геометрия 2 задачи. Площадь

• Название: Площадь
• Дата: 04.04.2023
• Размер: 337.97 Kb.
• Имя файла: геометрия 2 задачи.docx
• Тип: Документы; #1035430
• страница: 6 из 9

§2. Методика введения понятия площади в школьных учебниках по геометрии.

Перед тем как вводить понятие «Площади фигур», эта тема нам представляется синтезом аналитического и традиционно-синтетического метода. Возьмем к примеру площадь треугольника, информация здесь представлена аналитическим способом, а подтверждения применяются традиционно-синтетическим методом.

Когда мы начинаем изучать тему «Площади фигур» воспользуемся такой схемой: простая фигура – величина площади фигуры – площадь параллелограмма – площадь прямоугольника - площадь трапеции – площадь подобных фигур.

Ученикам показывают готовые чертежи с изображением простых фигур и они должны определить: простую ломаную, простую замкнутую ломаную, замкнутую ломаную, плоский треугольник, выпуклый многоугольник, плоский пятиугольник. Нам важно помнить, что плоский треугольник будет являться конечной частью плоскости, которая ограничена

треугольником. «Выпуклый многоугольник – это такой многоугольник, который относительно любой прямой лежит в одной, содержащей его сторону. Конечная часть плоскости, которая ограничена многоугольником является плоским многоугольником.»[8, с.228]

«Многоугольник - это за



,

называется невыпуклым.» [8, С.58]
Если геометрическая фигура мы можем разбить на конечное число плоских треугольников, то она будет являться простой. В качестве примера этой простой фигуры нам послужит плоский выпуклый многоугольник, разбивающий диагоналями на плоские треугольники, которые будут выходить из одной вершины.
Площадь простой фигуры будет обладать следующими свойствами:

1. 
   «Равные фигуры будут иметь равные площади;
   
2. 
   У фигуры, разбитая на части и являющееся простой фигурой, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей;
   
3. 
   Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна
   

единице.»[12]
Аксиоматический подход нам поможет для того, чтобы определить новую величину. Площадь простой фигуры описана свойством аддитивности. При равенстве фигур будут равны и площади, но обратное утверждение не всегда будем правильным.

В курсе арифметики большинство учеников уже успевают знакомиться с формулами площадей некоторых фигур. Измеряя площади при помощи

памяток, ученики знакомятся с ее оценкой по недостатку и по избытку. Таким образом, школьники постепенно готовятся уже к пониманию вывода формулы площади прямоугольника.

Проводя уроки, касающиеся «Площадь фигур», вывод общих формул мы должны закреплять вывод общих формул, рассматривая частные примеры. Теоретический материал должен всячески снижаться, (в разумных пределах) для того, чтобы учащимся оставалось чуть больше времени для решения затрудненных задач. (Чтобы изложить теории юможно проводить небольшие уроки-лекции). Целесообразно время от времени индивидуальные работы по обучению и контролю в отдельно взятых случаях.

§ 3. Сравнительный анализ особенностей изучения темы «Площадь многоугольника» в школьных учебниках по геометрии.

В данном параграфе представим анализ теоретического материала по теме «Площадь многоугольника» в школьном курсе геометрии 7-9 классов.

Ознакомившись с «Федеральным государственным образовательным стандартом общего основного образования» [19] и действующим перечнем учебников геометрии основной школы в соответствии с приказами Министерства образования и науки РФ № 253 от 31.03.2014 г. и № 38 от 26.01.2016 г., в работе в качестве основного был выбран учебник под редакцией Л.С. Атанасяна [6]. Также были рассмотрены учебники под редакцией А.В. Погорелова [12] и И.Ф. Шарыгина [2] и И.М. Смирновой [18].

Тема «Площадь многоугольника» в разных учебниках дается в разное

время. У А.В. Погорелова эта она представлена в конце 9 класса, потому что во время обучения этой теме «прогоняется» курс планиметрии. В задачах начинают появляться задания по типу: «найдите площадь». Также отметим, что «Площадь многоугольника» и «Площадь круга» соединил в одну главу

«Площади фигур».

У И.Ф. Шарыгина, в свою очередь, изучение «Площади многоугольника» начинается в первой половине 9 класса и изучаются вместе. В большинстве учебников при введении понятия «Площади» рассматриваются примеры из жизни, кроме учебника А.В. Погорелова. А ведь эта тема тесно связана с ситуациями из жизни и наглядно нам показывает как нам нужно применять полученные знания на практике. Ученики из курса 1-6 класса уже сталкиваются с понятием «Площадь» и исходя из этого, не будет лишним дать ученикам привести пару примеров.

Сравнивая учебник А.В. Погорелова складывается впечатление, что он недостаточно доработан в этом плане.

Затрагивая темы измерения площадей, во всех книгах они представлены по-разному. Например, Л.С. Атанасян измерения площадей демонстрирует нам, затрагивая примеры прямоугольников и трапеций, объясняя тем, что на самой практике он считается не совсем удобным и исходя из этого, площадь вычисляют определенными формулами. А.В. Погорелов никак не рассматривает измерения площадей.

А И.Ф. Шарыгин, в свою очередь, не очень подробно представляет нам тему «измерение площадей».

Однако у А.Д. Александрова очень подробно представлена тема измерения площадей. Примеры приводятся с помощью «перехода от одной единицы площади к другой» [1].

Если рассматривать методику вычисления площадей многоугольников, то мы увидим, что у всех в учебниках все подробно расписано и у каждого по-особенному.

Рассмотрим учебник А.В. Погорелова. Мы замечаем, что тут нам представлены основные формулы для вычислений площади фигур. Выводится формула Герона, подобраны задачи с решениями, , «формулы для радиусов вписанной и описанной окружности и для вычисления площади произвольного четырехугольника» [12]. Также указаны темы «Площадь

круга» и площади подобных фигур. Темой «Площади фигур» А.В. Погорелов заканчивает курс 9 класса.

Теперь рассмотрим учебник Л.С. Атанасяна. Он очень подробно рассматривает тему теории площадей . В учебнике мы видим доказательство площади квадрата со стороной a равной a², также можем заметить теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Далее приводится доказательство теоремы Пифагора при помощи свойств площадей. Формуле Герона не уделено особого внимания. Ученикам 9 класса, ознакомившимся с тригонометрией, представляется доказательство

«формулы вычисления площади треугольника (по двум сторонам и углу между ними)» [12]. Также в учебнике особое внимание уделено квадратуре круга, содержащая исторические материалы, вызывая особый интерес у учащихся.

В свою очередь, в учебнике И.Ф. Шарыгина рассматриваются формулы вычисления площади прямоугольника, трапеции, нестандартная формула площади треугольника и параллелограмма. Приведены два доказательства для формулы Герона. Представлено доказательство отношений площадей подобных фигур. Потом выводятся формулы сегмента, кругового сектора и площади круга. Материал ы учебнике изложен весьма необычно, все изложено очень доступно и интересно для учащихся. Также приведен исторический материал.

В учебнике А.Д. Александрова рассмотрены формулы для вычисления

площадей четырехугольников, круга, кругового сектора, треугольников. Но формулы для вычисления площади не сразу приводятся, только когда для них уже подготовлена основа для их вывода. Вслед за тем, как была введена теорема Пифагора, мы приступаем к рассмотрению формула Герона. Впоследствии рассматрена тема «Синус» и уже после нее приводится формула для нахождения площади произвольного треугольника под двум сторонам и углу между ними.

Рассматривая анализы задач по теме «Площади плоских фигур», рассмотренных в учебнике, можно сделать вывод: Л.С. Атанасян, помимо тех основных задач, которые вводятся в конце каждого параграфа, его учебник наделен дополнительными задачами, а уже в конце мы можем заметить задачи повышенной трудности. Основная доля этих представленных задач – это задачи на вычисление площади, а также встречаются задачи на измерение площадей и задачи на равновеликость фигур. У А.В. Погорелова большинство задач на вычисление площади многоугольника. По уровням сложности эти задачи не разделены. В учебниках А.Д. Александрова и И.Ф. Шарыгина представлены нестандартные задачи на перекраивание и разрезание. В этих учебниках, помимо плоскости, рассмотрены задачи и на пространственные объекты. Распределены задачи по уровням сложности. Задачи практического содержания представлены во всех учебниках. И это хорошо, так как решая задачи на уроках математики ученики замечают необходимость формул, теорем и понятий в жизни.

Рассмотрим принцип систематичности. Он способствует обучению основам наук в определенной последовательности. Так как ученикам не будет понятно, если учитель, объясняя новый материал, будет использовать новые термины, не до конца понятные для ученика. Тогда и в дальнейшем учащиеся не будут понимать материал. К примеру, в учебниках А.В. Погорелова и И.Ф.Шарыгина формула вычисления площади треугольника выражается через две стороны и синуса угла между ними. Потому что к этому времени ученики уже успели познакомиться с понятием синуса угла. В учебнике Л.С. Атанасяна мы замечаем формулу только после изученного материала «Площадь многоугольника», когда учащиеся уже будут знакомы с понятием синуса угла.

Рассмотрим метод площадей данных учебников. Мы можем заметить, что в учебнике А.С. Атанасяна и А.В. Погорелова этот метод не описывается. Но, в свою очередь, у И.Ф. Шарыгина этому методу отведен отдельный

параграф, где ученики могут понаблюдать, как при помощи него решаются задачи доказываются теоремы. Но у А.С. Атанасяна, при помощи метода площадей представлено доказательство первого признака подобия треугольника, а А.Д. Александрова, с помощью этого метода доказана теорема Пифагора.

Рассмотрев все эти учебники, мы можем сказать, что у каждого есть свои достоинства, особенности и недостатки. Одним из основных недостатков является то, что ни в одном из них не отражены полностью все эти три аспекта площадей. Два аспекта полностью отражаются только у А.Д. Александрова и Л.С. Атанасяна. Это вычисление площадей и их измерение. При доказательствах теорем и решений задач авторы используют понятие площади, однако оно не упоминается в формулировках. В отличии от остальных учебников, в учебнике И.Ф. Шарыгина, существует название самого метода площадей. Он достаточно подробно рассматривает вычисление площадей и методы решения задач подобного рода. Подводя итог данному параграфу, следует отметить, что при изучении данной темы учащиеся основной школы должны овладеть такими понятиями как площадь многоугольника, знать основные формулы вычисления площади правильного треугольника, площади равнобедренного треугольника, площади прямоугольного треугольника, площади квадрата, площади прямоугольника, площади ромба, площади прямоугольной трапеции, площади равнобедренной трапеции, площади произвольной трапеции, площади правильного шестиугольника.
Выводы по первой главе.

1. 
   В данной главе рассмотрено понятие логико-математического анализа тем школьного курса математики на примере содержания темы
   

«Площадь многоугольника». Целью логико-математического анализа является выявление методических особенностей изучения темы «Площадь

многоугольника» в учебных пособиях разных авторов, включенных в перечень учебников и учебных пособий, рекомендованных к использованию в основной школе Министерством образования и науки РФ.

2. 
   Выявлены основные требования к знаниям и умениям учащихся по теме «Площадь многугольника».
   
3. 
   Проведен сравнительный анализ материала по теме «Площадь многоугольника». По результатам этого анализа установлено, что данная тема изучается как 8, так и в 9 классе.
   

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА» В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

§4. Формы, методы и средства обучения решению геометрических задач. В пратике преподования одной из важнейших составляющих является обучение решению задач. Задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения материала, но и способствуют развитию математического мышления и умение применять теоретичиские знания на

практике.

В своих лекциях Б.Т. Лихачев [10, С.7] даёт определение форме обучения и звучит оно так: «Форма обучения – некая система с определёнными целями, чёткой организацией, а также содержанием и методикой познавательного и воспитательного взаимодействия, общения и отношений между обучающим и обучаемыми».

Согласно Б. Т. Лихачеву [10, С. 7] формы обучения могут быть:

«- групповыми;

• 
  коллективными;
  
• 
  индивидуальными.
  

Средства обучения – это различные материалы учебного процесса, с помощью которых за короткое время достигается определённая цель обучения.

К средствам обучения относятся: учебники, дидактические материалы, учебные кабинеты и т.д.

В обучении математики задачи выступают как средство обучения:

• 
  при решении задач, учащиеся получают и усваивают математические знания;
  
• 
  при решении задач у учеников развивается мышление:логическое, операционное(анализ,сравнение);
  
• 
  развиваются качества мышления, такие как гибкость, оригинальность, четкость, лаконичность речи и записи;
  
• 
  с помощью задач вырабатывается интерес к предмету.» [10, С. 7]
  

И.П. Подласый в книге [19] описывает методы обучения как упорядоченную деятельность педагога и учащихся, направленную на достижение ими определенной цели обучения. Методы обучения в методической литературе чаще всего рассматривают как некоторую совокупность путей и способов достижения целей обучения учащихся, решения необходимых задач образования.

В курсе геометрии задачи разбиваются на три типа:

1. 
   задачи на вычисление;
   
2. 
   задачи на доказательство;
   
3. 
   задачи на построение.
   

В основном в школе наибольшим вниманием пользуются задачи на вычисление, они занимают основное содержание сборников задач по геометрии. Однако, при решении геометрических задач на вычисление они имеют свои особые специфические трудности. В основном они связаны с построением и использования чертежа или с применением теорем.

В своей книги В.Г. Чичигин[22] предлагает определённый план для учащихся для решения задач на вычисление:

1. 
   Схематическая запись условия задачи, т.е. сделать чертеж и указать, что дано в задаче.
   
2. 
   Решение самой задачи, составить необходимые уравнения и
   

решения к ним.

3. 
   Составление ответа на вопрос к данной задаче.
   
4. 
   Проверка решения.
   

Следующий тип задачи на построение. Они занимают основное содержание школьного курса геометрии и состоит в изучении свойств геометрических фигур. Автор предлагает следующий план для решения задач на построение:

1. 
   Анализ задачи (проводится в устной форме, записываются самые необходимые предложения);
   
2. 
   Построение.
   
3. 
   Доказательство (записывается с кратким пояснением);
   
4. 
   Исследование (записывается с кратким пояснением).
   

И послений тип задачи на доказательство. Считается, что для учащихся этот тип является самым трудным, потому что учащиеся в предложенной задаче не видят задачи в привычвном для них смысле. В таких задачах отсутсвует привычный вопрос и вводит учащихся в недоумение.

В.Г. Чичигин предлагает такой метод решения задач на доказательство:

«Для начала задачи на доказательство можно предлагать учащимся не в виде теоремы, а формулировать её в виде обычной задачи. Затем учащиеся должны формулировать вопросы к задаче, чтобы найти метод решения».

Для развития логического мышления большее значение имеют задачи на построение, они имеют самый богатый материал для выроботки у учащихся навыков логического мышления. При решение задач на построение учащиеся должны сами создать необходимую фигуру, нежели задачи на доказательство, где учащиеся имеют дело с определённой фигурой.

У большинства учащихся отсутствует интерес к геометрическим задачам, как и к самой геометрии, ученики испытывают значительные трудности при решении задач, в частности, планиметрических. В.А. Далингер[12] в своей книги выделил следующие причины низкого уровня умения решать задачи:

• 
  задачи, решаемые на уроках большинство решаются по образцу;
  
• 
  задачи, рассматриваемые на уроке даются учащимся в готовом виде, нет работы над составлением задач;
  
• 
  основное внимание уделяется оформлению решения задач, нежели процессу решения;
  
• 
  мало задач, которые помогают учащимся осознать способы решения(рефлексивые задачи);
  
• 
  однообразие типологии задач;
  

Основной причиной низкого уровня умения решать задачи по геометрии является излишняя ориентация учителей на итоговые экзамены. Отметим, что задачи на построение вообще не включаются, а также мало задач и на доказательство. Из-за этого учителя мало уделяют внимания таким задачам, не умеют рационально включать их в процесс обучения и решают их в последнюю очередь.

Для того чтобы активизировать учащихся к познавательной деятельности в работе А.И. Мостовой доказывается, что один из путей является обучение решения геометрических задач различными способами.

При обучении учащихся решению геометрических задач различными способами и методами даёт возможность: воспитать интерес к изучаемому предмету, развить критическое и математическое мышление, лучше исследовать свойства геометрических фигур, отметить свойство, о котором в задаче не говорится.

Выделим общую методическую схему обучения решению геометрических задач:

• 
  Прочитайте задачу, установите её тип: вычисление, построение, доказательство;
  
• 
  Выделите условие и требования задачи;
  
• 
  Сделайте чертёж к задаче;
  
• 
  Выведите следствия из данных условий;
  
• 
  Трактование символических записей;
  
• 
  Определите, какие теоремы, свойства и приёмы необходимо использовать для решения задачи;
  
• 
  Ответьте на вопросы, отражающие причинно-следственные связи:
  

«Чтобы узнать…надо найти…», «Зная…, можно найти…». Поиск решения задачи с помощью анализа или синтеза;

• 
  Оформите решение задачи;
  
• 
  Составьте и решите аналогичную задачу;
  
• 
  Сделайте проверку.
  

Таким образом, раскрыты формы, методы и средства обучения геометрических задач. Применение их будет способствовать развитию у учащихся интерес к предмету и более глубокому усвоению материала.