Моя прелесть. Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
 Скачать 4.04 Mb.
|
Очень просто — чтобы обеспечить неизменность величины Φ 0 , приходится увеличиваться магнитному потоку Φ 1 . Возрастает амплитуда тока i 1 первичной обмотки! Вот почему увели- чивается потребление энергии из сети по сравнению с режимом холостого хода. Первичная обмотка потребляет из сети мощность P 1 = U 1 I 1 cos α 1 (как и выше, в данной формуле фигурируют действующие значения мощности, напряжения и силы тока). Нагрузка получает от вторичной обмотки мощность P 2 = U 2 I 2 cos α 2 Эта мощность является полезной с точки зрения потребителя. Отношение полезной мощности, получаемой нагрузкой, к мощности, потребляемой из сети — это КПД трансформатора: η = P 2 P 1 = U 2 I 2 cos α 2 U 1 I 1 cos α 1 Разумеется, P 2 < P 1 — часть мощности теряется в трансформаторе. Потери мощности со- стоят из двух частей. 1. Так называемые «потери в меди», обозначаемые ∆P мед . Это мощность, расходуемая на нагревание первичной и вторичной обмоток: ∆P мед = I 2 1 R 1 + I 2 2 R 2 Сколь бы малыми не были активные сопротивления R 1 и R 2 этих обмоток, они не равны нулю, и при больших токах с ними приходится считаться. 2. Так называемые «потери в стали», обозначаемые ∆P ст . Сюда относятся: • Мощность, расходуемая на перемагничивание сердечника, т. е. на изменение ориен- тации элементарных токов под действием внешнего магнитного поля. • Мощность, расходуемая на нагревание сердечника индукционными вихревыми тока- ми (которые называются ещё токами Фуко). Эти токи возникают в сердечнике под действием вихревого электрического поля, порождаемого переменным магнитным полем. Для уменьшения токов Фуко сердечники собираются из листов специальной трансформаторной стали, но полностью ликвидировать эти токи, конечно же, не уда- ётся. 296 Оказывается, потери в стали не зависят от нагрузки — они определяются только амплиту- дой магнитного потока, которая, как мы знаем, при любой нагрузке остаётся неизменной. Таким образом, имеем: P 1 = P 2 + ∆P мед + ∆P ст , и для КПД трансформатора получаем следующее выражение: η = P 2 P 2 + ∆P мед + ∆P ст (3.138) Если полезная мощность P 2 мала (недогрузка трансформатора), то и КПД мал. Действи- тельно, числитель в ( 3.138 ) маленький, а знаменатель — не меньше постоянной величины потерь в стали ∆P ст Если полезная мощность P 2 чрезмерно велика (перегрузка трансформатора), то КПД опять- таки мал. Дело в том, что в этом случае велики токи I 1 и I 2 в обмотках трансформатора, и, следовательно, большой величины достигают потери в меди ∆P мед Для трансформатора существует оптимальная (так называемая номинальная) нагрузка, на которую он рассчитан. При номинальной нагрузке оказывается, что КПД трансформатора близок к единице, т. е. P 2 ≈ P 1 , или, с учётом выражений для мощностей: U 2 I 2 cos α 2 ≈ U 1 I 1 cos α 1 Кроме того, сдвиги фаз приближённо равны нулю, так что U 2 I 2 ≈ U 1 I 1 Следовательно, при нагрузках, близких к номинальной, имеем: I 2 I 1 ≈ U 1 U 2 ≈ k, где k — введённый выше коэффициент трансформации. Например, у понижающего трансфор- матора k > 1, и при номинальной нагрузке ток в его вторичной обмотке в k раз больше тока первичной обмотки. 297 3.26 Электромагнитное поле Вспомним, каким образом Максвелл объяснил явление электромагнитной индукции. Пере- менное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Если в переменном магнитном поле находится замкнутый проводник, то вихревое электрическое поле приводит в движение заряженные частицы этого проводника — так возникает индукционный ток, наблю- даемый в эксперименте. Линии вихревого электрического поля охватывают линии магнитного поля. Если смотреть с конца вектора B, то линии вихревого электрического поля идут по часовой стрелке при возрастании магнитного поля и против часовой стрелки при убывании магнитного поля. Такое направление вихревого электрического поля, напомним, задаёт направление индукционного тока в соответствии с правилом Ленца. 3.26.1 Гипотеза Максвелла Описанным выше способом Максвелл объяснил, почему в экспериментах Фарадея появлялся индукционный ток. Но затем Максвелл пошёл ещё дальше и уже без какой-либо опоры на экспериментальные данные высказал симметричную гипотезу: переменное электрическое поле порождает магнитное поле (рис. 3.129 , 3.130 ). E B (увеличивается) Объяснение электромагнитной индукции B E (увеличивается) Симметричная гипотеза Максвелла Рис. 3.129. Симметричная гипотеза Максвелла (возрастание поля) Линии этого магнитного поля охватывают линии переменного электрического поля и идут в другую сторону по сравнению с линиями вихревого электрического поля. Так, при возраста- нии электрического поля линии порождаемого магнитного поля направлены против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора E (рис. 3.129 , справа). E B (уменьшается) Объяснение электромагнитной индукции B E (уменьшается) Симметричная гипотеза Максвелла Рис. 3.130. Симметричная гипотеза Максвелла (убывание поля) Наоборот, при убывании электрического поля линии порождаемого магнитного поля идут по часовой стрелке (рис. 3.130 , справа). 298 У электрического поля может быть два источника: электрические заряды и переменное магнитное поле. В первом случае линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Во втором случае электрическое поле является вихревым — его линии оказываются замкнутыми. У магнитного поля также может быть два источника: электрический ток и переменное элек- трическое поле. При этом линии магнитного поля замкнуты в обоих случаях (оно всегда вих- ревое). Максвелл предположил, что оба источника магнитного поля равноправны в следующем смысле. Рассмотрим, например, процесс зарядки конденсатора (рис. 3.131 ): B E B I I Рис. 3.131. Магнитное поле внутри конденсатора совпадает с магнитным полем тока В данный момент по проводам, соединяющим обкладки конденсатора, течёт ток I. Заряд конденсатора увеличивается, и, соответственно, возрастает электрическое поле между обклад- ками. Переменное электрическое поле E порождает внутри конденсатора магнитное поле B. Так вот, согласно гипотезе Максвелла магнитное поле B внутри конденсатора оказывается точно таким же, как и магнитное поле тока I — как если бы ток I протекал в пространстве между обкладками конденсатора. Подчеркнём ещё раз, что симметричная гипотеза Максвелла была поначалу чисто умозри- тельной. На тот момент не наблюдалось каких-либо неясных физических явлений, для объ- яснения которых потребовалась бы такая гипотеза. Лишь впоследствии (и уже после смерти Максвелла) она получила блестящее экспериментальное подтверждение. Об этом — чуть ниже. 3.26.2 Понятие электромагнитного поля Прежде всего, симметричная гипотеза указала на то, что электрическое и магнитное поля тесно взаимосвязаны. Они не являются обособленными физическими объектами и всегда существу- ют рядом друг с другом. Если в какой-то системе отсчёта электрическое (магнитное) поле отсутствует, то в другой системе отсчёта, движущейся относительно первой, оно непре- менно появится. Допустим, например, что в движущемся автомобиле покоится электрический заряд. В систе- ме отсчёта, связанной с автомобилем, этот заряд не создаёт магнитного поля. Но относительно земли заряд движется, а любой движущийся заряд является источником магнитного поля. Поэтому наблюдатель, стоящий на земле, зафиксирует магнитное поле, создаваемое зарядом в автомобиле. 299 Пусть также на земле лежит магнит. Наблюдатель, стоящий на земле, регистрирует по- стоянное магнитное поле, создаваемое этим магнитом; коль скоро это поле не меняется со временем, никакого электрического поля в земной системе отсчёта не возникает. Но относи- тельно автомобиля магнит движется — приближается к автомобилю или удаляется от него. В системе отсчёта автомобиля магнитное поле меняется со временем — нарастает или убывает; наблюдатель в автомобиле фиксирует вихревое электрическое поле, порождаемое переменнным магнитным полем нашего магнита. Но все инерциальные системы отсчёта абсолютно равноправны, среди них нет какой-то од- ной привилегированной. Законы природы выглядят одинаково в любой инерциальной системе отсчёта, и никакой физический эксперимент не может отличить одну инерциальную систему отсчёта от другой 48 . Поэтому естественно считать, что электрическое поле и магнитное поле служат двумя различными проявлениями одного физического объекта — электромагнитного поля. Таким образом, в произвольной, наудачу выбранной системе отсчёта будут присутствовать обе компоненты электромагнитного поля — поле электрическое и поле магнитное. Но может случиться и так, что в некоторой системе отсчёта, специально приспособленной для данной задачи, одна из этих компонент обратится в нуль. Мы видели это в наших примерах с автомо- билем. Электромагнитное поле можно наблюдать и исследовать по его действию на заряженные частицы. Силовой характеристикой электромагнитного поля является пара векторов E и B — напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля. Сила, с которой электро- магнитное поле действует на заряд q, движущийся со скоростью v, равна: F = F эл + F магн Силы в правой части нам хорошо известны. Сила F эл = q E действует со стороны электри- ческого поля. Она не зависит от скорости заряда. Сила F магн действует со стороны магнитного поля. Её направление определяется по правилу часовой стрелки или левой руки, а модуль — по формуле F магн = qvB sin α, где α — угол между векторами v и B. 3.26.3 Об уравнениях Максвелла Теория электромагнитного поля была создана Максвеллом. Он предложил свою знаменитую систему дифференциальных уравнений (уравнений Максвелла), которые позволяют найти век- торы E и B в любой точке заданной области пространства по известным источникам — зарядам и токам 49 . Уравнения Максвелла легли в основу электродинамики и позволили объяснить все известные на тот момент явления электричества и магнетизма. Но мало того — уравнения Максвелла дали возможность предсказывать новые явления! Так, среди решений уравнений Максвелла обнаружились поля с неизвестными ранее свой- ствами — электромагнитные волны. А именно, уравнения Максвелла допускали решения в виде электромагнитного поля, которое может распространяться в пространстве, захватывая с тече- нием времени все новые и новые области. Скорость этого распространения конечна и зависит от среды, заполняющей пространство. Но электромагнитные волны не нуждаются ни в какой среде — они могут распространяться даже сквозь пустоту. Скорость распространения электро- магнитных волн в вакууме совпадает со скоростью света c = 3·10 8 м/с (сам свет также является электромагнитной волной). 48 Это — принцип относительности Эйнштейна, лежащий в основе теории относительности. 49 Для однозначного нахождения полей необходимо знать ещё начальные условия — значения полей в началь- ный момент времени, а также граничные условия — некоторые условия для полей на границе рассматриваемой области. 300 Сейчас электромагнитные волны хорошо изучены и классифицированы по нескольким диа- пазонам (подробному рассмотрению электромагнитных волн посвящён следующий раздел). Но во времена Максвелла никто даже не подозревал об их существовании. Это был один из уди- вительных случаев в физике, когда фундаментальное открытие делалось «на кончике пера» — новое явление открывалось чисто теоретически, опережая эксперимент! Экспериментальное доказательство пришло позже: электромагнитные волны были впервые обнаружены в опытах Герца через восемь лет после смерти Максвелла. Эти опыты подтвердили справедливость симметричной гипотезы и основанной на ней теории электромагнитного поля, построенной Максвеллом. 301 3.27 Электромагнитные волны Важнейший результат электродинамики, вытекающий из уравнений Максвелла 50 , состоит в том, что электромагнитные взаимодействия передаются из одной точки пространства в дру- гую не мгновенно, а с конечной скоростью. В вакууме скорость распространения электромаг- нитных взаимодействий совпадает со скоростью света c = 3 · 10 8 м/с. Рассмотрим, например, два покоящихся заряда, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Сила их взаимодействия определяется законом Кулона. Шевельнём один из зарядов; согласно закону Кулона сила взаимодействия изменится мгновенно — второй заряд сразу «по- чувствует» изменение положения первого заряда. Так утверждала теория дальнодействия 51 Однако в действительности дело обстоит иначе. При шевелении заряда электрическое поле вблизи него меняется и порождает магнитное поле. Это магнитное поле также является пере- менным и, в свою очередь, порождает переменное электрическое поле, которое опять порождает переменное магнитное поле и т. д. Таким образом, в окружающем пространстве начинает рас- пространяться процесс колебаний напряжённости электрического поля и индукции магнит- ного поля — электромагнитная волна. Спустя некоторое время эта электромагнитная волна достигнет второго заряда; лишь тогда — а не мгновенно! — он и «почувствует», что положение первого заряда изменилось. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано Максвеллом и по- лучило блестящее подтверждение в опыте Герца. 3.27.1 Открытый колебательный контур Электромагнитные волны должны быть достаточно интенсивными для того, чтобы их можно было наблюдать в эксперименте. Нетрудно понять, что электромагнитные волны будут тем интенсивнее, чем быстрее меня- ется положение зарядов, излучающих эти волны. Действительно, в таком случае электрическое поле вблизи зарядов меняется с большей скоростью и порождает большее магнитное поле; оно, в свою очередь, меняется столь же быстро и порождает большее электрическое поле, и т. д. В частности, интенсивные электромагнитные волны порождаются высокочастотными электромагнитными колебаниями. Электромагнитные колебания создаются в хорошо знакомом нам колебательном контуре. Частота колебаний заряда и тока в контуре равна: ν = 1 2π √ LC (3.139) С этой же частотой колеблются векторы E и B в заданной точке пространства. Поэтому вели- чина ν, вычисляемая по формуле ( 3.139 ), будет также частотой электромагнитной волны. Чтобы увеличить частоту колебаний в контуре, нужно уменьшать ёмкость конденсатора и индуктивность катушки. Но эксперименты показали, что дело не ограничивается одной лишь высокой частотой коле- баний. Для образования интенсивных электромагнитных волн существенным оказывается ещё один фактор: переменное электромагнитное поле, являющееся источником электромагнит- ных волн, должно занимать достаточно большую область пространства. Между тем, в обычном колебательном контуре, состоящем из конденсатора и катушки, пере- менное электрическое поле почти целиком сосредоточено в малой области внутри конденсатора, 50 Мы уже не первый раз говорим об уравнениях Максвелла, а самих уравнений при этом не выписываем. Ничего не поделаешь — эти уравнения пока слишком сложны для вас. Вы познакомитесь с ними курсе на втором, когда будут освоены необходимые темы из высшей математики. 51 Теории дальнодействия и близкодействия обсуждались в разделе «Напряжённость электрического поля». 302 а переменное магнитное поле — в малой области внутри катушки. Поэтому даже при достаточ- но высокой частоте колебаний такой колебательный контур оказался непригоден для излучения электромагнитных волн. Как добиться увеличения области, занимаемой высокочастотным электромагнитным полем? Герц нашёл красивое и гениально простое решение — открытый колебательный контур. Возьмём обычный колебательный контур (рис. 3.132 , слева). Начнём уменьшать число вит- ков катушки — от этого её индуктивность будет уменьшаться. Одновременно уменьшаем пло- щадь пластин конденсатора и раздвигаем их — это приводит к уменьшению ёмкости конденса- тора и к увеличению пространственной области, занимаемой электрическим полем. Эта проме- жуточная ситуация изображена на рис. 3.132 в середине. Рис. 3.132. Превращение обычного колебательного контура в открытый К чему мы придём, продолжая этот процесс? Катушка ликвидируется вовсе, превращаясь в кусок проводника. Пластины конденсатора раздвигаюся максимально далеко и оказывают- ся на концах этого проводника (рис. 3.132 , справа). Остаётся уменьшить до предела размеры пластин — и получится самый обычный прямолинейный стержень! Это и есть открытый коле- бательный контур (рис. 3.133 ). Рис. 3.133. Открытый колебательный контур Таким образом, идея Герца превратить обычный колебательный контур в открытый позво- лила сразу «убить двух зайцев»: 1. ёмкость и индуктивность стержня очень малы, поэтому в нём возбуждаются колебания весьма высокой частоты; 2. переменное электромагнитное поле занимает довольно большую область пространства во- круг стержня. Поэтому такой стержень может служить источником достаточно интенсивных электромаг- нитных волн, которые будут доступны для экспериментального наблюдения. Но как возбудить в стержне электромагнитные колебания? Герц разрезал стержень посе- редине, раздвинул половинки на небольшое расстояние (создав так называемый разрядный промежуток) и подключил их к источнику высокого напряжения (рис. 3.134 ). Высокое напряжение Рис. 3.134. Излучающий вибратор Герца Получился излучающий вибратор Герца; концы провода в разрядном промежутке снаб- жались небольшими шариками. Когда напряжение между шариками превышало напряжение 303 пробоя, в разрядном промежутке проскакивала искра. Во время существования искры цепь замыкалась, и в стержне возникали электромагнитные колебания — вибратор излучал элек- тромагнитные волны. Герц регистрировал эти волны с помощью приёмного вибратора — проводника с шариками на концах разрядного промежутка (рис. 3.135 ). Приёмный вибратор находился поодаль, на некотором расстоянии от излучающего вибратора. Рис. 3.135. Приёмный вибратор Герца Переменное электрическое поле электромагнитной волны возбуждало в приёмном вибра- торе переменный ток. Если частота этого тока совпадала с собственной частотой приёмного вибратора, то возникал резонанс, и в разрядном промежутке проскакивала искра! Наличие этой искры, появляющейся на концах совершенно изолированного проводника, яви- лось ярким свидетельством существования электромагнитных волн. 3.27.2 Свойства электромагнитных волн Для излучения электромагнитных волн заряд не обязательно должен совершать колебательное движение; главное — чтобы у заряда было ускорение. Любой заряд, движущийся с ускорением, является источником электромагнитных волн. При этом излучение будет тем интенсивнее, чем больше модуль ускорения заряда. Так, при равномерном движении по окружности (скажем, в магнитном поле) заряд имеет центростремительное ускорение и, стало быть, излучает электромагнитные волны. Быстрые электроны в газоразрядных трубках, налетая на стенки, тормозятся с очень большим по модулю ускорением; поэтому вблизи стенок регистрируется рентгеновское излучение высокой энергии (так называемое тормозное излучение). В качестве примера рассмотрим излучение заряда, совершающего гармонические колебания с частотой ν вдоль оси Y вокруг начала координат. Во все стороны от него бегут электро- магнитные волны — в частности, вдоль оси X. На рис. 3.136 показана структура излучаемой электромагнитной волны на большом расстоянии от заряда в фиксированный момент времени. E λ B X Y Z c Рис. 3.136. Синусоидальная электромагнитная волна Скорость волны c направлена вдоль оси X. Векторы E и B в каждой точке оси X соверша- ют синусоидальные колебания вдоль осей Y и Z соответственно, меняясь при этом синфазно. 304 Кратчайший поворот вектора E к вектору B всегда совершается против часовой стрелки, если глядеть с конца вектора c. В любой фиксированный момент времени распределение вдоль оси X значений модуля век- торов E и B имеет вид двух синфазных синусоид, расположенных перпендикулярно друг другу в плоскостях XY и XZ соответственно. Длина волны λ — это расстояние между двумя бли- жайшими точками оси X, в которых колебания значений поля происходят в одинаковой фазе (в частности — между двумя ближайшими максимумами поля, как на рис. 3.136 ). Таким образом, электромагнитные волны оказались поперечными — колебания векторов напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля происходят в плоскости, пер- пендикулярной направлению распространения волны. Частота, с которой меняются значения E и B в данной точке пространства, называется частотой электромагнитной волны; она совпадает с частотой ν колебаний излучающего за- ряда. Длина электромагнитной волны λ, её частота ν и скорость распространения c связаны стандартным для всех волн соотношением: c = λν. (3.140) Эксперименты показали, что электромагнитным волнам присущи те же основные свойства, что и другим видам волновых процессов. 1. Отражение волн. Электромагнитные волны отражаются от металлического листа — это было обнаружено ещё Герцем. Угол отражения при этом равен углу падения. 2. Поглощение волн. Электромагнитные волны частично поглощаются при прохождении сквозь диэлектрик. 3. Преломление волн. Электромагнитные волны меняют направление распространения при переходе из воздуха в диэлектрик (и вообще на границе двух различных диэлектриков). 4. Интерференция волн. Герц наблюдал интерференцию двух волн: первая приходила к при- ёмному вибратору непосредственно от излучающего вибратора, вторая — после предва- рительного отражения от металлического листа. Меняя положение приёмного вибратора и фиксируя положения интерференционных мак- симумов, Герц измерил длину волны λ. Частота ν собственных колебаний в приёмном вибраторе была Герцу известна. По формуле ( 3.140 ) Герц вычислил скорость распростра- нения электромагнитных волн и получил приближённо c ≈ 3 · 10 8 м/с. Именно такой результат предсказывала теория, построенная Максвеллом! 5. Дифракция волн. Электромагнитные волны огибают препятствия, размеры которых со- измеримы с длиной волны. Например, радиоволны, длина волны которых составляет несколько десятков или сотен метров, огибают дома или горы, находящиеся на пути их распространения. 3.27.3 Плотность потока излучения Электромагнитные волны переносят энергию из одних участков пространства в другие. Пере- нос энергии осуществляется вдоль лучей — воображаемых линий, указывающих направление распространения волны 52 Важнейшей энергетической характеристикой электромагнитных волн служит плотность по- тока излучения. 52 Мы не даём строгого определения понятия луча и надеемся на ваше интуитивное понимание, которого пока будет вполне достаточно. 305 Представим себе площадку площадью S, расположенную перпендикулярно лучам. Допу- стим, что за время t волна переносит через эту площадку энергию W . Тогда плотность потока излучения I определяетcя формулой: I = W St (3.141) Иначе говоря, плотность потока излучения — это энергия, переносимая через единичную площадку (перпендикулярную лучам) в единицу времени; или, что то же самое — это мощность излучения, переносимая через единичную площадку. Единицей измерения плотности потока излучения служит Вт/м 2 Плотность потока излучения связана простым соотношением с плотностью энергии элек- тромагнитного поля. Фиксируем площадку S, перпендикулярную лучам, и небольшой промежуток времени t. Сквозь площадку пройдёт энергия: W = ISt. (3.142) Эта энергия будет сосредоточена внутри цилиндра с площадью основания S и высотой ct (рис. 3.137 ), где c — скорость электромагнитной волны. ct S Рис. 3.137. К выводу формулы I = wc Объём данного цилиндра равен: V = Sct. Поэтому если w — плотность энергии электромаг- нитного поля, то для энергии W получим также: W = wV = wSct. (3.143) Приравнивая правые части формул ( 3.142 ) и ( 3.143 ) и сокращая на St, получим соотноше- ние: I = wc. (3.144) Плотность потока излучения характеризует, в частности, степень воздействия электромаг- нитного излучения на его приёмники; когда говорят об интенсивности электромагнитных волн, имеют в виду именно плотность потока излучения. Интересным является вопрос о том, как интенсивность излучения зависит от его частоты. Пусть электромагнитная волна излучается зарядом, совершающим гармонические колеба- ния вдоль оси X по закону x = x 0 sin ωt. Циклическая частота ω колебаний заряда будет в то же время циклической частотой излучаемой электромагнитной волны. Для скорости и ускорения заряда имеем: v = ˙x = x 0 ω cos ωt и a = ˙v = −x 0 ω 2 sin ωt. Как видим, a ∼ ω 2 . Напряжённость электрического поля и индукция магнитного поля в электро- магнитной волне пропорциональны ускорению заряда: E ∼ a и B ∼ a. Стало быть, E ∼ ω 2 и B ∼ ω 2 Плотность энергии электромагнитного поля есть сумма плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля: w = w эл + w магн . Плотность энергии электрического поля, как мы знаем, пропорциональна квадрату напряжённости поля: w эл ∼ E 2 . Аналогично можно показать, что w магн ∼ B 2 . Следовательно, w эл ∼ ω 4 и w магн ∼ ω 4 , так что w ∼ ω 4 306 Согласно формуле ( 3.144 ) плотность потока излучения пропорциональна плотности энергии: I ∼ w. Поэтому I ∼ ω 4 . Мы получили важный результат: интенсивность электромагнитного излучения пропорциональна четвёртой степени его частоты. Другой важный результат заключается в том, что интенсивность излучения убывает с увеличением расстояния до источника. Это понятно: ведь источник излучает в разных направ- лениях, и по мере удаления от источника излучённая энергия распределяется по всё большей и большей площади. Количественную зависимость плотности потока излучения от расстояния до источника легко получить для так называемого точечного источника излучения. Точечный источник излучения — это источник, размерами которого в условиях данной ситуации можно пренебречь. Кроме того, считается, что точечный источник одинаково излучает во всех направлениях. Конечно, точечный источник является идеализацией, но в некоторых задачах эта идеализа- ция отлично работает. Например, при исследовании излучения звёзд их вполне можно считать точечными источниками — ведь расстояния до звёзд настолько громадны, что их собственные размеры можно не принимать во внимание. На расстоянии r от источника излучённая энергия равномерно распределяется по поверхно- сти сферы радиуса r. Площадь сферы, напомним, S = 4πr 2 . Если мощность излучения нашего источника равна P , то за время t через поверхность сферы проходит энергия W = P t. С помо- щью формулы ( 3.141 ) получаем тогда: I = P t 4πr 2 t = P 4πr 2 Таким образом, интенсивность излучения точечного источника обратно пропорциональна расстоянию до него. 3.27.4 Виды электромагнитных излучений Спектр электромагнитных волн необычайно широк: длина волны может измеряться тысячами километров, а может быть меньше пикометра. Тем не менее, весь этот спектр можно разделить на несколько характерных диапазонов длин волн; внутри каждого диапазона электромагнитные волны обладают более-менее схожими свойствами и способами излучения. Мы рассмотрим эти диапазоны в порядке убывания длины волны. Диапазоны плавно пере- ходят друг в друга, чёткой границы между ними нет. Поэтому граничные значения длин волн порой весьма условны. 1. Радиоволны (λ > 1 мм). Источниками радиоволн служат колебания зарядов в проводах, антеннах, колебательных контурах. Радиоволны излучаются также во время гроз. • Сверхдлинные волны (λ > 10 км). Хорошо распространяются в воде, поэтому исполь- зуются для связи с подводными лодками. • Длинные волны (1 км < λ < 10 км). Используются в радиосвязи, радиовещании, радионавигации. • Средние волны (100 м < λ < 1 км). Радиовещание. Радиосвязь на расстоянии не более 1500 км. • Короткие волны (10 м < λ < 100 м). Радиовещание. Хорошо отражаются от ионо- сферы; в результате многократных отражений от ионосферы и от поверхности Земли могут распространяться вокруг земного шара. Поэтому на коротких волнах можно ловить радиостанции других стран. 307 • Метровые волны (1 м < λ < 10 м). Местное радивещание в УКВ-диапазоне. Напри- мер, длина волны радиостанции «Эхо Москвы» составляет 4 м. Используются также в телевидении (федеральные каналы); так, длина волны телеканала «Россия 1» равна примерно 5 м. • Дециметровые волны (10 см < λ < 1 м). Телевидение (дециметровые каналы). На- пример, длина волны телеканала «Animal Planet» приблизительно равна 42 см. Это также диапазон мобильной связи; так, стандарт GSM 1800 использует радиовол- ны с частотой примерно 1800 МГц, т. е. с длиной волны около 17 см. Есть ещё одно хорошо известное вам применение дециметровых волн — это микровол- новые печи. Стандартная частота микроволновой печи равна 2450 МГц (это частота, на которой происходит резонансное поглощение электромагнитного излучения моле- кулами воды). Она отвечает длине волны примерно 12 см. Наконец, в технологиях беспроводной связи Wi-Fi и Bluetooth используется такая же длина волны — 12 см (частота 2400 МГц). • Сантиметровые волны (1 см < λ < 10 см). Это — область радиолокации и спутни- ковых телеканалов. Например, канал НТВ+ ведёт своё телевещание на длинах волн около 2 см. • Миллиметровые волны (1 мм < λ < 1 см). Радиолокация, космические линии связи. Здесь мы подходим к длинноволновой границе инфракрасного излучения. 2. Инфракрасное излучение (780 нм < λ < 1 мм). Испускается молекулами и атомами нагретых тел. Инфракрасное излучение называется ещё тепловым — когда оно попадает на наше тело, мы чувствуем тепло. Человеческим глазом инфракрасное излучение не воспринимается 53 Мощнейшим источником инфракрасного излучения служит Солнце. Лампы накаливания излучают наибольшее количество энергии (до 80%) в как раз в инфракрасной области спектра. Инфракрасное излучение имеет широкую область применения: инфракрасные обогревате- ли, пульты дистанционного управления, приборы ночного видения, сушка лакокрасочных покрытий и многое другое. При повышении температуры тела длина волны инфракрасного излучения уменьшается, смещаясь в сторону видимого света. Засунув гвоздь в пламя горелки, мы можем наблю- дать это воочию: в какой-то момент гвоздь «раскаляется докрасна», начиная излучать в видимом диапазоне. 3. Видимый свет (380 нм < λ < 780 нм). Излучение в этом промежутке длин волн воспринимается человеческим глазом. Диапазон видимого света можно разделить на семь интервалов — так называемые спек- тральные цвета. • Красный: 625 нм — 780 нм; • Оранжевый: 590 нм — 625 нм; • Жёлтый: 565 нм — 590 нм; • Зелёный: 500 нм — 565 нм; • Голубой: 485 нм — 500 нм; 53 Некоторые змеи видят в инфракрасном диапазоне. 308 • Синий: 440 нм — 485 нм; • Фиолетовый: 380 нм — 440 нм. Глаз имеет максимальную чувствительность к свету в зелёной части спектра. Вот почему школьные доски согласно ГОСТу должны быть зелёными: глядя на них, глаз испытывает меньшее напряжение. 4. Ультрафиолетовое излучение (10 нм < λ < 380 нм). Главным источником ультрафиолетового излучения является Солнце. Именно ультрафи- олетовое излучение приводит к появлению загара. Человеческим глазом оно уже не вос- принимается 54 В небольших дозах ультрафиолетовое излучение полезно для человека: оно повышает иммунитет, улучшает обмен веществ, имеет целый ряд других целебных воздействий и потому применяется в физиотерапии. Ультрафиолетовое излучение обладает бактерицидными свойствами. Например, в боль- ницах для дезинфекции операционных в них включаются специальные ультрафиолетовые лампы. Очень опасным является воздействие УФ излучения на сетчатку глаза — при больших дозах ультрафиолета можно получить ожог сетчатки. Поэтому для защиты глаз (высоко в горах, например) нужно надевать очки, стёкла которых поглощают ультрафиолет. 5. Рентгеновское излучение (5 пм < λ < 10 нм). Возникает в результате торможения быстрых электронов у анода и стенок газоразряд- ных трубок (тормозное излучение), а также при некоторых переходах электронов внутри атомов с одного уровня на другой (характеристическое излучение). Рентгеновское излучение легко проникает сквозь мягкие ткани человеческого тела, но по- глощается кальцием, входящим в состав костей. Это даёт возможность хорошо известные вам рентгеновские снимки. В аэропортах вы наверняка видели действие рентгенотелевизионных интроскопов — эти приборы просвечивают рентгеновскими лучами ручную кладь и багаж. Длина волны рентгеновского излучения сравнима с размерами атомов и межатомных рас- стояний в кристаллах; поэтому кристаллы являются естественными дифракционными ре- шётками для рентгеновских лучей. Наблюдая дифракционные картины, получаемые при прохождении рентгеновских лучей сквозь различные кристаллы, можно изучать порядок расположения атомов в кристаллических решётках и сложных молекулах. Так, именно с помощью рентгеноструктурного анализа было определено устройство ряда сложных органических молекул — например, ДНК и гемоглобина. В больших дозах рентгеновское излучение опасно для человека — оно может вызывать раковые заболевания и лучевую болезнь. 6. Гамма-излучение (λ < 5 пм). Это излучение наиболее высокой энергии. Его проникающая способность намного выше, чем у рентгеновских лучей. Гамма-излучение возникает при переходах атомных ядер из одного состояния в другое, а также при некоторых ядерных реакциях. 54 Некоторые насекомые и птицы способны видеть в ультрафиолете. Например, пчёлы с помощью своего уль- трафиолетового зрения находят нектар на цветах. 309 Источниками гамма-лучей могут быть заряженные частицы, движущиеся со скоростя- ми, близкими к скорости света — в случае, если траектории таких частиц искривлены магнитным полем (так называемое синхротронное излучение). В больших дозах гамма-излучение очень опасно для человека: оно вызывает лучевую бо- лезнь и онкологические заболевания. Но в малых дозах оно может подавлять рост раковых опухолей и потому применяется в лучевой терапии. Бактерицидное действие гамма-излучения используется в сельском хозяйстве (гамма-сте- рилизация сельхозпродукции перед длительным хранением), в пищевой промышленности (консервирование продуктов), а также в медицине (стерилизация материалов). 310 Глава 4 Оптика Оптика есть наука о распространении света. Говоря о свете, мы всегда подразумеваем видимый свет. Напомним, что на огромной шкале электромагнитных волн диапазон видимого света занимает весьма узкий промежуток: длины волн видимого диапазона принимают значения примерно от 380 нм (фиолетовый участок спектра) до 780 нм (красный участок). С точки зрения электродинамики Максвелла распространение света ничем не отличается от распространения других электромагнитных излучений — радиоволн, инфракрасного, уль- трафиолетового, рентгеновского и гамма-излучения. В этом смысле оптика оказывается просто частью электродинамики. Но ввиду той колоссальной роли, которую свет играет в жизни человека, оптические явления начали изучаться давным-давно. Все основные законы оптики были установлены задолго до создания электродинамики и открытия электромагнитных волн. И потому с тех давних пор оптика оформилась в самостоятельный раздел физики — со своими специфическими задачами, методами, экспериментами и приборами. Волновая оптика (или, как ещё говорят, физическая оптика) рассматривает свет как элек- тромагнитные волны. Явления интерференции и дифракции света служат опытным подтвер- ждением его волновой природы. Геометрическая оптика устанавливает закономерности распространения световых лучей. Геометрическая оптика является предельным случаем волновой оптики при λ → 0; иными словами, геометрическая оптика работает тем лучше, чем меньше длина световой волны по сравнению с характерными размерами препятствий. С геометрической оптики мы и начинаем изложение. Ей посвящены следующие разделы: → Световые лучи → Отражение света → Преломление света → Линзы. Ход лучей → Тонкие линзы. Ход лучей → Тонкие линзы. Построение изображений → Глаз человека → Оптические приборы Волновая оптика объясняет законы геометрической оптики и устанавливает границы их применимости. Так, в приближении геометрической оптики справедлив закон прямолинейного распростра- нения света, но удовлетворительно работает он лишь вдали от краёв препятствий. Вблизи края наблюдается дифракция света — изменение направления световых лучей и их проникновение в область геометрической тени. Объяснение закона прямолинейного распространения света да- ётся в рамках теории дифракции и выходит за рамки школьной программы. 311 Имеются отступления и от закона независимости световых лучей. А именно, при некоторых условиях освещённость, создаваемая несколькими световыми пучками, не равна сумме осве- щённостей, вносимых каждым пучком в отдельности, и может принимать как большее, так и меньше значения. В этом состоит явление интерференции света. При интерференции вместо равномерной освещённости экрана наблюдается интерференционная картина — чередование светлых и тёмных участков пространства. Дисперсия света, то есть различная преломляемость лучей разного цвета на одной и той же границе, была исследована ещё Ньютоном. Но появление теории дисперсии, выясняющей характер зависимости показателя преломления среды от частоты электромагнитных волн, ока- залось возможным лишь после создания электродинамики Максвелла. Волновая оптика рассматривается в следующих разделах: → Принцип Гюйгенса → Интерференция волн → Интерференция света → Дифракция света → Дисперсия света Волновая оптика — обширная и непростая наука; сколько-нибудь полное изложение волно- вой оптики возможно лишь в рамках вузовского курса физики 1 . В данном пособии затрагива- ются лишь те вопросы, которые необходимы для адекватного восприятия школьной программы и успешного решения задач ЕГЭ по физике и различных олимпиад. 1 Достаточно сказать, что в знаменитом физтеховском пятитомнике Д. В. Сивухина «Общий курс физики» четвёртый том «Оптика» является самым толстым из всех томов. 312 4.1 Световые лучи Главным природным источником света служит Солнце, и люди ставили много опытов с сол- нечными лучами. Отсюда в оптику вошло понятие светового луча. Впоследствии оно получило строгое определение. Световой луч — это геометрическая линия, которая в каждой своей точке перпендикуляр- на волновому фронту, проходящему через эту точку. Направление светового луча совпадает с направлением распространения света. Если данное определение осталось для вас не совсем понятным — ничего страшного: на первых порах вы можете представлять себе просто узкие пучки света наподобие солнечных лучей. Этого вполне хватит, чтобы уяснить все основные вещи и научиться решать задачи. Ну а время строгого определения придёт несколько позже — когда начнётся волновая оптика. 4.1.1 Законы геометрической оптики Геометрическая оптика изучает распространение световых лучей. Это исторически первый и наиболее простой раздел оптики. В основе геометрической оптики лежат четыре основных закона. 1. Закон независимости световых лучей. 2. Закон прямолинейного распространения света. 3. Закон отражения света. 4. Закон преломления света. Данные законы были установлены в результате наблюдений за световыми лучами и послу- жили обобщениями многочисленных опытных фактов. Они являются утверждениями, сфор- мулированными на языке геометрии. Волновая природа света в них не затрагивается. Законы геометрической оптики первоначально являлись постулатами. Они лишь конста- тировали: таким вот образом ведёт себя природа. Однако впоследствии оказалось, что законы геометрической оптики могут быть выведены из более фундаментальных законов волновой оп- тики. Геометрическая оптика отлично работает, когда длина световой волны λ много меньше раз- меров объектов, присутствующих в данной физической ситуации. Можно сказать, что геомет- рическая оптика есть предельный случай волновой оптики при λ → 0. Неудивительно поэтому, что сначала были открыты законы именно геометрической оптики: ведь размеры предметов, встречающихся нам в повседневной жизни, намного превышают длины волн видимого света. Первый закон геометрической оптики совсем простой. Он говорит о том, что вклад каждого светового луча в суммарное освещение не зависит от наличия других лучей. Закон независимости световых лучей. Если световые лучи пересекаются, то они не ока- зывают никакого влияния друг на друга. Каждый луч освещает пространство так, как если бы других лучей вообще не было. Закон прямолинейного распространения света также очень прост, и мы его сейчас обсудим. Законам отражения и преломления будут посвящены следующие разделы. Закон прямолинейного распространения света. В прозрачной однородной среде световые лучи являются прямыми линиями. Что такое «прозрачная однородная среда»? Среда называется прозрачной, если в ней может распространяться свет. Среда называется однородной, если её свойства не меняются от точки 313 к точке. Равномерно прогретый воздух, чистая вода, стекло без примесей — всё это примеры прозрачных и оптически однородных сред. Таким образом, закон прямолинейного распространения света означает, что в прозрачной однородной среде понятие светового луча совпадает с понятием луча в геометрии. Данный закон не требует каких-либо дополнительных пояснений — он хорошо вам известен. Вам неоднократно доводилось видеть прямолинейные солнечные лучи, пронизывающие облака, или тонкий прямой луч, пробивающийся в запылённой комнате через щель в окне. Находясь под водой, можно наблюдать прямые солнечные лучи, идущие сквозь воду. При нарушении однородности среды нарушается и закон прямолинейного распространения света. Например, на границе раздела двух прозрачных сред световой луч может разделиться на два луча: отражённый и преломлённый. Если оптические свойства среды меняются от точки к точке, то ход световых лучей искривляется. В этом состоит причина миражей: слой возду- ха вблизи раскалённой земной поверхности нагрет больше, чем вышележащие слои; он имеет иные оптические свойства, и его действие оказывается подобным зеркалу. Обо всём этом мы поговорим позднее. 4.1.2 Геометрическая тень Вам хорошо известно, что различные предметы отбрасывают тень. На рис. 4.1 изображён точеч- ный источник света S и непрозрачный предмет — красный треугольник. На экране мы видим тень этого предмета в виде серого треугольника. S Рис. 4.1. Геометрическая тень Откуда берётся тень? Дело в том, что если на пути световых лучей оказывается непрозрач- ный предмет, то происходит следующее. • Луч, идущий мимо предмета, продолжает распространяться в прежнем направлении — как если бы данного предмета вообще не было. • Луч, попадающий на предмет, не проникает внутрь предмета. Дальнейший ход такого луча в прежнем направлении пресекается. Так возникает геометрическая тень, края которой чётко очерчены 2 . Поскольку свет рас- пространяется прямолинейно, форма геометрической тени оказывается подобной контуру пред- мета. Так, на рис. 4.1 серый треугольник подобен красному. 2 Граница реальной тени имеет более сложный вид: вмешивается дифракция света на краях предмета. Ди- фракция — это отклонение света от первоначального направления; данное явление обусловлено волновой при- родой света и не описывается в рамках геометрической оптики. 314 4.2 Отражение света Когда световой луч падает на границу раздела двух сред, происходит отражение света: луч изменяет направление своего хода и возвращается в исходную среду. На рис. 4.2 изображены падающий луч AO, отражённый луч OB, а также перпендикуляр OC, проведённый к отражающей поверхности KL в точке падения O. K L A B C O Рис. 4.2. Закон отражения Угол AOC называется углом падения. Обратите внимание и запомните: угол падения отсчи- тывается от перпендикуляра к отражающей поверхности, а не от самой поверхности! Точно так же угол отражения — это угол BOC, образованный отражённым лучом и перпендикуляром к поверхности. 4.2.1 Закон отражения Сейчас мы сформулируем один из самых древних законов физики. Он был известен грекам ещё в античности! Закон отражения. 1) Падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр к отражающей поверхности, прове- дённый в точке падения, лежат в одной плоскости. 2) Угол отражения равен углу падения. Таким образом, ∠AOC = ∠BOC, что и показано на рис. 4.2 Закон отражения имеет одно простое, но очень важное геометрическое следствие. Давайте посмотрим на рис. 4.3 . Пусть из точки A исходит световой луч. Построим точку A 0 , симмет- ричную точке A относительно отражающей поверхности KL. K L A B C O A 0 Рис. 4.3. Отражённый луч выходит из точки A 0 Из симметрии точек A и A 0 ясно, что ∠AOK = ∠A 0 OK. Кроме того, ∠AOK + ∠AOC = 90 ◦ Поэтому ∠A 0 OB = 2(∠AOK + ∠AOC) = 180 ◦ , и, следовательно, точки A 0 , O и B лежат на одной прямой! Отражённый луч OB как бы выходит из точки A 0 , симметричной точке A относительно отражающей поверхности. Данный факт нам чрезвычайно пригодится в самом скором времени. 315 Закон отражения описывает ход отдельных световых лучей — узких пучков света. Но во многих случаях пучок является достаточно широким, то есть состоит из множества параллель- ных лучей. Картина отражения широкого пучка света будет зависеть от свойств отражающей поверхности. Если поверхность является неровной, то после отражения параллельность лучей нарушится. В качестве примера на рис. 4.4 показано отражение от волнообразной поверхности. Отражённые лучи, как видим, идут в самых разных направлениях. Рис. 4.4. Отражение от волнообразной поверхности Но что значит «неровная» поверхность? Какие поверхности являются «ровными»? Ответ таков: поверхность считается неровной, если размеры её неровностей не меньше длины свето- вых волн. Так, на рис. 4.4 характерный размер неровностей на несколько порядков превышает величину длин волн видимого света. Поверхность с микроскопическими неровностями, соизмеримыми с длинами волн видимого света, называется матовой. В результате отражения параллельного пучка от матовой поверх- ности получается рассеянный свет — лучи такого света идут во всевозможных направлениях 3 Само отражение от матовой поверхности называется поэтому рассеянным или диффузным 4 Если же размер неровностей поверхности меньше длины световой волны, то такая поверх- ность называется зеркальной. При отражении от зеркальной поверхности параллельность пучка сохраняется: отражённые лучи также идут параллельно (рис. 4.5 ). Рис. 4.5. Отражение от зеркальной поверхности Приблизительно зеркальной является гладкая поверхность воды, стекла или отполирован- ного металла. Отражение от зеркальной поверхности называется соответственно зеркальным. Нас будет интересовать простой, но важный частный случай зеркального отражения — отра- жение в плоском зеркале. 4.2.2 Плоское зеркало Плоское зеркало — это часть плоскости, зеркально отражающая свет. Плоское зеркало — при- вычная вещь; таких зеркал несколько в вашем доме. Но теперь мы сможем разобраться, почему, смотрясь в зеркало, вы видите в нём отражение себя и находящихся рядом с вами предметов. Точечный источник света S на рис. 4.6 испускает лучи в разных направлениях; давайте возьмём два близких луча, падающих на плоское зеркало. Мы уже знаем, что отражённые лучи 3 Именно поэтому мы видим окружающие предметы: они отражают рассеянный свет, который мы и наблю- даем с любого ракурса. 4 Латинское слово diffusio как раз и означает распространение, растекание, рассеивание. 316 пойдут так, будто они исходят из точки S 0 , симмметричной точке S относительно плоскости зеркала. S S 0 Рис. 4.6. Изображение источника света в плоском зеркале Самое интересное начинается, когда расходящиеся отражённые лучи попадают к нам в глаз. Особенность нашего сознания состоит в том, что мозг достраивает расходящийся пучок, про- должая его за зеркало до пересечения в точке S 0 . Нам кажется, что отражённые лучи исходят из точки S 0 — мы видим там светящуюся точку! Эта точка служит изображением источника света S. Конечно, в реальности ничего за зер- калом не светится, никакая энергия там не сосредоточена — это иллюзия, обман зрения, порож- дение нашего сознания. Поэтому точка S 0 называется мнимым изображением источника S. В точке S 0 пересекаются не сами световые лучи, а их мысленные продолжения «в зазеркалье». Ясно, что изображение S 0 будет существовать независимо от размеров зеркала и от того, находится ли источник непосредственно над зеркалом или нет (рис. 4.7 ). Важно только, что- бы отражённые от зеркала лучи попадали в глаз — а уж глаз сам сформирует изображение источника. S S 0 Рис. 4.7. Источник не над зеркалом: изображение есть всё равно От расположения источника и размеров зеркала зависит область видения — пространствен- ная область, из которой видно изображение источника. Область видения задаётся краями K и L зеркала KL. Построение области видения изображения S 0 ясно из рис. 4.8 ; искомая область видения выделена серым фоном. 317 S S 0 K L Рис. 4.8. Область видения изображения источника S Как построить изображение произвольного предмета в плоском зеркале? Для этого доста- точно найти изображение каждой точки этого предмета. Но мы знаем, что изображение точ- ки симметрично самой точке относительно зеркала. Следовательно, изображение предмета в плоском зеркале симметрично предмету относительно плоскости зеркала (рис. 4.9 ). A B A 0 B 0 Рис. 4.9. Изображение предмета AB в плоском зеркале Расположение предмета относительно зеркала и размеры самого зеркала не влияют на изоб- ражение (рис. 4.10 ). A B A 0 B 0 A B A 0 B 0 A B A 0 B 0 Рис. 4.10. Изображение не зависит от взаимного расположения предмета и зеркала 318 4.3 Преломление света На границе раздела двух прозрачных сред наряду с отражением света наблюдается его пре- ломление — свет, переходя в другую среду, меняет направление своего распространения. Преломление светового луча происходит при его наклонном падении на поверхность раздела (правда, не всегда — читайте дальше про полное внутреннее отражение). Если же луч падает перпендикулярно поверхности, то преломления не будет — во второй среде луч сохранит своё направление и также пойдёт перпендикулярно поверхности. 4.3.1 Закон преломления (частный случай) Мы начнём с частного случая, когда одна из сред является воздухом. Именно такая ситуа- ция присутствует в подавляющем большинстве задач. Мы обсудим соответствующий частный случай закона преломления, а уж затем дадим самую общую его формулировку. Предположим, что луч света, идущий в воздухе, наклонно падает на поверхность стекла, воды или какой-либо другой прозрачной среды. При переходе в среду луч преломляется, и его дальнейший ход показан на рис. 4.11 α β A B O C D Воздух Среда Рис. 4.11. Преломление луча на границе «воздух–среда» В точке падения O проведён перпендикуляр (или, как ещё говорят, нормаль) CD к поверх- ности среды. Луч AO, как и раньше, называется падающим лучом, а угол α между падающим лучом и нормалью — углом падения. Луч OB — это преломлённый луч; угол β между прелом- лённым лучом и нормалью к поверхности называется углом преломления. Всякая прозрачная среда характеризуется величиной n, которая называется показателем преломления этой среды. Показатели преломления различных сред можно найти в таблицах. Например, для стекла n = 1,6, а для воды n = 1,33. Вообще, у любой среды n > 1; показатель преломления равен единице только в вакууме. У воздуха n = 1,0003, поэтому для воздуха с достаточной точностью можно полагать в задачах n = 1 (в оптике воздух не сильно отличается от вакуума). Закон преломления (переход «воздух–среда»). 1) Падающий луч, преломлённый луч и нормаль к поверхности, проведённая в точке паде- ния, лежат в одной плоскости. 2) Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно показателю преломле- ния среды: sin α sin β = n. (4.1) 319 Поскольку n > 1, из соотношения ( 4.1 ) следует, что sin α > sin β, то есть α > β — угол преломления меньше угла падения. Запоминаем: переходя из воздуха в среду, луч после пре- ломления идёт ближе к нормали. Показатель преломления непосредственно связан со скоростью v распространения света в данной среде. Эта скорость всегда меньше скорости света в вакууме: v < c. И вот оказывается, что n = c v (4.2) Почему так получается, мы с вами поймём при изучении волновой оптики. А пока скомби- нируем формулы ( 4.1 ) и ( 4.2 ): sin α sin β = c v (4.3) Так как показатель преломления воздуха очень близок единице, мы можем считать, что скорость света в воздухе примерно равна скорости света в вакууме c. Приняв это во внима- ние и глядя на формулу ( 4.3 ), делаем вывод: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости света в воздухе к скорости света в среде. 4.3.2 Обратимость световых лучей Теперь рассмотрим обратный ход луча: его преломление при переходе из среды в воздух. Здесь нам окажет помощь следующий полезный принцип. Принцип обратимости световых лучей. Траектория луча не зависит от того, в прямом или обратном направлении распространяется луч. Двигаясь в обратном направлении, луч пойдёт в точности по тому же пути, что и в прямом направлении. Согласно принципу обратимости, при переходе из среды в воздух луч пойдёт по той же самой траектории, что и при соответствующем переходе из воздуха в среду (рис. 4.12 ) Един- ственное отличие рис. 4.12 от рис. 4.11 состоит в том, что направление луча поменялось на противоположное. α β A B O C D Воздух Среда Рис. 4.12. Преломление луча на границе «среда–воздух» Раз геометрическая картинка не изменилась, той же самой останется и формула ( 4.1 ): от- ношение синуса угла α к синусу угла β по-прежнему равно показателю преломления среды. Правда, теперь углы поменялись ролями: угол β стал углом падения, а угол α — углом пре- ломления. В любом случае, как бы ни шёл луч — из воздуха в среду или из среды в воздух — работает следующее простое правило. Берём два угла — угол падения и угол преломления; отношение синуса большего угла к синусу меньшего угла равно показателю преломления среды. 320 Теперь мы целиком подготовлены для того, чтобы обсудить закон преломления в самом общем случае. 4.3.3 Закон преломления (общий случай) Пусть свет переходит из среды 1 с показателем преломления n 1 в среду 2 с показателем прелом- ления n 2 . Среда с б´ ольшим показателем преломления называется оптически более плотной; соответственно, среда с меньшим показателем преломления называется оптически менее плот- ной. Переходя из оптически менее плотной среды в оптически более плотную, световой луч по- сле преломления идёт ближе к нормали (рис. 4.13 ). В этом случае угол падения больше угла преломления: α > β. α β A B O C D 1 2 Рис. 4.13. n 1 < n 2 ⇒ α > β Наоборот, переходя из оптически более плотной среды в оптически менее плотную, луч отклоняется дальше от нормали (рис. 4.14 ). Здесь угол падения меньше угла преломления: α < β. α β A B O C D 1 2 Рис. 4.14. n 1 > n 2 ⇒ α < β Оказывается, оба этих случая охватываются одной формулой — общим законом преломле- ния, справедливым для любых двух прозрачных сред. Закон преломления. 1) Падающий луч, преломлённый луч и нормаль к поверхности раздела сред, проведённая в точке падения, лежат в одной плоскости. 321 2) Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению показателя преломления второй среды к показателю преломления первой среды: sin α sin β = n 2 n 1 (4.4) Нетрудно видеть, что сформулированный ранее закон преломления для перехода «воздух– среда» является частным случаем данного закона. В самом деле, полагая в формуле ( 4.4 ) n 1 = 1 и n 2 = n, мы придём к формуле ( 4.1 ). Вспомним теперь, что показатель преломления — это отношение скорости света в вакууме к скорости света в данной среде: n 1 = c/v 1 , n 2 = c/v 2 . Подставляя это в ( 4.4 ), получим: sin α sin β = v 1 v 2 (4.5) Формула ( 4.5 ) естественным образом обобщает формулу ( 4.3 ). Отношение синуса угла па- дения к синусу угла преломления равно отношению скорости света в первой среде к скорости света во второй среде. 4.3.4 Полное внутреннее отражение При переходе световых лучей из оптически более плотной среды в оптически менее плотную наблюдается интересное явление — полное внутреннее отражение. Давайте разберёмся, что это такое. Будем считать для определённости, что свет идёт из воды в воздух. Предположим, что в глубине водоёма находится точечный источник света S, испускающий лучи во все стороны. Мы рассмотрим некоторые из этих лучей (рис. 4.15 ). S O 1 A 1 B 1 O 2 A 2 B 2 O A B α 0 Рис. 4.15. Полное внутреннее отражение Луч SO 1 падает на поверхность воды под наименьшим углом. Этот луч частично преломля- ется (луч O 1 A 1 ) и частично отражается назад в воду (луч O 1 B 1 ). Таким образом, часть энергии падающего луча передаётся преломлённому лучу, а оставшаяся часть энергии — отражённому лучу. Угол падения луча SO 2 больше. Этот луч также разделяется на два луча — преломлённый и отражённый. Но энергия исходного луча распределяется между ними по-другому: прелом- лённый луч O 2 A 2 будет тусклее, чем луч O 1 A 1 (то есть получит меньшую долю энергии), а отражённый луч O 2 B 2 — соответственно ярче, чем луч O 1 B 1 (он получит б´ ольшую долю энер- гии). 322 По мере увеличения угла падения прослеживается та же закономерность: всё б´ ольшая доля энергии падающего луча достаётся отражённому лучу, и всё меньшая — преломлённому лучу. Преломлённый луч становится всё тусклее и тусклее, и в какой-то момент исчезает совсем! Это исчезновение происходит при достижении угла падения α 0 , которому отвечает угол преломления 90 ◦ . В данной ситуации преломлённый луч OA должен был бы пойти параллельно поверхности воды, да идти уже нечему — вся энергия падающего луча SO целиком досталась отражённому лучу OB. При дальнейшем увеличении угла падения преломлённый луч и подавно будет отсутство- вать. Описанное явление и есть полное внутреннее отражение. Вода не выпускает наружу лучи с углами падения, равными или превышающими некоторое значение α 0 — все такие лучи целиком отражаются назад в воду. Угол α 0 называется предельным углом полного отражения. Величину α 0 легко найти из закона преломления. Имеем: sin α 0 sin 90 ◦ = 1 n Но sin 90 ◦ = 1, поэтому sin α 0 = 1 n , откуда α 0 = arcsin 1 n Так, для воды предельный угол полного отражения равен: α 0 = arcsin 1 1,33 ≈ 48,8 ◦ Явление полного внутреннего отражения вы легко можете наблюдать дома. Налейте воду в стакан, поднимите его и смотрите на поверхность воды чуть снизу сквозь стенку стакана. Вы увидите серебристый блеск поверхности — вследствие полного внутреннего отражения она ведёт себя подобно зеркалу. Важнейшим техническим применением полного внутреннего отражения является волокон- ная оптика. Световые лучи, запущенные внутрь оптоволоконного кабеля (световода) почти параллельно его оси, падают на поверхность под большими углами и целиком, без потери энер- гии отражаются назад внутрь кабеля. Многократно отражаясь, лучи идут всё дальше и дальше, перенося энергию на значительное расстояние. Волоконно-оптическая связь применяется, на- пример, в сетях кабельного телевидения и высокоскоростного доступа в Интернет. 323 4.4 Линзы. Ход лучей Преломление света широко используется в различных оптических приборах: фотоаппаратах, биноклях, телескопах, микроскопах. . . Непременной и самой существенной деталью таких при- боров является линза. Линза — это оптически прозрачное однородное тело, ограниченное с двух сторон двумя сферическими (или одной сферической и одной плоской) поверхностями. Линзы обычно изготавливаются из стекла или специальных прозрачных пластмасс. Говоря о материале линзы, мы будем называть его стеклом — особой роли это не играет. 4.4.1 Двояковыпуклая линза Рассмотрим сначала линзу, ограниченную с обеих сторон двумя выпуклыми сферическими поверхностями (рис. 4.16 ). Такая линза называется двояковыпуклой. Наша задача сейчас — понять ход лучей в этой линзе. M N A B C D P Q A 0 Рис. 4.16. Преломление в двояковыпуклой линзе Проще всего обстоит дело с лучом, идущим вдоль главной оптической оси — оси симметрии линзы. На рис. 4.16 этот луч выходит из точки A 0 . Главная оптическая ось перпендикулярна обеим сферическим поверхностям, поэтому данный луч идёт сквозь линзу, не преломляясь. Теперь возьмём луч AB, идущий параллельно главной оптической оси. В точке B падения луча на линзу проведена нормаль M N к поверхности линзы; поскольку луч переходит из воз- духа в оптически более плотное стекло, угол преломления CBN меньше угла падения ABM . Следовательно, преломлённый луч BC приближается к главной оптической оси. В точке C выхода луча из линзы также проведена нормаль P Q. Луч переходит в оптиче- ски менее плотный воздух, поэтому угол преломления QCD больше угла падения P CB; луч преломляется опять-таки в сторону главной оптической оси и пересекает её в точке D. Таким образом, всякий луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе приближается к главной оптической оси и пересекает её. На рис. 4.17 изображена картина преломления достаточно широкого светового пучка, параллельного главной оптической оси. 324 Рис. 4.17. Сферическая аберрация в двояковыпуклой линзе Как видим, широкий пучок света не фокусируется линзой: чем дальше от главной оптиче- ской оси расположен падающий луч, тем ближе к линзе он пересекает главную оптическую ось после преломления. Это явление называется сферической аберрацией и относится к недостат- кам линз — ведь хотелось бы всё же, чтобы линза сводила параллельный пучок лучей в одну точку 5 Весьма приемлемой фокусировки можно добиться, если использовать узкий световой пу- чок, идущий вблизи главной оптической оси. Тогда сферическая аберрация почти незаметна — посмотрите на рис. 4.18 F Рис. 4.18. Фокусировка узкого пучка собирающей линзой Хорошо видно, что узкий пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается приблизительно в одной точке F . По этой причине наша линза носит название собирающей. 5 Точная фокусировка широкого пучка действительно возможна, но для этого поверхность линзы должна иметь не сферическую, а более сложную форму. Шлифовать такие линзы — дело трудоёмкое и нецелесообразное. Проще уж изготавливать сферические линзы и бороться с появляющейся сферической аберрацией. Кстати, аберрация называется сферической как раз потому, что возникает в результате замены оптимально фокусирующей сложной несферической линзы на простую сферическую. 325 Точка F называется фокусом линзы. Вообще, линза имеет два фокуса, находящиеся на глав- ной оптической оси справа и слева от линзы. Расстояния от фокусов до линзы не обязательно равны друг другу, но мы всегда будем иметь дело с ситуациями, когда фокусы расположены симметрично относительно линзы. 4.4.2 Двояковогнутая линза Теперь мы рассмотрим совсем другую линзу, ограниченную двумя вогнутыми сферическими поверхностями (рис. 4.19 ). Такая линза называется двояковогнутой. Так же, как и выше, мы проследим ход двух лучей, руководствуясь законом преломления. M N P Q A B C D A 0 Рис. 4.19. Преломление в двояковогнутой линзе Луч, выходящий из точки A 0 и идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется — ведь главная оптическая ось, будучи осью симметрии линзы, перпендикулярна обеим сфериче- ским поверхностям. Луч AB, параллельный главной оптической оси, после первого преломления начинает уда- ляться от неё (так как при переходе из воздуха в стекло ∠CBN < ∠ABM ), а после второго преломления удаляется от главной оптической оси ещё сильнее (так как при переходе из стек- ла в воздух ∠QCD > ∠P CB). Двояковогнутая линза преобразует параллельный пучок света в расходящийся пучок (рис. 4.20 ) и называется поэтому рассеивающей. Здесь также наблюдается сферическая аберрация: продолжения расходящихся лучей не пе- ресекаются в одной точке. Мы видим, что чем дальше от главной оптической оси расположен падающий луч, тем ближе к линзе пересекает главную оптическую ось продолжение прелом- лённого луча. 326 Рис. 4.20. Сферическая аберрация в двояковогнутой линзе Как и в случае двояковыпуклой линзы, сферическая аберрация будет практически неза- метна для узкого приосевого пучка (рис. 4.21 ). Продолжения лучей, расходящихся от линзы, пересекаются приблизительно в одной точке — в фокусе линзы F . F Рис. 4.21. Преломление узкого пучка в рассеивающей линзе Если такой расходящийся пучок попадёт в наш глаз, то мы увидим за линзой светящуюся точку! Почему? Вспомните, как возникает изображение в плоском зеркале: наш мозг обладает способностью продолжать расходящиеся лучи до их пересечения и создавать в месте пересе- чения иллюзию светящегося объекта (так называемое мнимое изображение). Вот именно такое мнимое изображение, расположенное в фокусе линзы, мы и увидим в данном случае. 4.4.3 Виды собирающих и рассеивающих линз Мы рассмотрели две линзы: двояковыпуклую линзу, которая является собирающей, и двояко- вогнутую линзу, которая является рассеивающей. Существуют и другие примеры собирающих и рассеивающих линз. 327 Полный набор собирающих линз представлен на рис. 4.22 Двояковыпуклая Плосковыпуклая Вогнуто-выпуклая Рис. 4.22. Собирающие линзы Помимо известной нам двояковыпуклой линзы, здесь изображены: плосковыпуклая линза, у которой одна из поверхностей плоская, и вогнуто-выпуклая линза, сочетающая вогнутую и вы- пуклую граничные поверхности. Обратите внимание, что у вогнуто-выпуклой линзы выпуклая поверхность в большей степени искривлена (радиус её кривизны меньше); поэтому собирающее действие выпуклой преломляющей поверхности перевешивает рассеивающее действие вогнутой поверхности, и линза в целом оказывается собирающей. Все возможные рассеивающие линзы изображены на рис. 4.23 Двояковогнутая Плосковогнутая Выпукло-вогнутая Рис. 4.23. Рассеивающие линзы Наряду с двояковогнутой линзой мы видим плосковогнутую (одна из поверхностей которой плоская) и выпукло-вогнутую линзу. Вогнутая поверхность выпукло-вогнутой линзы искрив- лена в большей степени, так что рассеивающее действие вогнутой границы преобладает над собирающим действием выпуклой границы, и в целом линза оказывается рассеивающей. Попробуйте самостоятельно построить ход лучей в тех видах линз, которые мы не рассмот- рели, и убедиться, что они действительно являются собирающими или рассеивающими. Это отличное упражнение, и в нём нет ничего сложного — ровно те же самые построения, которые мы проделали выше! 328 4.5 Тонкие линзы. Ход лучей Взгляните ещё раз на рисунки линз из предыдущего листка: эти линзы обладают заметной толщиной и существенной кривизной своих сферических границ. Мы намеренно рисовали такие линзы — чтобы основные закономерности хода световых лучей проявились как можно более чётко. 4.5.1 Понятие тонкой линзы Теперь, когда эти закономерности достаточно ясны, мы рассмотрим очень полезную идеализа- цию, которая называется тонкой линзой. В качестве примера на рис. 4.24 приведена двояко- выпуклая линза; точки O 1 и O 2 являются центрами её сферических поверхностей 6 , R 1 и R 2 — радиусы кривизны этих поверхностей. R 1 R 2 O 1 O 2 M N Рис. 4.24. К определению тонкой линзы Так вот, линза считается тонкой, если её толщина M N очень мала. Нужно, правда, уточнить: |