nchti_Шемелова_Макусева. Основные теоремы теории вероятностей учебное пособие
 Скачать 4.12 Mb.
|
|
ТЕМА 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса Контрольные вопросы 1. Какие события называются гипотезами? 2. Запишите формулу полной вероятности события при заданной системе гипотез. 3. Запишите формулу Байеса. Практические задания по теме 139. Задача с решением. Два датчика посылают сигнал в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06, от второго – 0,03. Какова вероятность получить искаженный сигнал в общем канале? Решение. Пусть событие – получение искаженного сигнала в общем канале. Обозначим события: – сигнал послан первым датчиком; – сигнал послан вторым датчиком. По условию задачи первый датчик посылает в 2 раза больше сигналов, чем второй. Тогда , . Известны также условные вероятности: – вероятность того, что сигнал будет искажен, если он послан первым датчиком, – вероятность получить искаженный сигнал от второго датчика. Тогда по формуле полной вероятности вероятность получить искаженный сигнал в общем канале будет равна . Ответ: . 140. Задача с решением. На сборочное предприятие поступили комплектующие изделия с трех заводов в количестве: 14 с первого завода, 26 со второго завода, 20с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p1 = 0,8, на втором p2 = 0,6, на третьем p3 = 0,7. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным? Решение. Пусть событие – взятое случайным образом изделие оказалось качественным. Обозначим события: событие – изделие поступило с 1-го завода, событие – изделие поступило со 2-го завода, событие – изделие поступило с 3-го завода. Найдем вероятность события : . Так как всего на сборочное предприятие поступило комплектующих, а с 1-го завода поступило изделий, то по формуле классической вероятности: . Аналогично находим вероятности ; . Вероятности условных событий: вероятность качественного изготовления изделий на 1-ом заводе ; вероятность того, что изделие является качественным при условии, что оно было изготовлено вторым заводом ; и вероятность того, что изделие оказалось качественным при условии, что оно с 3-го завода . Вероятность того, что случайно взятое изделие оказалось качественным вычисляется по формуле полной вероятности: ; . Ответ: . 141. На овощехранилище поступает продукция от трёх хозяйств. Причём продукция первого хозяйства составляет 20%, второго – 46% и третьего – 34%. Известно, что средний процент нестандартных овощей для первого хозяйства равен 3%, для второго – 2%, для третьего – 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятый овощ произведён на первом или втором хозяйстве, если он оказался нестандартным. 142. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). 143. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуатомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. 144. Задача с решением. Имеется три типа ящиков с шарами. Количество ящиков: – I типа, – II типа, – III типа. Ящики содержат шары. Количество шаров в ящике I типа – белых, – черных; в ящике II типа – белых, – черных; в ящике III типа – белых, – черных. 1) Найти вероятность того, что из наугад взятого ящика наугад взятый шар будет белого цвета. 2) Из наугад взятого ящика случайно вынут белый шар. Найти вероятность того, что он взят: а) из ящика I типа; б) из ящика II типа; в) из ящика III типа. Решение. 1) Пусть событие – из наугад взятого ящика наугад взятый шар оказался белого цвета. Обозначим события – шар вынули из ящика i-го типа . Событие – шар вынули из ящика I типа. Найдем вероятность этого события: . Так как всего ящиков , а ящиков I типа , то по формуле классической вероятности: . Событие – шар вынули из ящика II типа. Аналогично находим вероятность . И событие – шар вынули из ящика III типа. Вероятность этого события равна . Далее находим условные вероятности. – вероятность того, что шар оказался белого цвета при условии, что он вынут из ящика I типа: . – вероятность того, что шар оказался белого цвета при условии, что он вынут из ящика II типа: . – вероятность того, что шар оказался белого цвета при условии, что он вынут из ящика III типа: . Тогда по формуле полной вероятности: 2) Пусть событие – из наугад взятого ящика наугад взятый шар оказался белого цвета. Выше (см. п. 1) была определена вероятность этого события . Для определения вероятностей гипотез применяем формулу Бейеса: . Итак, вероятность того, что шар был взят из ящика I типа при условии, что он оказался белого цвета определяется . Вероятность того, что шар был взят из ящика II типа при условии, что он оказался белого цвета . Вероятность того, что шар был взят из ящика III типа при условии, что он оказался белого цвета . 145. В магазин поступают телевизоры с трех заводов: 38% с первого завода, 33% – со второго, остальные с третьего. При этом первый завод выпускает 10% телевизоров со скрытым дефектом, второй, соответственно, 9%, а третий – 11%. а) Какова вероятность приобрести исправный телевизор в этом магазине? б) Если в телевизоре обнаружен дефект, то на каком заводе, скорее всего, изготовлен этот телевизор? 146. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найдите вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4; 0,3 и 0,5. 147. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 бегунов и 4 велосипедиста. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника – 0,8, для бегуна – 0,9, для велосипедиста – 0,7. Наудачу выбранный спортсмен выполнил норму. Найти вероятность того, что выбранный спортсмен – лыжник. 148. Имеется 4 радиолокатора. Вероятность обнаружить цель для первого – 0,86; для второго – 0,9; для третьего – 0,92; четвертого – 0,95. Включен один из них. Какова вероятность обнаружить цель? 149. Турист, заблудившийся в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность его выхода из леса в течение часа составляет 0,6; если по второй – 0,3; если по третьей – 0,2; если по четвёртой – 0,1; если по пятой – 0,1. Какова вероятность того, что турист пошёл по первой дороге, если через час он вышел из леса? 150. Вероятность того, что выручка магазина в контрольный день превысит норму, оценивается в 2/3. Если это произойдет, менеджер получит премию с вероятностью 3/5. Если выручка не превысит норму, вероятность получения премии равна 3/10. Найти вероятность того, что менеджер получит премию по результатам выручки в контрольный день. 151. Из 14 стрелков 5 попадают в цель с вероятностью 0,8, 6 – с вероятностью 0,6 и 3 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. Какова вероятность того, что стрелок принадлежит второй группе? 152. На майские праздники в туристическом агентстве бронируются групповые путевки на новый тур в Вену. Статистика броней такова: 3 % – коммерческие предприятия, 5 % – школьные группы, 2 % – студенческие группы, остальные – физические лица. С вероятностями 0,05; 0,04; 0,07 и 0,1 соответственно брони могут быть отменены. Поступил заказ на бронь путевки, какова вероятность, что она будет отменена? 153. Студент-прогульщик может подняться в библиотеку либо на лифт, либо пешком. Вероятность встретиться с преподавателем в лифте 0,6, а на лестнице – 0,7. Найти вероятность того, что он избежит нежелательной встречи с преподавателем. 154. На любой из позиций импульсного кода могут быть с равной вероятностью переедена «0» (отсутствие импульса) и «1» (импульс). Помехами «1» преобразуется в «0» с вероятностью 0,02 и «0» в «1» с вероятностью 0,04. а) Найти вероятность приема «0» на конкретной позиции кода; б) найти вероятность того, что был передан «0», если принят «0». 155. По статистике таможеной службы Приморского края 30 % иностранцев, проходящих таможенный контроль, – граждане Японии, 60 % – граждане Китая, 10 % – граждане Кореи. Целью визита каждого третьего японца, каждого второго китайца и каждого пятого корейца является трудоустройство на территории России. Найти вероятность того, что случайно взятый иностранец приехал с целью трудоустройства. 156. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 10 отличников, 7 – подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно, 3 человека плохо подготовленных. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15, а плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятность того, что вызванный наудачу студент подготовлен отлично. 157. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% всей продукции, второй 35%, третий 25%. Из продукции первого завода спешат 10% часов, у второго 15%, у третьего 20%. Какова вероятность того, что купленные часы спешат? 158. На город примерно 103 дней в году дует ветер с севера и 196 дней в году – с запада. Промышленные предприятия, расположенные на севере, производят выброс вредных веществ каждый третий день, а расположенные на западе – в последний день каждой недели. Как часто город подвергается воздействию вредных выбросов? 159. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму—0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. 160. Известно, что из имеющих хождение 100-долларовых купюр 0,5 % фальшивых, из 20-долларовых купюр – 0,2 % фальшивых и из 5-долларовых купюр – 0,05 % фальшивых. В конверте лежат $ 1500, причем по $ 500 100-долларовыми, 20-долларовыми и 5-долларовыми купюрами. а) Найти вероятность, что наугад вынутая из конверта купюра фальшивая. б) Наугад вынутая из конверта купюра оказалась фальшивой. Найти вероятность, что это 100-долларовая купюра. 161. Издательство разослало демо-версии на новую компьютерную программу, которые получили 70% профессоров, читающих курс информационных систем в различных учебных заведениях. Отобрали и приняли эту программу для преподавания 40% профессоров, получивших рекламные версии и 20% не получивших их. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный профессор не принял эту программу для преподавания? 162. Задача с решением. Имеются две шкатулки. В первой лежат два кольца и три перстня, во второй одно кольцо и три перстня. Из первой шкатулки переложили во вторую одно изделие, а затем из второй извлекли одно изделие. Какова вероятность, что это будет кольцо? Решение. Пусть событие – взятое из второй шкатулки изделие оказалось кольцом. Обозначим также события: событие – из первой шкатулки во вторую переложили одно кольцо, событие – из первой шкатулки во вторую переложили один перстень. Найдем вероятность события : . Так как всего в первой шкатулке изделий, а всего в первой шкатулке кольца, то по формуле классической вероятности: . Аналогично находим вероятность . Вероятности условных событий: вероятность извлечения из второй шкатулки 1 кольца, при условии, что из первой шкатулки было переложено одно кольцо ; вероятность извлечения из второй шкатулки одного кольца при условии, что из первой шкатулки был переложен один перстень . Вероятность того, что случайно взятое из второй шкатулки изделие оказалось кольцом вычисляется по формуле полной вероятности: ; . Ответ: . 163. Задача с решением. В I корзине 3 зелёных и 2 красных яблока, во II 4 зелёных и 8 красных. Из I во II переложили наудачу 2 яблока, после чего из II взяли наугад яблоко, оказавшееся красным. Найти вероятность того, что переложили зелёные яблоки. Решение. Пусть событие – взятое из II корзины яблоко оказалось красным. Обозначим также события: событие – из I корзины во II корзину переложили два зеленых яблока, событие – из I корзины во II корзину переложили одно зеленое и одно красное яблоко, событие – из I корзины во II корзину переложили два красных яблока. Найдем вероятность события : . Так как всего в первой корзине яблок, и всего в первой корзине зеленых яблока, то вероятность события вычисляем по формуле: . Найдем вероятность события : . В этом случае, учитывается общее количество яблок в I корзине, а также количество зеленых яблок и красных яблок в корзине. Тогда вероятность события вычисляем по формуле: . Найдем вероятность события : . Также учитываем, что всего в первой корзине яблок, и всего в первой корзине красных яблок, то вероятность события вычисляем по формуле: . Вычислим вероятности условных событий: – вероятность извлечения из II корзины одного красного яблока, при условии, что из I корзины было переложено два зеленых яблока ; – вероятность извлечения из II корзины одного красного яблока при условии, что из I корзины были переложены одно зеленое и одно красное яблоки ; – вероятность извлечения из II корзины одного красного яблока, при условии, что из I корзины было переложено два красных яблока . Вероятность того, что случайно взятое из II корзины яблоко оказалось красным вычисляется по формуле полной вероятности: ; . Вероятность того, что при условии выполнении события , из I корзины во II корзину были переложены зеленые яблоки, вычисляется по формуле Бейеса: . Ответ: . 164. Задача с решением. В первой урне 2 белых 3 черных шара. Во второй – 4 белых 2 черных. Из каждой урны по одному шару кладут в третью урну. Из третьей урны берут шар. Найти вероятность, что он белый. Решение. Пусть событие – взятый из третьей урны шар оказался белым. Обозначим следующие события: событие – из первой урны в третью переложили 1 белый шар, из второй урны в третью переложили 1 белый шар, событие – из первой урны в третью переложили 1 белый шар, из второй урны в третью переложили 1 черный шар, событие – из первой урны в третью переложили 1 черный шар, из второй урны в третью переложили 1 белый шар, событие – из первой урны в третью переложили 1 черный шар, из второй урны в третью переложили 1 черный шар. Найдем вероятность события : ; вероятность события : ; вероятность события : ; вероятность события : . Вычислим вероятности условных событий: – вероятность извлечения из третьей урны одного белого шара, при условии, что из первой урны в третью переложили 1 белый шар, из второй урны в третью переложили 1 белый шар ; – вероятность извлечения из третьей урны одного белого шара, при условии, что из первой урны в третью переложили 1 белый шар, из второй урны в третью переложили 1 черный шар ; – вероятность извлечения из третьей урны одного белого шара, при условии, что из первой урны в третью переложили 1 черный шар, из второй урны в третью переложили 1 белый шар ; – вероятность извлечения из третьей урны одного белого шара, при условии, что из первой урны в третью переложили 1 черный шар, из второй урны в третью переложили 1 черный шар . Вероятность того, что случайно взятый из третьей урны шар оказался белым вычисляется по формуле полной вероятности: ; . Ответ: . 165. В первой шкатулке находится 1 золотая и 9 серебряных монет, во второй – 23 золотых и 7 серебряных монет. Из каждой шкатулки достают по одной монете, а затем из этих двух монет выбирают наугад еще одну. Какова вероятность, что она – золотая? 166. На складе имеется два мешка муки. Грузчик принес еще один мешок муки 1 сорта. Найти вероятность того, что взятый мешок окажется мешком муки 1-го сорта, если равновозможны любые предположения о первоначальном сорте муки. 167. В лесхозе 50% посадок составляет сосна; 40% береза и 10% ель. Вероятность поражения грибковыми заболеваниями для этих деревьев составляет 0,3; 0,6 и 0,8 соответственно. При санитарном осмотре было выбраковано дерево. Какова вероятность того, что это дерево ель? 168. На I складе имеется 12 изделий, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 17 изделий, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается по одному изделию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказалось небракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада? 169. На столе лежат 3 колоды по 36 карт в каждой. Из первой колоды берут даму пик и даму треф, из второй – даму червей, из третьей – даму треф. Все взятые карты откладываются в сторону. После этого из наугад выбранной колоды берут первую попавшуюся карту. Какова вероятность того, что эта карта окажется дамой? 170. Имеются две корзины с 12 и 10 грушами, причем в каждой корзине одна груша – зелёная. Груша, взятая наудачу из первой корзины, переложена во вторую, после чего из второй корзины наугад берут одну грушу. Определите вероятность того, что выбрана зелёная груша. 171. Директор завода имеет два списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке фамилии пяти женщин и двух мужчин. Во втором списке оказались фамилии двух женщин и шести мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчин, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины? 172. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго сорта – 50%, третьего сорта – 10%. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта равна 0,8, второго – 0,5, третьего – 0,3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно. 173. Задача с решением. Из частных банков, работающих в городе, нарушения в уплате налогов имеют место в банках. Налоговая инспекция проводит проверку трех банков, выбирая их из банков случайным образом. Выбранные банки проверяются независимо один от другого. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью . Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов? Решение. Обозначим через случайное событие, вероятность которого надо определить: – в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов. Введем гипотезы: – среди выбранных для проверки трех банков ровно в банках имеют место нарушения в уплате налогов, где ; события , , , образуют полную группу несовместных событий. Вероятность события можно будет найти по формуле полной вероятности: . Вычислим вероятности гипотез: ; ; ; . Проверим условие нормировки . Найдем условные вероятности события относительно каждой гипотезы, т.е. найдем вероятности того, что нарушения в уплате налогов будут выявлены хотя бы в одном из проверяемых трех банков в каждом рассматриваемом случае. Вероятность можно найти по формуле (т.к. банки проверяются независимо один от другого) , где ; . , действительно, события и несовместны; ; ; . Вероятность искомого события найдем по формуле полной вероятности: . Ответ: . 174. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому же шоссе, как 2:1. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и одна из 25 легковых машин подъезжают к бензоколонке для заправки. Найти вероятности следующих событий: по шоссе проедет легковая машина, и она будет заправляться. 175. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 6 черных шаров. Из первого ящика во второй перекладывается два шара, после чего из второго ящика вынимается три шара. Какова вероятность, что эти шары белого цвета? 176. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных, во второй коробке 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная теперь из первой коробки лампа окажется стандартной. 177. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна для лыжника 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму. 178. Сборщик получил 5 коробок деталей, изготовленных первым заводом, и две коробки деталей, изготовленных вторым заводом. Вероятность того, что деталь первого завода стандартна, равна 0,8, второго – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу выбранной коробки. Она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена первым заводом. 179. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% – с заболеванием Р и 20% – с заболеванием М. Полное излечение от этих болезней в среднем составляет соответственно 70%, 80% и 90% случаев. Больной, поступивший в больницу, был выписан полностью здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К. 180. В урну, содержащую 4 шара, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все предположения о первоначальном составе шаров по цвету. ТЕМА 5. Повторные независимые испытания Контрольные вопросы 1. Опишите схему повторных независимых испытаний с двумя исходами. 2. Запишите формулу Бернулли и укажите условия ее применения. 3. Запишите формулу Пуассона и укажите условия ее применения. 4. Запишите локальную теорему Муавра-Лапласа. 5. Запишите интегральную теорему Муавра-Лапласа. 6. Запишите формулу для нахождения наивероятнейшего числа наступлений события А в схеме n повторных независимых испытаний. Практические задания по теме 181. Задача с решением. Прибор состоит из 10 узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) для каждого узла равна 0,95. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за время t откажет ровно один узел. Решение. Пусть событие A – за время t откажет ровно один узел. Так как узлы выходят из строя независимо друг от друга и вероятности наступления события A в каждом испытании одинаковы, то решение задачи находим по формуле Бернулли: . В этой формуле , , за p примем вероятность выхода из строя каждого узла, т.е. . Тогда q – вероятность безотказной работы каждого узла: . Таким образом, искомая вероятность: . Ответ: . 182. 30% изделий данного предприятия – это продукция высшего сорта. Некто приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того, что 4 или 5 из них высшего сорта? 183. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6. Он собирается произвести 10 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадёт в цель три раза. 184. Задача с решением. После изготовления 12 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака каждой детали одинакова (независимо от других) и равна 0,3. Найти вероятность того, что: 1) проверку успешно пройдут ровно 11 деталей; 2) будет менее двух бракованных деталей. Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами (общее число деталей), (вероятность появления брака при проверке детали). Вероятность того, что проверку пройдут ровно деталей будем искать по точной формуле Бернулли: . 1) Проверку успешно пройдут ровно 11 деталей. Подставляем: . 2) Будет менее двух бракованных деталей (или 0, или 1 бракованных, тогда или 12, или 11 качественных деталей). . Ответ: 1) ; 2) . 185. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Какова вероятность того, что лицо, имеющее шесть билетов, выиграет: а) по двум билетам; б) по трем билетам; в) хотя бы по одному билету? 186. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы одна из них выпадет с цифрой 6. 187. Вероятность поражения цели стрелком равна 0,2. Произведено 6 выстрелов. Найти вероятность того, что а) цель будет поражена 3 раза, б) цель будет поражена не менее четырех раз. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. 188. Вероятность того, что лампа остаётся исправной после года работы, равна 0.4. Найти вероятность того, что из четырех ламп после года работы останутся исправными не менее двух. 189. Вероятность того, что выручка магазина в будний день превысит норму, оценивается в 2/3. Персонал получит премию, если дневная выручка превысит норму не менее чем четыре раза в течение рабочей недели. Найти вероятность того, что персонал получит премию. 190. Монетку подбрасывают на орла и решку 3 раза. Найти вероятность того, что решка появится более одного раза. 191. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 8/10. Производится 7 выстрелов. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз. 192. В закрытом ящике находятся 3 шара белого цвета и 4 шара черного цвета. Шар наудачу извлекают и возвращают в ящик три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется: а) ровно два белых шара; б) не менее двух белых шаров. 193. Вероятность того, что ателье своевременно выполнит заказ, равна 0,8. Какова вероятность того, что из 6 заказов будут выполнены своевременно по крайней мере 5? 194. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будет продано 5 пакетов; б) 2 пакета. Среди скольких пакетов хотя бы один с вероятностью не менее 0,5 продастся по первоначальной цене. 195. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий в течение года прекратят свою деятельность: а) не менее 75% предприятий, б) четыре предприятия. 196. Вероятность сдать экзамен по высшей математике с первой попытки равна 0,4. Какова вероятность того, что из 15 сдающих экзамен сразу сдадут 6 человек? 197. Задача с решением. После изготовления 100 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака каждой детали одинакова (независимо от других) и равна 0,25. Найти вероятность того, что: 1) проверку успешно пройдут ровно 80 деталей; 2) будет менее двух бракованных деталей. Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами (общее число деталей), (вероятность появления брака при проверке детали). Вероятность того, что проверку пройдут ровно деталей будем искать по приближенной формуле – локальной теореме Лапласа: , где значения функции берутся из таблицы. 1) Проверку успешно пройдут ровно 80 деталей. Подставляем: 2) Будет менее двух бракованных деталей. Ответ: 1) ; 2) . 198. Задача с решением. После изготовления 800 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству. Вероятность брака каждой детали одинакова (независимо от других) и равна 0,005. Найти вероятность того, что: 1) проверку успешно пройдут ровно 790 деталей; 2) будет менее двух бракованных деталей. Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами (общее число деталей), (вероятность появления брака при проверке детали). Вероятность того, что проверку пройдут ровно деталей (т.е. бракованными окажутся деталей) будем искать по приближенной формуле Пуассона: . 1) Проверку успешно пройдут ровно 790 деталей (и не пройдут 10 деталей). Подставляем: . 2) Будет менее двух бракованных деталей (или 0, или 1). . Ответ: 1) ; 2) . 199. Задача с решением. Вероятность того, что саженец ели прижился и будет расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что нормально вырастет: а) ровно 250 деревьев; б) не менее 250 деревьев. Решение. Число испытаний велико; вероятность появления события немала; ; , поэтому воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа. а) Имеем: , , , , , , . Функция четная, поэтому . По таблице 1 приложения (т.к. при , полагают ). По локальной приближенной формуле Лапласа получим . б) Требование, чтобы событие появлялось не менее 250 раз, означает, что максимально допустимое число появлений события равно числу испытаний, т.е. . Имеем: , , , , , , , , . Функция нечетная, поэтому . По таблице 2 приложения находим , (т.к. при полагают ). По интегральной приближенной формуле Лапласа имеем . Ответ: а) ; б) . 200. Найти вероятность, что 12000 бросаний игральной кости приведут к выпадению шестерки менее 1940 раз. 201. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,8. Что вероятнее: поразить мишень семь раз при десяти выстрелах или 140 раз при двухстах выстрелах? 202. Всхожесть клубней картофеля равна 90%. Посажено 1000 клубней. Определите вероятность того, взойдет: а) не менее 800, б) ровно 800 клубней. Каковы будут среднее и наиболее вероятное количества взошедших клубней? 203. При данном технологическом процессе 79% всей продукции – 1-го сорта. Найти наивероятнейшее число первосортных изделий из 240 изделий и вероятность этого события. 204. Произведено 100 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле 0,95. Найти вероятность того, что попали 96 раз; не менее 96 раз. 205. 3/4 костюмов, пошитых фабрикой «Авангард» – продукция 1-го сорта. Найти вероятность, что в партии из 600 костюмов число костюмов 1-го сорта от 440 до 470. 206. В отделении «Анестезиологии и реаниматологии» лежат 100 больных. Вероятность тяжелого осложнения у произвольного больного составляет 0,3. Лечение в таком случае обойдется больнице в 150 у.е. Найдите вероятность того, что на дополнительное лечение больных, находящихся в этом отделении, будет затрачена сумма: а) 4500 у.е., б) превышающая 4050 у.е. 207. В лотерее каждый десятый билет выигрывает 5 у.е. Продано 300 билетов этой лотереи. Какова вероятность того, что суммарный выигрыш по билетам лотереи а) составит 150 у.е., б) будет лежать в пределах от 255 у.е. до 755 у.е. 208. При данном технологическом процессе 83% всех сходящих с конвейера автозавода автомобилей – цвета «металлик». Найти вероятность того, что: а) из 5 случайно отобранных автомобилей будет 4 цвета «металлик»; б) из 280 проданных автомобилей будет не менее 220 цвета «металлик». 209. В жилом доме имеется ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между и . 210. Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий: а) не будут иметь дефект 342 изделия; б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий. 211. По данным опроса установлено, что 30% покупателей требуется женская обувь 37 размера. Известно, что ежедневно магазин посещает в среднем 189 человек. Найти: а) наивероятнейшее число покупателей, которым потребуется женская обувь 37 размера, и вычислить соответствующую этому событию вероятность; б) вероятность того, что обувь 37 размера понадобится от 120 до 150 покупателям. 212. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найдите вероятность того, что шестерка выпадает: а) два раза; б) не более восьми раз; в) хотя бы один раз. 213. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех; в) наивероятнейшее число проросших семян. 214. При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в цель равна . Проводится 6 выстрелов. Какова вероятность ровно двух попаданий? 215. Задача с решением. Вероятность допустить ошибку при наборе отдельного знака равна 0,005. Найти вероятность того, что при наборе текста из 800 знаков допущено: а) 3 ошибки; б) не более 2-х ошибок; в) не менее 3-х и менее 5 ошибок. Решение. Число велико, вероятность мала и рассматриваемые события (появление ошибок при наборе отдельного знака) независимы, поэтому применим формулу Пуассона , где . а) Найдем вероятность того, что среди 800 знаков будет допущено 3 ошибки: . б) Найдем вероятность того, что среди 800 знаков допущенных ошибок будет не более 2-х (т.е. или 0, или 1, или 2): . в) Найдем вероятность того, что среди 800 знаков допущенных ошибок будет не менее 3-х и менее 5 (т.е. или 3, или 4): . Ответ: а) ; б) ; в) . 216. Задача с решением. Страховая фирма заключила 1000 договоров. Взнос каждого застрахованного составляет 500 руб. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 0,5 %? А страховая сумма, выплачиваемая в этом случае, равна 50000 руб. Найти вероятность того, что страховая компания потерпит убыток. Решение. По условию задачи, во время страхования фирма получила взносов на сумму Так как страховая сумма составляет 50000 руб., то суммы взносов без убытка страховой фирмы хватит на случаев. Если страховых случаев окажется больше 10, то фирма потерпит убыток. Таким образом, событие состоит в том, что в течение года произойдет более 10 страховых случаев, т.е. 11 и более (до 1000). Вероятность каждого страхового случая равна . Так как , то можно использовать формулу Пуассона , где . Итак, вычислим противоположную вероятность того, что произойдет не более 10 страховых случаев, т.е. 0, 1, 2, …, 10. Тогда искомая вероятность будет равна . Ответ: . 217. Вероятность того, что пассажир опоздает к отлету самолета равна 0,02. Какова вероятность того, что самолет, имеющий 100 мест и на который проданы все билеты, будет заполнен не менее, чем на 98%? 218. Задача с решением. Семена содержат 0,1% сорняков. Оценить вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет найдено от 10 до 13 сорняков. Решение. Вероятность того, что семена содержат сорняки . Всего количество семян . Так как , для вычисления соответствующих вероятностей применяем формулу Пуассона: . Вычислим вероятности для , , , : ; ; ; . Тогда искомая вероятность того, что сорняков будет найдено от 10 до 13 Ответ: 219. Задача с решением. Найти вероятность того, что из 730 человек более двух родились первого января. Решение. Событие, состоящее в том, что человек родился первого января, является независимым для каждого человека. Вероятность родиться первого января будет , она достаточно мала, поэтому применим формулу Пуассона: , где . Событие «первого января родились более двух человек» противоположно событию «первого января родились не более двух человек», которое произойдет, если наступит одно из следующих несовместных событий: – два человека родились первого января; – один человек родился первого января; – ни один человек не родился первого января. Поэтому искомая вероятность того, что за первого января родились более двух человек будет определяться по формуле: . Ответ: . 220. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что число бракованных деталей среди 1000 не менее 7 и не более 10. 221. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что каждое двадцатое малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 100 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 4 малых предприятия; б) не менее двух малых предприятий. 222. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листовки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из тысячи следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 5000 рекламных листков число заказов будет: а) равно трем, б) не менее трех. 223. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна p = 0,02. Поступило п= 500вызовов. Определить вероятность т= 8«сбоев». 224. Вероятность осечки при одном выстреле равна 0,002. Какова вероятность осечки два или более раз, если число выстрелов равно 3000? 225. Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков равна 0,005. Найдите вероятность того, что при наборе будет допущено: а) 6 ошибок; б) хотя бы одна ошибка; в) наивероятнейшее число ошибок. 226. В урне 15 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд четыре шара, причем каждый раз вынутый шар возвращали обратно. Какова вероятность, что из четырех шаров два белые? 227. Вероятность появления события А равна 0,6. Какова вероятность того, что событие А появится в 12 испытаниях не менее трех раз? 228. Монета брошена 9 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы 1 раз? 229. Игральная кость бросается 5 раз. Найдите вероятность того, что 2 раза появится число очков, кратное трем. 230. По данным технического контроля 2% изготовленных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из шести изготовленных станков четыре нуждаются в дополнительной регулировке. 231. В семье пять детей. Найдите вероятность того, что среди детей два мальчика, если вероятность рождения мальчика принимается 0,4. 232. Контрольное задание состоит из 12 вопросов, предусматривающих ответы "да" и "нет". Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст учащийся, если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов. 233. На автобазе имеется 15 автомобилей. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,7. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не меньше семи автомобилей. 234. В хлопке 75% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу трех волокон окажутся 2 длинных волокна? 235. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. 236. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. 237. За один час магазин посетили покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого из них . Пусть – число покупателей, совершивших покупку. Найдите вероятность а) по формуле Бернулли при , , ; б) по формуле Лапласа при , , . 238. Для освещения магазина используется электрических лампочек. Вероятность перегореть в течение года для каждой из них . Пусть – число перегоревших в течение года лампочек. Найдите вероятность а) по формуле Бернулли при , , ; б) по формуле Лапласа при , , . 239. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия. 240. Из одной ЭВМ в другую необходимо переслать файл объемом 10 000 символов. Вероятность ошибки при передаче символа составляет 0,001. а) Определить вероятность безошибочной передачи файла; б) вычислить вероятность того, что в переданном файле будет ровно 10 ошибок; в) определить, какова должна быть вероятность ошибки при передаче одного символа, чтобы вероятность передачи всего файла без ошибок составила 0,99. 241. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %. Найдите вероятность того, что из 700 посаженых семян будет 500 проросших. 242. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70 %. Найдите наивероятнейшее число всхожих семя в партии из 240семян. 243. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей. 244. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найдите вероятность того, что из 500 отобранных деталей окажется: а) три бракованных; б) не более восьми бракованных деталей. 245. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 3 дня окажутся дождливыми? 246. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (без ничьих) одну партию из трех или две из четырех? 247. Вероятность хотя бы одного появления события А в трех опытах равна 26/27. Найти вероятность появления А в каждом опыте. 248. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз. 249. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления А в одном испытании равна 0,4. 250. Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8. 251. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Устройство откажет, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за это время. |