лекции по дм. лекции. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств 4 Диаграммы Венна. 4

• Название: Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств 4 Диаграммы Венна. 4
• Анкор: лекции по дм
• Дата: 08.02.2021
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: лекции.docx
• Тип: Документы; #174835
• страница: 9 из 40

Тема 4. Замыкание отношений. Транзитивное замыкание, рефлексивное замыкание. Алгоритм Уоршалла вычисления транзитивного замыкания.

Замыкание отношений.

Замыканием отношения R относительно свойства P называется такое множество R*, что:

1. RR*.

2. R^* обладает свойством P.

3. R^* является подмножеством любого другого отношения, содержащего R и обладающего свойством P.

Замыкание является весьма общим математическим понятием. Неформально говоря, замкнутость означает, что многократное выполнение допустимых шагов не выводит за определенные границы.

Пример

Пусть на множестве A={1,2,3,4} задано отношение R={(1,2),(3,4),(4,2)}. Видно, что отношение R не симметрично, не рефлексивно и не транзитивно. Замыканием R относительно свойства симметричности является R^*={(1,2),(3,4),(4,2);(2,1),(4,3),(2,4)}. Замыканием R относительно рефлексивности является R^*={(1,2),(3,4),(4,2);(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. Замыканием R относительно транзитивности является множество R^*={(1,2),(3,4),(4,2);(3,2)}.

Транзитивное замыкание отношений

Определение 4.1. Отношение называется транзитивным замыканием отношения , определенного на множестве M, тогда и только тогда, когда существуют такие , что .

Пример

На множестве N определено отношение . Тогда транзитивное замыкание этого отношения для значений 1<2<…<6 будет отношение 1<6. (Рисунок 4.1)



Рисунок 4.1

Транзитивным замыканием отношения «быть сыном» является отношение «быть прямым потомком».

Транзитивным замыканием отношения «иметь общую стену» для жильцов одного дома является отношение « жить на одном этаже».

Пример. Пусть R задано на M, . Rтранзитивно, если для любых a,b,с из аRbи bRс следует аRс. Вматрице такого отношения должно выполняться следующее условие: если в i-й строке стоит единица, например в j-й координате (столбце) строки, т.е. , то всем единицам в j-й строке (пусть этим единицам соответствуют k-е координаты такие, что ) должны соответствовать единицы в i-й строке в тех же k-хкоординатах, т.е. (и, может быть, еще и в других координатах). Это условие иллюстрируется на рисунке 4.2, где кружком выделена единица , для которой производится проверка условия, а стрелками показана последовательность проверки данного условия.

В матрице транзитивного отношения это условие должно выполняться для любых таких, что . И наоборот, если в матрице Rимеется хотя бы одна единица , для которой данное условие не выполняется, то Rне транзитивно.



Рисунок 4.2