точно такое же, что и для задающего воздействия. А вот правая часть меняется существенно перед задающим воздействием ) (t g , хотя перед ) (t f возмущающим воздействием изменился только знак. Физический смысл рассмотренной динамической модели (4.15) таков: все изменения регулируемой величины под влиянием возмущающего воздействия сказываются целиком на ошибке системы. Пример вывода различных передаточных функций и дифференциальных уравнений для САУ первого порядка. На рис.4.19. приведены структурная схема САУ и преобразованная структурная схема САУ, в которой осуществлен перенос точки возмущающего воздействия с входа системы на выход. ) ( p W р f f k f 1 Tp k 1 Tp kk f g ос x y y g ос x Рис.4.19. Структурная схема САУ Главная передаточная функция САУ имеет вид ( ) 1 ( ) 1 ( ) (1 ) 1 1 ð ð k W p k Tp p k W p Tp k Tp Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию 4 1 1 1 ( ) 1 ( ) (1 ) 1 1 g ð Tp p k W p Tp k Tp Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию ) (t f определяется при условии равенства нулю задающего воздействия 0 ) ( t g и равна ( ) 1 ( ) 1 ( ) (1 ) 1 1 f f f p kk kk M p Tp p k W p Tp k Tp Передаточная функция для ошибки по возмущающему воздействию ( ) f p будет той же, что передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию ( ) f p , но с обратным знаком ( ) (1 ) f f kk p Tp k Дифференциальное уравнение замкнутой системы в изображениях по Лапласу в классическом виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) f f kk k y p p g p p f p g p f p Tp k Tp k , ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( p f kk p kg p y k p Tpy f , (4.16) ) ( ) ( ) ( ) 1 ( t f kk t kg t y k y T f . (4.17) Дифференциальное уравнение для ошибки в изображениях по Лапласу и классическом виде соответственно ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( p f k Tp kk p g k Tp Tp p f , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( p f kk p g p Tpg p k p Tp f ,(4.18) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( t f kk t g t g T t k t T f . (4.19) Решив уравнения (4.16), (4.17), (4.18), (4.19) можно получить аналитическое выражение переходных функций выходного сигнала или сигнала ошибки. 4.5. Частотные характеристики замкнутой системы Используя формулу главной передаточной функцией (4.8) ( ) p можно определить выражение для АФЧХ замкнутой системы посредством формальной замены оператора p в передаточной функции на j ( ) ( ) 1 ( ) p p W j j W j , (4.20) где ) ( ) ( ) ( j A j kB j W р представляет собой выражение амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой цепи для данной системы. Для целей синтеза и анализа работы САУ чаще используются логарифмические АЧХ и ФЧХ, которые строятся так же, как для разомкнутой цепи звеньев (см. подпункт 4.1.5). 1 Лекция 8 5. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ 5.1. Процесс управления и требования к нему Процесс управления во времени определяется решением дифференциального уравнения, описывающего динамическое поведение замкнутой системы (4.14). Чтобы определить его необходимо знать, как минимум, передаточную функцию замкнутой системы ( ) p (4.8). Это решение для регулируемой величины имеет вид ( ) ( ) ( )) nep y t y t y t , (5.1) где ( ) nep y t – переходная составляющая процесса управления или собственное движение, определяется решением однородного уравнения при заданных начальных условиях ) 0 ( , ), 0 ( ), 0 ( ) 1 ( n y y y , и характеризует переходной процесс в системе управления. ( ) y t – вынужденное или частное решение дифференциального уравнения, зависит от вида правой части уравнения. Фактически на вынужденную составляющую ( ) y t процесса управления накладывается переходной процесс ( ) nep y t , который теоретически длиться бесконечность, а практически его влияние становиться ничтожно малым через конечное время, так называемое время регулирования p t . После затухания переходной составляющей ( ) nep y t в САУ останется только вынужденная составляющая процесса управления ( ) y t , т. е. установившейся процесс, как показано на рис.5.1. ( ) ( ) y t g t ( ) g t ( ) ( ) пер вын y t y t p t ( ) вын y t 0 t Рис.5.1. Пример графика переходного процесса в САУ С точки зрения протекания процесса управления, требования к системе формируются следующими тремя основным направлениями: 1. устойчивостью; 2. точностью; 3. качеством процесса управления. Устойчивость гарантирует затухание переходного процесса, после чего обеспечивается требуемая точность работы САУ и желаемое качество переходного процесса. Для определения решения дифференциального уравнения (5.1) применяются различные способы: 1. классическое математическое решение; 2. операторный метод; 3. численные методы решения дифференциальных уравнений (например метод Рунге- Кутта); 4. графические методы решения (моделирование на АВМ) |