Отчет Нартикоев. Отчет по практике Вид практики Производственная (преддипломная) практика Выполнил студент

• Название: Отчет по практике Вид практики Производственная (преддипломная) практика Выполнил студент
• Дата: 04.01.2022
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: Отчет Нартикоев.docx
• Тип: Отчет; #323903
• страница: 2 из 6

Неявная разностная схема

В этом разделе мы представляем неявный разностный метод дискретизации ПВДУКД, определенный в (1). В отличие от прежних численных подходов с точностью первого порядка как по времени, так и по пространству [37–39,41,42], в дальнейшем мы будем использовать двусторонние дробные производные для аппроксимации производных Римана-Лиувилля в (1.3) и (1.4). Мы можем показать, что с помощью двусторонних дробных производных этот предложенный метод также безусловно устойчив и сходится во втором порядке точности во времени и пространстве.

2.1 Численная дискретизация ПВДУКД

Для вывода предложенной схемы введем сначала некоторые обозначения. В прямоугольник мы вводим сетку тогда , и . Кроме, любая сеточная функция. Затем следующая лемма, введенная в [56], дает описание дискретизации по времени.

Лемма 2.1 Предполагаем Тогда



где





для , в котором для

; и .

Обозначим где - преобразование Фурье функции , и мы используем для обозначения мнимой единицы. Для дискретизации по пространству введем следующую лемму:

Лемма 2.2 Предполагаем, и пусть





тогда для фиксированного , мы имеем





где



c



Пусть решение задачи (1). Рассмотрим уравнение (1) для







Для простоты введем обозначения



и



Затем с учетом леммы 2.1 выводится неявная разностная схема с порядком аппроксимации O ( ):



Интересно отметить, что при мы получаем разностную схему Кранка – Николсона.

2.2 Анализ неявной разностной схемы

В этом разделе мы анализируем устойчивость и сходимость неявной разностной схемы (2.1). Пусть



Для определим дискретное скалярное произведение и соответствующую дискретную норму L2 следующим образом:



Приведем несколько лемм для доказательства устойчивости и сходимости неявной разностной схемы (2.1).

Лемма 2.3 ([9, 52, 57]) Пусть и определена в лемме 2.2. Тогда мы имеем



Лемма 2.4 ([57,58]) Пусть и определена в лемме 2.2. Тогда мы имеем



Лемма 2.5 ([57,58]) Для , и любого , выполняется



Лемма 2.6 Для , и любого , выполняется существует положительная постоянная , такой, что



Доказательство.



где







тогда , что подразумевает убывающая функция для Следовательно .

Тогда по лемме 2.3 существуют положительные постоянные такие, что





Тогда, используя леммы 2.4 и 2.5, получаем



что доказывает лемму.

На основе приведенных выше лемм можно получить следующую теорему, существенную для анализа устойчивости предложенной неявной разностной схемы

Теорема 2.1 Для любого , выполняется



где - положительная постоянная, не зависящая от размера шага в пространстве .

Доказательство. Конкретное выражение можно записать как



Отметим, что получим



Более того, согласно лемме 2.6 существует положительная константа , не зависящая от размера шага по пространству, такая, что для любого ненулевого вектора получаем



Пусть . Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.3), справедлива Теорема 2.1.

Лемма 2.7 ([56,58]) Пусть для любого ; имеет место следующее неравенство



Теперь можно сделать вывод об устойчивости и сходимости неявной разностной схемы (2.1). Для простоты изложения в нашем доказательстве мы обозначаем Тогда

Теорема 2.2 Обозначим . Тогда неявная разностная схема (2.1) безусловно устойчива и справедлива следующая априорная оценка:



где

Доказательство. Чтобы скалярно произведение (2.1) на , мы имеем



Из теоремы 2.1 и леммы 2.6 следует, что





Подставляя (2.8) - (2.9) в (2.7) и используя неравенство Коши-Шварца, получаем







Далее, он утверждает, что



где получим



Предположим, что , и обозначим



Тогда уравнение. (2.11) можно переписать как



Далее докажем справедливость оценочного соотношения (2.6) по математической индукции. Очевидно, что из (2.12) следует, что (2.6) выполняется при j = 0. Предположим, что неравенство (2.6) имеет место для всех , то есть



Для (2.12) при j = k имеем





Доказательство теоремы 2.2 полностью завершено.

Теорема 2.3 Предположим, что - решение (1.1), а решение неявной разностной схемы (2.1). Обозначить



Тогда существует положительная постоянная такая, что



Доказательство Он может легко получить, что удовлетворяет следующее уравнение ошибки



где . Используя теорему 2.2, получаем



что доказывает теорему.