nchti_Шемелова_Макусева. Основные теоремы теории вероятностей учебное пособие
 Скачать 4.12 Mb.
|
|
ТЕМА 2. Вероятность случайного события Контрольные вопросы 1. Что понимается под «равновозможными исходами испытания»? 2. Приведите примеры испытаний и назовите число равновозможных исходов этих испытаний. 3. Приведите пример события и перечислите исходы испытания, благоприятствующие этому событию. 4. Что называется вероятностью случайного события? 5. Дайте определение вероятности случайного события : а) классическое; б) геометрическое. 6. Что называется относительной частотой появления события ? В чем заключается свойство устойчивости относительной частоты? 7. Что называется статистической вероятностью события ? Практические задания по теме 36. Задача с решением. В библиотеку поступило 100 учебников, среди которых 3 c дефектом переплета. Какова вероятность того, что среди 4 наудачу взятых учебников 1 окажется с дефектом переплета. Решение. Пусть событие – среди четырех наудачу взятых учебников один окажется с дефектом переплета. Общее число всех случаев, которыми можно извлечь 4 учебника из 100, есть . Найдем число способов, которыми можно выбрать один дефективный учебник из трех, поступивших в библиотеку, т.е. . Кроме того, учтем число комбинаций, которыми можно извлечь 3 учебника без дефекта переплета из 100 – 3 = 97 поступивших в библиотеку, таких комбинаций . По правилу произведения общее число случаев благоприятствующих событию , равно . Итак, Ответ: . 37. В партии готовой продукции из 13 имеется 7 изделий повышенного качества. Наудачу отбираются 6 изделий. Какова вероятность, что четыре из них будут повышенного качества? 38. В клетке содержится 18 кур. Из них 6 не вакцинированы. Из клетки достают 4 курицы. Какова вероятность, что 2 из них вакцинированы? 39. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность, что в делегацию войдут две женщины. 40. Задача с решением. Совет директоров компании состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры? Решение. Пусть событие – все трое членов подкомитета – бухгалтеры. Общее число всех случаев, которыми можно выбрать трех человек из 3 бухг. + 3 менед. + 2 инж. = 8 чел., есть . Найдем число способов, которыми можно выбрать трех бухгалтеров из трех, состоящих в совете директоров компании, т.е. . Итак, . Ответ: . 41. Задача с решением. Из 20 проданных за две недели фотоаппаратов 5 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 6 фотоаппаратов (из числа проданных) окажется не более одного со скрытыми дефектами. Решение. Пусть событие – среди шести наудачу выбранных фотоаппаратов (среди проданных) окажется не более одного со скрытыми дефектами, т.е. один или ни одного фотоаппарата. Следовательно, , где событие – среди выбранных фотоаппаратов будет один со скрытыми дефектами, событие – ни один из выбранных фотоаппаратов не содержит скрытого дефекта. Общее число всех случаев, которыми можно выбрать 6 фотоаппаратов из 20, есть . Найдем число способов, которыми можно выбрать один со скрытыми дефектами из пяти, т.е. . Кроме того, учтем число комбинаций, которыми можно выбрать 5 исправных фотоаппаратов из 20 – 5 = 15 проданных, таких комбинаций . По правилу произведения общее число случаев благоприятствующих событию , равно . Найдем число способов, когда среди выбранных фотоаппаратов не окажется со скрытыми дефектами, т.е. . Кроме того, учтем число комбинаций, которыми можно выбрать 6 исправных фотоаппаратов из 20 – 5 = 15 проданных, таких комбинаций . По правилу произведения общее число случаев благоприятствующих событию , равно . Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию , равно . Итак, по формуле классической вероятности получаем . Ответ: . 42. Задача с решением. В группе из 12 студентов 5 получают стипендию. Отобраны 9 студентов. Какова вероятность того, что трое из них получают стипендию? Решение. Пусть событие – среди девяти отобранных студентов окажутся трое, получающих стипендию. Общее число всех случаев, которыми можно отобрать 9 человек из 12, есть . Найдем число способов, которыми можно выбрать троих студентов из пяти, получающих стипендию, т.е. . Кроме того, учтем число комбинаций, которыми можно выбрать 9 – 3 = 6 студентов из 12 – 5 = 7 студентов, не получающих стипендию, таких комбинаций . По правилу произведения, общее число случаев, благоприятствующих событию , равно . Итак, Ответ: . 43. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на предстоящую конференцию. Найти вероятность события {не будет выбрано ни одного второкурсника}. 44. Среди 20 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрываются 5 билетов в театр. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся не менее трех девушек. 45. В ящике имеется 14 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что более 1 из извлеченных деталей окажутся окрашенными. 46. В цехе работают 6 мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наугад отобраны 5 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется хотя бы одна женщина. 47. Задача с решением. В мешочке имеются карточки, на каждой из которых написано по одной букве данного слова «телефон». Случайным образом из мешочка достают последовательно по одной карточке. Найти вероятность того, что на расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть исходное слово. Решение. Пусть событие – карточки будут вынуты в порядке следования букв «телефон». Из семи данных букв можно составить семибуквенных «слов». Слово «телефон» при этом появится лишь один раз, т.е. . Поэтому вероятность появления слова «телефон» (событие ) равна . Ответ: . 48. Слово «ИНФОРМАТИКА» разрезали на буквы, 5 из них выложили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КОФТА»? 49. Слово «МАТЕМАТИКА» разрезали на буквы, 5 из них выложили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «АТАКА»? 50. Из букв составлено слово «логика». Это слово рассыпали и произвольно собрали заново. Какова вероятность того, что снова получится «логика»? 51. Из букв составлено слово «логика». Это слово рассыпали, произвольно выбрали 3 буквы и сложили из них слово. Какова вероятность того, что получится «лак»? 52. Задача с решением. В вазе 24 карамельные конфеты: клубничные, черничные и малиновые (количество конфет каждого вида одинаковое). Наугад взяли 12 штук. Найти вероятность того, что среди выбранных конфет: а) по 4 конфеты разного вида; б) среди выбранных конфет хотя бы две малиновые. Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 12 конфет из 24 имеющихся в вазе, то есть – число сочетаний из 24 элементов по 12. а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию {среди выбранных конфет по 4 конфеты разного вида}. Учитывая, что в вазе лежит по 8 клубничных, черничных и малиновых конфет, то получим . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: . б) Введем событие {среди выбранных конфет хотя бы две малиновые} и противоположное ему {среди выбранных конфет меньше двух малиновых конфет (или 0, или 1)}. Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию, учитывая, что в вазе клубничных и черничных конфет 8 + 8 = 16, а малиновых конфет 8 штук: . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов . Ответ: а) ; б) . 53. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 3 числа? 54. Одновременно подбрасывают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях каждой кости число очков разное. 55. Шестигранный игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность того, что выпадет менее трех или более четырех очков. 56. Задача с решением. Шестигранный игральный кубик подбрасывают два раза. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет не менее 6. Решение. Пусть событие – двукратном бросании игрального кубика, выпала сумма очков, не меньшая 6. Вероятность этого события найдем по классической формуле вероятности , где – число опытов, благоприятствующих событию , – общее число всех равновозможных опытов. Общее число всех равновозможных исходов при двукратном бросании игрального кубика равно . Найдем число исходов, благоприятствующих событию – выпала сумма очков, не меньшая 6, т.е. 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Для этого выпишем интересующие нас исходы:
Таких исходов . Поэтому вероятность события : . Ответ: . 57. Брошены два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что выпали разные грани? 58. В урне лежит 12 белых и 8 красных шаров. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что: 1) три из них красные; 2) красных шаров вынуто не более трех? 59. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, что они различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 60. Задача с решением. В первом ящике находится шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Во втором ящике – шары с номерами 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номера равна 11? Решение. Обозначим событие – сумма номеров на двух шарах равна 11. Задачу решаем по формуле классической вероятности . Найдем число всех равновозможных исходов . Так как с каждым шаром из первого ящика может быть вынут каждый шар из второго ящика, то – общее число всех равновозможных исходов. Среди этих исходов событию благоприятствуют 5 исходов: (1; 10), (2; 9), (3; 8), (4; 7), (5; 6). Следовательно, искомая вероятность . Ответ: . 61. В урне имеется сотня шаров, пронумерованных от 1 до 100. Какова вероятность того, что первый же извлеченный шар имеет номер четный или делящийся на 3? 62. На складе находится 4 телевизора «LG», 5 телевизоров «Sony» и 6 телевизоров «Akai». Для продажи в зал принесли 5 случайно взятых телевизоров. Определить вероятность того, что А = {среди взятых оказалось не менее 2 телевизоров «LG» и один «Sony} 63. При перевозке 102 деталей, из которых 3 были забракованы, утеряна 1 стандартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) окажется стандартной. 64. Из 17 волонтеров-студентов ВУЗа выбирают двоих для предварительной стажировки на месте проведения Олимпиады. Двое из них (Олег и Николай) хотели бы поехать. Какова вероятность, что их обоих выберут, если выбор происходит по жребию? 65. Из 40 книг среди которых трехтомник А.С. Пушкина, выбирается наугад 12 и выставляются на полку. Определить вероятность, что все три тома попадут на полку. 66. Среди кандидатов в студсовет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. В состав студсовета наудачу выбирают 5 студентов. Найти вероятность того, что в студсовете: B = {не менее трех студентов с третьего курса}; C = {не будет студентов второкурсников}, М = {будет 2 студента с первого курса}. 67. В магазине 17 плюшевых зайчиков, из них 5 белого цвета, 6 серого и 4 голубого. Детский сад закупил для детей 5 зайчиков. Какова вероятность того, что среди купленных окажется A = {3 зайчика белого цвета}, B = {все зайчики одноцветные}. 68. Экзаменационные работы абитуриентов зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11? 69. На кубике числа: 1, 2, 3, 4, 1, 2. Найти вероятности событий: = {при одном бросании выпадает более 2 очков} = {двух бросаниях произведение выпавших очков будет менее 6 очков}. 70. На 30 одинаковых жетонах написаны числа от 11 до 40. Какова вероятность вытянуть наугад жетон с номером, кратным 3 или 2? 71. Из карточек с 7 буквами составлено слово «колокол». Карточки перемешиваются, из них случайным образом отбирают 4 и выкладываются в ряд. Какова вероятность, что они образуют слово «клок»? 72. Задача с решением. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения. Решение. Пусть событие – точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Вероятность этого событие определим по формуле: , где – площадь кольца, – площадь большей окружности. Определим нужные площади, учитывая, что радиусы малой и большой окружностей равны соответственно , : ед2; ед2. Тогда искомая вероятность: . Ответ: . 73. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника в) правильного шестиугольника. (Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения внутри круга). 74. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан круг. Наудачу брошена точка. Найти вероятность попадания точки в область треугольника, не принадлежащую кругу. 75. Задача с решением. Положение чисел и равновозможно в любой точке отрезка [0,3]. Какова вероятность, что все значения многочлена неотрицательны? Решение. Функция графически представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Значение этого многочлена будет неотрицательным в том случае, когда эта парабола будет расположена выше оси , . Т.е. координата вершины параболы должна удовлетворять условию . Вершина такой параболы находится в точке . Значение находим, подставив в уравнение параболы. . Т.е. вершина параболы находится в точке . Чтобы значение многочлена было неотрицательным, и должны удовлетворять условию . Таким образом, данная задача сводится к поиску геометрической вероятности. Какова вероятность того, что из всех значений и , принадлежащих области , , будут выбраны значения, удовлетворяющие неравенству . Построим это условие на графике (рис. 1). Т.е. строим прямые , , , , а также параболу .
. Тогда искомая вероятность . Ответ: . 76. Задача с решением. В куб наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что точка окажется вне вписанного в куб шара. Решение. Пусть событие – брошенная в куб точка окажется вне вписанного в куб шара. Вероятность этого события вычислим по формуле: . Вычислим нужные объемы. Обозначим ребро куба . Тогда объем куба . Радиусом вписанного в куб шара будет служить величина , тогда объем шара: . Вычислим искомую вероятность: . Ответ: . 77. Задача с решением. Найдите вероятность того, что абсолютная величина разности двух чисел, наудачу выбранных из промежутка [0; 1], окажется меньше заданного числа . Вычислите эту вероятность при . Решение. Пусть событие – абсолютная величина разности двух чисел, наудачу выбранных из промежутка [0; 1], окажется меньше заданного числа . Т.е. при условии выбора двух чисел и , для этих чисел выполняется неравенство , где . Решение задачи сводится к определению геометрической вероятности: , где – это площадь квадрата со стороной 1 (удовлетворяет условию , ), – площадь области, удовлетворяющей неравенству , где . Неравенство можно записать в виде: ; Построим схематично область (рис. 2). Вычислим площадь заштрихованной фигуры : .
78. В круг радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что брошенные наугад внутрь круга 2 точки окажутся внутри квадрата. 79. В прямоугольном броневом щите размерами 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура 10 на 10 см. Какова вероятность того, что пуля, случайно попавшая в щит, попадет в амбразуру. 80. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной 10 см, случайно бросается монета радиусом 1.25 см. Найти вероятность того, что упавшая монета не заденет границу ни одного из треугольников. Решение. Рассмотрим бросание монеты в один правильный треугольник. В любой правильный треугольник со стороной можно вписать окружность радиуса площадью . Монета радиуса не заденет стороны треугольника, только если центр монеты попадет в круг радиуса с центром в центре треугольника. Площадь этого круга равна . Так как вероятность попадания центра монетки в какую-либо область вписанной окружности пропорциональна площади этой области, то, получается, что искомая вероятность равна отношению . Таким образом, получаем . Ответ: . 81. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найдите относительную частоту появления бракованных книг. 82. По цели произведено 20 выстрелов, зарегистрировано 18 попаданий. Найдите относительную частоту попаданий в цель. 83. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Студент, пришедший первым, ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найдите вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов). 84. Бросаются 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, окажется равной 8? 85. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров взятых шаров не меньше 7? 86. На полку ставят четырехтомное собрание сочинений. Какова вероятность, что в начале будет стоять первый том, а в конце – четвертый? 87. На 100 карточках написаны числа от 1 до 100. Определить вероятность того, что на случайно выбранной карточке содержится цифра 5? 88. Одновременно бросаются три игральные кости. Какова вероятность, что произведение выпавших очков 48? 89. Студент знает 15 из 25 вопросов программы. Вычислить вероятность того, что студент знает не менее 2 вопросов из билета, состоящего из трех вопросов. 90. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули 3 шара. Какова вероятность, что все они белые? 91. В конверте среди 90 фотокарточек находится две разыскиваемых. Из конверта наудачу извлечены 8 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется две нужных. 92. В цехе работают пять мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны четыре человека. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины. 93. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных изделий окажется хотя бы одно окрашенное. 94. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров взятых шаров не больше 11? 95. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули 3 шара. Какова вероятность, что среди них 2 белых? 96. Одновременно бросаются три игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков 36? |