Подземная гидромеханика

• Название: Подземная гидромеханика
• Дата: 30.11.2022
• Размер: 3.56 Mb.
• Имя файла: Posobie_PGM.doc
• Тип: Учебное пособие; #820975
• страница: 3 из 17

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
.1) На чем базируются построения математических и физических моделей?

2) Основные требования адекватности моделей реальным процессам.

3) Основное требование осреднения параметров по пространству, дающее право считать их непрерывным.

4) Почему в нефтяной гидромеханике процесс фильтрации флюидов можно считать изотермическим?

5) Назовите примеры нестационарных и стационарных процессов в нефтегазовой гидродинамике.

6) Модели флюидов по степени сжимаемости.

7) В чем отличие многофазной модели от гомогенной? Приведите примеры.

8) Определение ньютоновской и неньютоновских жидкостей. Примеры.

9) Виды моделей коллекторов с геометрической точки зрения.

10) Идеализированные модели пористых коллекторов.

11) Трещинно-пористые коллектора и их идеализация.

12) Реологические модели горных пород.

13) Какие среды называются изотропными и анизотропными?

14) Виды пористости и их определения? Размерности.

15) Виды проницаемости и их определения? Размерности в различных системах единиц и их связь между собой.

16) Что такое просветность?

17) Физический смысл проницаемости.

18) Определение эффективного диаметра.

19) Что такое насыщенность и связанность? Чему равна сумма насыщенностей? Размерности.

20) Удельная поверхность – определение, размерность, характерные значения для коллекторов.

21) Определение густоты.

22) Связь раскрытости с давлением.

23) Какой параметр определяется в Па*с?

24) Какой параметр определяется в дарси?

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ
Аналитическое и численное исследование задач гидрогазодинамики связано с применением основных законов сохранения (массы, импульса и энергии) в дифференциальной форме. Ранее уже говорилось, что для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров. Таким образом, для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиться уравнениями баланса массы (неразрывности) и количества движения (импульса).

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны, где из-за значительных перепадов давления значительно влияние дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефтегазоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, определяющих зависимость силы трения, пористости и ряда другиз параметров от давления и скорости фаз.

Кроме того, для получения однозначного решения, необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамики требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного и плоского течений удаётся получить аналитическое решение.
2.1. Скорость фильтрации
При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида

Q=w F_п, (2.1)

где w – действительная средняя скорость жидкости; F_п – площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для сред неупорядочной структуры справедливо допущение о равенстве просветности и пористости. Следовательно,

Q=w m F. (2.2)

Величина

u= w m (2.3)

называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то скорость фильтрации всегда меньше средней.
Физический смысл скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором:

• 
  расход через любое сечение равен реальному расходу,
  
• 
  поле давлений идентично реальному потоку,
  
• 
  сила гидравлического сопротивления равна силе сопротивления реального потока.
  

Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (2.3).
2.2. Общая система уравнений подземной гидромеханики
Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

• 
  уравнение неразрывности
  

; (2.4)

• 
  уравнение сохранения количества движения
  

. (2.5)

В уравнении (2.5):

• 
  в виду незначительности изменения количества движения во времени первым членом можно пренебречь;
  
• 
  разница в перетоках количества движения через границы контрольных объёмов также составляют величины второй малости по сравнению со скоростями и, следовательно, вторым членом тоже можно пренебречь;
  
• 
  силу сопротивления F_c по аналогии с трубной гидравликой или задачами обтекания можно представить в виде
  

.

Таким образом, уравнение (2.2) вырождается в следующее

,

то есть, получаем уравнение, линейно связывающее скорость фильтрации с градиентом давления.

Уравнение такого вида широко используется в подземной гидродинамике и носит название уравнения фильтрации в форме Дарси:

, (2.6)

где р*=р+zg, z – вертикальная координата.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившемся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся фильтрации и уравнение неразрывности принимает вид

. (2.7)

В вышеприведенных уравнениях:

;

;

(a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты; i, j, k – единичные векторы по осям декартовой системы координат; e_ , e_ , e_r, e_z – по осям сферической системы; , , r и z – по осям цилиндрической системы; в сферических координатах – угол  определяет изменение меридианного угла, а угол  – широтного.

Для несжимаемой жидкости (=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

. (2.8)

2.3. Закон Дарси (линейный закон фильтрации)
2.3.1. Пористая среда
В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации – закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н₁-Н₂ и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой.

Закон Дарси имеет вид

, (2.9)

где с – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости; – гидравлический напор при пренебрежении скоростным напором; р/ – пьезометрическая высота.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,

(2.10)

или в векторной форме

, (2.11)

где s – расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации «с» характеризует среду и жидкость одновременно. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

(2.12)

или

. (2.13)

Из сравнения (2.10) и (2.12) имеем

. (2.14)

Границы применимости закона Дарси. Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

1. 
   скорость фильтрации и градиент давления малы;
   

b) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=wa/μ с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w –характерная скорость течения: а – характерный геометрический размер пористой среды;  – плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Наиболее часто в нефтегазопромысловой практике применяется зависимость Щелкачёва:

(2.15)

где

Критическое число Рейнольдса Re_кр=1–12.

Скорость фильтрации u_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>u_кр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

, (2.16)

представляющим собой отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.
Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления _н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом

. (2.17)
Законы фильтрации при Re > Re_кр. От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим, в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение нелинейных законов фильтрации. Данные законы могут быть: одночленными и двухчленными.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

(2.18)

где C, n – постоянные, 1 n  2.

Данные зависимости неудобны, так как параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим, наибольшее употребление нашли двучленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному закону Краснопольского:

(2.19)

Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

(2.20)

где  – структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

(2.21)
2.3.2. Трещинная среда
Линейный закон фильтрации. В трещинных пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью через трещиноватость

u=m_тw. (2.22)

Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

(2.23)

Если использовать зависимости (2.23), (1.12), то получаем линейный закон фильтрации в трещинных средах

(2.24)

Проницаемость трещинных сред равна

(2.25)

Для трещинно-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма пористой и трещинной проницаемостей.

Трещинно-пористую среду следует считать деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет изменяться с изменением давления, а именно:

(2.26)

Данная зависимость справедлива при небольших изменениях давления. В общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением.
Границы применимости линейного закона фильтрации. Так же, как и в пористых средах, в трещинных породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Re_кр=500, а для шероховатых трещин – 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещинной среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

, а Re_кр=0,4. (2.27)
2.4. Уравнения потенциального движения для пористой среды
Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

. (2.28)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

(2.29)

или, учитывая закон Дарси,

. (2.30)

Здесь u – вектор массовой скорости фильтрации; grad – градиент , направленный в сторону быстрейшего возрастания .

Уравнение (2.30) – это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.30)в (2.4), получаем

, (2.31)

а для установившегося течения

. (2.32)

Уравнения (2.31) и (2.32) являются основными уравнениями потенциального фильтрационного течения и называются уравнениями Лапласа относительно функции , а оператор  оператором Лапласа.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

,

где (a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты.
Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:

• 
  сумма частных решений является решением уравнения Лапласа;
  
• 
  произведение частного решения на константу – также решение.
  

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции – сложения фильтрационных течений.
2.5. Уравнения фильтрации для трещинно-пористой среды
В чисто трещинном пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещинно-пористой среды следует учитывать её характерные особенности:

1. 
   моделирование связано с порами разных масштабов (среда 1 – роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен – пористые блоки; среда 2 – обычная пористая среда, образующая блоки);
   
2. 
   между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещинно-пористого пласта.
   

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещинно-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q_1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:
. (2.33)

Для жидкости в пористых блоках
. (2.34)

Здесь q_1,2 – масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL^-3T^-1, где М – размерность массы, L – расстояния и Т – времени).

Будем полагать, что q_1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

q_1,2= (₂ - ₁), (2.35)

где  – коэффициент переноса, размерности L^-2.

Для чисто трещинного пласта считаем q_1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещинно-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р₁=р₂=р, получаем
(2.36)

Для чисто трещинного пласта

. (2.37)
2.6. Начальные и граничные условия
Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для данного уравнения.
2.6.1. Начальные условия
 = _о(x,y,z) при t = 0, (2.38)

если при t = 0 пласт не возмущён, то  = _о = const.
2.6.2. Граничные условия
Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).
А) Внешняя граница Г

1)постоянный потенциал

(Г,t)=_к=const, (2.39)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = Fu = const, т.е. используя уравнение (2.30),

(2.40)

3) переменный поток массы через границу

(2.41)

4) замкнутая внешняя граница

(2.42)

5) бесконечный пласт

lim_x (Г,t) = _к = const. (2.43)

у

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса r_c

(r_c , t)=_c=const ; (2.44)

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси) или

при r=r_c; (2.45)

3) переменный потенциал на забое

(r_c ,t)=f₂(t) при r=r_c; (2.46)

4) переменный массовый дебит

при r=r_c; (2.47)

5) неработающая скважина

при r=r_c. (2.48)

2.7. Замыкающие соотношения
Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей , m, k, μ от давления.
2.7.1. Зависимость плотности от давления
Различают жидкости:

а) Несжимаемую – =соnst. (2.49)

в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении давления

, (2.50)

где – коэффициент объёмного расширения жидкости, V_с – объём жидкости; _с= (7–30)10^-10 Па^-1 – для нефти и (2,7–5)10^-10Па^-1 – для пластовой воды.

с) Сжимаемую – газ. До р_пл < 9 МПа и  р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа

р= R T, (2.51)

где R – газовая постоянная.

Совершенный газ – это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.

При изотермическом процессе (Т= const) используют соотношение

. (2.52)

Если р_пл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

р=z R T (2.53)

или двузпараметрические уравнения состояния, типа Редлиха – Квонга.

В уравнении (2.53): z – коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.
2.7.2. Зависимость вязкости от давления
При давлениях меньше давления насыщения можно считать, что вязкость не зависит от давления, а при больших значениях давления

. (2.54)

2.7.3. Зависимость пористости от давления
Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды – эффективным давлением _эф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что

_эф + р_пл = р_горн = const. (2.55)

Здесь р_пл – пластовое давление; р_горн= _горн g H –горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности _горн; Н – глубина залегания пласта.

При разработке р_пл падает и, согласно (2.55), растёт _эф. Увеличение _эф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что

, (2.56)

где _т – коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 – 2)10^-10Па^-1.
2.7.4. Зависимость проницаемости от давления
В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость

. (2.57)

При  р < 10 МПа показатель в (2.27, 2.33 –2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем

, (2.58)

где  – общее обозначение вышеприведённых параметров.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. 
   Скорость фильтрации, физический смысл и связь с истинной скоростью.
   
2. 
   Уравнение неразрывности. Его физический смысл.
   
3. 
   Уравнение сохранения количества движения.
   
4. 
   Объяснение закона Дарси из общего уравнения сохранения количества движения.
   
5. 
   Градиент: вид данной функции в декартовой системе координат и объяснение составляющих данного представления, тип (векторный или скалярный), тип аргумента (векторный или скалярный).
   
6. 
   Дивергенция: вид данной функции в декартовой системе координат и объяснение составляющих данного представления, тип (векторный или скалярный), тип аргумента (векторный или скалярный).
   
7. 
   Вид закона Дарси.
   
8. 
   Коэффициент фильтрации, его отличие от коэффициента проницаемости. Связь данных коэффициентов и их размерности.
   
9. 
   Нижняя граница применимости закона Дарси для пористой среды. Закон фильтрации для нижней области.
   
10. 
    Верхняя граница применимости закона Дарси для пористой среды. Законы фильтрации для верхней области.
    
11. 
    Критерии применимости закона Дарси для пористой среды.
    
12. 
    Верхняя граница применимости закона Дарси для трещинной среды. Критерии применимости закона Дарси для трещинной среды.
    
13. 
    Связь трещинной проницаемости с раскрытостью трещин и давлением.
    
14. 
    Что такое потенциальное течение?
    
15. 
    Потенциал поля скоростей и выражение для закона Дарси через потенциал.
    
16. 
    Вывод основного уравнения потенциального фильтрационного течения.
    
17. 
    Оператор Лапласа: вид данной функции в декартовой системе координат, тип (векторный или скалярный), тип аргумента (векторный или скалярный).
    
18. 
    Свойства уравнения Лапласа.
    
19. 
    Характерные особенности трещинно-пористой среды.
    
20. 
    Система дифференциальных уравнений для трещинно-пористой среды.
    
21. 
    Внешние граничные условия.
    
22. 
    Внутренние граничные условия.
    
23. 
    Замыкающие соотношения.
    
24. 
    Связь пластового давления с эффективным. Что такое эффективное давление?
    
25. 
    Условие применимости линейного приближения в зависимостях основных параметров от давления.
    

3. УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
При данных условиях    t=0 и =0. (3.1)
3.1. Виды одномерных потоков
Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся:

1. 
   прямолинейно-параллельный:
   
2. 
   плоскорадиальный;
   
3. 
   радиально-сферический.