Отчет Нартикоев. Отчет по практике Вид практики Производственная (преддипломная) практика Выполнил студент

• Название: Отчет по практике Вид практики Производственная (преддипломная) практика Выполнил студент
• Дата: 04.01.2022
• Размер: 0.88 Mb.
• Имя файла: Отчет Нартикоев.docx
• Тип: Отчет; #323903
• страница: 5 из 6

4 Численные результаты

В этом разделе мы сначала проведем несколько численных экспериментов, чтобы проиллюстрировать, что предлагаемая нами IDS действительно может сходиться со вторым порядком точности как в пространстве, так и во времени. В то же время сообщается о некоторых численных примерах, демонстрирующих эффективность методов быстрого решения (то есть алгоритмов 1-3), разработанных в разделе 3. Для метода подпространства Крылова и прямого решателя мы выбираем встроенные функции для метода предобусловливания CGS (PCGS), LU-факторизации MATLAB в примере 1 и обратной косой черты MATLAB в примере 2, соответственно. Для метода CGS с циркулянтными предобуславливателями критерием остановки этих методов является , где - вектор невязки линейной системы после итераций, а исходное предположение выбирается в качестве нулевого вектора.

Пример 1

В этом примере мы рассматриваем уравнение (1.1) на пространственном интервале и временном интервале с коэффициентами диффузии , коэффициент конвекции , начальное условие и исходный член



Точное решение этого примера: Для конечно-разностной дискретизации шаг по пространству и шаг по времени принимаются равными и , соответственно. Ошибки ( ) и порядок сходимости (ПС) в нормах и , где приведены в таблицах 1-2. Эти обозначения используются в этом разделе. Кроме того, эффективность методов быстрого решения, представленных в разделе 3 для этого примера, будет проиллюстрирована в таблицах 3-4. В следующих таблицах «Speed-up» определяется как



Очевидно, что, когда , это означает, что , необходимое для предлагаемого нами метода, более конкурентоспособно, чем , требуемое алгоритмом 3, с повторным использованием декомпозиции LU в аспектах затраченного времени CPU.

Как видно из таблицы 1, он обнаруживает, что по мере увеличения количества пространственных подинтервалов и временных шагов при сохранении происходит уменьшение максимальной ошибки, как и ожидалось, и порядок сходимости приближенной схемы равен , где порядок сходимости задается формулой: ( - ошибка, соответствующая ). С другой стороны, таблица 2 показывает, что если , то по мере увеличения количества временных шагов нашей приближенной схемы происходит уменьшение максимальной ошибки, как и ожидалось, и порядок сходимости по времени равен , где порядок сходимости задается следующей формулой: .

Во-первых, некоторые графики собственных значений исходной и предварительно обусловленной матриц нарисованы на рис. 1-2. Эти два рисунка подтверждают, что для циркулянтного предварительного кондиционирования собственные значения предварительно обусловленных матриц группируются в 1, за исключением нескольких (около ) выбросов. Подавляющее большинство собственных значений хорошо отделены от 0. Это можно интерпретировать как то, что в нашей реализации количество итераций, требуемых для методов предобусловленного подпространства Крылова, почти колеблется от 6 до 10. Мы проверяем эффективность и надежность разработанного циркулянтного предобуславливателя с точки зрения распределения спектра кластеризации.

В таблицах 3-4 показано, что предлагаемый быстрый прямой решатель для различных дискретизированных задач требует гораздо меньше процессорного времени, затрачиваемого при увеличении . При и различных дискретизированных параметрах время CPU алгоритма 3 составляет около

Таблица 1: -норма и максимальная норма поведения ошибок по сравнению с уменьшением размера сетки при и в примере 1, .



Таблица 2: Поведение ошибок -нормы и максимальной нормы в зависимости от уменьшения размера , когда в примере 1.





Рис. 1: Спектр исходной и предварительно обусловленной матриц на временном уровне , соответственно, при , .

Слева: исходная матрица;

Справа: циркулянтная предварительно обусловленная матрица.



Рис. 2: Спектр исходной и предварительно обусловленной матриц на временном уровне j = 1, соответственно, при , .

Слева: исходная матрица;

Справа: циркулирующий предварительно обусловленная матрица.

Таблица 3: Процессорное время в секундах для решения примера 1 с , которое выполняется Time1 для алгоритма 3 (разложение LU), а Time2 выполняется алгоритмом 3 с алгоритмом 1



Таблица 4: Время CPU в секундах для решения примера 1 с , которое выполняется Time1 для алгоритма 3 (разложение LU), а Time2 выполняется алгоритмом 3 с алгоритмом 1.



17 секунд, ускорение более чем в 2 раза. Между тем, хотя Time1 требуется алгоритмом 3 для небольших тестовых задач , чем Time2, необходимое для алгоритма 3, предлагаемый нами метод все же более привлекателен с точки зрения меньших требований к памяти. По сравнению с алгоритмом 3 с повторным использованием LU разложения, он отметил, что в целом реализации предложенный способ решение не требует, чтобы хранить полные матрицы (например, некоторые матрицы ) вообще. Короче говоря, мы можем сделать вывод, что предлагаемая нами НРС с быстрой реализацией по-прежнему более конкурентоспособна, чем НРС с повторным использованием традиционной декомпозиции LU.

Пример 2

В этом примере мы рассматриваем уравнение (1.1) на пространственном интервале и временном интервале с коэффициентами диффузии , коэффициент конвекции , начальное условие и исходный член



Точное решение этого примера: Для конечно-разностной дискретизации шаг по пространству и шаг по времени принимаются равными и , соответственно. Результаты экспериментов с предлагаемой НРС для примера 3 указано в таблицах 5-6. Кроме того, эффективность методов быстрого решения, представленных в разделе 3 для этого примера, будет проиллюстрирована в таблицах 7-8.

Таблица 5: Поведение -нормы и максимальной нормы ошибки в зависимости от уменьшения размера сетки, когда в примере 2.



Как видно из таблицы 5, он обнаруживает, что по мере увеличения количества пространственных подинтервалов и временных шагов при сохранении происходит уменьшение максимальной ошибки, как и ожидалось, и порядок сходимости приближенной схемы равен , где порядок сходимости задается формулой: ( - ошибка, соответствующая ). С другой стороны, таблица 6 показывает, что если , то по мере увеличения количества временных шагов нашей приближенной схемы происходит уменьшение максимальной ошибки, как и ожидалось, и порядок сходимости по времени равен , где порядок сходимости задается следующей формулой: .

Таблица 6: Поведение ошибок -нормы и максимальной нормы в зависимости от уменьшения размера τ-сетки при в примере 2.





Рис. 3: Спектр исходной и предварительно обусловленной матриц на временном уровне , соответственно, при .

Слева: исходная матрица;

Справа: циркулянтная предварительно обусловленная матрица.



Рис. 4: Спектр исходной и предварительно обусловленной матриц на временном уровне , соответственно, при .

Слева: исходная матрица;

Справа: циркулянтная предварительно обусловленная матрица.

Опять же, для случая переменных временных коэффициентов несколько графиков собственных значений как для исходных, так и для предварительно обусловленных матриц аналогичным образом отображаются на Рис. 3-4. Эти два рисунка подтверждают, что для циркулянтного предварительного кондиционирования собственные значения предварительно обусловленных матриц группируются в 1, за исключением нескольких (около 6 ∼ 10) выбросов. Подавляющее большинство собственных значений хорошо отделены от нуля. Это можно в основном интерпретировать как то, что в нашей реализации количество итераций, необходимых для PCGS с циркулянтными предобуславливателями, составляет почти от 6 до 10. Мы проверяем эффективность и надежность предлагаемого циркулянта прекондиционер с точки зрения кластеризации спектра.

Таблица 7: Время CPUв секундах для решения примера 2 с , которое выполняется Time1 для алгоритма 2,а Time2 выполняется алгоритмом 2 с решателем PCGS.



Таблица 8: Время CPU в секундах для решения примера 2 с , которое выполняется Time1 для алгоритма 2, а Time2 выполняется алгоритмом 2 с решателем PCGS.



В таблицах 7-8 подтверждается, что предлагаемый быстрый прямой решатель для различных дискретизированных задач требует гораздо меньше процессорного времени, затрачиваемого при увеличении M и N. Когда и различные дискретизированные параметры, процессорное время алгоритма 3 от PCGS с циркулянтными предобуславливателями составляет около 23 секунд, ускорение почти в 14 раз. Между тем, хотя Time1 требуется для алгоритма 3 с обратной косой чертой MATLAB для небольших тестовых задач ( ), чем Time2, необходимое для алгоритма 3 с использованием метода PCGS, предлагаемый нами метод все же более привлекателен в аспектах более низких требований к памяти.