), — массе и силе?
Масса есть мера инертности тела; масса показывает, в какой степени тело «сопротивляется»
изменению скорости. Но приращение скорости ∆u нашей частицы будет одним и тем же в любой инерциальной системе отсчёта. Следовательно, масса частицы m во всех инерциальных системах отсчёта одинакова.
Силы в механике зависят от расстояний между телами и, быть может, скоростей тел друг относительно друга. Но расстояние между двумя точками пространства одинаково во всех инер- циальных системах отсчёта. Скорость одной частицы относительно другой также не зависит от того, в какой инерциальной системе отсчёта рассматривается движение. Стало быть, сила
F
одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.
Величины и соотношения, не меняющиеся при определённых условиях, часто называются инвариантными. Так, ускорение, масса и сила инвариантны относительно выбора инерциаль- ной системы отсчёта. Поэтому второй и третий законы Ньютона во всех системах отсчёта имеют одинаковый вид, т. е. инвариантны относительно преобразований Галилея.
Законы механики инвариантны относительно преобразований Галилея — такова альтер- нативная формулировка принципа относительности Галилея. Подчеркнём, что речь идёт об инвариантности математической формы законов механики. В результате этой инвариантности одно и то же механическое явление, наблюдаемое при одних и тех же начальных условиях,
будет протекать одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.
392
5.2
Принципы СТО
Принцип относительности Галилея, подробно рассмотренный в предыдущем разделе, говорит о том, что никакие лабораторные опыты механики не помогут определить, покоится ли лабо- ратория или движется равномерно и прямолинейно.
Но возникает закономерный вопрос: а кто заставляет нас ограничиваться лишь механиче- скими явлениями? Давайте перейдём в другие области физики: будем наблюдать в движущейся лаборатории распространение тепла или света, ставить опыты с электромагнитными колебания- ми, изучать ядерные процессы. . . Раз уж механика нам не помощник, то, быть может, где-нибудь в молекулярной физике, электродинамике, оптике, атомной или ядерной физике найдутся яв- ления, на протекании которых скажется равномерно-прямолинейное движение лаборатории?
Тогда, сопоставив ход таких явлений в неподвижной и в движущейся системах отсчёта, мы зафиксируем факт движения и сможем измерить его скорость.
С развитием электродинамики поначалу казалось, что так оно и есть. Дело в том, что, в отличие от законов механики Ньютона, уравнения Максвелла оказались не инвариантными относительно преобразований Галилея.
5.2.1
Гипотеза о мировом эфире
Из уравнений Максвелла следует, например, что свет в вакууме распространяется со скоростью c = 300000 км/с в любом направлении, причём эта скорость не зависит от того, покоится ли источник света или движется.
Физиков данный факт ничуть не удивлял: свет рассматривался как колебания особой все- проникающей среды — неподвижного мирового эфира. Считалось, что электромагнитные вол- ны распространяются в эфире аналогично звуковым волнам в воздухе, а со звуком ведь дело обстоит точно так же: сигнал от бибикнувшего автомобиля бежит в воздухе во все стороны со скоростью примерно 340 м/с вне зависимости от скорости, с которой движется автомобиль.
А теперь представьте себе, что вы находитесь в звездолёте, который мчится в космическом вакууме со скоростью v = 50000 км/с относительно удалённых звёзд. Вы сидите лицом по ходу движения звездолёта и
смотрите на лампочку, которая находится в его носовой части.
Свет от лампочки, не обращая внимания на её движение, перемещается относительно звёзд со скоростью c. Вы движетесь навстречу свету со скоростью v; стало быть, относительно вас свет имеет скорость c + v = 350000 км/с. Вы измеряете эту скорость, сопоставляете её с из- вестным значением c и приходите к выводу, что двигаетесь со скоростью 50000 км/с! Таким образом, электромагнитные явления вроде бы позволяют отличить покой от равномерного пря- молинейного движения.
У вас, кстати, может возникнуть вопрос: а чем плох аналогичный эксперимент со звуком?Давайте бибикнем в носовой части длинного движущегося лимузина, измерим скорость звука относительно нас и опровергнем принцип относительности Галилея! Ничего не выйдет: если лимузин замкнутый (как и должно быть), то он увлекает свой воздух вместе с собой, и вы ничего не заметите
2
. А вот в звездолёте вам никуда не деться от всепроникающего «эфирного ветра», который несётся вам в лицо и увеличивает тем самым скорость света в описанном выше эксперименте с лампочкой
3
Соответственно, многие учёные (в том числе выдающийся голландский физик Х. Лоренц)
считали, что инерциальные системы отсчёта, будучи равноправными с точки зрения механики, в
2
Конечно, в открытом автомобиле звук будет нестись на вас вместе с окружающим воздухом, и скорость звука действительно окажется больше; но открытый автомобиль является нарушением правил — это всё равно,
что выглянуть наружу.
3
Пытаясь спасти принцип относительности Галилея применительно к электродинамике, Герц предположил,
что эфир также увлекается движущимися телами — как воздух лимузином. Из этой гипотезы следовало, однако,
что струя воды, увлекая эфир, должна увлекать и луч света — а в экспериментах такого не наблюдалось.
393
электродинамике перестают быть таковыми. Имеется выделенная, привилегированная система отсчёта, связанная с неподвижным мировым эфиром. Остальные системы отсчёта движутся относительно неё, и возникающий «эфирный ветер» меняет в них величину скорости света.
С целью обнаружения эфирного ветра в 1881 году был поставлен один из самых знаменитых физических экспериментов — опыт Майкельсона. С помощью чувствительного интерферометра производились попытки измерить скорость Земли относительно эфира. А именно, исследова- лась интерференционная картина, даваемая двумя когерентными пучками света, имеющими перпендикулярные направления. Интерферометр движется относительно эфира вместе с Зем- лёй; при вращении интерферометра меняется направление эфирного ветра относительно интер- ферометра, что должно сказываться на скоростях пучков и давать сдвиги интерференционной картины.
Однако никаких сдвигов обнаружено не было! Наблюдения проводились в разное время года (когда скорость Земли ощутимо меняла направление) и неизменно давали отрицательный результат. Интерферометр был настолько точный, что списать отсутствие эфирного ветра на недостаточную чувствительность прибора было нельзя.
Почему же движение Земли относительно эфира не удаётся зафиксировать? Не сомнева- ясь в существовании эфира, Лоренц заметил, что результаты опыта Майкельсона полностью объясняются, если сделать невероятное предположение: размеры движущегося предмета сокра- щаются в направлении движения! Так, если стержень длины l
0
начинает двигаться вдоль своей оси со скоростью v, то его длина становится равной l = l
0
r
1 −
v
2
c
2
(5.4)
Эта гипотеза, названная лоренцевым сокращением, не вытекала на тот момент из каких-либо
физических принципов и стояла особняком, будучи призвана лишь справиться с отрицатель- ным результатом опыта. Но тем не менее формула (
5.4
) действительно оказалась верна! Её
объяснение пришло позже, уже в рамках теории относительности Эйнштейна.
5.2.2
Постулаты Эйнштейна
Альберт Эйнштейн — величайшая фигура в истории физики. Для разрешения трудностей, опи- санных выше, он отказался от некоторых сложившихся в физике устоев и предпринял весьма радикальные шаги. Сформулируем ещё раз те проблемы, с которыми столкнулась физика, и их решения, предложенные Эйнштейном.
1. Не удаётся обнаружить привилегированную систему отсчёта, связанную с неподвижным мировым эфиром.
Так её и нет вовсе. Никакого эфира не существует. Все инерциальные системы отсчёта пол- ностью равноправны между собой, и никакими физическими опытами нельзя выделить одну из них среди остальных.
Таким образом, Эйнштейн обобщил принцип относительности Галилея с механических на вообще все физические явления.
Принцип относительности Эйнштейна. Всякое физическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.
Следовательно, если ваша лаборатория находится внутри корабля, то не только механиче- ский, но и вообще никакой эксперимент не даст вам ответа на вопрос, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Вы можете ставить опыты с газами, изучать теп- ловые явления, наблюдать за распространением электромагнитных волн, следить за атомными и ядерными процессами, анализировать взаимодействия элементарных частиц — и нигде вам
394
не удастся обнаружить каких-либо отклонений в протекании этих явлений, вызванных фактом равномерно-прямолинейного движения корабля.
В предыдущем разделе мы убедились в том, что законы механики имеют одинаковую ма- тематическую форму во всех инерциальных системах отсчёта: уравнения, выражающие эти законы, инвариантны относительно преобразований Галилея. Таков смысл принципа относи- тельности Галилея. Обобщающий его принцип относительности Эйнштейна утверждает, что любой физический закон имеет одинаковую математическую форму во всех инерциальных системах отсчёта. Все уравнения, выражающие законы физики, должны быть инвариантны относительно перехода из одной инерциальной системы отсчёта в другую.
В частности, основные уравнения электродинамики — уравнения Максвелла — должны со- хранять свою форму при таком переходе. Как же тогда быть со следующей трудностью?
2. Электродинамика противоречит механике в том, что уравнения Максвелла не инвариант- ны относительно преобразований Галилея.
Что ж, это проблема механики, а не электродинамики. Уравнения Максвелла блестяще работают в области электромагнитных явлений. Если преобразования Галилея не вяжутся с уравнениями Максвелла, то неверны преобразования Галилея, а не уравнения Максвелла.
Но легко сказать — преобразования Галилея неверны! Во-первых, они, казалось бы, со- вершенно очевидны — вам ведь не составило никакого труда в них разобраться. Чему там,
собственно говоря, быть неверным?А во-вторых —
следствием преобразований Галилея, как мы видели, является закон сложе- ния скоростей. Вы неоднократно пользовались им при решении задач. Что же получается — и закон сложения скоростей объявляется неверным?
Да, именно так! — гласил ответ Эйнштейна. Классическая механика Ньютона нуждается в глубоком, коренном пересмотре своих основных принципов. И слабый пункт классической ме- ханики состоит в том, что механические законы предполагают мгновенность распространения взаимодействий между телами.
Рассмотрим, например, гравитационное притяжение двух тел. Если одно из тел сместить в сторону, то, согласно закону всемирного тяготения, второе тело «почувствует» этот факт мгновенно, как только изменится расстояние от него до первого тела. Получается, что взаимо- действие передаётся от одного тела к другому с бесконечной скоростью.
Эксперименты, однако, показывают, что механизм передачи взаимодействий состоит в сле- дующем: изменение состояния тела меняет поле около него; возникшее возмущение поля на- чинает бежать во все стороны с некоторой конечной скоростью и лишь спустя определённый промежуток времени достигает другого тела. Мгновенно передающихся взаимодействий ни в каких опытах не наблюдается.
Но если взаимодействия не могут передаваться в бесконечной скоростью, то в природе суще- ствует предельная, максимальная скорость распространения взаимодействий. Изменённые законы механики должны учитывать наличие этой предельной скорости и, соответственно, ко- нечность времени передачи взаимодействий между телами.
Второй постулат
4
Эйнштейна отводит исключительную роль скорости света.
Принцип инвариантности скорости света. В каждой инерциальной системе отсчёта свет движется в вакууме с одной и той же скоростью; величина этой скорости не зависит от того,
покоится или движется источник света.
Таким образом, вышеописанный опыт с лампочкой в носовой части звездолёта нам провести не удастся: скорость света относительно наблюдателя в звездолёте будет равна c, а не c + v,
4
Постулат в физике — это утверждение, которое служит обобщением опытных фактов и принимается без доказательства. Постулат формулирует свойства природы: «Наш мир таков, что. . . » Постулаты аналогичны аксиомам в геометрии. В основе любой физической теории лежат некоторые постулаты — они играют роль первичных утверждений, из которых остальные утверждения теории выводятся в качестве следствий.
395
и наблюдатель не сможет заметить факт движения звездолёта. Классический закон сложения скоростей применительно к скорости света не работает.
Мы увидим далее, что максимальная скорость распространения взаимодействий, присущая нашему миру, оказывается равной как раз скорости света в вакууме. Никакой сигнал, никакое тело, никакой вообще материальный объект в природе не может двигаться со скоростью, пре- вышающей c. Величина c является фундаментальной константой, отражающей свойства мира,
в котором мы живём.
Оба постулата Эйнштейна — принцип относительности и принцип инвариантности скорости света — легли в основу специальной теории относительности (СТО). Эта теория затрагива- ет глубокие свойства пространства-времени, радикально меняя наши представления об окру- жающем мире
5
. Механика,
построенная Эйнштейном на постулатах СТО, получила название релятивистской (от англ. relativity — относительность).
Новые и удивительные свойства пространства-времени и новые законы, устанавливаемые в
СТО, проявляются при больших скоростях движения — и тем ярче, чем ближе мы подходим к скорости света. В повседневной жизни мы не замечаем этих релятивистских эффектов — по той простой причине, что привычные нам скорости чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света. Во многих практических задачах можно считать скорость света бесконечной — и тогда прекрасно работает классическая механика.
Итак, классическая механика оказывается приближённой теорией и годится для неболь- ших скоростей. Релятивистская механика используется тогда, когда скорости тел достаточно близки к скорости света — в таких ситуациях классическая механика отказывает совершен- но. Классическая механика является предельным случаем релятивистской механики: формулы классической механики получаются из релятивистских формул предельным переходом c → ∞.
Какие же новые свойства пространства-времени и новые физические законы открыла теория относительности? Мы будем рассказывать о них в двух следующих разделах. Здесь мы покажем лишь, что из постулатов СТО следуют весьма неожиданные и, казалось бы, парадоксальные выводы.
Рассмотрим системы отсчёта K и K
0
— те же, что и в предыдущем листке (рис.
5.2
). В
момент времени t = 0, когда их начала O и O
0
находятся в одной точке, в этой точке происходит световая вспышка.
O
O
0
Z
Y
Z
0
Y
0
X, X
0
vt
v
K
K
0
S
0
S
ct ct
Рис. 5.2. Кажущийся парадокс со световой вспышкой
Где окажется волновой фронт вспышки к моменту времени t?5
Впоследствии Эйнштейн развил общую теорию относительности (ОТО), которая описывает свойства пространства-времени при наличии гравитационного поля. Оказывается, гравитационное поле приводит к ис- кривлению пространства-времени. ОТО настолько сложна, что рассмотрение даже самых её начал выходит далеко за рамки школьной программы. В СТО влиянием гравитации пренебрегают.
396
В системе K свет распространяется во все стороны со скоростью c. Поэтому в системе K
вспышка достигнет сферы S радиуса ct с центром в точке O.
В системе K
0
скорость света также равна c. Значит, в системе K
0
вспышка достигнет сферы
S
0
того же радиуса ct, но с центром в точке O
0
Однако точки O и O
0
к моменту t разойдутся на расстояние vt. Получается, что волновой фронт в один и тот же момент времени находится на двух разных сферах S и S
0
. Противоречие?
Противоречия на самом деле нет. Причина кажущегося парадокса кроется в понятии од- новременности. На место нашего интуитивного понимания одновременности приходит чёткое определение этого термина, даваемое в СТО. Читаем следующий раздел!
397
5.3
Релятивистская кинематика
Напомним, что основной задачей механики является описание движения, а именно — выяснение того, как меняются координаты тела с течением времени.
Для описания движения нужно иметь систему отсчёта. В классической механике, как мы знаем, в систему отсчёта входят три объекта: тело отсчёта (относительно которого рассмат- ривается движение), жёстко связанная с телом отсчёта система координат, а также часы для измерения времени. Наблюдатель, находящийся в данной системе отсчёта, имеет возможность измерять координаты тела и сопоставлять эти координаты с показаниями часов. В результате наблюдатель получает зависимость координат тела от времени; располагая такой зависимо- стью, он может найти скорость тела и другие кинематические величины.
5.3.1
Одновременность событий
Сопоставление координат тела и показаний часов — ключевой момент. Здесь мы подходим к важнейшему понятию одновременности событий. Прежде всего, процитируем Эйнштейна.
Мы должны обратить внимание на то, что все наши суждения, в которых время игра- ет какую-либо роль, всегда являются суждениями об одновременнных событиях. Если я,
например, говорю: «Этот поезд прибывает сюда в 7 часов», — то это означает примерно следующее: «Указания маленькой стрелки моих часов на 7 часов и прибытие поезда суть одновременные события».
(А. Эйнштейн. «К электродинамике движущихся тел».)
Что такое одновременность в классической механике? Вопрос, казалось бы, ясен: события являются одновременными, если они происходят в один и тот же момент времени по часам наблюдателя. Отметим здесь два существенных момента.
• Неважно, происходят ли данные события в одной точке пространства или в различных точках. В классической механике мы спокойно говорим об одновременности простран- ственно разделённых событий.
• Понятие одновременности имеет абсолютный смысл: два события, одновременные в одной системе отсчёта, будут одновременными и в любой другой системе отсчёта. Во всех инер- циальных системах отсчёта время течёт одинаково — это выражается равенством t
0
= t в преобразованиях Галилея.
Такое понимание одновременности, однако, носит интуитивный характер. И, что совсем плохо, оно базируется на предположении о мгновенности передачи взаимодействий.
В самом деле, если сигналы от событий, происходящих в разных точках пространства, до- стигают наблюдателя мгновенно, то какая ему разница, насколько велико расстояние между этими событиями? Никакой задержки в приходе сигналов ведь не будет. Точно так же несу- щественно и то, покоится ли наблюдатель или движется — раз сигналы распространяются с бесконечной скоростью, события будут казаться наблюдателю одновременными независимо от факта его движения.
Но в действительности скорость сигнала является конечной и не может превышать скорость света в вакууме. Тем самым наше интуитивное понимание одновременности пространственно разделённых событий оказывается некорректным. Ведь если мы, держа в руках секундомер,
фиксируем по нему время наступления окружающих
событий и пытаемся судить об их одно- временности, то нам придётся считаться с задержками прихода сигналов из различных точек пространства. Более того, эти задержки могут оказываться разными в зависимости от того,
находимся ли мы в покоящейся системе отсчёта или в движущейся.
398
Что же получается — понятие одновременности вообще теряет смысл? Оказывается, нет!
Эйнштейн предложил чёткую программу преодоления указанных трудностей. Суть её состоит в следующем: раз уж всё оказывается так плохо при измерении времени по одним-единственным часам наблюдателя, то давайте использовать много синхронно идущих часов, расставленных в разных точках пространства. Два события будут считаться одновременными, если совпадают показания часов, расположенных в тех точках, где произошли события.
А теперь — подробнее и по пунктам.
1. Пусть в некоторой точке пространства имеются часы. Если в этой точке происходит событие, то наши часы показывают время данного события. Таким образом, если в этой самой точке происходят два события, то мы всегда можем сказать, одновременны они или нет — просто сравнив показания наших часов в моменты наступления событий.
Итак, с определением одновременности событий, происходящих в одной точке простран- ства, проблем нет.
2. Для определения понятия одновременности пространственно разделённых событий нам понадобится много одинаковых часов, расставленных в пространстве достаточно часто.
Каждые часы показывают время событий, происходящих в той точке, где эти часы рас- положены.
Чтобы была возможность судить об одновременности событий, происходящих в различных точках пространства, все эти часы должны идти синхронно, т. е. показывать одно и то же время. Но возникает естественный вопрос: а как этого добиться? Каким образом можно произвести синхронизацию часов?
3. Чтобы синхронизировать часы,
расположенные в различных точках пространства, Эйн- штейн предложил использовать световые сигналы.
Пусть в точках A и B имеются часы. Предположим, что из точки A в точку B посылается световой сигнал, который отражается в точке B и возвращается назад в A.
Пусть в момент отправления сигнала часы A показывали t
1
, а в момент возвращения сигнала показания тех же часов A равны t
2
Правило Эйнштейна. По определению, часы A и B идут синхронно, если в момент прихода сигнала в точку B показания часов B равны (t
1
+ t
2
)/2.
Иными словами, часы B должны показывать ровно середину промежутка между t
1
и t
2
Правило Эйнштейна иллюстрируется на рис.
5.3
A
B
t
1
t
2
t =
t
1
+t
2 2
Рис. 5.3. Синхронизация часов по правилу Эйнштейна
Можно дать и другую, равносильную формулировку правила Эйнштейна.
Произведём в середине отрезка AB вспышку света. По определению, часы A и B идут синхронно, если в моменты прихода света в точки A и B показания часов совпадают.
4. Правило Эйнштейна основано на том, что скорость света в вакууме не зависит от направ- ления распространения света. В самом деле, ведь при синхронизации часов мы считаем,
399
что световой сигнал идёт с одной и той же скоростью в обоих направлениях: как от A к
B, так и обратно от B к A.
Одинаковость скорости света по всем направлениям — это факт, подтверждаемый много- численными опытами.
5. Может возникнуть следующий вопрос: а зачем вообще использовать какие-то световые сигналы? Давайте сначала поместим двое часов в точку A, поставим их одинаково, а затем перенесём одни из этих часов в точку B. Вот и получится пара синхронизированных часов в двух различных точках A и B!
Беда заключается в том, что такой способ не согласуется с правилом Эйнштейна. Если в точке B уже имеются часы, синхронизированные по правилу Эйнштейна с часами A,
то перенесённые из A часы покажут в точке B время меньшее, чем первые. При этом перенесённые часы будут отставать тем больше, чем с большей скоростью они двигались!
Об этом свидетельствует опыт, и мы скоро поймём, почему так получается.
Так что альтернативы правилу Эйнштейна нет: оно является простым, естественным и приводит к стройной теории, прекрасно согласующейся с экспериментом.
6. По правилу Эйнштейна мы можем синхронизировать любую пару часов. Но является ли это правило непротиворечивым? А именно, если мы синхронизировали указанным спосо- бом сначала часы A и B, а затем часы B и C, то окажутся ли при этом синхронизирован- ными часы A и C?
Хотелось бы думать, что да, однако из правила Эйнштейна это логически не следует
(как, впрочем, не следует и ответ «нет»). Эйнштейн постулировал непротиворечивость своего правила: да, часы A и C окажутся при этом синхронизированными. Данный по- стулат согласуется с экспериментом; принятие этого постулата не ведёт в дальнейшем к противоречиям в теории.
7. Итак, мы получили релятивистскую систему отсчёта с большим количеством часов. Все часы идут согласованно, они синхронизированы по правилу Эйнштейна. Время каждого события (местное время) измеряется по часам, расположенным в том месте, где событие совершилось.
Теперь можно дать определение одновременности событий.
Два пространственно разделённых события в данной системе отсчёта считаются од- новременными, если при наступлении этих событий совпадают показания часов, распо- ложенных в тех точках, где события произошли.
Можно запомнить более короткую формулировку: события одновременны, если их мест- ные времена совпадают.
Как видим, существование максимальной скорости распространения сигналов ведёт к ко- ренному пересмотру наших обыденных представлений о пространстве и времени. Оказалось,
например, что понятие одновременности событий нуждается в строгом определении.
Данное определение является непротиворечивым, согласуется с опытом и приводит к следствиям, весь- ма неожиданным с повседневной точки зрения.
Так, понятие одновременности, а также величины промежутков времени и расстояний меж- ду точками теряют свой абсолютный характер и становятся относительными, то есть завися- щими от выбора той или иной системы отсчёта.
400
5.3.2
Относительность одновременности
Давайте ещё раз осмыслим определение одновременности событий. Мы смогли его дать, введя предварительно единое время для нашей системы отсчёта. Это единое время задаётся множе- ством синхронно идущих часов, расставленных в различных точках пространства.
Тем самым понятие одновременности пространственно разделённых событий оказывается
«привязанным» к данной системе отсчёта. Выясняется, что два события, одновременные в од- ной системе отсчёта, могут оказаться не одновременными в другой системе отсчёта. В
этом нетрудно убедиться на следующем простом примере.
Рассмотрим вагон, который движется вправо со скоростью
v (рис.
5.4
). В точке S, находя- щейся в центре вагона, происходит световая вспышка. Одновременно ли свет достигнет точек
Скачать 4.04 Mb.