лекции по дм. лекции. Основные понятия теории множеств. Способы задания множеств 4 Диаграммы Венна. 4
Скачать 1.51 Mb.
|
Представление функций в ЭВМ.Пусть , множество А конечно и не очень велико, |A|=n .Наиболее общим представлением такой функции является массив array[А] of B , где А- тип данных , значения которого представляют элементы множества В . Если среда программирования допускает массивы только с натуральными индексами , то элементы множества А нумеруются ( то есть ) и функция представляется с помощью массива array[1…n] of B . Функция нескольких аргументов представляется многомерным массивом. Отступление. Представление функции с помощью массива является эффективным по времени, поскольку реализация массивов в большинстве случаев обеспечивает получение значения за постоянное время , не зависящее от размера массива и значения индекса. ОперацииОперацией называют функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. В общем случае n-местная функция типа φ:М×М×... ×М →М (иное обозначение φ: Мⁿ → М) называется n-арной операцией на множестве М. В таких случаях говорят, что множество М замкнуто относительно операции φ (результат выполнения операции φ на М принадлежит М). В частности: 1. Функция одного аргумента φ(x) = у, имеющая тип φ: М→ М, называется унарной операцией. Примеры унарных операций: элементаные функции ех, logx, sinx и др.; операция над множествами - дополнение Ā ; отображения типа А → А, такие как преобразования, перестановки; операции над отношениями: дополнение , обратное отношение R‾¹, составное отношение R² = R° R, транзитивное R° и рефлексивное R* замыкания и др. 2. Функция двух аргументов φ(x, у) = z, имеющая тип φ: М × М → М, называется бинарной операцией. Примеры бинарных операций: • арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень; • операции над множествами: пересечение , объединение, разность \; • операция композиции функций, отображений, отношений и др. Если над элементами a,b M выполняется операция φ, дающая результат z M, то это записывается часто как а φ b = z. Свойства бинарных операций:1) φ - ассоциативна, если для любых а, b, с из М (аφb)φс=аφ(bφс) (арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств, композиция отображений - ассоциативные операции). Выполнение этого условия (свойства ассоциативности) означает, что скобки в выражении а φ b φ с можно не расставлять; 2) φ - коммутативна, если для любых а, b, с a φb=bφ а (арифметические операции сложения и умножения, операции пересечения и объединения множеств - коммутативные операции; арифметические операции вычитания и деления, операция разности множеств, композиция перестановок и преобразований типа А А конечного множества - некоммутативны); 3) φ - дистрибутивна слева относительно операции ψ, если для любых а, b, с a φ (b ψ c) = (аφ b) ψ (a φс) и φ дистрибутивна справа относительно операции ψ, если для любых а, b, с (а ψ b) φc = (а φ с) ψ (bφ с) (арифметические операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычитания слева и справа, но не наоборот: операции сложения и вычитания недистрибутивны относительно операции умножения и деления; операции объединения и пересечения множеств дистрибутивны относительно друг друга слева и справа). |