nchti_Шемелова_Макусева. Основные теоремы теории вероятностей учебное пособие
 Скачать 4.12 Mb.
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИНижнекамский химико-технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет» ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Нижнекамск 2017 УДК 519.21 О-75 Печатается по решению редакционно-издательского совета НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ». Рецензенты: Яковлева Е.В., доктор педагогических наук, доцент; Гайфутдинов А.Н., кандидат физико-математических наук, доцент. O-75 Основные теоремы теории вероятностей : учебное пособие / сост. О.В. Шемелова, Т.Г. Макусева. – Нижнекамск : НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ», 2017. – 140 с. В учебном пособии предлагается большой набор задач, разбитых по темам. Задачи сборника охватывают все разделы теории, включаемые в начальный курс: простейшие вероятностные схемы, последовательности испытаний, случайные события. Кроме большого количества простых задач имеются задачи повышенной сложности, снабженные указаниями и решениями. Пособие предназначено для закрепления теоретических положений курса «Теория вероятностей и математическая статистика» на практических занятиях, для самостоятельного решения задач по основным темам, для проверки знаний студентов. Пособие предназначено для бакалавров всех направлений, изучающих теорию вероятностей в соответствии с учебными планами. Подготовлено на кафедре математики Нижнекамского химико-технологического института. УДК 519.21 © Шемелова О.В., Макусева Т.Г., 2017 © НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ», 2017 На дне глубокого сосуда Лежат спокойно n шаров. Поочередно их оттуда Таскают двое дураков. Сие занятье им приятно, Они таскают m минут И, взявши шар, его обратно В сосуд немедленно кладут. Ввиду условия такого Сколь вероятность велика, Что первый был глупей второго, Когда шаров он вынул k? В.П. Скитович ТЕМА 1. Комбинаторика. Контрольные вопросы 1. Перечислите основные виды комбинаций элементов конечных множеств. 2. Что называется перестановкой элементов n-множества? Запишите соответствующую формулу для определения числа перестановок. 3. Что называется размещением из n элементов множества по m элементов? Запишите соответствующую формулу для определения числа размещений из n элементов множества по m элементов. 4. Что называется сочетанием из n элементов множества по m элементов? Запишите соответствующую формулу для определения числа сочетаний из n элементов множества по m элементов. Практические задачи по теме 1. Задача с решением. В партии из 19 деталей имеется 8 стандартных. Определите, сколькими способами можно отобрать 4 детали, чтобы среди них были 3 стандартных. Решение. Всего выбирают 4 детали, среди которых должно быть 3 стандартных, а, следовательно, одна нестандартная. Три стандартные детали из 8 стандартных можно выбрать способами, а одну нестандартную деталь из 19 – 8 = 11 нестандартных можно выбрать способами. Тогда четыре детали, среди которых 3 стандартных и одна нестандартная, по правилу произведения можно выбрать способами. Ответ: 616 способами. 2. Задача с решением. Сколько словарей надо иметь, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, немецкого, английского, французского, итальянского – на любом из этих пяти языков? Решение. Поскольку важен порядок, с какого языка задается перевод на другой, то для ответа на вопрос необходимо найти число размещений из пяти по два. словарей. Ответ: 20 словарей. 3. Задача с решением. В баре имеется 15 различных столов и 10 мест для них. Сколькими способами можно поставить столы, чтобы изменить обстановку бара? Решение. Так как по условию задачи столы различны, значит расстановка каждого стола на определенное место изменит обстановку бара. Т.е. важен порядок, в котором будут расставлены 10 столов из 15: способов. Ответ: 10897286400 способами. 4. Задача с решением. В парке 10 различных аттракционов. По финансовым соображениям друзья могут выбрать из них не более 3-х. Сколько возможных вариантов выбора? Решение. Так как имеются 10 различных аттракционов, а в выборе участвуют не более 3-х (т.е. часть элементов), то речь идет о таких элементах комбинаторики, как размещения или сочетания. Рассуждаем далее, имеет ли значение порядок следования элементов? Порядок следования выбранных аттракционов не имеет значения, так как все равно в каком порядке друзья будут выбирать аттракционы, главное, что они были выбраны. Следовательно, речь идет о сочетаниях. Воспользуемся формулой размещений: . Учитывая исходные данные, получаем способов. Ответ: 120 вариантов. 5. Задача с решением. Сколькими различными способами из 8 книг можно выбрать несколько, но не менее двух? Решение. Набор из 8 книг образует множество из n = 8 различных элементов, так как книги различимы между собой. Взятые из этого множества книг образуют подмножество из i элементов. Взятые книг определяются лишь элементами, вошедшими в выбранный набор, неважно в каком порядке. Значит, количество способов, которыми можно выбрать книг из 8, можно вычислить как сочетание из 8 элементов по . Необходимо выбрать не менее двух книг, т.е. или 2 книги, или 3 книги, или 4 книги, или 5 книг, или 6 книг, или 7 книг, или 8 книг. Для подсчета количества способов выбора не менее двух книг из 8 можно воспользоваться формулой: . Вычислим способов. Ответ: 247 способами. 6. Задача с решением. В турнире участвуют 8 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия? Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 8 и отличается от других партий только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 8 элементов по 2. Их число находим по формуле или партий. Ответ: 28 партий. 7. Задача с решением. Типография выпустила 16 наименований книг и 17 наименований журналов. Сколькими способами можно составить посылку для библиотеки, содержащую 5 различных книг и 8 различных журналов? Решение. В состав посылки обязательно должны войти 5 различных книг и 8 различных журналов. В каком порядке были выбраны и положены в посылку эти предметы, не имеет значения, поэтому количество способов вычисляется с помощью сочетаний: способов. Ответ: способами. 8. Задача с решением. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля, если все цифре коды различны? Решение. Так как всего имеется 10 цифр (0, 1, …, 9) для составления пароля, а в выборе участвуют только 4 цифры (т.е. часть элементов), то речь идет о таких элементах комбинаторики, как размещения или сочетания. Рассуждаем далее, имеет ли значение порядок следования элементов? Порядок следования выбранных цифр имеет значение, так как при наборе выбранных цифр в разном порядке будут получаться различные пароли Следовательно, речь идет о размещениях. Воспользуемся формулой размещений: . Учитывая исходные данные, получаем комбинаций. Ответ: 5040 комбинаций. 9. В некотором городе телефонные номера состоят из буквы и пяти цифр. Буква может быть только А, В или Г. Первая цифра бывает 2, 3, 4 или 5, а остальные цифры могут быть любые. Сколько телефонов может быть установлено в этом городе? 10. Бросают две игральных кости. Сколько различных пар чисел может выпасть? (Нужно учесть, что 1 на первой кости и 2 на второй или 2 на первой и 1 на второй – это разные пары, т.е. разные соединения). 11. В группе из 20 человек проводиться собрание. Сколькими способами можно избрать председателя, его заместителя и секретаря? 12. На том же собрании 20 человек, где избирали председателя, заместителя и секретаря, нужно выбрать делегацию на конференцию в составе трех человек. 13. На трех карточках написаны цифры 1, 2, 3. Сколько различных трехзначных чисел можно составить переставляя местами эти карточки? 14. 15 спортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебренную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между спортсменами? 15. Имеется 20 наименований товаров. Сколькими способами их можно распределить по трем магазинам, если известно, что в первый магазин должно быть доставлено восемь наименований, во второй – семь наименований и в третий – пять наименований товаров? 16. Сколько можно составить сигналов из 9 флажков различного цвета, взятых по 3? 17. Задача с решением. Из 9 человек надо выбрать 4 человека и разместить их на четырех занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле). Сколькими способами это можно сделать? Решение. Так как имеются 9 человек, а в выборе участвуют 4 (т.е. часть элементов), то речь идет о таких элементах комбинаторики, как размещения или сочетания. Рассуждаем далее, имеет ли значение порядок следования элементов? Безусловно, так как стулья пронумерованы, и способы, когда человека «Х» посадили на стул № 1 и на стул № 2 и т.д. считаются различными. Следовательно, речь идет о размещениях. Воспользуемся формулой размещений: . Учитывая исходные данные, получаем способа. Ответ: 3024 способа. 18. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выделить актив в следующем составе: староста, редактор стенгазеты, профорг? 19. В шахматном турнире участвуют 10 школьников и 20 студентов. Сколькими способами могут распределиться три призовых места, занятые в турнире, если никакие два участника не набрали одинаковое количество очков? 20. Сколько различных образцов билетов с указанием станции отправления и назначения нужно отпечатать для железной дороги с 40 станциями? 21. Сколькими различными способами можно выбрать три лица на три различные должности из 50 кандидатов? 22. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с любого из 8 языков на любой другой из этих 8 языков? 23. Задача с решением. Сколько шестизначных телефонных номеров можно составить из цифр от 1 до 9, если цифры не повторяются? Цифры повторяются? Решение. Поскольку имеется существенная разница, в каком порядке следуют друг за другом цифры в номере телефона, количество таких номеров вычисляется с помощью размещений. В случае если телефонный номер состоит из 6 цифр и цифры не повторяются, используется формула размещений , в которой , . Получим шестизначных телефонных номеров, в которых цифры не повторяются. В случае если телефонный номер состоит из 6 цифр и цифры могут повторяться, используется формула размещений с повторениями , в которой , . Получим шестизначный телефонный номер, в которых цифры не повторяются. Ответ: 60480; 531441. 24. Задача с решением. Решить уравнение и систему: а) ; б) Решение. а) Так как, по определению, факториал существует только для целых неотрицательных чисел, то областью определения уравнения служат неравенства: . Раскрывая и сокращая факториалы, приводим данное выражение к квадратному уравнению: ; ; ; ; ; или ; или ; ; ; ; ; . Из четырех найденных корней области определения удовлетворяет только . б) Из определения таких элементов комбинаторики, как размещения и сочетания следует, что , а также формулы для их вычислений: ; . Преобразуем систему к виду: Из первого уравнения выразим и подставим во второе уравнение: ; ; ; ; ; ; ; . Вернемся к подстановке : ; ; ; . Методом перебора из делителей свободного члена (равного 60) определяем, что является корнем этого уравнения. Разделим многочлен левой части уравнения на линейный бином : Отсюда уравнение можно записать в виде . Решая квадратное уравнение , , делаем вывод, что оно действительных корней не имеет. Итак, получили единственную пару переменных , . Ответ:а) ; б) , . 25. Решить комбинаторные уравнения и неравенства: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) . ТЕМА 2. Случайные события. Действия над событиями Контрольные вопросы 1. Перечислите основные понятия теории вероятностей. 2. Какие события называются достоверными? Приведите пример. 3. Какие события называются невозможными? Приведите пример. 4. Какие события называются случайными? Приведите пример. 5. Какие события называются совместными? Приведите пример, изобразите с помощью диаграмм Эйлера. 6. Какие события называются несовместными? Приведите пример, изобразите с помощью диаграмм Эйлера. 7. Какие события называются равновозможными? Приведите пример. 8. Какие события называются противоположными? Приведите пример. 9. Какие события образуют полную группу событий? Приведите пример. 10. Какие операции можно проводить над событиями? Дайте определения суммы, произведения событий. Приведите пример, изобразите с помощью диаграмм Эйлера. Практические задания по теме 26. Если событие – выигрыш по билету одной лотереи, событие – выигрыш по билету другой лотереи, то событие означает… 27. Если событие – выигрыш по одному билету одной лотереи, событие – выигрыш по билету другой лотереи, то событие означает… 28. При подбрасывании игральной кости выпадении числа очков, равное 3, обозначим через событие , а выпадение числа очков, равного 6, через событие . Тогда сумма этих двух несовместных событий означает выпадение числа очков равное…. 29. Пусть , , – три произвольных события. Используя операции над случайными событиями, составьте соответствующие выражения если: а) наступило только ; б) наступило и наступило , а не наступило; в) все три события наступили одновременно; г) наступило по крайней мере одно из 3-х событий; д) наступило одно и только одно из данных событий; е) ни одно событие не наступило; ж) наступили не более двух событий изданных. 30. Задача с решением. Рабочий берет две детали. События: – хотя бы одна из них бракованная, – обе бракованные. Что означают события , , , , ? Решение. Событие – событие, противоположное событию = {хотя бы одна из деталей бракованная (или одна деталь бракованная, или две детали бракованных)}. Тогда – ни одной бракованной детали. Событие – событие, противоположное событию = {две бракованные детали}. Тогда – менее двух бракованных деталей (или ни одной бракованной детали, или одна бракованная деталь). Событие – событие, которое происходит при наступлении хотя бы одного из событий и . В данном случае событие – более одной бракованной детали (или одна деталь бракованная, или две детали бракованных)}. Событие – невозможное событие, поскольку не может быть одновременно ни одной бракованной детали и две бракованных детали. Событие – одна бракованная деталь. 31. Стрелок попадает в мишень, имеющую форму круга. Событие – стрелок попал в правый полукруг. Событие – стрелок попал в верхний полукруг. В чем состоят события , , ? 32. Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или нет. Рассматриваются события: – обнаружен ровно один из объектов; – обнаружен хотя бы один объект; – обнаружено не менее двух объектов; – обнаружено ровно три объекта. Укажите, в чем состоят события: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 33. Среди студентов, собравшихся на лекцию по математической статистике, выбирают наудачу одного. Пусть событие означает, что выбранный студент окажется юношей; событие – студент занимается спортом; событие – студент живет в общежитии. Опишите события: 1) ; 2) ; 3) . 34. Пусть события , , означают соответственно сдачу экзамена по математической статистике первым студентом, вторым и третьим, а события , , означают, что соответствующие студенты не сдали этот экзамен. Тогда как понимать событие . 35. Связь между пунктами и осуществляется по схеме: (каналы , и резервируют друг друга). Записать формулой событие: связь прервана. |