Моя прелесть. Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике

• Название: Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
• Анкор: Моя прелесть
• Дата: 04.02.2022
• Размер: 4.04 Mb.
• Имя файла: Моя прелесть.pdf
• Тип: Пособие; #351129
• страница: 2 из 34

Что такое умножение скаляра на вектор?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 7.3.2
Свойства умножения скаляра на вектор
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 7.4
Угол между векторами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 7.4.1

Что такое угол между векторами?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 7.4.2
Угол между вектором и осью
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 7.5
Проекция вектора на ось
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 7.5.1

Что такое проекция вектора на ось?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 7.5.2
Свойства проектирования вектора на ось
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 7.5.3
Операция проектирования в физике
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 7.6
Векторы и координаты на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 7.6.1
Разложение вектора по базису
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 7.6.2
Нахождение модуля вектора по его проекциям
. . . . . . . . . . . . . . . . 484 7.7
Векторы и координаты в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 7.7.1
Разложение вектора по базису
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 7.7.2
Нахождение модуля вектора по его проекциям
. . . . . . . . . . . . . . . . 486 7.8
Скалярное произведение векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 7.8.1

Что такое скалярное произведение?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 7.8.2
Свойства скалярного произведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 7.8.3
Скалярное произведение в физике
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 7.8.4
Вычисление скалярного произведения в координатах
. . . . . . . . . . . . . 489 11

Глава 1
Механика
Механика изучает механическое движение тел. Полёт камня и движение автомобиля, суточное и орбитальное вращение Земли, колебания маятника и распространение звука — всё это примеры механического движения.
Не каждое движение является механическим. Скажем, распространение электромагнитных волн не описывается механикой и подчиняется совсем другим законам. Тут работает другой раздел физики — электродинамика.
В механике принято выделять три основных части.
1. Кинематика. Кинематика рассматривает движение тела как таковое и не интересуется тем,
почему это движение возникло. Тело каким-то образом движется — вот давайте и будем иссле- довать характеристики его движения. Траектория, путь, перемещение, скорость, ускорение —
примеры физических величин, с которыми имеет дело кинематика.
Поскольку причины возникновения движения не выясняются, из поля зрения кинематики выпадают такие величины, как масса и сила.
Кинематике посвящены следующие разделы данной главы:
→
Механическое движение
→
Равномерное прямолинейное движение
→
Равноускоренное движение
→
Равномерное движение по окружности
→
Путь при неравномерном движении
2. Динамика. Динамика изучает причины возникновения механического движения. В динами- ке рассматриваются взаимодействия тел, в результате чего появляются новые понятия: масса,
сила, импульс, работа, энергия.
Динамика излагается в следующих разделах:
→
Первый закон Ньютона
→
Масса и плотность
→
Второй и третий законы Ньютона
→
Сила упругости
→
Сила тяготения
→
Сила трения
→
Импульс
→
Энергия
→
Простые механизмы
→
Механические колебания
→
Механические волны
Динамика стоит на «трёх китах» — трёх законах Ньютона. Законы Ньютона являются пер- вичными утверждениями, или постулатами: они основаны на многочисленных опытных фактах
12

и не являются логическим следствием каких-то других утверждений. Попросту говоря, законы
Ньютона ниоткуда не выводятся
1
; они просто констатируют факт — вот по таким правилам живёт природа.
3. Статика. Статика — сравнительно небольшая часть механики, изучающая условия равно- весия тела.
В статике твёрдого тела появляется понятие момента силы, а необходимым условием рав- новесия служит так называемое правило моментов. Статика жидкостей и газов изучает равно- весие тел в этих средах; основную роль тут играют законы Паскаля и Архимеда.
Статике посвящены следующие два раздела:
→
Статика твёрдого тела
→
Статика жидкостей и газов
*
*
*
Значительно больше внимания (чем это принято в школьных учебниках) уделено исполь- зованию производной. Автор не считает нужным «скрывать» от школьников, что производная является естественным инструментом физики. Наоборот, чем скорее и лучше школьник осво- ится с этим аппаратом, тем проще будет ему впоследствии перейти к вузовским курсам общей физики и теоретической механики.
Поэтому первый раздел «
Производная
» настоящей главы посвящён дифференцированию.
Изложение математических вопросов ведётся на физическом уровне строгости: опуская значи- тельную долю формализма, мы стараемся вывести на первый план основные идеи, связанные с понятием производной. В частности, мы рассказываем о дифференцировании векторов (че- го в школе обычно не делают). В вузе, как показывает опыт, никто уже не будет заниматься
«разжёвыванием» этого материала.
1
В продвинутых курсах теоретической физики законы Ньютона выводятся из более общих принципов. Но тогда уже эти новые принципы становятся постулатами — то есть первичными утверждениями, ниоткуда не вытекающими.
13

1.1
Производная
Производная скалярной или векторной функции есть скорость изменения этой функции. В
физике мы постоянно интересуемся быстротой изменения каких-либо величин. Вот почему ис- пользование производной пронизывает всю физику.
Строгое математическое определение производной опирается на понятие предела, которое в школе не проходят. Но определение предела нам сейчас и незачем. Самое главное — уловить основную идею, которая лежит в основе понятия предела.
1.1.1
Предел
Рассмотрим последовательность:
1,
1 2
,
1 3
,
1 4
, . . . ,
1
n
, . . .
Изобразим члены данной последовательности на числовой оси (рис.
1.1
).
0 1
1 2
1 3
1 4
Рис. 1.1. Последовательность чисел 1/n (n ∈ N)
Мы видим, что наши числа неограниченно приближаются к нулю (но никогда его не до- стигают). Начиная с n = 10 все члены последовательности окажутся на расстоянии не более
1/10 от нуля; начиная с n = 100 все они будут на расстоянии не более 1/100 от нуля; начиная с n = 1000 все они будут на расстоянии не более 1/1000 от нуля и т. д.
Говорят, что последовательность 1/n стремится к нулю, или сходится к нулю, или что предел этой последовательности равен нулю. Записывают это так:
lim n→∞
1
n
= 0.
Образно говоря, наша последовательность «втекает» в точку 0. Понятие предела как раз и отражает факт этого «втекания».
Точно так же последовательность a
n
= 3 +
1
n
(n ∈ N)
будет «втекать» в точку 3. Поэтому lim n→∞
a n
= lim n→∞

3 +
1
n

= 3.
Подчеркнём, что «втекание последовательности в точку a» означает, что вблизи числа a находятся все члены данной последовательности, начиная с некоторого номера. Более точно,
смысл выражения «предел последовательности a n
равен a» таков: какое бы расстояние ε мы наперёд ни задали, все числа a n
, начиная с некоторого номера, будут находиться от числа a на расстоянии меньше ε.
Например, знакопеременная последовательность 1, −1, 1, −1, . . . не имеет предела: она не
«втекает» ни в какую точку. Почему, например, число 1 не является пределом данной после- довательности? Потому что найдётся бесконечно много членов последовательности (а именно,
все члены с чётными номерами, равные −1), удалённых от точки 1 на расстояние 2. Иными
14

словами, не найдётся такого номера, начиная с которого все члены данной последовательности окажутся достаточно близко к точке 1.
Можно говорить не только о пределе последовательности, но и о пределе функции. Напом- ним, что функция y = f (x) — это некоторое правило, которое позволяет для любого допустимо- го числа x получить единственное соответствующее ему число y. При этом число x называется аргументом функции, а число y — значением функции.
Нас будет интересовать понятие предела функции в точке. Оно формализует ту же самую идею «втекания». Только на сей раз график функции y = f (x) будет «втекать» в некоторую точку координатной плоскости, когда аргумент x стремится к некоторому значению.
Так, на рис.
1.2
вы видите хорошо известную параболу — график функции y = x
2
. Возьмём значение x = 2 и отметим на графике соответствующую точку A(2, 4).
X
Y
2 4
A
Рис. 1.2. График функции y = x
2
Представим себе, что x приближается к 2 (справа или слева — неважно). При этом график
«втекает» в точку A, что и показано на рисунке стрелками. Иными словами, значение функции стремится к 4, и данный факт записывается следующим образом:
lim x→2
x
2
= 4.
(1.1)
«А что тут такого особенного? — скажете вы. — Ясно же, что если x стремится к 2, то x
2
стремится к 2 2
= 4. Зачем огород городить, говоря о каких-то пределах?»
Здесь не всё так просто. Взгляните на рис.
1.3
X
Y
1
π
Рис. 1.3. График функции y =
sin x x
Перед вами график функции f (x) =
sin x x
15

И вот что интересно: значение функции при x = 0 не определено (при попытке вычислить f (0)
мы получаем нуль в знаменателе), но при этом график «втекает» в точку (0, 1). То есть, хотя f (0) не существует, тем не менее при x → 0 значение функции стремится к числу 1. Иными словами, существует предел:
lim x→0
sin x x
= 1.
(1.2)
Он называется первым замечательным пределом.
Вы легко можете убедиться в справедливости формулы (
1.2
), взяв в руки калькулятор.
Переведите его в режим «радианы» и вычислите:
sin 0,1 0,1
,
sin 0,01 0,01
,
sin 0,001 0,001
,
Вы увидите, что значение дроби становится всё ближе и ближе к единице.
Уяснив, что такое предел, мы теперь обсудим важнейшее физическое понятие мгновенной скорости. Оно вплотную подведёт нас к определению производной.
1.1.2
Мгновенная скорость
Спидометр автомобиля показывает 60 км/ч. Что это значит? Ответ простой: если автомобиль будет ехать так в течение часа, то он проедет 60 км.
Допустим, однако, что автомобиль вовсе не собирается ехать так целый час. Например,
водитель разгоняет автомобиль с места, давит на газ, в какой-то момент бросает взгляд на спидометр и видит стрелку на отметке 60 км/ч. В следующий момент стрелка уползёт ещё

выше. Как же понимать, что в данный момент времени скорость равна 60 км/ч?
Давайте выясним это на примере. Предположим, что путь s, пройденный автомобилем,
зависит от времени t следующим образом:
s(t) = t
2
,
где путь измеряется в метрах, а время — в секундах. То есть, при t = 0 путь равен нулю, к моменту времени t = 1 пройденный путь равен s(1) = 1, к моменту времени t = 2 путь равен s(2) = 4, к моменту времени t = 3 путь равен s(3) = 9, и так далее.
Видно, что идёт разгон, то есть автомобиль набирает скорость с течением времени. Дей- ствительно:
• за первую секунду пройдено расстояние 1;
• за вторую секунду пройдено расстояние s(2) − s(1) = 3;
• за третью секунду пройдено расстояние s(3) − s(2) = 5,
и далее по нарастающей.
А теперь вопрос. Пусть, например, через три секунды после начала движения наш водитель взглянул на спидометр. Что покажет стрелка? Иными словами, какова мгновенная скорость автомобиля в момент времени t = 3?
Просто поделить путь на время не получится: привычная формула v = s/t работает только для равномерного движения (то есть когда стрелка спидометра застыла в некотором фикси- рованном положении). Но именно эта формула лежит в основе способа, позволяющего найти мгновенную скорость.
Идея способа такова. Отсчитаем от нашего момента t = 3 небольшой промежуток времени
∆t, найдём путь ∆s, пройденный автомобилем за этот промежуток, и поделим ∆s на ∆t. Чем меньше будет ∆t, тем точнее мы приблизимся к искомой величине мгновенной скорости.
16

Давайте посмотрим, как эта идея реализуется. Возьмём для начала ∆t = 1. Тогда
∆s = s(4) − s(3) = 4 2
− 3 2
= 7,
и для скорости получаем:
∆s
∆t
=
7 1
= 7
(1.3)
(скорость, разумеется, измеряется в м/с).
Будем уменьшать промежуток ∆t. Берём ∆t = 0,1:
∆s = s(3,1) − s(3) = 3,1 2
− 3 2
= 0,61,
∆s
∆t
=
0,61 0,1
= 6,1.
(1.4)
Теперь берём ∆t = 0,01:
∆s = s(3,01) − s(3) = 3,01 2
− 3 2
= 0,0601,
∆s
∆t
=
0,0601 0,01
= 6,01.
(1.5)
Ну и возьмём ещё ∆t = 0,001:
∆s = s(3,001) − s(3) = 3,001 2
− 3 2
= 0,006001,
∆s
∆t
=
0,006001 0,001
= 6,001.
(1.6)
Глядя на значения (
1.3
)–(
1.6
), мы понимаем, что величина ∆s/∆t приближается к числу 6.
Это означает, что мгновенная скорость автомобиля в момент времени t = 3 составляет 6 м/с.
Таким образом, при безграничном уменьшении ∆t путь ∆s также стремится к нулю, но отно- шение ∆s/∆t стремится к некоторому пределу v, который и называется мгновенной скоростью в данный момент времени t:
v = lim
∆t→0
∆s
∆t
(1.7)
Можно написать и так:
v(t) = lim
∆t→0
s(t + ∆t) − s(t)
∆t
(1.8)
Давайте вернёмся к нашему примеру с s(t) = t
2
и проделаем в общем виде те выкладки,
которые выше были выполнены с числами. Итак:
∆s = s(t + ∆t) − s(t) = (t + ∆t)
2
− t
2
= t
2
+ 2t∆t + ∆t
2
− t
2
= ∆t(2t + ∆t),
и для мгновенной скорости имеем:
v(t) = lim
∆t→0
∆s
∆t
= lim
∆t→0
∆t(2t + ∆t)
∆t
= lim
∆t→0
(2t + ∆t) = 2t.
(1.9)
В частности, при t = 3 формула (
1.9
) даёт: v(3) = 2 · 3 = 6, как и было получено выше.
Теперь мы располагаем всеми необходимыми предварительными сведениями и полностью готовы перейти к обсуждению производной.
17

1.1.3
Определение производной
Скорость бывает не только у автомобиля. Мы можем говорить о скорости изменения чего угод- но — например, физической величины или экономического показателя. Производная как раз и служит обобщением понятия мгновенной скорости на случай абстрактных математических функций.
Рассмотрим функцию y = f (x). Напомним, что x называется аргументом данной функции.
Отметим на оси X некоторое значение аргумента x, а на оси Y — соответствующее значение функции f (x) (рис.
1.4
).
x f (x)
x + ∆x f (x + ∆x)
∆x
∆f y = f (x)
X
Y
Рис. 1.4. Приращение аргумента и приращение функции
Дадим аргументу x некоторое приращение, обозначаемое ∆x. Попадём в точку x + ∆x.
Обозначим её на рисунке вместе с соответствующим значением функции f (x + ∆x).
Величина
∆f = f (x + ∆x) − f (x)
(1.10)
называется приращением функции, которое отвечает данному приращению аргумента ∆x.
Вы видите сходство с предыдущим пунктом? Приращение аргумента ∆x есть абстрактный аналог промежутка времени ∆t, а соответствующее приращение функции ∆f — это аналог пути ∆s, пройденного за время ∆t. Но на этом аналогия не заканчивается. Производная — это в точности аналог мгновенной скорости.
Определение. Производная f
0
(x) функции f (x) в точке x — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
f
0
(x) = lim
∆x→0
∆f
∆x
= lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(1.11)
Сравните с формулами (
1.7
) и (
1.8
). По сути написано одно и то же, не правда ли? Можно сказать, что производная — это мгновенная скорость изменения функции.
Нахождение производной функции называется дифференцированием. Нам предстоит на- учиться дифференцировать различные функции.
Прежде всего нужно знать несколько стандартных производных, которые называются таб- личными. Самые простые табличные производные вычисляются непосредственно с помощью формулы (
1.11
).
18

1.1.4
Табличные производные
Начнём с функции, которая является константой: f (x) = c. Приращение этой функции равно нулю:
∆f = f (x + ∆x) − f (x) = c − c = 0.
Соответственно, обращается в нуль и производная:
f
0
(x) = lim
∆x→0
∆f
∆x
= lim
∆x→0 0
∆x
= lim
∆x→0 0 = 0.
Итак, имеем первый результат — производная константы равна нулю:
c
0
= 0.
Теперь будем дифференцировать степенную функцию, то есть функцию вида f (x) = x a
Найдём производную простейшей такой функции: f (x) = x. Приращение функции:
∆f = f (x + ∆x) − f (x) = x + ∆x − x = ∆x.
Производная:
f
0
(x) = lim
∆x→0
∆f
∆x
= lim
∆x→0
∆x
∆x
= lim
∆x→0 1 = 1.
Итак,
x
0
= 1.
Перейдём к функции f (x) = x
2
. Это абстрактный аналог рассмотренной выше физической ситуации с s(t) = t
2
, в которой мы искали мгновенную скорость. Нам остаётся лишь повторить
(в других обозначениях) те вычисления, которые привели нас к формуле (
1.9
).
Приращение функции:
∆f = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)
2
− x
2
= x
2
+ 2x∆x + ∆x
2
− x
2
= ∆x(2x + ∆x).
Производная:
f
0
(x) = lim
∆x→0
∆f
∆x
= lim
∆x→0
∆x(2x + ∆x)
∆x
= lim
∆x→0
(2x + ∆x) = 2x.
Таким образом,
x
2


0
= 2x.
Точно так же можно показать, что:
x
3


0
= 3x
2
,
x
4


0
= 4x
3
,
(x n
)
0
= nx n−1
Оказывается, последняя формула справедлива не только для целого n, но и вообще для любого показателя степени a:
(x a
)
0
= ax a−1
,
a ∈ R.
(1.12)
Найдём с помощью этой формулы производную функции f (x) =
√
x:
√
x


0
=

x
1 2

0
=
1 2
x
1 2
−1
=
1 2
x
−
1 2
=
1 2
√
x
19

Эта производная встречается очень часто, и её имеет смысл выучить. Запомнить можно так:
«производная корня есть один делить на два корня».
Перейдём к тригонометрическим функциям: синусу и косинусу. Вычисления с помощью формулы (
1.11
) и первого замечательного предела приводят к следующему результату:
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= − sin x.
Четыре производных в рамочке (константа, степенная функция, синус и косинус), как мы сказали выше, называются табличными. Эти производные нужно твёрдо знать.
Вычисления производной по определению (то есть как предела) легко проходят для функ- ций, устроенных наиболее просто. А как быть, если нужно продифференцировать функцию наподобие такой: f (x) = x
7
sin
3
√
4x
2
− 5x? Здесь вычислять предел (
1.11
) — занятие не из при- ятных. В подобных случаях на помощь приходят правила дифференцирования, которые позво- ляют сконструировать производную данной функции из производных более простых функций.
1.1.5
Правила дифференцирования
Как мы уже сказали, правила дифференцирования позволяют находить производные функций достаточно сложного вида. Идея состоит в «расщеплении» исходной функции на более простые функции, производные которых известны и играют роль «кирпичиков» при конструировании искомой производной. Зная небольшое число табличных производных и располагая правилами дифференцирования, мы можем вычислять производные огромного количества функций, не прибегая к определению производной и не вычисляя соответствующий предел (
1.11
).
Всего имеется пять правил дифференцирования. Мы приводим их здесь без доказательства.
Функции u(x) и v(x) являются теми самыми «кирпичиками», из которых строятся функции более сложного вида.
0. Константа выносится за знак производной. Если c — число, то (cu)
0
= cu
0
Данное правило легко получается в качестве следствия правила 2 о дифференцировании произведения. Но применяется оно настолько часто, что мы сделали его «нулевым» правилом,
обособленным от остальных.
Согласно этому правилу имеем, например:
(5x
2
)
0
= 5(x
2
)
0
= 10x,
(−3 sin x)
0
= −3(sin x)
0
= −3 cos x.
1. Дифференцирование суммы. (u + v)
0
= u
0
+ v
0
(производная суммы равна сумме произ- водных ).
Так, применяя правила 0 и 1, находим:
(sin x + cos x)
0
= (sin x)
0
+ (cos x)
0
= cos x − sin x,
(x
3
+ 4 cos x − 10)
0
= (x
3
)
0
+ (4 cos x)
0
+ (−10)
0
= 3x
2
− 4 sin x
(производная константы −10 равна нулю!).
2. Дифференцирование произведения. (uv)
0
= u
0
v + uv
0
Вот пример дифференцирования произведения:
(x
2
sin x)
0
= (x
2
)
0
sin x + x
2
(sin x)
0
= 2x sin x + x
2
cos x.
20

А вот как получается правило 0:
(cu)
0
= c
0
u + cu
0
= cu
0
,
поскольку c
0
= 0.
3. Дифференцирование частного.

u v

0
=
u
0
v − uv
0
v
2
Правило дифференцирования частного позволяет найти, например, производную тангенса:
(tg x)
0
=
 sin x cos x

0
=
(sin x)
0
cos x − sin x(cos x)
0
cos
2
x
=
cos
2
x + sin
2
x cos
2
x
=
1
cos
2
x
Нам осталось обсудить последнее правило — дифференцирование сложной функции. Мы сначала объясним, что такое сложная функция, затем продемонстрируем правило дифферен- цирования на примерах, и только потом — когда станет ясно, как оно работает — дадим фор- мулировку этого правила.
Пусть, например, u(x) = sin x и v(x) =
√
x. Давайте сначала извлекать корень из x (то есть применять к x функцию v), а потом брать синус полученного числа (то есть действовать на полученное число v(x) функцией u). Тогда возникает функция:
u(v(x)) = sin
√
x.
Это и есть сложная функция, или композиция функций u и v. Идея понятна: число x поступает на вход первой функции v, а полученное число v(x) поступает на вход второй функции u.
Можно, наоборот, сделать u первой функцией, а v — второй. Тогда сначала от x будет вычисляться синус, а потом из синуса извлекаться корень. Получится другая сложная функция:
v(u(x)) =
√
sin x.
Дифференцирование сложной функции — это как снятие листов с кочана капусты. Сначала находим производную второй («внешней») функции и умножаем её на производную первой
(«внутренней») функции. Применительно к нашим примерам это выглядит так:
(sin
√
x)
0
= cos
√
x · (
√
x)
0
= cos
√
x ·
1 2
√
x
,
(
√
sin x)
0
=
1 2
√
sin x
· (sin x)
0
=
1 2
√
sin x
· cos x.
Приведём для ясности ещё один пример:
[(4x
2
+ 3x + 2)
5
]
0
= 5(4x
2
+ 3x + 2)
4
· (4x
2
+ 3x + 2)
0
= 5(4x
2
+ 3x + 2)
4
· (8x + 3).
И ещё пример (очень важный для физики; здесь A, ω и α — константы):
[A sin(ωx + α)]
0
= A cos(ωx + α) · (ωx + α)
0
= Aω cos(ωx + α).
Понятно, как работает правило? Тогда — формулировка.
4. Дифференцирование сложной функции. [u(v(x))]
0
= u
0
(v(x))v
0
(x).
21

1.1.6
Обозначения производной в физике
Переходя к физическим приложениям производной, мы будем использовать несколько иные обозначения — те, которые приняты в физике.
Во-первых, меняется обозначение функций. В самом деле, какие функции мы собираемся дифференцировать? Этими функциями служат физические величины, зависящие от времени.
Например, координата тела x(t) и его скорость v(t) могут быть заданы формулами:
x(t) = 1 + 12t − 3t
2
,
(1.13)
v(t) = 12 − 6t.
(1.14)
Таким образом, аргументом функции теперь является время t, а буква x отныне обозначает функцию — координату точки.
Во-вторых, меняется обозначение производной. Штрих в физике зарезервирован для других целей, и вместо него мы используем точку над буквой:
производная функции x(t)
обозначается
˙x(t)
(1.15)
(читается «икс с точкой»).
Имеется ещё одно обозначение производной, очень распространённое как в математике, так и в физике:
производная функции x(t)
обозначается dx dt
(1.16)
(читается «дэ икс по дэ тэ»).
Остановимся подробнее на смысле обозначения (
1.16
). Математик понимает его двояко —
либо как предел:
dx dt
= lim
∆t→0
∆x
∆t
= lim
∆t→0
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
,
(1.17)
либо как дробь, в знаменателе которой стоит приращение времени dt, а в числителе — так называемый дифференциал dx функции x(t). Понятие дифференциала не сложно, но мы не будем его сейчас обсуждать; оно ждёт вас на первом курсе.
Физик, не скованный требованиями математической строгости, понимает обозначение (
1.16
)
более неформально. Пусть dx есть изменение координаты за время dt. Возьмём интервал dt настолько маленьким, что отношение dx/dt близко к своему пределу (
1.17
) с устраивающей нас точностью.
И тогда, — скажет физик, — производная координаты по времени есть попросту дробь, в числителе которой стоит достаточно малое изменение координаты dx, а в знаменателе —
достаточно малый промежуток времени dt, в течение которого это изменение координаты произошло.
Такое нестрогое понимание производной характерно для рассуждений в физике. Далее мы будем придерживаться именно этого физического уровня строгости.
Производная ˙x(t) физической величины x(t) снова является функцией времени, и эту функ- цию снова можно продифференцировать — найти производную производной, или вторую про- изводную функции x(t). Вот одно обозначение второй производной:
вторая производная функции x(t)
обозначается
¨
x(t)
(читается «икс с двумя точками»), а вот другое:
вторая производная функции x(t)
обозначается d
2
x dt
2
(читается «дэ два икс по дэ тэ квадрат» или «дэ два икс по дэ тэ дважды»).
22

Давайте вернёмся к исходному примеру (
1.13
) и посчитаем производную координаты, а за- одно посмотрим на совместное использование обозначений (
1.15
) и (
1.16
):
x(t) = 1 + 12t − 3t
2
⇒
˙x(t) =
d dt
(1 + 12t − 3t
2
) = 12 − 6t.
(Символ дифференцирования d
dt перед скобкой — это всё равно что штрих сверху за скобкой в прежних обозначениях.)
Обратите внимание, что производная координаты оказалась равна скорости (
1.14
). Это не случайное совпадение. Связь производной координаты со скоростью тела будет выяснена в следующем разделе «Механическое движение».
1.1.7
Предел векторной величины
Физические величины бывают не только скалярными, но и векторными. Соответственно, часто нас интересует скорость изменения векторной величины — то есть, производная вектора. Од- нако прежде чем говорить о производной, нужно разобраться с понятием предела векторной величины.
Рассмотрим последовательность векторов

u
1
,
u
2
,
u
3
, . . . Сделав, если необходимо, параллель- ный перенос, сведём их начала в одну точку O (рис.
1.5
):
O
A
1
A
2
A
3
B

u
1

u
2

u
3

v
Рис. 1.5. lim n→∞

u n
=
v
Концы векторов обозначим A
1
, A
2
, A
3
, . . . Таким образом, имеем:

u
1
=
−−→
OA
1
,

u
2
=
−−→
OA
2
,

u
3
=
−−→
OA
3
,
Предположим, что последовательность точек A
1
, A
2
, A
3
, . . . «втекает»
2
в точку B:
lim n→∞
A
n
= B.
Обозначим
v =
−
−
→
OB. Мы скажем тогда, что последовательность синих векторов
u n
стремится к красному вектору
v, или что вектор
v является пределом последовательности векторов
u n
:

v = lim n→∞

u n
2
Вполне достаточно интуитивного понимания этого «втекания», но вас, быть может, интересует более строгое объяснение? Тогда вот оно.
Пусть дело происходит на плоскости. «Втекание» последовательности A
1
, A
2
, A
3
, . . . в точку B означает сле- дующее: сколь бы малый круг с центром в точке B мы ни взяли, все точки последовательности, начиная с некоторой, попадут внутрь этого круга. Иными словами, вне любого круга с центром B имеется лишь конечное число точек нашей последовательности.
А если дело происходит в пространстве? Определение «втекания» модифицируется незначительно: нужно лишь заменить слово «круг» на слово «шар».
23

Предположим теперь, что концы синих векторов на рис.
1.5
пробегают не дискретный набор значений, а непрерывную кривую (например, указанную пунктирной линией). Таким образом,
мы имеем дело не с последовательностью векторов
u n
, а с вектором
u(t), который меняется со временем. Это как раз то, что нам и нужно в физике!
Дальнейшее объяснение почти такое же. Пусть t стремится к некоторому значению t
0
. Если при этом концы векторов
u(t) «втекают» в некоторую точку B, то мы говорим, что вектор

v =
−
−
→
OB является пределом векторной величины
u(t):

v = lim t→t
0

u(t).
1.1.8
Дифференцирование векторов
Выяснив, что такое предел векторной величины, мы готовы сделать следующий шаг — ввести понятие производной вектора.
Предположим, что имеется некоторый вектор
u(t), зависящий от времени. Это означает, что длина данного вектора и его направление могут меняться с течением времени.
По аналогии с обычной (скалярной) функцией вводится понятие изменения (или прираще- ния) вектора. Изменение вектора
u за время ∆t есть векторная величина:
∆
u =
u(t + ∆t) −
u(t).
Обратите внимание, что в правой части данного соотношения стоит разность векторов. Из- менение вектора
u показано на рис.
1.6
(напомним, что при вычитании векторов мы сводим их начала в одну точку, соединяем концы и «укалываем» стрелкой тот вектор, из которого производится вычитание).

u(t)

u(t + ∆t)
∆
u
Рис. 1.6. Изменение вектора
Если промежуток времени ∆t достаточно мал, то и вектор
u за это время меняется мало (в физике, по крайней мере, так считается всегда). Соответственно, если при ∆t → 0 отношение
∆
u/∆t стремится к некоторому пределу, то этот предел называется производной вектора
u:
d
u dt
= lim
∆t→0
∆
u
∆t
= lim
∆t→0

u(t + ∆t) −
u(t)
∆t
(1.18)
При обозначении производной вектора мы не будем использовать точку сверху (так как символ ˙

u не слишком хорошо смотрится) и ограничиваемся обозначением (
1.18
). Но для про- изводной скаляра мы, разумеется, свободно используем оба обозначения.
Напомним, что d
u/dt — это символ производной. Его можно понимать и как дробь, в числи- теле которой стоит дифференциал вектора
u, соответствующий промежутку времени dt. Выше мы не стали обсуждать понятие дифференциала, так как в школе его не проходят; не будем обсуждать дифференциал и здесь.
Однако на физическом уровне строгости производную d
u/dt можно считать дробью, в зна- менателе которой стоит очень малый интервал времени dt, а в числителе — соответствующее малое изменение d
u вектора
u. При достаточно малом dt величина данной дроби отличается от
24

предела в правой части (
1.18
) столь мало, что с учётом имеющейся точности измерений этим отличием можно пренебречь.
Этого (не вполне строгого) физического понимания производной нам окажется вполне до- статочно.
Правила дифференцирования векторных выражений во многом аналогичны правилам диф- ференцирования скаляров. Нам понадобятся лишь самые простые правила.
1. Постоянный скалярный множитель выносится за знак производной: если c = const, то d(c
u)
dt
= c d
u dt
Мы используем это правило в разделе «Импульс», когда второй закон Ньютона m
d
v dt
=
F
будет переписан в виде:
d(m
v)
dt
=
F .
2. Постоянный векторный множитель выносится за знак производной: если c = const, то d
dt
(x(t)c ) = ˙x(t)c.
3. Производная суммы векторов равна сумме их производных:
d dt
(
u +
v) =
d
u dt
+
d
v dt
Последними двумя правилами мы будем пользоваться неоднократно. Посмотрим, как они работают в важнейшей ситуации дифференцирования вектора при наличии в пространстве прямоугольной системы координат OXY Z (рис.
1.7
).
X
Y
Z
i
j

k

u u
x u
y u
z
O
Рис. 1.7. Разложение вектора по базису
Как известно, любой вектор
u единственным образом раскладывается по базису единичных векторов i, j, k:

u = u x
i + u y
j + u z
k.
25

Здесь u x
, u y
, u z
— проекции вектора
u на координатные оси. Они же являются координатами вектора
u в данном базисе.
Вектор
u в нашем случае зависит от времени, а это значит, что его координаты u x
, u y
, u z
являются функциями времени:

u(t) = u x
(t)i + u y
(t)j + u z
(t)k.
(1.19)
Дифференцируем это равенство. Сначала пользуемся правилом дифференцирования сум- мы:
d
u dt
=
d dt

u x
(t)i

+
d dt

u y
(t)j

+
d dt

u z
(t)k

Затем выносим постоянные векторы за знак производной:
d
u dt
= ˙u x
(t)i + ˙u y
(t)j + ˙u z
(t)k.
(1.20)
Таким образом, если вектор
u имеет координаты (u x
, u y
, u z
), то координаты производной d
u/dt являются производными координат вектора
u, а именно — ( ˙u x
, ˙u y
, ˙u z
).
Ввиду особой важности формулы (
1.20
) дадим более непосредственный её вывод.
В момент времени t + ∆t согласно (
1.19
) имеем:

u(t + ∆t) = u x
(t + ∆t)i + u y
(t + ∆t)j + u z
(t + ∆t)k.
Напишем изменение вектора
u:
∆
u =
u(t + ∆t) −
u(t) =
=

u x
(t + ∆t)i + u y
(t + ∆t)j + u z
(t + ∆t)k

−

u x
(t)i + u y
(t)j + u z
(t)k

=
= (u x
(t + ∆t) − u x
(t))i + (u y
(t + ∆t) − u y
(t))j + (u z
(t + ∆t) − u z
(t)) k =
= ∆u x
·i + ∆u y
· j + ∆u z
· k.
Делим обе части полученного равенства на ∆t:
∆
u
∆t
=
∆u x
∆t
i +
∆u y
∆t
j +
∆u z
∆t
k.
В пределе при ∆t → 0 дроби ∆u x
/∆t, ∆u y
/∆t, ∆u z
/∆t переходят соответственно в произ- водные ˙
u x
, ˙
u y
, ˙
u z
, и мы снова получаем соотношение (
1.20
):
d
u dt
= ˙u x
i + ˙u y
j + ˙u z
k.
26

1.2
Механическое движение
Понятие движения является чрезвычайно общим и охватывает самый широкий круг явлений.
В физике изучают различные виды движения. Простейшим из них является механическое дви- жение.
Механическое движение — это изменение положение тела (или его частей) в пространстве относительно других тел с течением времени.
1.2.1
Относительность движения
Если тело А меняет своё положение относительно тела В, то и тело В меняет своё положение относительно тела А. Иначе говоря, если тело А движется относительно тела В, то и тело В дви- жется относительно тела А. Механическое движение является относительным — для описания движения необходимо указать, относительно какого тела оно рассматривается.
Так, например, можно говорить о движении поезда относительно земли, пассажира относи- тельно поезда, мухи относительно пассажира и т. д. Понятия абсолютного движения и абсолют- ного покоя не имеют смысла: пассажир, покоящийся относительно поезда, будет двигаться с ним относительно столба на дороге, совершать вместе с Землёй суточное вращение и двигаться по орбите вокруг Солнца.
Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчёта.
1.2.2
Основная задача механики
Основной задачей механики является определение положения движущегося тела в любой мо- мент времени. Для решения этой задачи удобно представить движение тела как изменение координат его точек с течением времени.
Чтобы измерить координаты, нужна система координат. Чтобы измерять время, нужны часы. Всё это вместе образует систему отсчёта.
Система отсчёта — это тело отсчёта вместе с жёстко связанной с ним («вморожен- ной» в него) системой координат и часами.
Система отсчёта показана на рис.
1.8
. Прямоугольная система координат OXY Z жёстко связана с телом отсчёта, относительно которого рассматривается движение точки M .
O
X
Y
Z
x y
z
M

r
Рис. 1.8. Система отсчёта
Вектор
r =
−−→
OM называется радиус-вектором точки M . Три координаты x, y, z точки M
являются в то же время координатами её радиус-вектора
r.
27

Решить основную задачу механики для точки M — это значит найти её координаты как функции времени:
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t);
(1.21)
или, что то же самое, — найти зависимость радиус-вектора точки M от времени:

r =
r(t).
(1.22)
Соотношения (
1.21
) или (
1.22
) мы будем называть законом движения. Таким образом, ре- шение основной задачи механики для точки M состоит в нахождении закона движения этой точки.
1.2.3
Материальная точка
В ряде случаев можно отвлечься от формы и размеров изучаемого объекта и рассматривать его просто как движущуюся точку.
Материальная точка — это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.
Так, поезд можно считать материальной точкой при его движении из Москвы в Саратов, но не при посадке в него пассажиров. Землю можно считать материальной точкой при описании её движения вокруг Солнца, но не её суточного вращения вокруг собственной оси.
К характеристикам механического движения материальной точки относятся траектория,
путь, перемещение, скорость и ускорение.
1.2.4
Траектория, путь, перемещение
В дальнейшем, говоря о движущемся (или покоящемся) теле, мы всегда полагаем, что тело можно принять за материальную точку. Случаи, когда идеализацией материальной точки поль- зоваться нельзя, будут специально оговариваться.
• Траектория — это линия, вдоль которой движется тело. На рис.
1.8
траекторией точки
M является синяя дуга, которую описывает в пространстве конец радиус-вектора
r.
• Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за данный промежуток вре- мени.
• Перемещение — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела.
Предположим, что тело начало движение в точке A и закончило движение в точке B
(рис.
1.9
).
A
B
C
Рис. 1.9. Путь и перемещение
Путь, пройденный телом, есть длина синей дуги — траектории ACB. Перемещение тела —
это красный вектор
−→
AB.
28

1.2.5
Скорость
В предыдущем разделе «Производная» уже говорилось о мгновенной скорости. Мы определили её как предел:
v = lim
∆t→0
∆s
∆t
,
где ∆s — путь, пройденный за малый промежуток времени ∆t. При таком определении мгно- венная скорость оказывается не чем иным, как производной пути s:
v =
ds dt
(1.23)
Данное определение, однако, не охватывает всего разнообразия ситуаций, встречающихся в механике. Дело в том, что скорость является вектором — она обладает как абсолютной величиной (модулем), так и направлением в пространстве. Между тем, формула (
1.23
) говорит нам лишь о модуле скорости, но не об её направлении. Стало быть, определение (
1.23
) нуждается в обобщении.
Рассмотрим движение тела в прямоугольной системе координат с базисом i, j, k (рис.
1.10
).
i
j

k
O
M (x, y, z)
N (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z)

r

r + ∆
r
∆
r

v
Рис. 1.10. К определению мгновенной скорости
Пусть в момент времени t тело находилось в точке M (x, y, z) с радиус-вектором
−−→
OM =
r = xi + yj + zk.
(1.24)
Спустя малый промежуток времени ∆t тело оказалось в точке N (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) с радиус-вектором
−−→
ON =
r + ∆
r.
Перемещение тела есть вектор ∆
r =
−−→
M N . Теперь мы будем говорить не о пределе отношения
∆s/∆t пути ко времени, а о пределе отношения ∆
r/∆t перемещения ко времени — и тем самым придём к нужному нам обобщению понятия мгновенной скорости на векторный случай.
Итак, мгновенная скорость
v в момент времени t — это предел отношения перемещения ∆
r к интервалу времени ∆t, когда величина этого интервала стремится к нулю; иными словами,
скорость точки — это производная её радиус-вектора:

v = lim
∆t→0
∆
r
∆t
=
d
r dt
(1.25)
Отношение ∆
r/∆t — это вектор, направленный вдоль секущей M N . Когда ∆t стремится к нулю, точка N приближается к точке M , а секущая M N превращается в касательную. Соот- ветственно, вектор мгновенной скорости
v направлен по касательной к траектории в точке M .
Это и показано на рис.
1.10 29

Продолжаем вычисления в координатах. Пользуясь равенством (
1.24
) и правилами диффе- ренцирования векторов, получим:

v =
d dt

xi + yj + zk

= ˙xi + ˙
yj + ˙zk.
(1.26)
С другой стороны, вектор
v единственным образом раскладывается по базису i, j, k:

v = v x
i + v y
j + v z
k.
(1.27)
Сопоставляя формулы (
1.26
) и (
1.27
), мы видим, что проекции вектора скорости на коорди- натные оси являются производными координат точки:
v x
= ˙x,
v y
= ˙
y,
v z
= ˙z.
1.2.6
Ускорение
Формула (
1.25
) говорит о том, что вектор скорости характеризует быстроту изменения радиус- вектора тела. Но скорость тела также может меняться — быстрее или медленнее. Ускорение —
это характеристика быстроты изменения вектора скорости.
Предположим, что в момент времени t скорость тела равна
v, а спустя малый интервал ∆t скорость стала равна
v + ∆
v.
Ускорение a — это предел отношения изменения скорости ∆
v к интервалу ∆t, когда этот интервал стремится к нулю; иначе говоря, ускорение — это производная скорости:
a = lim
∆t→0
∆
v
∆t
=
d
v dt
Ускорение, так сказать, есть «скорость изменения скорости». Имеем:
a =
d dt

v x
i + v y
j + v z
k

= ˙v x
i + ˙v y
j + ˙v z
k.
Следовательно, проекции ускорения являются производными проекций скорости:
a x
= ˙v x
,
a y
= ˙v y
,
a z
= ˙v z
Скорость, в свою очередь, есть производная радиус-вектора. Поэтому ускорение, будучи производной скорости, оказывается второй производной радиус-вектора (то есть результатом двукратного дифференцирования вектора
r):
a =
d dt
 dr dt

=
d
2

r dt
2
Соответственно, проекции ускорения являются вторыми производными координат точки:
a x
= ¨
x,
a y
= ¨
y,
a z
= ¨
z.
1.2.7
Примеры вычисления скорости и ускорения
Итак, знание закона движения (зависимости координат тела от времени) позволяет находить скорость и ускорение тела — нужно лишь вычислить первые и вторые производные координат.
Рассмотрим несколько примеров таких вычислений.
30

Пример. Вернёмся к примеру (
1.13
):
x = 1 + 12t − 3t
2
(координата измеряется в метрах, время — в секундах). Последовательно дифференцируя два раза, получаем:
v x
= ˙x = 12 − 6t,
a x
= ˙v x
= −6.
Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с
2
. Направлено ускорение в сторону,
противоположную оси X.
Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль и на- правление ускорения неизменны. Равноускоренное движение — один из важнейших и часто встречающихся видов движения в механике.
Из данного примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скоро- сти является линейной функцией времени, а координата — квадратичной функцией. Мы по- говорим об этом более подробно в соответствующем разделе, посвящённом равноускоренному движению.
Пример. Рассмотрим более экзотический случай:
x = 2 + 3t − 4t
2
+ 5t
3
Дифференцируем:
v x
= ˙x = 3 − 8t + 15t
2
,
a x
= ˙v x
= −8 + 30t.
Данное движение не является равноускоренным: ускорение зависит от времени.
Пример. Пусть тело движется вдоль оси X по следующему закону:
x = 5 sin 2t.
Мы видим, что координата тела периодически изменяется, находясь в пределах от −5 до 5.
Данное движение является примером гармонических колебаний, когда координата меняется со временем по закону синуса.
Дифференцируем дважды:
v x
= ˙x = 5 cos 2t · 2 = 10 cos 2t,
a x
= ˙v x
= −20 sin 2t.
Проекция скорости меняется по закону косинуса, а проекция ускорения — снова по закону синуса. Величина a x
пропорциональна координате x и противоположна ей по знаку (а именно,
a x
= −4x); вообще, соотношение вида a x
= −ω
2
x характерно для гармонических колебаний.
1.2.8
Закон сложения скоростей
Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным телом отсчёта O.
Эту систему отсчёта обозначим K и будем называть неподвижной.
Вторая система отсчёта, обозначаемая K
0
, связана с телом отсчёта O
0
, которое движется от- носительно тела O со скоростью
u. Эту систему отсчёта называем движущейся. Дополнительно
31

предполагаем, что координатные оси системы K
0
перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что вектор
u можно считать скоростью движущейся систе- мы относительно неподвижной.
Неподвижная система отсчёта K обычно связана с землёй. Если поезд плавно едет по рель- сам со скоростью
u, то система отсчёта, связанная с вагоном поезда, будет движущейся системой отсчёта K
0
Заметим, что скорость любой точки вагона
3
равна
u. Если муха неподвижно сидит в неко- торой точке вагона, то относительно земли муха движется со скоростью
u. Муха переносится вагоном, и потому скорость
u движущейся системы относительно неподвижной называется пе- реносной скоростью.
Предположим теперь, что муха поползла по вагону. Тогда появляются ещё две скорости,
которые нужно рассмотреть.
Скорость мухи относительно вагона (то есть в движущейся системе K
0
) обозначается
v
0
и называется относительной скоростью.
Скорость мухи относительно земли (то есть в неподвижной системе K) обозначается
v и называется абсолютной скоростью.
Выясним, как связаны друг с другом эти три скорости — абсолютная, относительная и переносная.
На рис.
1.11
муха обозначена точкой M . Далее:

r — радиус-вектор точки M в неподвижной системе K;

r
0
— радиус-вектор точки M в движущейся системе K
0
;

R — радиус-вектор тела отсчёта O
0
в неподвижной системе K.
K
K
0

R

u

r

r
0
M
O
O
0
Рис. 1.11. К выводу закона сложения скоростей
Как видно из рисунка,

r =
R +
r
0
Дифференцируя это равенство, получим:
d
r dt
=
d
R
dt
+
d
r
0
dt
(1.28)
Производная d
r/dt есть скорость точки M в системе K, то есть абсолютная скорость:
d
r dt
=
v.
Аналогично, производная d
r
0
/dt есть скорость точки M в системе K
0
, то есть относительная скорость:
d
r
0
dt
=
v
0 3
Кроме вращающихся колёс, но их мы не берём во внимание.
32

А что такое d
R/dt? Это скорость точки O
0
в неподвижной системе, то есть — переносная скорость
u движущейся системы относительно неподвижной:
d
R
dt
=
u.
В результате из (
1.28
) получаем:

v =
u +
v
0
Закон сложения скоростей. Скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся системы и скорости точки относительно движу- щейся системы. Иными словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.
Таким образом, если муха ползёт по движущемуся вагону, то скорость мухи относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и скорости мухи относительно вагона. Интуи- тивно очевидный результат!
1.2.9
Виды механического движения
Простейшими видами механического движения материальной точки являются равномерное и прямолинейное движения.
Движение называется равномерным, если модуль вектора скорости остаётся постоянным
(направление скорости при этом может меняться).
Движение называется прямолинейным, если оно происходит вдоль некоторой прямой (ве- личина скорости при этом может меняться). Иными словами, траекторией прямолинейного движения служит прямая линия.
Например, автомобиль, который едет с постоянной скоростью по извилистой дороге, совер- шает равномерное (но не прямолинейное) движение. Автомобиль, разгоняющийся на прямом участке шоссе, совершает прямолинейное (но не равномерное) движение.
А вот если при движении тела остаются постоянными как модуль скорости, так и её направ- ление, то движение называется равномерным прямолинейным. Итак:
• равномерное движение ⇔ |v| = const;
• равномерное прямолинейное движение ⇔ v = const.
Важнейшим частным случаем неравномерного движения является равноускоренное движе- ние, при котором остаются постоянными модуль и направление вектора ускорения:
• равноускоренное движение ⇔ a = const.
Наряду с материальной точкой в механике рассматривается ещё одна идеализация — твёрдое тело.
Твёрдое тело — это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Модель твёрдого тела применяется в тех случаях, когда мы не можем пренебречь размерами тела, но можем не принимать во внимание изменение размеров и формы тела в процессе движения.
Простейшими видами механического движения твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.
33

Движение тела называется поступательным, если всякая прямая, соединяющая две какие- либо точки тела, перемещается параллельно своему первоначальному направлению. При по- ступательном движении траектории всех точек тела идентичны: они получаются друг из друга параллельным сдвигом.
Так, на рис.
1.12
показано поступательное движение серого квадрата. Произвольно взятый зелёный отрезок этого квадрата перемещается параллельно самому себе. Траектории концов отрезка изображены синими пунктирными линиями.
Рис. 1.12. Поступательное движение
Движение тела называется вращательным, если:
1. все точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях;
2. центры данных окружностей лежат на одной прямой, которая перпендикулярна всем этим плоскостям (эта прямая называется осью вращения).
На рис.
1.13
изображён шар, вращающийся вокруг вертикальной оси. Так обычно рисуют земной шар в соответствующих задачах динамики.
Рис. 1.13. Вращательное движение
34

1.3
Равномерное прямолинейное движение
Равномерное прямолинейное движение материальной точки — это движение с постоянной ско- ростью
v. Обратите внимание, что речь идёт о постоянстве вектора скорости; это значит, что скорость неизменна как по модулю, так и по направлению.
Траекторией тела при равномерном прямолинейном движении служит прямая (или часть прямой — например, отрезок или луч). Вдоль данной прямой тело движется равномерно, то есть с постоянной по модулю скоростью.
1.3.1
Закон движения
Предположим, что тело, двигаясь равномерно и прямолинейно со скоростью
v, переместилось за время t из точки M
0
в точку M (рис.
1.14
). Вектор перемещения есть
s =
−−−→
M
0
M .

s

r
0

r

v
O
M
0
M
Рис. 1.14. Равномерное прямолинейное движение
Путь, пройденный телом, равен длине s вектора перемещения. Очевидно, что выполнено соотношение:
s = vt,
(1.29)
где v — модуль вектора скорости.
Формула (
1.29
) справедлива для произвольного равномерного движения (не обязательно прямолинейного). Но в случае прямолинейного равномерного движения эта формула стано- вится соотношением между векторами. В самом деле, поскольку векторы
s и
v сонаправлены,
формула (
1.29
) позволяет записать:

s =
vt.
(1.30)
Как обычно, движение тела рассматривается в некоторой системе отсчёта, связанной с телом отсчёта O (рис.
1.14
; координатные оси не изображаем). Пусть
r
0
— радиус-вектор начальной точки M
0
и
r — радиус-вектор конечной точки M . Тогда, очевидно,

s =
r −
r
0
Подставим эту разность в формулу (
1.30
):

r −
r
0
=
vt.
Отсюда получаем закон движения (то есть зависимость радиус-вектора тела от времени):

r =
r
0
+
vt.
(1.31)
Напомним, что нахождение закона движения решает основную задачу механики, которая заключается в определении зависимости координат тела от времени. Переход от векторного соотношения (
1.31
) к координатам осуществляется элементарно.
35

Координаты точки M
0
обозначим (x
0
, y
0
, z
0
). Они же являются координатами вектора
r
0
. Ко- ординаты точки M (и вектора
r) обозначим (x, y, z). Тогда векторная формула (
1.31
) приводит к трём координатным соотношениям:
x = x
0
+ v x
t,
(1.32)
y = y
0
+ v y
t,
(1.33)
z = z
0
+ v z
t.
(1.34)
Формулы (
1.32
)—(
1.34
), представляя координаты тела как функции времени, служат реше- нием основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения.
1.3.2
Интегрирование
Ключевая формула (
1.31
), описывающая равномерное прямолинейное движение, может быть получена из несколько иных соображений. Вспомним, что производная радиус-вектора есть скорость точки:
d
r dt
=
v.
(1.35)
В случае равномерного прямолинейного движения имеем
v = const. Что нужно продиф- ференцировать, чтобы получить постоянный вектор
v ? Очевидно, функцию
vt. Но не только:
к величине
vt можно прибавить любой постоянный вектор c (это не изменит производную,
поскольку производная константы равна нулю). Таким образом:

r = c +
vt.
(1.36)
Каков смысл константы c ? Если t = 0, то радиус-вектор
r равен своему начальному значе- нию
r
0
. Поэтому, полагая t = 0 в формуле (
1.36
), получим:

r
0
= c.
Итак, вектор c есть начальное значение радиус-вектора, и теперь из (
1.36
) мы снова прихо- дим к формуле (
1.31
):

r =
r
0
+
vt.
Мы, таким образом, проинтегрировали равенство (
1.35
) при условии, что
v = const. Инте- грирование — это операция, обратная дифференцированию. Проинтегрировать — значит найти неизвестную функцию, если дана её производная.
Интегрировать в физике приходится очень часто. Например, закон движения определяется с помощью интегрирования. Вы только что убедились в этом; впоследствии у нас возникнут и другие примеры.
36

1.4
Равноускоренное движение
Равноускоренное движение — это движение с постоянным вектором ускорения a. Таким обра- зом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная вели- чина ускорения.
1.4.1
Зависимость скорости от времени
При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от време- ни не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.
Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что про- изводная вектора скорости есть вектор ускорения:
d
v dt
= a.
(1.37)
В нашем случае имеем a = const. Что надо продифференцировать, чтобы получить постоян- ный вектор a ? Разумеется, функцию at. Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор c (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,

v = c + at.
(1.38)
Каков смысл константы c ? В начальный момент времени t = 0 скорость равна своему начальному значению:
v =
v
0
. Поэтому, полагая t = 0 в формуле (
1.38
), получим:

v
0
= c.
Итак, константа c — это начальная скорость тела. Теперь соотношение (
1.38
) принимает свой окончательный вид:

v =
v
0
+ at.
(1.39)
В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на коор- динатные оси. Так, в прямоугольной декартовой системе координат OXY Z векторное соотно- шение (
1.39
) даёт три скалярных равенства:
v x
= v
0x
+ a x
t,
v y
= v
0y
+ a y
t,
v z
= v
0z
+ a z
t.
1.4.2
Закон движения
Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспо- минаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:
d
r dt
=
v.
Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (
1.39
):
d
r dt
=
v
0
+ at.
(1.40)
37

Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (
1.40
). Это несложно. Чтобы получить

v
0
, надо продифференцировать функцию
v
0
t. Чтобы получить at, нужно продифференцировать выражение at
2
/2. Не забудем добавить и произвольную константу c:

r = c +
v
0
t +
at
2 2
Ясно, что c — это начальное значение
r
0
радиус-вектора
r в момент времени t = 0. В
результате получаем искомый закон равноускоренного движения:

r =
r
0
+
v
0
t +
at
2 2
(1.41)
Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (
1.41
)
получаем три скалярных равенства:
x = x
0
+ v
0x t +
a x
t
2 2
,
(1.42)
y = y
0
+ v
0y t +
a y
t
2 2
,
(1.43)
z = z
0
+ v
0z t +
a z
t
2 2
(1.44)
Формулы (
1.42
)—(
1.44
) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.
Снова вернёмся к закону движения (
1.41
). Заметим, что
r −
r
0
=
s — перемещение тела.
Тогда получаем зависимость перемещения от времени:

s =
v
0
t +
at
2 2
1.4.3
Прямолинейное равноускоренное движение
Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось OX. Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:
v x
= v
0x
+ a x
t,
x = x
0
+ v
0x t +
a x
t
2 2
,
s x
= v
0x t +
a x
t
2 2
,
где s x
= x − x
0
— проекция перемещения на ось OX.
Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:
t =
v x
− v
0x a
x и подставим в формулу для перемещения:
s x
= v
0x v
x
− v
0x a
x
+
a x
2
 v x
− v
0x a
x

2
Преобразуем:
s x
=
v
0x v
x
− v
2 0x a
x
+
v
2
x
− 2v x
v
0x
+ v
2 0x
2a x
,
38

и окончательно получаем:
s x
=
v
2
x
− v
2 0x
2a x
Эта формула не содержит времени t и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах,
где время не фигурирует.
1.4.4
Свободное падение
Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так назы- вается движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.
Свободное падение тела, назависимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения
g, направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают g = 10 м/с
2
Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.
Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи h = 2 км.
Решение. Направим ось OY вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой s
y
=
v
2
y
− v
2 0y
2a y
Имеем: s y
= h, v y
= v — искомая скорость приземления, v
0y
= 0, a y
= g. Получаем: h =
v
2 2g
,
откуда v =
√
2gh. Вычисляем: v =
√
2 · 10 · 2000 = 200 м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.
На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду.
Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!
Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v
0
= 30 м/с. Найти его скорость через t = 5 c.
Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли.
Используем формулу v
y
= v
0y
+ a y
t.
Здесь v
0y
= v
0
, a y
= −g, так что v y
= v
0
− gt. Вычисляем: v y
= 30 − 10 · 5 = −20 м/с. Значит,
скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.
Задача. С балкона, находящегося на высоте h = 15 м, бросили вертикально вверх камень со скоростью v
0