Моя прелесть. Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
 Скачать 4.04 Mb.
|
С одной стороны, разумеется, q = It. (3.43) С другой стороны, сечение AB пересекут все те свободные заряды, которые спустя время t окажутся внутри цилиндра ABCD с высотой vt. Их число равно: N = nV ABCD = nSvt. Следовательно, их общий заряд будет равен: q = eN = enSvt. (3.44) Приравнивая правые части формул ( 3.43 ) и ( 3.44 ) и сокращая на t, получим: I = envS. (3.45) Соответственно, плотность тока оказывается равна: j = env. Давайте в качестве примера посчитаем, какова скорость движения свободных электронов в медном проводе при силе тока 1 A. Заряд электрона известен: e = 1,6 · 10 −19 Кл. Чему равна концентрация свободных электронов? Она совпадает с концентрацией атомов меди, поскольку от каждого атома отщепляется по одному валентному электрону. Ну а кон- центрацию атомов мы находить умеем: n = N V = νN A V = mN A µV = ρN A µ = 8900 · 6,02 · 10 23 0,0635 ≈ 8,5 · 10 28 м −3 Положим S = 1 мм 2 . Из формулы ( 3.45 ) получим: v = I enS = 1 1,6 · 10 −19 · 8,5 · 10 28 · 10 −6 ≈ 7,4 · 10 −5 м с Это порядка одной десятой миллиметра в секунду. 197 3.8.5 Стационарное электрическое поле Мы всё время говорим о направленном движении зарядов, но ещё не касались вопроса о том, почему свободные заряды совершают такое движение. Почему, собственно, возникает электри- ческий ток? Для упорядоченного перемещения зарядов внутри проводника необходима сила, действую- щая на заряды в определённом направлении. Откуда берётся эта сила? Со стороны электриче- ского поля! Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, внутри проводника должно существовать стационарное 13 электрическое поле. Иными словами, между концами проводника нужно под- держивать постоянную разность потенциалов. Стационарное электрическое поле должно создаваться зарядами проводников, входящих в электрическую цепь. Однако заряженные проводники сами по себе не смогут обеспечить протекание постоянного тока. Рассмотрим, к примеру, два проводящих шара, заряженных разноимённо. Соединим их про- водом. Между концами провода возникнет разность потенциалов, а внутри провода — электри- ческое поле. По проводу потечёт ток. Но по мере прохождения тока разность потенциалов между шарами будет уменьшаться, вслед за ней станет убывать и напряжённость поля в про- воде. В конце концов потенциалы шаров станут равны друг другу, поле в проводе обратится в нуль, и ток исчезнет. Мы оказались в электростатике: шары плюс провод образуют единый про- водник, в каждой точке которого потенциал принимает одно и то же значение; напряжённость поля внутри проводника равна нулю, никакого тока нет. То, что электростатическое поле само по себе не годится на роль стационарного поля, созда- ющего ток, ясно и из более общих соображений. Ведь электростатическое поле потенциально, его работа при перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю. Следовательно, оно не может вызывать циркулирование зарядов по замкнутой электрической цепи — для этого тре- буется совершать ненулевую работу. Кто же будет совершать эту ненулевую работу? Кто будет поддерживать в цепи разность потенциалов и обеспечивать стационарное электрическое поле, создающее ток в проводниках? Ответ — источник тока, важнейший элемент электрической цепи. Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, концы проводника должны быть присо- единены к клеммам источника тока (батарейки, аккумулятора и т. д.). Клеммы источника — это заряженные проводники. Если цепь замкнута, то заряды с клемм перемещаются по цепи — как в рассмотренном выше примере с шарами. Но теперь разность потенциалов между клеммами не уменьшается: источник тока непрерывно восполняет заряды на клеммах, поддерживая разность потенциалов между концами цепи на неизменном уровне. В этом и состоит предназначение источника постоянного тока. Внутри него протекают про- цессы неэлектрического (чаще всего — химического) происхождения, которые обеспечивают непрерывное разделение зарядов. Эти заряды поставляются на клеммы источника в необходи- мом количестве. Количественную характеристику неэлектрических процессов разделения зарядов внутри ис- точника — так называемую ЭДС — мы изучим позже, в соответствующем листке. А сейчас вернёмся к стационарному электрическому полю. Каким же образом оно возникает в проводниках цепи при наличии источника тока? Заряженные клеммы источника создают на концах проводника электрическое поле. Свобод- ные заряды проводника, находящиеся вблизи клемм, приходят в движение и действуют своим электрическим полем на соседние заряды. Со скоростью, близкой к скорости света, это взаи- модействие передаётся вдоль всей цепи, и в цепи устанавливается постоянный электрический 13 То есть — постоянное, не зависящее от времени. 198 ток. Стабилизируется и электрическое поле, создаваемое движущимися зарядами. Стационарное электрическое поле — это поле свободных зарядов проводника, совершающих направленное движение. Стационарное электрическое поле не меняется со временем потому, что при постоянном то- ке не меняется картина распределения зарядов в проводнике: на место заряда, покинувшего данный участок проводника, в следующий момент времени поступает точно такой же заряд. По этой причине стационарное поле во многом (но не во всём) аналогично полю электростати- ческому. А именно, справедливы следующие два утверждения, которые понадобятся нам в дальней- шем (их доказательство даётся в вузовском курсе физики). 1. Как и электростатическое поле, стационарное электрическое поле потенциально. Это поз- воляет говорить о разности потенциалов (т. е. напряжении) на любом участке цепи 14 Потенциальность, напомним, означает, что работа стационарного поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории. Именно поэтому при параллельном соединении проводников напряжение на каждом из них одинаково: оно равно разности потенциалов стационарного поля между теми двумя точками, к которым подключены проводники. 2. В отличие от электростатического поля, стационарное поле движущихся зарядов прони- кает внутрь проводника. Это объясняется тем, что свободные заряды, участвуя в направ- ленном движении, не успевают должным образом перестраиваться и принимать «элек- тростатические» конфигурации. Линии напряжённости стационарного поля внутри проводника параллельны его поверх- ности, как бы ни изгибался проводник. Поэтому, как и в однородном электростатическом поле, справедлива формула U = El, где U — напряжение на концах проводника, E — напряжённость стационарного поля в проводнике, l — длина проводника. 14 Именно эту разность потенциалов мы измеряем вольтметром. 199 3.9 Закон Ома Рассмотрим некоторый элемент электрической цепи постоянного тока. Это может быть что угодно — например, металлический проводник, раствор электролита, лампочка накаливания или газоразрядная трубка. Будем менять напряжение U , поданное на наш элемент, и измерять силу тока I, протекаю- щего через него. Получим функциональную зависимость I = I(U ). Эта зависимость называется вольт-амперной характеристикой элемента и является важнейшим показателем его электри- ческих свойств. Вольт-амперные характеристики различных элементов цепи могут выглядеть по-разному. Очень простой вид имеет вольт-амперная характеристика металлического проводника. Эту за- висимость экспериментально установил Георг Ом. 3.9.1 Закон Ома для участка цепи Оказалось, что сила тока в металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению на его концах: I ∼ U . Коэффициент пропорциональности принято записывать в виде 1/R: I = U R (3.46) Величина R называется сопротивлением проводника. Измеряется сопротивление в омах (Ом). Как видим, Ом=В/А. Дадим словесную формулировку закона Ома. Закон Ома для участка цепи. Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напря- жению на этом участке и обратно пропорциональна сопротивлению участка. Закон Ома оказался справедливым не только для металлов, но и для растворов электроли- тов. Сформулированный закон имеет место для так называемого однородного участка цепи — участка, не содержащего источников тока. Закон Ома для неоднородного участка (на котором имеется источник тока) мы обсудим позже. Вольт-амперная характеристика ( 3.46 ) является линейной функцией. Её графиком служит прямая линия (рис. 3.35 ). U I Рис. 3.35. Вольт-амперная характеристика металлического проводника По этой причине металлические проводники (и электролиты) называются линейными эле- ментами. А вот газоразрядная трубка, например, является нелинейным элементом — её вольт- амперная характеристика уже не будет линейной функцией. Но об этом мы поговорим позднее. 200 3.9.2 Электрическое сопротивление А сейчас давайте подумаем вот о чём. Пусть к концам проводника приложено постоянное на- пряжение U . Тогда на свободные заряды проводника действует сила со стороны стационарного электрического поля. Раз есть сила — значит, эти заряды должны двигаться с ускорением; ско- рость их направленного движения будет увеличиваться, а вместе с ней будет возрастать и сила тока. Но закон Ома гласит, что сила тока будет постоянной. Как же так? Дело в том, что сила со стороны стационарного поля — не единственная сила, действующая на свободные заряды проводника. Например, свободные электроны металла, совершая направленное движение, сталкиваются с ионами кристаллической решётки. Возникает своего рода сила сопротивления, действующая со стороны проводника на свободные заряды. Эта сила уравновешивает электрическую силу, с которой на свободные заряды действует стационарное поле. В результате скорость направлен- ного движения заряженных частиц не меняется по модулю 15 ; вместе с ней остаётся постоянной и сила тока. Так что величина R названа сопротивлением не случайно. Она и в самом деле показывает, в какой степени проводник «сопротивляется» прохождению тока. 3.9.3 Удельное сопротивление Возьмём два проводника из одинакового материала с равными поперечными сечениями; пусть отличаются только их длины. Ясно, что сопротивление будет больше у того проводника, у которого больше длина. В самом деле, при большей длине проводника свободным зарядам труднее пройти сквозь него: каждый свободный электрон встретит на своём пути больше ионов кристаллической решётки. Аналогия такая: чем длиннее заполненная машинами улица, тем труднее будет через неё проехать. Пусть теперь проводники отличаются только площадью поперечного сечения. Ясно, что чем больше площадь, тем меньше сопротивление проводника. Снова аналогия: чем шире шоссе, тем больше его пропускная способность, т. е. тем меньше его «сопротивление» движению машин. Опыт подтверждает эти соображения и показывает, что сопротивление проводника прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади поперечного сечения S: R = ρ l S (3.47) Коэффициент пропорциональности ρ уже не зависит от геометрии проводника; он является характеристикой вещества проводника и называется удельным сопротивлением данного веще- ства. Величины удельных сопротивлений различных веществ можно найти в соответствующей таблице. В каких единицах измеряется удельное сопротивление? Давайте выразим его из форму- лы ( 3.47 ): ρ = RS l Получим: [ρ] = Ом · м 2 м = Ом · м. Однако такая «теоретическая» единица измерения не всегда удобна. Она вынуждает при расчётах переводить площадь поперечного сечения в квадратные метры, тогда как на практике 15 Точнее говоря, свободные электроны всё же двигаются равноускоренно, но только в промежутках между соударениями с ионами кристаллической решётки. В среднем же оказывается, что электроны перемещаются с постоянной скоростью. 201 чаще всего речь идёт о квадратных миллиметрах (для проводов, например). На такой случай предусмотрена «практическая» единица: Ом · мм 2 м В таблице задачника Рымкевича удельное сопротивление даётся как в «теоретических» едини- цах, так и в «практических». 202 3.10 Соединения проводников Есть два основных способа соединения проводников друг с другом — это последовательное и параллельное соединения. Различные комбинации последовательного и параллельного соедине- ний приводят к смешанному соединению проводников. Мы будем изучать свойства этих соединений, но сначала нам понадобится некоторая вводная информация. 3.10.1 Резисторы и подводящие провода Проводник, обладающий сопротивлением R, мы называем резистором и изображаем следую- щим образом (рис. 3.36 ): R Рис. 3.36. Резистор Напряжение на резисторе — это разность потенциалов стационарного электрического по- ля между концами резистора. Между какими именно концами? В общем-то, это неважно, но обычно удобно согласовывать разность потенциалов с направлением тока. Ток в цепи течёт от «плюса» источника к «минусу». В этом направлении потенциал стаци- онарного поля убывает. Напомним ещё раз, почему это так. Пусть положительный заряд q перемещается по цепи из точки a в точку b, проходя через резистор R (рис. 3.37 ): R a b I Рис. 3.37. U = ϕ a − ϕ b Стационарное поле совершает при этом положительную работу A = q(ϕ a − ϕ b ). Так как q > 0 и A > 0, то и ϕ a − ϕ b > 0, т. е. ϕ a > ϕ b Поэтому напряжение на резисторе мы вычисляем как разность потенциалов в направлении тока: U = ϕ a − ϕ b Сопротивление подводящих проводов обычно пренебрежимо мало; на электрических схемах оно считается равным нулю. Из закона Ома следует тогда, что потенциал не меняется вдоль провода: ведь если ϕ a − ϕ b = IR и R = 0, то ϕ a = ϕ b (рис. 3.38 ): a b I Рис. 3.38. ϕ a = ϕ b Таким образом, при рассмотрении электрических цепей мы пользуемся идеализацией, ко- торая сильно упрощает их изучение. А именно, мы считаем, что потенциал стационарного поля изменяется лишь при переходе через отдельные элементы цепи, а вдоль каждого соеди- нительного провода остаётся неизменным. В реальных цепях потенциал монотонно убывает при движении от положительной клеммы источника к отрицательной. 203 3.10.2 Последовательное соединение При последовательном соединении проводников конец каждого проводника соединяется с на- чалом следующего за ним проводника. Рассмотрим два резистора R 1 и R 2 , соединённых последовательно и подключённых к источ- нику постоянного напряжения U (рис. 3.39 ). Напомним, что положительная клемма источника обозначается более длинной чертой, так что ток в данной схеме течёт по часовой стрелке. a b c R 1 R 2 I U Рис. 3.39. Последовательное соединение Сформулируем основные свойства последовательного соединения и проиллюстрируем их на этом простом примере. 1. При последовательном соединении проводников сила тока в них одинакова. В самом деле, через любое поперечное сечение любого проводника за одну секунду будет проходить один и тот же заряд. Ведь заряды нигде не накапливаются, из цепи наружу не уходят и не поступают в цепь извне. 2. Напряжение на участке, состоящем из последовательно соединённых проводников, равно сумме напряжений на каждом проводнике. Действительно, напряжение U ab на участке ab — это работа поля по переносу единичного заряда из точки a в точку b; напряжение U bc на участке bc — это работа поля по переносу единичного заряда из точки b в точку c. Складываясь, эти две работы дадут работу поля по переносу единичного заряда из точки a в точку c, то есть напряжение U на всём участке: U = U ab + U bc Можно и более формально, без всяких словесных объяснений: U = U ac = ϕ a − ϕ c = (ϕ a − ϕ b ) + (ϕ b − ϕ c ) = U ab + U bc 3. Сопротивление участка, состоящего из последовательно соединённых проводников, рав- но сумме сопротивлений каждого проводника. Пусть R — сопротивление участка ac. По закону Ома имеем: R = U I = U ab + U bc I = U ab I + U bc I = R 1 + R 2 , что и требовалось. Можно дать интуитивно понятное объяснение правила сложения сопротивлений на одном частном примере. Пусть последовательно соединены два проводника из одинакового ве- щества и с одинаковой площадью поперечного сечения S, но с разными длинами l 1 и l 2 Сопротивления проводников равны: R 1 = ρ l 1 S , R 2 = ρ l 2 S 204 Эти два проводника образуют единый проводник длиной l 1 + l 2 и сопротивлением R = ρ l 1 + l 2 S = ρ l 1 S + ρ l 2 S = R 1 + R 2 Но это, повторяем, лишь частный пример. Сопротивления будут складываться и в самом общем случае — если различны также вещества проводников и их поперечные сечения. Доказательство этого даётся с помощью закона Ома, как показано выше. Наши доказательства свойств последовательного соединения, приведённые для двух провод- ников, переносятся без существенных изменений на случай произвольного числа проводников. 3.10.3 Параллельное соединение При параллельном соединении проводников их начала подсоединяются к одной точке цепи, а концы — к другой точке. Снова рассматриваем два резистора, на сей раз соединённые параллельно (рис. 3.40 ). R 1 R 2 a b I I 1 I 2 U Рис. 3.40. Параллельное соединение Резисторы подсоединены к двум точкам: a и b. Эти точки называются узлами или точками разветвления цепи. Параллельные участки называются также ветвями; участок от b к a (по направлению тока) называется неразветвлённой частью цепи. Теперь сформулируем свойства параллельного соединения и докажем их для изображённого выше случая двух резисторов. 1. Напряжение на каждой ветви одинаково и равно напряжению на неразветвлённой ча- сти цепи. В самом деле, оба напряжения U 1 и U 2 на резисторах R 1 и R 2 равны разности потенциалов между точками подключения: U 1 = U 2 = ϕ a − ϕ b = U. Этот факт служит наиболее отчётливым проявлением потенциальности стационарного электрического поля движущихся зарядов. 2. Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме сил токов в каждой ветви. Пусть, например, в точку a за время t из неразветвлённого участка поступает заряд q. За это же время t из точки a к резистору R 1 уходит заряд q 1 , а к резистору R 2 — заряд q 2 205 Ясно, что q = q 1 + q 2 . В противном случае в точке a накапливался бы заряд, меняя по- тенциал данной точки, что невозможно (ведь ток постоянный, поле движущихся зарядов стационарно, и потенциал каждой точки цепи не меняется со временем). Тогда имеем: I = q t = q 1 + q 2 t = q 1 t + q 2 t = I 1 + I 2 , что и требовалось. 3. Величина, обратная сопротивлению участка параллельного соединения, равна сумме ве- личин, обратных сопротивлениям ветвей. Пусть R — сопротивление разветвлённого участка ab. Напряжение на участке ab равно U ; ток, текущий через этот участок, равен I. Поэтому: U R = I = I 1 + I 2 = U R 1 + U R 2 Сокращая на U , получим: 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 , (3.48) что и требовалось. Как и в случае последовательного соединения, можно дать объяснение данного правила на частном примере, не обращаясь к закону Ома. Пусть параллельно соединены проводники из одного вещества с одинаковыми длинами l, но разными поперечными сечениями S 1 и S 2 . Тогда это соединение можно рассматривать как проводник той же длины l, но с площадью сечения S = S 1 + S 2 . Имеем: 1 R = S ρl = S 1 + S 2 ρl = S 1 ρl + S 2 ρl = 1 R 1 + 1 R 2 Приведённые доказательства свойств параллельного соединения без существенных измене- ний переносятся на случай любого числа проводников. Из соотношения ( 3.48 ) можно найти R: R = R 1 R 2 R 1 + R 2 (3.49) К сожалению, в общем случае n параллельно соединённых проводников компактного ана- лога формулы ( 3.49 ) не получается, и приходится довольствоваться соотношением 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + . . . + 1 R n (3.50) Тем не менее, один полезный вывод из формулы ( 3.50 ) сделать можно. Именно, пусть со- противления всех n резисторов одинаковы и равны R 1 . Тогда: 1 R = 1 R 1 + 1 R 1 + . . . + 1 R 1 | {z } n слагаемых = n R 1 , откуда R = R 1 n Мы видим, что сопротивление участка из n параллельно соединённых одинаковых проводников в n раз меньше сопротивления одного проводника. 206 3.10.4 Смешанное соединение Смешанное сединение проводников, как следует из названия, может являться совокупностью любых комбинаций последовательного и параллельного соединений, причём в состав этих со- единений могут входить как отдельные резисторы, так и более сложные составные участки. Расчёт смешанного соединения опирается на уже известные свойства последовательного и параллельного соединений. Ничего нового тут уже нет: нужно только аккуратно расчленить данную схему на более простые участки, соединённые последовательно или параллельно. Рассмотрим пример смешанного соединения проводников (рис. 3.41 ). a b c R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 U Рис. 3.41. Смешанное соединение Пусть U = 14 В, R 1 = 2 Ом, R 2 = 3 Ом, R 3 = 3 Ом, R 4 = 5 Ом, R 5 = 2 Ом. Найдём силу тока в цепи и в каждом из резисторов. Наша цепь состоит из двух последовательно соединённых участков ab и bc. Сопротивление участка ab: R ab = R 1 R 2 R 1 + R 2 = 2 · 3 2 + 3 = 1,2 Ом. Участок bc является параллельным соединением: два последовательно включённых рези- стора R 3 и R 4 подключены параллельно к резистору R 5 . Тогда: R bc = (R 3 + R 4 )R 5 (R 3 + R 4 ) + R 5 = (3 + 5) · 2 (3 + 5) + 2 = 1,6 Ом. Сопротивление цепи: R = R ab + R bc = 1,2 + 1,6 = 2,8 Ом. Теперь находим силу тока в цепи: I = U R = 14 2,8 = 5 A. Для нахождения тока в каждом резисторе вычислим напряжения на обоих участках: U ab = IR ab = 5 · 1,2 = 6 B; U bc = IR bc = 5 · 1,6 = 8 B. (Заметим попутно, что сумма этих напряжений равна 14 В, т. е. напряжению в цепи, как и должно быть при последовательном соединении.) Оба резистора R 1 и R 2 находятся под напряжением U ab , поэтому: I 1 = U ab R 1 = 6 2 = 3 A; I 2 = U ab R 2 = 6 3 = 2 A. 207 (В сумме имеем 5 А, как и должно быть при параллельном соединении.) Сила тока в резисторах R 3 и R 4 одинакова, так как они соединены последовательно: I 3 = I 4 = U bc R 3 + R 4 = 8 3 + 5 = 1 A. Стало быть, через резистор R 5 течёт ток I 5 = I − I 3 = 5 − 1 = 4 A. 208 3.11 Работа и мощность тока Электрический ток снабжает нас энергией. Сейчас мы будем учиться эту энергию вычислять. Откуда вообще берётся эта энергия? Она возникает за счёт работы электрического поля по передвижению свободных зарядов в проводнике. Поэтому нахождение работы поля — наша первая задача. 3.11.1 Работа тока Рассмотрим участок цепи, по которому течёт ток I. Напряжение на участке обозначим U , сопротивление участка равно R (рис. 3.42 ). R I U Рис. 3.42. Участок цепи За время t по нашему участку проходит заряд q = It. Заряд перемещается стационарным электрическим полем, которое совершает при этом работу: A = U q = U It. (3.51) За счёт работы ( 3.51 ) на рассматриваемом участке может выделяться тепловая энергия или совершаться механическая работа; могут также протекать химические реакции. Короче говоря, данная работа идёт на увеличение энергии нашего участка цепи. Работа ( 3.51 ) называется работой тока. Термин крайне неудачный — ведь работу совершает не ток, а электрическое поле. Но с укоренившейся терминологией, увы, ничего не поделаешь. Если участок цепи является однородным, т. е. не содержит источника тока, то для этого участка справедлив закон Ома: U = IR. Подставляя это в формулу ( 3.51 ), получим: A = I 2 Rt. (3.52) Теперь подставим в ( 3.51 ) вместо тока его выражение из закона Ома I = U/R: A = U 2 R t. (3.53) Подчеркнём ещё раз: формула ( 3.51 ) получена из самых общих соображений, она являет- ся основной и годится для любого участка цепи. А вот формулы ( 3.52 ) и ( 3.53 ) получены из основной формулы с дополнительным привлечением закона Ома и потому годятся только для однородного участка. 3.11.2 Мощность тока Как вы помните, мощностью называется отношение работы ко времени её совершения. В част- ности, мощность тока — это отношение работы тока ко времени, за которое эта работа совер- шена: P = A t 209 Из формул ( 3.51 )–( 3.53 ) немедленно получаем соответствующие формулы для мощности тока: P = U I; (3.54) P = I 2 R; (3.55) P = U 2 R (3.56) 3.11.3 Закон Джоуля–Ленца Предположим, что на рассматриваемом участке цепи не совершается механическая работа и не протекают химические реакции. Поскольку сила тока постоянна, работа поля не вызывает увеличение кинетической энергии свободных зарядов. Стало быть, работа поля A целиком пре- вращается в тепло Q, которое выделяется на данном участке цепи и рассеивается в окружающее пространство: A = Q. Таким образом, для количества теплоты, выделяющегося на данном участке цепи, мы по- лучаем формулы: Q = U It; (3.57) Q = I 2 Rt; (3.58) Q = U 2 R t. (3.59) Но часто бывает так, что не вся работа тока превращается в тепло. Например, за счёт работы тока может совершать механическую работу электродвигатель или заряжаться аккумулятор. Тепло, разумеется, будет выделяться и в этих случаях, но только на сей раз получится, что Q < A (на величину механической работы, совершённой двигателем, или химической энергии, запасённой аккумулятором). Оказывается, что в подобных случаях остаётся справедливой формула ( 3.58 ): Q = I 2 Rt. Это — экспериментально установленный закон Джоуля-Ленца. 210 3.12 ЭДС. Закон Ома для полной цепи До сих пор при изучении электрического тока мы рассматривали направленное движение сво- бодных зарядов во внешней цепи, то есть в проводниках, подсоединённых к клеммам источника тока. Как мы знаем, положительный заряд q: • уходит во внешнюю цепь с положительной клеммы источника; • перемещается во внешней цепи под действием стационарного электрического поля, созда- ваемого другими движущимися зарядами; • приходит на отрицательную клемму источника, завершая свой путь во внешней цепи. Теперь нашему положительному заряду q нужно замкнуть свою траекторию и вернуться на положительную клемму. Для этого ему требуется преодолеть заключительный отрезок пути — внутри источника тока от отрицательной клеммы к положительной. Но вдумайтесь: идти туда ему совсем не хочется! Отрицательная клемма притягивает его к себе, положительная клемма его от себя отталкивает, и в результате на наш заряд внутри источника действует электрическая сила F эл , направленная против движения заряда (т. е. против направления тока). 3.12.1 Сторонняя сила Тем не менее, ток по цепи идёт; стало быть, имеется сила, «протаскивающая» заряд сквозь источник вопреки противодействию электрического поля клемм (рис. 3.43 ). + q F ст F эл Рис. 3.43. Сторонняя сила Эта сила называется сторонней силой; именно благодаря ей и функционирует источник тока. Сторонняя сила F ст не имеет отношения к стационарному электрическому полю — у неё, как говорят, неэлектрическое происхождение; в батарейках, например, она возникает благодаря протеканию соответствующих химических реакций. Обозначим через A ст работу сторонней силы по перемещению положительного заряда q внутри источника тока от отрицательной клеммы к положительной. Эта работа положительна, так как направление сторонней силы совпадает с направлением перемещения заряда. Работа сторонней силы A ст называется также работой источника тока. Во внешней цепи сторонняя сила отсутствует, так что работа сторонней силы по переме- щению заряда во внешней цепи равна нулю. Поэтому работа сторонней силы по перемещению заряда q вокруг всей цепи сводится к работе по перемещению этого заряда только лишь внут- ри источника тока. Таким образом, A ст — это также работа сторонней силы по перемещению заряда по всей цепи. 211 Мы видим, что сторонняя сила является непотенциальной — её работа при перемещении заряда по замкнутому пути не равна нулю. Именно эта непотенциальность и обеспечивает цир- кулирование электрического тока; потенциальное электрическое поле, как мы уже говорили ранее, не может поддерживать постоянный ток. Опыт показывает, что работа A ст прямо пропорциональна перемещаемому заряду q. По- этому отношение A ст /q уже не зависит от заряда и является количественной характеристикой источника тока. Это отношение обозначается E: E = A ст q (3.60) Данная величина называется электродвижущей силой (ЭДС) источника тока. Как видим, ЭДС измеряется в вольтах (В), поэтому название «электродвижущая сила» является крайне неудачным. Но оно давно укоренилось, так что приходится смириться. Когда вы видите надпись на батарейке: «1,5 В», то знайте, что это именно ЭДС. Равна ли эта величина напряжению, которое создаёт батарейка во внешней цепи? Оказывается, нет! Сейчас мы поймём, почему. 3.12.2 Закон Ома для полной цепи Любой источник тока обладает своим сопротивлением r, которое называется внутренним со- противлением этого источника. Таким образом, источник тока имеет две важных характери- стики: ЭДС и внутреннее сопротивление. Пусть источник тока с ЭДС, равной E, и внутренним сопротивлением r подключён к рези- стору R (который в данном случае называется внешним резистором, или внешней нагрузкой, или полезной нагрузкой). Всё это вместе называется полной цепью (рис. 3.44 ). R a b E, r Рис. 3.44. Полная цепь Наша задача — найти силу тока I в цепи и напряжение U на резисторе R. За время t по цепи проходит заряд q = It. Согласно формуле ( 3.60 ) источник тока совершает при этом работу: A ст = Eq = EIt. (3.61) Так как сила тока постоянна, работа источника целиком превращается в теплоту, кото- рая выделяется на сопротивлениях R и r. Данное количество теплоты определяется законом Джоуля–Ленца: Q = I 2 Rt + I 2 rt = I 2 (R + r)t. (3.62) Итак, A ст = Q, и мы приравниваем правые части формул ( 3.61 ) и ( 3.62 ): EIt = I 2 (R + r)t. После сокращения на It получаем: E = I(R + r). 212 Вот мы и нашли ток в цепи: I = E R + r (3.63) Формула ( 3.63 ) называется законом Ома для полной цепи. Если соединить клеммы источника проводом пренебрежимо малого сопротивления (R = 0), то получится короткое замыкание. Через источник при этом потечёт максимальный ток — ток короткого замыкания: I кз = E r Из-за малости внутреннего сопротивления ток короткого замыкания может быть весьма боль- шим. Например, пальчиковая батарейка разогревается при этом так, что обжигает руки. Зная силу тока (формула ( 3.63 )), мы можем найти напряжение на резисторе R с помощью закона Ома для участка цепи: U = IR = ER R + r (3.64) Это напряжение является разностью потенциалов между точками a и b (рис. 2). Потенциал точки a равен потенциалу положительной клеммы источника; потенциал точки b равен потен- циалу отрицательной клеммы. Поэтому напряжение ( 3.64 ) называется также напряжением на клеммах источника. Мы видим из формулы ( 3.64 ), что в реальной цепи будет U < E — ведь E умножается на дробь, меньшую единицы. Но есть два случая, когда U = E. 1. Идеальный источник тока. Так называется источник с нулевым внутренним сопротивле- нием. При r = 0 формула ( 3.64 ) даёт U = E. 2. Разомкнутая цепь. Рассмотрим источник тока сам по себе, вне электрической цепи. В этом случае можно считать, что внешнее сопротивление бесконечно велико: R = ∞. Тогда величина R + r неотличима от R, и формула ( 3.64 ) снова даёт нам U = E. Смысл этого результата прост: если источник не подключён к цепи, то идеальный вольт- метр 16 , подсоединённый к полюсам источника, покажет его ЭДС. 3.12.3 КПД электрической цепи Нетрудно понять, почему резистор R называется полезной нагрузкой. Представьте себе, что это лампочка. Теплота, выделяющаяся на лампочке, является полезной, так как благодаря этой теплоте лампочка выполняет своё предназначение — даёт свет. Количество теплоты, выделяющееся на полезной нагрузке R за время t, обозначим Q полезн Если сила тока в цепи равна I, то Q полезн = I 2 Rt. Некоторое количество теплоты выделяется также на источнике тока: Q ист = I 2 rt. Полное количество теплоты, которое выделяется в цепи, равно: Q полн = Q полезн + Q ист = I 2 Rt + I 2 rt = I 2 (R + r)t. КПД электрической цепи — это отношение полезного тепла к полному: η = Q полезн Q полн = I 2 Rt I 2 (R + r)t = R R + r КПД цепи равен единице лишь в том случае, если источник тока идеальный (r = 0). 16 Вольтметр называется идеальным, если его сопротивление бесконечно велико. Подключение идеального вольтметра не приводит к искажениям тока в цепи. 213 3.12.4 Закон Ома для неоднородного участка Простой закон Ома U = IR справедлив для так называемого однородного участка цепи — то есть участка, на котором нет источников тока. Сейчас мы получим более общие соотношения, из которых следует как закон Ома для однородного участка, так и полученный выше закон Ома для полной цепи. Участок цепи называется неоднородным, если на нём имеется источник тока. Иными слова- ми, неоднородный участок — это участок с ЭДС. На рис. 3.45 показан неоднородный участок, содержащий резистор R и источник тока. ЭДС источника равна E, его внутреннее сопротивление считаем равным нулю 17 a R b E I Рис. 3.45. ЭДС «помогает» току: ϕ a − ϕ b + E = IR Сила тока на участке равна I, ток течёт от точки a к точке b. Этот ток не обязательно вызван одним лишь источником E. Рассматриваемый участок, как правило, входит в состав некоторой цепи (не изображённой на рисунке), а в этой цепи могут присутствовать и другие источники тока. Поэтому ток I является результатом совокупного действия всех источников, имеющихся в цепи. Пусть потенциалы точек a и b равны соответственно ϕ a и ϕ b . Подчеркнём ещё раз, что речь идёт о потенциале стационарного электрического поля, порождённого действием всех источни- ков цепи — не только источника, принадлежащего данному участку, но и, возможно, имеющихся вне этого участка. Напряжение на нашем участке равно: U = ϕ a − ϕ b . За время t через участок проходит заряд q = It, при этом стационарное электрическое поле совершает работу: A поля = U q = U It. Кроме того, положительную работу совершает источник тока (ведь заряд q прошёл сквозь него!): A ст = Eq = EIt. Сила тока постоянна, поэтому суммарная работа по продвижению заряда q, совершаемая на участке стационарным элетрическим полем и сторонними силами источника, целиком пре- вращается в тепло: A поля + A ст = Q. Подставляем сюда выражения для A поля , A ст и закон Джоуля–Ленца: U It + EIt = I 2 Rt. Сокращая на It, получаем закон Ома для неоднородного участка цепи: U + E = IR, (3.65) или, что то же самое: ϕ a − ϕ b + E = IR. (3.66) Обратите внимание: перед E стоит знак «плюс». Причину этого мы уже указывали — ис- точник тока в данном случае совершает положительную работу, «протаскивая» внутри себя заряд q от отрицательной клеммы к положительной. Попросту говоря, источник «помогает» току протекать от точки a к точке b. Отметим два следствия выведенных формул ( 3.65 ) и ( 3.66 ). 17 Если внутреннее сопротивление источника равно r, можно просто заменить резистор R на резистор R + r. 214 1. Если участок однородный, то E = 0. Тогда из формулы ( 3.65 ) получаем U = IR — закон Ома для однородного участка цепи. 2. Предположим, что источник тока обладает внутренним сопротивлением r. Это, как мы уже упоминали, равносильно замене R на R + r: ϕ a − ϕ b + E = I(R + r). Теперь замкнём наш участок, соединив точки a и b. Получим рассмотренную выше полную цепь. При этом окажется, что ϕ a = ϕ b , и предыдущая формула превратится в закон Ома для полной цепи: E = I(R + r). Таким образом, закон Ома для однородного участка и закон Ома для полной цепи оба вытекают из закона Ома для неоднородного участка. Может быть и другой случай подключения, когда источник E «мешает» току идти по участ- ку. Такая ситуация изображена на рис. 3.46 . Здесь ток, идущий от a к b, направлен против действия сторонних сил источника. a R b E I Рис. 3.46. ЭДС «мешает» току: ϕ a − ϕ b − E = IR Как такое возможно? Очень просто: другие источники, имеющиеся в цепи вне рассматрива- емого участка, «пересиливают» источник на участке и вынуждают ток течь против E. Именно так происходит, когда вы ставите телефон на зарядку: подключённый к розетке адаптер вызы- вает движение зарядов против действия сторонних сил аккумулятора телефона, и аккумулятор тем самым заряжается! Что изменится теперь в выводе наших формул? Только одно — работа сторонних сил станет отрицательной: A ст = − Eq = −EIt. Тогда закон Ома для неоднородного участка примет вид: ϕ a − ϕ b − E = IR, (3.67) или: U − E = IR, где по-прежнему U = ϕ a − ϕ b — напряжение на участке. Давайте соберём вместе формулы ( 3.66 ) и ( 3.67 ) и запишем закон Ома для участка с ЭДС следующим образом: ϕ a − ϕ b ± E = IR. Ток при этом течёт от точки a к точке b. Если направление тока совпадает с направлением сторонних сил, то перед E ставится «плюс»; если же эти направления противоположны, то ставится «минус». 215 3.13 Электрический ток в металлах В этом разделе мы приступаем к подробному изучению того, как осуществляется прохождение электрического тока в различных проводящих средах — твёрдых телах, жидкостях и газах. Напомним, что необходимым условием возникновения тока является наличие в среде доста- точно большого количества свободных зарядов, которые могут начать упорядоченное движение под действием электрического поля. Такие среды как раз и называются проводниками элек- трического тока. Наиболее широко распространены металлические проводники. Поэтому начинаем мы с во- просов распространения электрического тока в металлах. Мы много раз говорили о свободных электронах, которые являются носителями свободных зарядов в металлах. Вам хорошо известно, что электрический ток в металлическом проводнике образуется в результате направленного движения свободных электронов. 3.13.1 Свободные электроны Металлы в твёрдом состоянии имеют кристаллическую структуру: расположение атомов в про- странстве характеризуется периодической повторяемостью и образует геометрически правиль- ный рисунок, называемый кристаллической решёткой. Атомы металлов имеют небольшое число валентных электронов, расположенных на внеш- ней электронной оболочке. Эти валентные электроны слабо связаны с ядром, и атом легко может их потерять. Когда атомы металла занимают места в кристаллической решётке, валентные электроны покидают свои оболочки — они становятся свободными и отправляются «гулять» по всему кристаллу 18 . В узлах кристаллической решётки металла остаются положительные ионы, про- странство между которыми заполнено «газом» свободных электронов (рис. 3.47 ). + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Рис. 3.47. Свободные электроны Свободные электроны и впрямь ведут себя подобно частицам газа 19 — совершая тепловое движение, они хаотически снуют туда-сюда между ионами кристаллической решётки. Суммар- ный заряд свободных электронов равен по модулю и противоположен по знаку общему заряду положительных ионов, поэтому металлический проводник в целом оказывается электрически нейтральным. Газ свободных электронов является «клеем», на котором держится вся кристаллическая структура проводника. Ведь положительные ионы отталкиваются друг от друга, так что кри- сталлическая решётка, распираемая изнутри мощными кулоновскими силами, могла бы разле- теться в разные стороны. Однако в то же самое время ионы металла притягиваются к обволаки- 18 А именно, свободные электроны перемещаются по внешним орбиталям соседних атомов. Эти орбитали пе- рекрываются друг с другом вследствие близкого расположения атомов в кристаллической решётке, так что свободные электроны оказываются «общей собственностью» всего кристалла. 19 Другой адекватный образ — электронное море, которое «омывает» кристаллическую решётку. 216 вающему их электронному газу и, как ни в чём не бывало, остаются на своих местах, совершая лишь тепловые колебания в узлах кристаллической решётки вблизи положений равновесия. Что произойдёт, если металлический проводник включить в замкнутую цепь, содержащую источник тока? Свободные электроны продолжают совершать хаотическое тепловое движение, но теперь — под действием возникшего внешнего электрического поля — они вдобавок начнут перемещаться упорядоченно. Это направленное течение электронного газа, накладывающееся на тепловое движение электронов, и есть электрический ток в металле 20 . Скорость упорядо- ченного движения электронов в металлическом проводнике, как нам уже известно, составляет порядка 0,1 мм/с. 3.13.2 Опыт Рикке |