nchti_Шемелова_Макусева. Основные теоремы теории вероятностей учебное пособие

• Название: Основные теоремы теории вероятностей учебное пособие
• Дата: 01.06.2022
• Размер: 4.12 Mb.
• Имя файла: nchti_Шемелова_Макусева.doc
• Тип: Учебное пособие; #562655
• страница: 3 из 34

ТЕМА 3. Теоремы сложения и умножения

вероятностей случайных событий

Контрольные вопросы
1. Какие события называются несовместными? Приведите пример.

2. Что называется суммой двух случайных событий?

3. Сформулируйте теорему сложения вероятностей несовместных событий.

4. Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу?

5. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

6. Что называется условной вероятностью события А по событию В? Приведите примеры.

7. Какие события называются зависимыми в данном испытании? Приведите примеры.

8. Какие события называются независимыми в данном испытании? Приведите примеры.

9. Чему равна вероятность произведения двух зависимых событий?

10. Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?

11. Какие события называются совместными в данном испытании? Приведите пример.

12. Чему равна вероятность суммы совместных событий?
Практические задания по теме
97. Имеется три сигнализатора о пожаре. Вероятности того, что сигнализаторы при пожаре сработают, соответственно равны ; ; . Найти вероятности того, что при пожаре сработает: 1) – один сигнализатор; 2) – два сигнализатора; 3) – три сигнализатора; 4) – хотя бы один сигнализатор.

Решение. Обозначим – сработает i-ый сигнализатор . Известны вероятности того, что сигнализаторы при пожаре сработают: ; ; .

Тогда вероятности того, что сигнализаторы не сработают:

; ;

.

1) Событие – при пожаре сработает один сигнализатор из трех. Очевидно, что событие произойдет, если сработает только 1-й сигнализатор из трех, или только 2-й, или только 3-й. Таким образом, записывается формула

.

Или можно использовать следующие обозначения:

2) Событие – при пожаре сработает два сигнализатора. Это событие произойдет, если сработают 1-й и 2-й сигнализаторы, или 2-й и 3-й, или 1-й и 3-й. Вероятность этого события ищем по формуле:

или

3) Событие – при пожаре сработает три сигнализатора. Т.е. событие можно записать . Вероятность этого события ищем по формуле:

4) Событие – при пожаре сработает хотя бы один сигнализатор (иначе: «не менее одного» сигнализатора). Проще найти вероятность такого события, если перейти к противоположному событию:

или


98. Известно, что 15% семей содержат собаку, 20% – кошку, 10% – рыбок и 5% – птичек. Какова вероятность, что случайно выбранная семья содержит ровно 2 из упомянутых видов домашних питомцев? Какова вероятность, что в случайно выбранной семье живет хотя бы один из упомянутых видов питомцев?

Решение. Обозначим события:

– семья держит собаку;

– семья держит кошку;

– семья держит рыбок;

– семья держит птичек.

Известны вероятности того, что семья держит кого-то из животных: ; ; ; .

Тогда вероятности того, что семья не держит этих животных:

; ;

; .

а) Событие – случайно выбранная семья содержит ровно 2 из питомцев. Это событие произойдет, если семья содержит собаку и кошку, или собаку и рыбок, или собаку и птичек, или кошку и рыбок, или кошку и птичек, или рыбок и птичек. Вероятность этого события ищем по формуле:

или

b) Событие – в случайно выбранной семье живет хотя бы один из упомянутых видов питомцев (иначе: «не менее одного» питомца). Проще найти вероятность такого события, если перейти к противоположному событию (в случайно выбранной семье не живет ни одного питомца):

или

.

Ответ: а) ; b) .

99. Прибор состоит их трех независимо работающих узлов, каждый из которых может в течение некоторого времени выйти из строя. Вероятность безотказной работы первого узла 0,8, второго 0,9, третьего 0,7. Найти вероятность, что за некоторое время выйдут из строя ровно два узла.

100. Устройство содержит два независимых элемента, вероятности отказа которых равны 0,05. Устройство выходит из строя при отказе любого из элементов. Найти вероятность выхода из строя одного элемента.

101. Прибор состоит их трех независимо работающих узлов, каждый из которых может в течении некоторого времени выйти из строя. Вероятность безотказной работы первого узла 0,8, второго 0,9, третьего 0,7. Найти вероятность, что за некоторое время выйдут из строя ровно все три узла.

102. Из трех маршрутов автобусов №8, №10, №33 для служащего попутным являются №8 и №33. Вычислите вероятность того, что к остановке первым подъедет автобус попутного для него номера, если на линии маршрутов №8, №10, №33 курсируют соответственно 7, 9 и 12 автобусов. Протяженности маршрутов считаются одинаковыми.

103. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найдите вероятность того, что студент ответит на все вопросы.

104. Какова вероятность совместной сдачи зачета двумя студентами, если вероятность сдачи зачета первым студентом равна 0,8, а вторым 0,7?

105. Найдите вероятность одновременного появления герба при однократном бросании двух монет.

106. Истребитель наносит по каждому из трех объектов ракетный удар, вероятность попадания в первый объект равна 0,8, во второй – 0,7, в третий – 0,9. Найдите вероятность того, что в результате ударов: а) будет поражен один объект; б) будут поражены 2 объекта; в) будет поражен хотя бы один объект; г) все объекты не пострадают.

107. Два стрелка стреляют по мишени, вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,75. Найдите вероятность попадания для второго стрелка, если вероятность поражения мишени хотя бы одним стрелком равна 0,9.

108. В комплекте m стандартных и n нестандартных деталей. Наугад три раза извлекают деталь. Найти вероятность того, что все три извлеченных детали окажутся стандартными, если: а) после каждого извлечения деталь возвращают в комплект; б) извлеченные детали назад не возвращаются.

109. В урне a белых и b черных шаров. Из нее наугад раза извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара будут одинакового цвета, если первый шар в урну а) возвращают; б) не возвращают.

110. Задача с решением. В электрической цепи имеются 4 последовательно соединенных контакта. Вероятности отказа контактов соответственно равны 0,05; 0,1; 0,15 и 0,2. Найти вероятность безотказной работы цепи.

Решение. Обозначим событие – безотказная работа i-го контакта . Известны вероятности отказов контактов: ; ; , . Тогда вероятности безотказной работы каждого контакта ; ; , .

Поскольку контакты в цепи соединены последовательно, то цепь будет работать безотказно, если безотказно работают все контакты. Обозначим событие – безотказная работа цепи. Тогда

.

Ответ: .

111. Вероятность выхода из строя каждого из 4-х блоков равна 0,8. Найти вероятность разрыва цепи.

112. Вероятность работы каждого из независимо работающих элементов электрической цепи . Найти вероятность работы цепи.

113. Электрическая цепь состоит из двух элементов, которые могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями 0,1 и 0,3. Найти вероятность безотказной работы цепи (рис).

а) б)

114. Найти вероятность прохождения тока через цепь, если вероятности исправной работы элементов указаны на схеме. Элементы работают независимо друг от друга.

115. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны ; ; ; .

116. Задача с решением. Известно, что P(A) = 0,7, P(AB) = 0,5, P(A|B) = 0,6. Найти P(B), P(B|A). Зависимы ли события A и B?

Решение. Вероятность совместного появления двух событий равна:

.

Выразим искомые вероятности из данного соотношения.

;

.

Так как , т.е. , то события и являются зависимыми.

117. Найти вероятность по данным вероятностям: ; .

118. Найти вероятность по данным вероятностям: , , .

119. Задача с решением. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: С = {появится не менее двух единиц}; D = {появится не более двух шестерок}. Вычислить P(C|D).

Решение. Для вычисления искомой условной вероятности воспользуемся формулой: .

Вычислим вероятность события . Общее число элементарных исходов при бросании трех игральных костей . Вычислим число исходов, благоприятствующих событию ={появится не более двух шестерок}, т.е. ни одной шестерки или одна шестерка или две шестерки. Противоположным этому событию является событие ={появление более двух шестерок}, т.е. появление трех шестерок. Можно записать лишь следующее подмножество: . Так как всего элементарных событий , из них событию благоприятствует одно, тогда событию благоприятствует 216 – 1 = 215. Т.е. . А вероятность события .

Для события можно записать следующие подмножества, благоприятствующие {«появится не менее двух единиц» и «появится не более двух шестерок»}. Т.е.

.

Так как принимает значения от 2 до 6, то число исходов, благоприятствующих событию будет . А вероятность события .

Искомая условная вероятность .

Ответ: .

120. Подбрасывает наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: А = {на трех костях выпадут разные грани}; В = {хотя бы на одной кости выпадет шестерка}. Вычислить P(А|В).

121. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при втором – 0,8, а при третьем – 0,85. Определить вероятность, что будет ровно два попадания.

122. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,35, на третьем – 0,15. Определите вероятность того, что акционер, имеющий акции всех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) хотя бы на одном предприятии, в) только на одном предприятии.

123. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0.9, 0.8, 0.7, 0.6. Найти вероятность того, что деталь содержится не более чем в трех ящиках.

124. В первой урне 6 синих и 4 красных шара. Во второй урне 3 синих и 2 красных шаров. Из каждой урны вынули по два шара. Какова вероятность, что все они одного цвета?

125. Две лампочки соединены в электрической цепи параллельно. Вероятность того, что первая лампочка выйдет из строя равна , а вероятность неисправности второй лампочки равна . Найти вероятность того, что: а) света не будет; б) свет будет.

126. Вероятности того, что включены 1-й, 2-й и 3-й электроприборы, соответственно равны 0,3, 0,1 и 0,8. Какова вероятность того, что суммарная мощность включенных приборов не превышает 1,1 квт, если их мощности соответственно равны 0,4, 0,2 и 0,9 квт?

127. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1, вероятность выбить 9 очков – 0,3, а вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при двух выстрелах стрелок выбьет не менее 17 очков.

128. Задача с решением. Охотник может произвести по летящей дичи один за другим три выстрела с вероятностями попадания соответственно 0,8; 0,6 и 0,4. Стрельба прекращается после попадания в цель. Найти вероятность того, что охотник: а) попадет в дичь при третьем выстреле; б) произведет все три выстрела.

Решение. Обозначим события – охотник попадает в цель при -ом выстреле . Известно, что , , .

а) Пусть событие – охотник попадет в дичь при третьем выстреле. Охотник будет делать третий выстрел при условии, что он не попадет в цель при первом и втором выстрелах. Запишем нужную формулу:

.

б) Пусть событие – охотник произведет все три выстрела. Охотник выполнит все три выстрела независимо от того, попадет он в цель или нет. Запишем нужную формулу:

.

Ответ: а) ; б) .

129. В связке имеется 6 ключей, из которых только один подходит к двери. Найти вероятность того, что на открывание потребуется не более четырех опробований. Предполагается, что опробованный ключ в дальнейших опробованиях не участвует.

130. Вероятность при прыжке взять высоту, которая явля­ется нормой для мастера спорта, равна 0,03. Спортсмен повторяет попытки, пока не добьется успеха. Какова вероят­ность, что ему это удастся не раньше, чем с третьего раза, если по статистике среднее число попыток равно 40?

131. Задача с решением. Для получения кредита предприятие обратилось к трем банкам. Статистика свидетельствует, что вероятности выделения кредита этими банками оценивается следующим образом: для первого банка , для второго банка и для третьего банка . Банки выделяют кредит независимо друг от друга и, если примут решение о его выделении, то в размере: первый банк –  млн. руб., второй банк –  млн. руб. и третий – млн. руб. Рассмотрим следующие события: А = {первый банк выделил кредит}; В= (второй банк выделил кредит); С=(третий банк выделил кредит). Интересы предприятия, обратившегося за кредитом, описываются некоторыми – (кредит получен в размере 30 млн.руб.) и – (кредит получен в размере не менее 45 млн.руб.). Выразите эта события через события А. В и С, и найдите их вероятности.

Решение. Задано, что события , , – получение кредита в 1-ом, 2-ом и 3-ем банках соответственно. Тогда по ус­ловию , , .

Поскольку банки работают независимо друг от друга (события , , – независимы), то предприятие может получить кредиты как в одном банке, так и в нескольких одновременно. Выразим событие – (кредит получен в размере 30 млн.руб.) через события , , :

,

что означает, что кредит выдали либо первый и второй банки (15 + 15 = 30 млн.руб.), либо третий банк (30 млн.руб.).

Тогда вероятность события :

.

Выразим событие – (кредит получен в размере не менее 45 млн.руб.) через события , , :

,

что означает, что кредит выдали либо первый и третий банки (15 + 30 = 45 млн.руб.), либо второй и третий банки (15 + 30 = 45 млн.руб.), либо все три банка (15 + 15 + 30 = 60 млн.руб.).

Тогда вероятность события :

.

Ответ: ; .

132. Задача с решением. На контроль поступила партия принтеров. Известно, что 5% всех принтеров не проходят ряд тестов по стандарту. Сколько нужно испытать принтеров, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы один неисправный?

Решение. Известно, что вероятность того, что отдельно взятый принтер неисправен , следовательно, – вероятность исправного принтера.

Для того, чтобы определить вероятность того, что из принтеров хотя бы один принтер неисправен используем формулу:

,

где – вероятность того, что принтер исправен.

По условию, . Следовательно,

;

;

;

;

;

;

.

Таким образом, число проверенных принтеров должно быть больше 58.

Ответ: нужно испытать более 58 принтеров, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить хотя бы один неисправный.

133. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо. Вероятности поломок для них равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Вычислить вероятности поломки: только одного станка.

134. В электрической цепи элементы К1, К2, К3 выходят из строя с вероятностями 0,3; 0,2 и 0,1 соответственно независимо друг от друга. Найти вероятность разрыва цепи.

135. Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике, равна 0,6, во втором - 0,7. Какова вероятность того, что формула содержится хотя бы в одном справочнике?

136. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет хотя бы один стрелок.

137. Вероятность занятости первой линии связи 0,3. Второй – 0,6, третьей – 0,2. Какова вероятность, что все линии свободны?

138. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо. Вероятности бесперебойной работы для них равны соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Вычислить вероятности поломки хотя бы одного станка.