Моя прелесть. Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике

• Название: Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
• Анкор: Моя прелесть
• Дата: 04.02.2022
• Размер: 4.04 Mb.
• Имя файла: Моя прелесть.pdf
• Тип: Пособие; #351129
• страница: 34 из 34

Под каким углом к горизонту направлена эта скорость?
Решение. Имеем:

v =
v
0
+
gt. Направляя ось X горизонтально, а ось Y — вертикально вверх,
для проекций скорости получим:
v x
= v
0
,
v y
= −gt.
X
Y

v
0

g v
0
−gt

v
ϕ
Рис. 7.32. К задаче о горизонтальном броске
Теперь формула (
7.15
) даёт:
v =
q v
2 0
+ g
2
t
2
Это, впрочем, очевидно из рис.
7.32
и непосредственно по теореме Пифагора.
Для искомого угла ϕ имеем:
tg ϕ =
|v y
|
v x
=
gt v
0
Отсюда
ϕ = arctg
 gt v
0

485

7.7
Векторы и координаты в пространстве
Мы продолжаем изучать координатное представление векторов — но теперь переходим от плос- кости к трёхмерному пространству.
7.7.1
Разложение вектора по базису
Рассмотрим систему координат OXY Z (рис.
7.33
). Оси X, Y и Z снабжены единичными век- торами i, j и k, которые составляют базис данной системы координат (или, как ещё говорят,
базис в пространстве).
X
Y
Z
i
j

k
a a
x a
y a
z
O
A
B
Рис. 7.33. Разложение вектора по базису в пространстве
Рассмотрим вектор a =
−→
OA. Пусть точка B служит основанием перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость OXY .
Из точки A опустим перпендикуляр на ось Z (он будет параллелен OB); получим зелёный отрезок a z
, представляющий собой проекцию вектора a на ось Z.
Из точки B опустим перпендикуляры на оси X и Y ; получим зелёные отрезки a x
и a y
,
представляющие собой проекции вектора a на оси X и Y .
Имеем: a =
−
−
→
OB +
−→
BA. Вектор
−
−
→
OB лежит в плоскости OXY и раскладывается по базису на плоскости:
−
−
→
OB = a x
i + a y
j. Вектор
−→
BA параллелен оси Z, так что
−→
BA = a z
k. Всё это вместе даёт:
a = a x
i + a y
j + a z
k.
(7.16)
Данное равенство и есть разложение вектора a по базису i, j, k. Оно служит пространствен- ным аналогом формулы (
7.14
).
Числа a x
, a y
, a z
называются координатами вектора a в базисе i, j, k.
7.7.2
Нахождение модуля вектора по его проекциям
Из треугольника OAB по теореме Пифагора имеем:
a = OA =
√
OB
2
+ BA
2
Заметим теперь, что OB
2
= a
2
x
+ a
2
y и BA
2
= a
2
z
. Получаем:
a =
q a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
z
(7.17)
Данная формула является пространственным аналогом формулы (
7.15
).
486

7.8
Скалярное произведение векторов
Для начала давайте вспомним, как в механике определяется понятие работы силы. Рассмотрим тело, находящееся на горизонтальной поверхности (рис.
7.34
). Пусть на тело действует сила
F
под углом α к горизонту, и под действием этой силы тело совершило перемещение
s.

s

F
k

F
⊥

F
α

F
k

F
⊥

F
α
Рис. 7.34. К определению работы силы
Разложим силу
F на две составляющих:
F =
F
k
+
F
⊥
; сила
F
k параллельна вектору пе- ремещения, а сила
F
⊥
перпендикулярна ему. Работой A силы
F называется в данном случае произведение модуля параллельной составляющей на модуль перемещения:
A = F
k s.
Но F
k
= F cos α, поэтому
A = F s cos α.
(7.18)
Формула (
7.18
) как раз и является определением физической величины, называемой ра- ботой. Это определение справедливо для любого угла α между силой и перемещением. Если,
например, α > 90
◦
, то работа отрицательна (за счёт отрицательности косинуса). Если сила перпендикулярна перемещению, то работа этой силы равна нулю.
Заметим ещё, что в силу формулы (
7.10
) величина F cos α есть F
s
— проекция вектора
F на ось вектора
4

s. Поэтому
A = F
s s.
Эта формула также справедлива для любого угла между векторами
F и
s.
7.8.1

Что такое скалярное произведение?
Пусть даны векторы a и b. Угол между этими векторами обозначим ϕ (рис.
7.35
).
b
a
ϕ
Рис. 7.35. К определению скалярного произведения
Определение. Скалярное произведение векторов a и b (обозначается a·b) — это скаляр, равный произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
a · b = ab cos ϕ.
(7.19)
В силу формулы (
7.10
) величина a cos ϕ есть a b
— проекция вектора a на ось вектора b.
Поэтому имеем:
a · b = a b
b.
(7.20)
4
Осью вектора называется ось, направление которой совпадает с направлением данного вектора.
487

7.8.2
Свойства скалярного произведения
1. Скалярное умножение коммутативно:
a · b = b · a.
(7.21)
Это очевидно из формулы (
7.19
). Ведь если поменять местами векторы-сомножители, то угол между ними не изменится.
2. При скалярном умножении вектора на самого себя получается квадрат его модуля:
a · a = a
2
(7.22)
Это также очевидно из формулы (
7.19
) — вектор a образует сам с собой нулевой угол, и потому a · a = a · a cos 0 = a
2
Кстати, величина a · a называется скалярным квадратом вектора a и обозначается a
2
Таким образом, a
2
= a
2 3. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между векторами прямой.
Это очевидно. Раз a, b 6= 0, то
a · b = 0 ⇔ cos ϕ = 0 ⇔ ϕ = 90
◦
4. Скалярное произведение ассоциативно при умножении на скаляр:
(λa) · b = λ(a · b).
(7.23)
Таким образом, не играет роли, в какой последовательности выполнять указанные опера- ции.
Для доказательства используем формулу (
7.20
). Согласно этой формуле λ(a · b) = λa b
b.
Обозначим c = λa. Тогда в силу свойства 2
операции проектирования имеем: c b
= λa b
. Ну а теперь снова используем формулу (
7.20
):
(λa) · b = c · b = c b
b = λa b
b.
Итак, обе части доказываемого соотношения равны одной и той же величине λa b
b, так что наша ассоциативность действительно имеет место. Поэтому скобки в таких выражениях можно опускать и писать просто λa · b.
Обратите внимание, что скалярное произведение не обладает «полноценной» ассоциатив- ностью: (a · b) · c 6= a · (b · c). (Сможете сами придумать пример?) Следовательно, нельзя записать выражение a · b · c — оно не является корректно определённым, поскольку его значение зависит от порядка выполнения умножений.
5. Скалярное произведение дистрибутивно:
(a + b) · c = a · c + b · c.
(7.24)
Для доказательства обозначим
u = a +b. Согласно свойству 1
проектирования вектора на ось проекция вектора
u на ось вектора c равна сумме проекций: u c
= a c
+ b c
. Тогда имеем:
(a + b) · c =
u · c = u c
c = (a c
+ b c
)c = a c
c + b c
c = a · c + b · c,
что и требовалось. Следовательно, в таких ситуациях мы можем обычным образом рас- крывать скобки и выносить за скобки общий векторный множитель.
488

7.8.3
Скалярное произведение в физике
Подчеркнём ещё раз, что скалярное произведение — это не вектор, а скаляр. Иными словами,
в физике скалярное произведение есть число, обладающее размерностью. Размерность скаляр- ного произведения равно произведению размерностей векторов-сомножителей.
Из определения работы — формулы (
7.18
) — мы видим теперь, что работа есть скалярное произведение векторов силы и перемещения:
A =
F ·
s.
(7.25)
Если тело движется равномерно и прямолинейно, то есть с постоянной скоростью
v, то

s =
vt. Подставляя это в формулу (
7.25
), получим:
A =
F ·
vt.
(7.26)
Благодаря ассоциативности (
7.23
) при умножении на скаляр нам всё равно, в каком порядке перемножаются эти множители. Удобно воспринять формулу (
7.26
) как A = (
F ·
v)t и поделить обе части на t. Получим формулу для мощности:
P =
A
t
=
F ·
v.
Далее, пусть на тело действуют две силы:
F
1
и
F
2
. Эти силы совершают соответственно работы:
A
1
=
F
1
· s,
A
2
=
F
2
· s.
Какую работу совершает равнодействующая
F этих сил? Пользуемся дистрибутивностью ска- лярного произведения(
7.24
):
A =
F ·
s = (
F
1
+
F
2
) ·
s =
F
1
· s +
F
2
· s = A
1
+ A
2
Вывод: работа равнодействующей силы равна сумме работ каждой из сил в отдельности. Иными словами, приложенные к телу силы складываются векторно, а их работы — алгебраически
5 7.8.4
Вычисление скалярного произведения в координатах
Если на плоскости или в пространстве имеется прямоугольная система координат, то возникает замечательно простая формула для нахождения скалярного произведения векторов через их координаты.
1. Плоскость. Предположим, что на плоскости задана прямоугольная система координат
OXY (как показано на рис.
7.31
). Векторы i и j — единичные векторы координатных осей.
Векторы a и b расположены на этой плоскости. Пусть, как обычно, a x
и a y
— проекции вектора a на координатные оси (или, что то же самое, координаты вектора a в базисе i, j).
Аналогичный смысл имеют обозначения b x
и b y
Теорема. Скалярное произведение векторов a и b, расположенных на плоскости, вычисляется через их координаты следующим образом:
a · b = a x
b x
+ a y
b y
(7.27)
Для доказательства используем формулу (
7.14
) разложения вектора по базису:
a = a x
i + a y
j, b = b x
i + b y
j.
5
Проявление этого факта мы встречаем в электростатике: напряжённости полей, создаваемых в данной точке разными зарядами, складываются векторно, а потенциалы этих полей — алгебраически.
489

Подставляем эти разложения в качестве сомножителей в скалярное произведение векторов
a и b, после чего пользуемся дистрибутивностью (
7.24
), обычным образом раскрывая скобки:
a · b = (a x
i + a y
j) · (b x
i + b y
j) = a x
b x
i ·i + a x
b y
i · j + a y
b x
j ·i + a y
b y
j · j.
Остаётся заметить, что i ·i = j · j = 1, i · j = 0, и потому
a · b = a x
b x
+ a y
b y
Теорема доказана.
Если в формуле (
7.27
) положить b = a, то получим:
a · a = a
2
x
+ a
2
y
Но a · a, как мы знаем из свойства (
7.22
), равно a
2
. Поэтому a
2
= a
2
x
+ a
2
y
,
или a =
q a
2
x
+ a
2
y
Мы снова получили формулу (
7.15
), но на сей раз вышли на неё со стороны скалярного произведения.
2. Пространство. Предположим, что в пространстве задана прямоугольная система координат
OXY Z с базисом i, j, k (как показано на рис.
7.33
).
Возьмём два произвольных вектора a и b, расположенных в пространстве. Вектор a имеет координаты a x
, a y
, a z
. Вектор b имеет координаты b x
, b y
, b z
Теорема. Скалярное произведение векторов a и b, расположенных в пространстве, вычисляется через их координаты следующим образом:
a · b = a x
b x
+ a y
b y
+ a z
b z
(7.28)
Доказательство совершенно аналогично. Используем формулу (
7.16
) разложения вектора по базису:
a = a x
i + a y
j + a z
k, b = b x
i + b y
j + a z
k.
Получаем:
a · b = (a x
i + a y
j + a z
k)(b x
i + b y
j + b z
k) =
= a x
b x
i ·i + a x
b y
i · j + a x
b z
i · k + a y
b x
j ·i + a y
b y
j · j + a y
b z
j · k + a z
b x
k ·i + a z
b y
k · j + a z
b z
k · k.
Шесть слагаемых с «перекрёстными» произведениями базисных векторов обращаются в нуль, а остальные три слагаемых дают требуемую формулу:
a · b = a x
b x
+ a y
b y
+ a z
b z
Теорема доказана.
Если, как и выше, в формуле (
7.28
) положить b = a, то получим:
a
2
= a · a = a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
z
,
откуда a =
q a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
z
Мы снова пришли к формуле (
7.17
).
490