A и B, расположенных соответственно на задней и передней стенке вагона?
A
B
S
v
Рис. 5.4. Два события, одновременные в вагоне и не одновременные на земле
В системе отсчёта, связанной с вагоном, всё происходит точно так же, как в неподвижной лаборатории. По вагонным часам свет придёт в точки A и B одновременно.
Но в системе отсчёта, связанной с землёй, картина окажется иной. Точка A движется на- встречу сигналу, а точка B удаляется от него; поэтому для достижения точки A свету потре- буется пройти меньшее расстояние, чем для достижения точки B. Но в земной системе отсчёта скорость света будет одинакова в обоих направлениях — ведь согласно второму постулату СТО
скорость света не зависит от факта движения источника. Стало быть, по земным часам свет придёт в точку A раньше, чем в точку B.
Таким образом, два события — приход сигнала от источника S в точки A и B — являются одновременными в системе отсчёта вагона и не одновременными в системе отсчёта земли.
В конце предыдущего листка было приведено противоречивое на первый взгляд рассужде- ние, в котором волновой фронт световой вспышки оказывался одновременно на двух различных сферах. Перечитайте это рассуждение ещё раз. Теперь становится ясно, что разрешение воз- никшего противоречия состоит в относительности понятия одновременности. Действительно,
свет одновременно достигает поверхности сферы с центром в точке O только в системе K, но не в системе K
0
. И наоборот, свет одновременно достигает сферической поверхности с центром в точке O
0
только в системе K
0
, но не в системе K.
5.3.3
Относительность промежутков времени
Снова рассмотрим вагон, который движется со скоростью
v. Предположим, что пассажир ва- гона подбрасывает яблоко; оно летит вертикально вверх, возвращается, и пассажир ловит его.
В системе отсчёта вагона события «яблоко брошено» и «яблоко поймано» происходят в одной точке. Промежуток времени между этими событиями, т. е. время полёта яблока в системе отсчёта вагона, измеряется по одним и тем же часам, расположенным в точке броска-ловли.
Но в системе отсчёта земли наши события происходят в различных пространственных точ- ках. Момент броска яблока фиксируется по часам, расположенным в исходной точке, а момент ловли — по другим часам, расположенным в той точке, куда переместится вагон за время по- лёта яблока. Эти двое часов синхронизированы по правилу Эйнштейна. Время полёта яблока в
401
системе отсчёта земли — это разность показаний вторых часов в момент ловли и первых часов в момент броска.
И вот оказывается, что время полёта яблока, измеренное по вагонным часам, будет меньше времени полёта, измеренного по часам на земле!
Разобраться в этом не сложно. Давайте только заменим яблоко на световой сигнал, кото- рый бегает между горизонтальными зеркалами, расположенными внутри вагона (рис.
5.5
). Тем самым мы максимально упростим себе задачу.
A
v vτ
2
l
A
B
C
D
Рис. 5.5. Промежуток времени относителен
Сначала рассмотрим ход сигнала в системе отсчёта вагона. Сигнал выходит из точки A, идёт вертикально вверх, отражается от зеркала и возвращается назад в точку A (рис.
5.5
, слева).
Время распространения сигнала от нижнего зеркала к верхнему и обратно, измеренное по часам A, обозначим τ
0
. Если l — расстояние между зеркалами, то выполнено соотношение
2l = cτ
0
(5.5)
Теперь перейдём в систему отсчёта земли. Здесь сигнал будет двигаться между зеркалами по ломаной ABC (рис.
5.5
, справа).
Время распространения сигнала от нижнего зеркала к верхнему и обратно есть разность показаний синхронизированных часов: в точке C в момент прихода сигнала и в точке A в момент его отправления. Обозначим это время через τ .
За время τ сигнал проходит путь AB + BC, равный cτ , а вагон — путь AC = vτ . По теореме
Пифагора имеем: AB
2
= AD
2
+ BD
2
или
cτ
2
2
=
vτ
2
2
+ l
2
Умножаем это равенство на 4:
(cτ )
2
= (vτ )
2
+ (2l)
2
С учётом (
5.5
) получим:
(cτ )
2
= (vτ )
2
+ (cτ
0
)
2
Отсюда можно выразить τ через τ
0
:
τ =
τ
0
r
1 −
v
2
c
2
(5.6)
Полученная формула (
5.6
) носит совершенно общий характер. Пусть имеются две системы отсчёта K и K
0
, причём система K
0
движется относительно K со скоростью v.
Рассмотрим два события, которые в системе K
0
происходят в одной точке пространства. Время τ
0
между этими событиями в системе K
0
называется собственным временем. По часам системы K между этими событиями проходит время τ , которое связано с собственным временем соотношением (
5.6
).
402
Обратите внимание, что в формуле (
5.6
) собственное время τ
0
делится на величину, меньшую единицы; поэтому всегда выполнено неравенство τ > τ
0
. При этом время τ оказывается тем больше, чем с большей скоростью система K
0
движется относительно K.
Данный эффект — так называемое релятивистское замедление времени — оказывается весьма существенным при скоростях, близких к скорости света. Давайте вернёмся к нашему примеру с пассажиром, подбрасывающим яблоко в вагоне. Предположим, что вагон движется со скоростью v = 0,999c, а время полёта яблока по часам пассажира равно τ
0
= 1 с. Тогда на земле между подбрасыванием яблока и его ловлей пройдёт время
τ =
1
p1 − 0,999 2
≈ 22,4 с.
Ну а теперь представьте, что с Земли отправляется звездолёт со скоростью 0,999c. Косми- ческое путешествие длится 10 лет по часам астронавтов. Вернувшись на Землю, астронавты обнаруживают, что попали в совершенно иную эпоху — ведь по земным часам прошло 224 года!
Звучит фантастично, но никакой фантастики тут нет — мы имеем дело со строгими фактами теории относительности. Ни с чем подобным нам сталкиваться не доводилось по той причине,
что мы не умеем пока перемещаться с околосветовыми скоростями. Но как только эти скорости будут достигнуты, станет реальностью и машина времени для путешествий в будущее :-)
5.3.4
Относительность расстояний
При выводе формулы (
5.6
) мы неявно предполагали, что расстояние l между зеркалами оди- наково как в вагоне, так и на земле. Но так ли это на самом деле? Да, это действительно так:
вертикальные размеры предметов являются одними и те же как в вагонной, так и в земной системе отсчёта.
Чтобы убедиться в этом, давайте возьмём два
одинаковых вертикальных стержня; один из них поместим в вагон, а другой оставим на земле. Оба стержня пусть будут на одной и той же высоте над землёй. Когда стержни поравняются друг с другом, концы одного стержня сделают засечки на другом стержне. Так вот, из принципа относительности следует, что эти засечки должны прийтись в точности на концы другого стержня.
В самом деле, пусть по засечкам оказывается, например, что вагонный стержень короче земного, т. е. движущийся стержень короче покоящегося. Но по принципу относительности инерциальные системы отсчёта полностью равноправны. Давайте перейдём в систему отсчёта вагона: там вагонный стержень будет покоиться, а земной — двигаться. Тогда получится, что движущийся стержень длиннее покоящегося. Противоречие!
Итак, поперечные размеры предметов одинаковы как в покоящейся, так и в движущейся системе отсчёта. Иначе обстоит дело с продольными размерами.
X
O
B
A
v
Рис. 5.6. Длина стержня относительна
Вновь вернёмся к нашему вагону и рассмот- рим стержень AB, расположенный вдоль век- тора скорости вагона (рис.
5.6
; изображать ва- гон надобности уже нет). Стержень, таким об- разом, двигается со скоростью v параллельно оси X.
Пусть l
0
— длина неподвижного стерж- ня, измеренная в вагоне. Она называется соб- ственной длиной стержня. Через l
обозначим длину движущегося стержня, измеренную на земле.
Для нахождения соотношения между l и l
0
рассмотрим два события: 1) прохождение точки
A мимо фиксированной точки O на оси X; 2) прохождение точки B мимо точки O.
403
В земной системе отсчёта наши события происходят в одной точке O. Промежуток времени между этими событиями по земным часам пусть равен τ
0
(это собственное время, разделяющее данные события). Очевидно, что v =
l
τ
0
(5.7)
В системе отсчёта вагона указанные события происходят в двух различных точках A и B.
Промежуток времени между этими событиями по вагонным часам равен τ . Аналогично имеем:
v =
l
0
τ
(5.8)
Приравнивая правые части формул (
5.7
) и (
5.8
), получим:
l = l
0
τ
0
τ
Но в силу формулы (
5.6
) имеем:
τ
0
τ
=
r
1 −
v
2
c
2
Отсюда получаем окончательную формулу:
l = l
0
r
1 −
v
2
c
2
(5.9)
Как видим, собственная длина l
0
умножается на величину, меньшую единицы; стало быть,
длина движущегося стержня будет меньше длины покоящегося стержня. Это так называемое лоренцево сокращение — все тела сокращают размеры в направлении своего движения.
Подчеркнём ещё раз: длина стержня в системе отсчёта, относительно которой стер- жень движется, меньше длины этого же стержня в системе отсчёта, относительно ко- торой он покоится. Данный эффект связан лишь с особенностями измерительных процедур,
свойственных теории относительности. Никаких реальных «сжатий» в движущемся стержне,
разумеется, не происходит.
5.3.5
Преобразования Лоренца
Теперь мы можем вывести формулы, связывающие координаты и время фиксированного собы- тия в двух различных инерциальных системах отсчёта.
Пусть снова имеются две системы отсчёта: система K и движущаяся относительно неё си- стема K
0
(рис.
5.7
). При t = 0 начала O и O
0
этих систем совпадают.
O
O
0
Z
Y
Z
0
Y
0
X, X
0
K
K
0
v
S
A
Рис. 5.7. К выводу преобразований Лоренца
404
Рассмотрим некоторое событие S (например, вспышку света). В системе K это событие происходит в точке с координатами (x, y, z) в момент времени t. В системе K
0
это же событие происходит в точке с координатами (x
0
, y
0
, z
0
) в момент времени t
0
Как мы уже выяснили, поперечные размеры тел в обеих системах отсчёта одни и те же.
Поэтому имеем: y
0
= y, z
0
= z.
Пусть A — проекция точки S на общую ось абсцисс. Найдём длину отрезка OA в системах
K и K
0
В системе K отрезок OA покоится. Его длина равна x — это собственная длина данного отрезка. В системе K
0
отрезок OA движется со скоростью v, и его длина в силу формулы (
5.9
)
равна x p1 − v
2
/c
2
. Но с другой стороны, в системе K
0
длина OA равна x
0
+ vt
0
. Следовательно,
x
0
+ vt
0
= x r
1 −
v
2
c
2
(5.10)
Теперь аналогично найдём длину отрезка O
0
A в системах K и K
0
В системе K
0
отрезок O
0
A покоится, его собственная длина равна x
0
. В системе K отрезок
O
0
A движется со скоростью v, и его длина равна x
0
p1 − v
2
/c
2
. С другой стороны, длина O
0
A в системе K равна x − vt. Поэтому x − vt = x
0
r
1 −
v
2
c
2
(5.11)
Из формулы (
5.11
) выразим x
0
. Полученное выражение подставим в (
5.10
) и выразим оттуда t
0
. В результате получим:
x
0
=
x − vt r
1 −
v
2
c
2
,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
=
t −
vx c
2
r
1 −
v
2
c
2
(5.12)
Формулы (
5.12
) называются преобразованиями Лоренца. Они дают искомую связь координат и времени события S в инерциальных системах отсчёта K и K
0
. Эти релятивистские форму- лы, вытекающие из принципов СТО, служат заменой классическим преобразованиям Галилея,
опирающимся на представления о мгновенности распространения взаимодействий.
При малых скоростях движения, т. е. при v c, мы можем считать отношение v/c равным нулю. Тогда преобразования Лоренца переходят в соотношения:
x
0
= x − vt,
y
0
= y,
z
0
= z,
t
0
= t.
(5.13)
Эти формулы есть не что иное, как преобразования Галилея. Мы видим, что преобразова- ния Галилея служат предельным случаем преобразований Лоренца, когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света. Поэтому при малых скоростях движения релятивистская механика Эйнштейна переходит в классическую механику Ньютона.
С системой равеств (
5.10
) и (
5.11
) можно поступить иначе. Выразим x из (
5.10
), подставим в (
5.11
) и выразим оттуда t. В результате придём к другому варианту записи преобразований
Лоренца:
x =
x
0
+ vt
0
r
1 −
v
2
c
2
,
y = y
0
,
z = z
0
,
t =
t
0
+
vx
0
c
2
r
1 −
v
2
c
2
(5.14)
Формулы (
5.12
) задают переход из системы K в систему K
0
. Формулы (
5.14
) задают обрат- ный переход из системы K
0
в систему K.
405
В предельном случае v c преобразования Лоренца (
5.14
) также переходят в преобразова- ния Галилея:
x = x
0
+ vt
0
,
y = y
0
,
z = z
0
,
t = t
0
(5.15)
Эти формулы, как легко видеть, полностью совпадают с формулами (
5.13
).
5.3.6
Релятивистский
закон сложения скоростейОпять рассмотрим наши системы отсчёта K и K
0
. Пусть точка M движется вдоль общего направления осей X и X
0
(рис.
5.8
).
O
O
0
Z
Y
Z
0
Y
0
X, X
0
K
K
0
v
M
Рис. 5.8. К выводу закона сложения скоростей
Пусть u — скорость точки M в системе K; в системе K
0
скорость этой точки пусть будет u
0
Как связаны друг с другом u и u
0
?
Давайте вспомним, как выводится соответствующая формула в классической механике. Бе- рём первое из равенств (
5.15
) с заменой t
0
на t:
x = x
0
+ vt.
Переходим к бесконечно малым приращениям координат и времени:
dx = dx
0
+ vdt.
Делим обе части на dt:
dx dt
=
dx
0
dt
+ v.
Остаётся заметить, что dx dt
= u,
dx
0
dt
= u
0
:
u = u
0
+ v.
(5.16)
Вот мы и получили классический закон сложения скоростей, которым неоднократно пользова- лись при решении задач механики.
Однако данный закон не может быть верным в теории относительности. В самом деле,
рассмотрим вместо точки M световой сигнал в вакууме, мчащийся в системе K
0
со скоростью u
0
= c. Согласно закону (
5.16
) получится, что скорость нашего сигнала в системе K будет равна u = c + v. Но это противоречит принципу относительности, в силу которого скорость света в вакууме имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчёта.
Возникновение данного противоречия не удивительно: ведь вывод формулы (
5.16
) базиру- ется на преобразованиях Галилея, которые в теории относительности уступают место преобра- зованиям Лоренца. Поэтому правильный закон сложения скоростей нужно выводить теперь из преобразований Лоренца.
406
Идея вывода — та же самая, что и для формулы (
5.16
). Мы исходим из того, что u =
dx dt
,
u
0
=
dx
0
dt
0
(5.17)
В соотношениях (
5.14
) переходим к бесконечно малым приращениям координат и времени:
dx =
dx
0
+ vdt
0
r
1 −
v
2
c
2
,
dt =
dt
0
+
vdx
0
c
2
r
1 −
v
2
c
2
Делим первое из данных равенств на второе:
dx dt
=
dx
0
+ vdt
0
dt
0
+
vdx
0
c
2
Разделим числитель и знаменатель правой части на dt
0
:
dx dt
=
dx
0
dt
0
+ v
1 +
v c
2
dx
0
dt
0
Остаётся учесть соотношения (
5.17
) и написать:
u =
u
0
+ v
1 +
vu
0
c
2
(5.18)
Это и есть релятивистский закон сложения скоростей, который приходит на смену клас- сическому.
Теперь уже никакого противоречия не возникает: если скорость сигнала u
0
= c в системе K
0
,
то в системе K его скорость равна:
u =
c + v
1 +
vc c
2
=
c + v
1 +
v c
= c,
как того и требует принцип относительности.
При v c формулы (
5.18
), как нетрудно видеть, переходят в формулы (
5.16
). Иными сло- вами, при малых скоростях движения релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический закон.
407
5.4
Релятивистская динамика
В классической динамике мы начали с законов Ньютона, потом перешли к импульсу, а по- сле него — к энергии. Здесь мы ради простоты изложения поступим ровно наоборот: начнём с энергии, затем перейдём к импульсу и закончим релятивистским уравнением движения —
модификацией второго закона Ньютона для теории относительности.
5.4.1
Релятивистская энергия
Предположим, что изолированное тело массы m покоится в данной системе отсчёта. Одно из самых впечатляющих достижений теории относительности — это знаменитая формула Эйн- штейна:
E = mc
2
(5.19)
Здесь E — энергия тела, c — скорость света в вакууме. Поскольку тело покоится, энергия E,
вычиляемая по формуле (
5.19
), называется энергией покоя.
Формула (
5.19
) утверждает, что каждое тело само по себе обладает энергией — просто пото- му, что оно существует в природе. Образно говоря, природа затратила определённые усилия на то, чтобы «собрать»
данное тело из мельчайших частиц вещества, и мерой этих усилий служит энергия покоя тела. Энергия эта весьма велика; так, в одном килограмме вещества заключена энергия
E = 1 · (3 · 10 8
)
2
= 9 · 10 16
Дж.
Интересно, какое количество топлива нужно сжечь, чтобы выделилось столько энергии?Возьмём, например, дерево. Его удельная теплота сгорания равна q = 10 7
Дж/кг, поэтому находим: m = E/q = 9 · 10 9
кг. Это девять миллионов тонн!
Ещё для сравнения: такую энергию единая энергосистема России вырабатывает примерно за десять дней.
Почему столь грандиозная энергия, содержащаяся в теле, до сих пор оставалась нами неза- меченной? Почему в нерелятивистских задачах, связанных с сохранением и превращением энер- гии, мы не учитывали энергию покоя? Скоро мы ответим на этот вопрос.
Поскольку энергия покоя тела прямо пропорциональна его массе, изменение энергии покоя на величину ∆E приводит к изменению массы тела на
∆m =
∆E
c
2
Так, при нагревании тела возрастает его внутренняя энергия, и, стало быть, масса тела увеличивается! В повседневной жизни мы не замечаем этого эффекта ввиду его чрезвычайной малости. Например, для нагревания воды массой m = 1 кг на ∆t = 100
◦
C (удельная теплоём- кость воды равна c в
= 4200 Дж/(кг ·
◦
C)) ей нужно передать количество теплоты:
Q = c в
m∆t = 4,2 · 10 5
Дж.
Увеличение массы воды будет равно:
∆m =
Q
c
2
=
4,2 · 10 5
9 · 10 16
≈ 4,7 · 10
−12
кг.
Столь ничтожное изменение массы невозможно заметить на фоне погрешностей измерительных приборов.
Формула (
5.19
Скачать 4.04 Mb.