Моя прелесть. Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
 Скачать 4.04 Mb.
|
На рис. 3.30 слева изображена симметричная электронная орбита в атоме неполярного ди- электрика. При наложении внешнего поля E 0 эта орбита деформируется (рис. 3.30 , справа): электрон смещается в сторону положительных зарядов, создающих внешнее поле. + e E 0 E 0 + e Рис. 3.30. Электронная поляризация Мы видим, что во внешнем поле электрон будет проводить больше времени слева от яд- ра, нежели чем справа. Из-за этого центры положительных и отрицательных зарядов в атоме неполярного диэлектрика разойдутся в разные стороны. Соответственно, атомы или молеку- лы неполярного диэлектрика во внешнем поле также начнут вести себя подобно диполям, и мы приходим к такой же по сути картине, что и рис. 3.29 для случая ориентационной поляризации. Объяснение механизма ослабления поля внутри диэлектрика останется тем же самым. Итак, электронная поляризация вызвана деформацией электронных оболочек атомов во внешнем электрическом поле. Разумеется, электронная поляризация присутствует и у поляр- ных диэлектриков; но там она теряется на фоне куда более мощного эффекта разворота самих диполей. 8 Разумеется, при отсутствии внешнего поля. 187 3.7 Конденсатор. Энергия электрического поля Предыдущие два раздела были посвящены отдельному рассмотрению проводников и диэлек- триков, помещённых в электрическое поле. Сейчас нам понадобится объединить эти знания. Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах. Но прежде введём центральное понятие электрической ёмкости. Ёмкость является важной характеристикой изолированного проводника и систем проводников (к числу которых принад- лежат конденсаторы). 3.7.1 Ёмкость уединённого проводника Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во внимание. В таком случае проводник называется уединённым. Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение ϕ, которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого провод- ника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать 1/C, так что ϕ = q C Величина C называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда проводника к его потенциалу: C = q ϕ (3.23) Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен: ϕ = kq R = q 4πε 0 R , где q — заряд шара, R — его радиус. Отсюда ёмкость шара: C = 4πε 0 R. (3.24) Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, то его по- тенциал уменьшается в ε раз: ϕ = q 4πε 0 εR Соответственно, ёмкость шара в ε раз увеличивается: C = 4πε 0 εR. (3.25) Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним при рассмотрении конденсаторов. Из формул ( 3.24 ) и ( 3.25 ) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлектрической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ём- кость уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и формой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей провод- ник. От вещества проводника ёмкость также не зависит. В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить про- воднику, чтобы увеличить его потенциал на 1 В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно, больший заряд требуется поместить для этого на проводник. 188 Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости ( 3.23 ) видно, что Ф = Кл/В. Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус считаем приближённо равным 6400 км. C = 4πε 0 R ≈ 4 · 3,14 · 8,85 · 10 −12 · 6400 · 10 3 ≈ 712 мкФ. Как видите, 1 Ф — это очень большая ёмкость. Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обо- значении размерности диэлектрической постоянной ε 0 . В самом деле, выразим ε 0 из форму- лы ( 3.24 ): ε 0 = C 4πR Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м: ε 0 = 8,85 · 10 −12 Ф м Так легче запомнить, не правда ли? 3.7.2 Ёмкость плоского конденсатора Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях про- водники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принци- пу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утвер- ждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости проводника самого по себе фактически утрачивает смысл. Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников. Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных размеров. Обозначение конденсатора на электрической схеме показано на рис. 3.31 Рис. 3.31. Конденсатор Для начала мы рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками нахо- дится воздух (ε = 1). Пусть заряды обкладок равны +q и −q. Именно так и бывает в реальных электрических схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина q — заряд положительной обкладки — называется зарядом конденсатора. Пусть S — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем пространстве. Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каж- дой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной плоскости: E + = E − = σ 2ε 0 189 Здесь E + — напряжённость поля положительной обкладки, E − — напряженность поля отрица- тельной обкладки, σ — поверхностная плотность зарядов на обкладке: σ = q S На рис. 3.32 (слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх областях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора. −q +q E + E − E + E − E + E − −q +q E =⇒ Рис. 3.32. Электрическое поле плоского конденсатора Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля E имеем: E = E + + E − Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок погашают друг друга): E = E + − E − = 0. Внутри конденсатора поле удваивается: E = E + + E − = σ ε 0 , или E = q ε 0 S (3.26) Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис. 3.32 справа. Итак: Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость которого находится по формуле ( 3.26 ). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что конденсатор не взаимодействует с окружающими телами. Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так, словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок. Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно d. Поскольку поле внутри конден- сатора является однородным, разность потенциалов U между обкладками равна произведению E на d (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!): U = Ed = qd ε 0 S (3.27) Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого 190 проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками: C = q U (3.28) Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность потен- циалов между его обкладками увеличилась на 1 В. Формула ( 3.28 ), таким образом, является модификацией формулы ( 3.23 ) для случая системы двух проводников — конденсатора. Из формул ( 3.28 ) и ( 3.27 ) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора: C = ε 0 S d (3.29) Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и рас- стояния между ними. Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с ди- электрической проницаемостью ε. Как изменится ёмкость конденсатора? Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в ε раз. Соответственно, вместо фор- мулы ( 3.26 ) теперь имеем: E = q ε 0 εS (3.30) Напряжение на конденсаторе получается равным: U = Ed = qd ε 0 εS (3.31) Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком: C = ε 0 εS d (3.32) Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор. Важное следствие формулы ( 3.32 ): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ёмкость. 3.7.3 Энергия заряженного конденсатора Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно велика) лампочка ненадолго загорится. Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг к другу. Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое пони- мание происхождения энергии заряженного конденсатора. Начнём с плоского воздушного конденсатора. Ответим на такой вопрос: какова сила притя- жения его обкладок друг к другу? Величины используем те же: заряд конденсатора q, площадь обкладок S. Возьмём на второй обкладке настолько маленькую площадку, что заряд q 0 этой площадки можно считать точечным. Данный заряд притягивается к первой обкладке с силой F 0 = q 0 E 1 , 191 где E 1 — напряжённость поля первой обкладки: E 1 = σ 2ε 0 = q 2ε 0 S Следовательно, F 0 = q 0 q 2ε 0 S Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам). Результирующая сила F притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих сил F 0 , с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды q 0 вто- рой обкладки. При этом суммировании постоянный множитель q/(2ε 0 S) вынесется за скобку, а в скобке просуммируются все q 0 и дадут q. В результате получим: F = q 2 2ε 0 S (3.33) Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величи- ны d 1 до конечной величины d 2 . Сила притяжения пластин совершает при этом работу: A = F (d 1 − d 2 ). Знак правильный: если пластины сближаются (d 2 < d 1 ), то сила совершает положительную ра- боту, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины (d 2 > d 1 ), то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть. С учётом формул ( 3.33 ) и ( 3.29 ) имеем: A = q 2 2ε 0 S (d 1 − d 2 ) = q 2 d 1 2ε 0 S − q 2 d 2 2ε 0 S = q 2 2C 1 − q 2 2C 2 = W 1 − W 2 , где W 1 = q 2 /(2C 1 ), W 2 = q 2 /(2C 2 ). Это можно переписать следующим образом: A = −(W 2 − W 1 ) = −∆W, где W = q 2 2C (3.34) Работа потенциальной силы F притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком минус величины W . Это как раз и означает, что W — потенциальная энергия взаимодействия обкладок, или энергия заряженного конденсатора. Используя соотношение q = CU , из формулы ( 3.34 ) можно получить ещё две формулы для энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!): W = qU 2 , (3.35) W = CU 2 2 (3.36) Особенно полезными являются формулы ( 3.34 ) и ( 3.36 ). Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемо- стью ε. Сила притяжения обкладок уменьшится в ε раз, и вместо ( 3.33 ) получим: F = q 2 2ε 0 εS При вычислении работы силы F , как нетрудно видеть, величина ε войдёт в ёмкость C, и форму- лы ( 3.34 )–( 3.36 ) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться по формуле ( 3.32 ). Итак, формулы ( 3.34 )–( 3.36 ) универсальны: они справедливы как для воздушного конденса- тора, так и для конденсатора с диэлектриком. 192 3.7.4 Энергия электрического поля Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование происхождения этой энергии. Что ж, приступим. Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу ( 3.36 ) для его энергии: W = CU 2 2 = ε 0 S d (Ed) 2 2 = ε 0 E 2 2 Sd. Но Sd = V — объём конденсатора. Получаем: W = ε 0 E 2 2 V. (3.37) Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля E, сосредоточен- ного в некотором объёме V . Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электри- ческого поля. Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в пространстве электромагнитными волнами. Величина w = W/V — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью энергии. Из формулы ( 3.37 ) получим: w = ε 0 E 2 2 (3.38) В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости. Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в ε раз, и вместо формул ( 3.37 ) и ( 3.38 ) будем иметь: W = ε 0 εE 2 2 V, (3.39) w = ε 0 εE 2 2 (3.40) Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости среды, в которой поле находится. Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и для электрических полей, меняющихся во времени. 193 3.8 Постоянный электрический ток Электрический ток обеспечивает комфортом жизнь современного человека. Технологические достижения цивилизации — энергетика, транспорт, радио, телевидение, компьютеры, мобиль- ная связь — основаны на использовании электрического тока. Электрический ток — это направленное движение заряженных частиц, при котором про- исходит перенос заряда из одних областей пространства в другие. Электрический ток может возникать в самых различных средах: твёрдых телах, жидко- стях, газах. Порой и среды никакой не нужно — ток может существовать даже в вакууме! Мы поговорим об этом в своё время, а пока приведём лишь некоторые примеры. • Замкнём полюса батарейки металлическим проводом. Свободные электроны провода нач- нут направленное движение от «минуса» батарейки к «плюсу». Это — пример тока в металлах. • Бросим в стакан воды щепотку поваренной соли NaCl. Молекулы соли диссоциируют на ионы, так что в растворе появятся свободные заряды: положительные ионы Na + и отрицательные ионы Cl − . Теперь засунем в воду два электрода, соединённые с полюсами батарейки. Ионы Na + начнут направленное движение к отрицательному электроду, а ионы Cl − — к положительному. Это — пример прохождения тока через раствор электролита. • Грозовые тучи создают столь мощные электрические поля, что оказывается возможным пробой воздушного промежутка длиной в несколько километров. В результате сквозь воз- дух проходит гигантский разряд — молния. Это — пример электрического тока в газе. Во всех трёх рассмотренных примерах электрический ток обусловлен движением заряжен- ных частиц внутри тела и называется током проводимости. • Вот несколько иной пример. Будем перемещать в пространстве заряженное тело. Такая ситуация согласуется с определением тока! Направленное движение зарядов — есть, пере- нос заряда в пространстве — присутствует. Ток, созданный движением макроскопического заряженного тела, называется конвекционным. Заметим, что не всякое движение заряженных частиц образует ток. Например, хаотическое тепловое движение зарядов проводника — не направленное (оно совершается в каких угодно направлениях), и потому током не является 9 Не будет током и поступательное движение электрически нейтрального тела: хотя заряжен- ные частицы в его атомах и совершают направленное движение, не происходит переноса заряда из одних участков пространства в другие. 3.8.1 Направление электрического тока Направление движения заряженных частиц, образующих ток, зависит от знака их заряда. По- ложительно заряженные частицы будут двигаться от «плюса» к «минусу», а отрицательно 9 При возникновении тока свободные заряды продолжают совершать тепловое движение! Просто в этом слу- чае к хаотическим перемещениям заряженных частиц добавляется их упорядоченный дрейф в определённом направлении. 194 заряженные — наоборот, от «минуса» к «плюсу». В электролитах и газах, например, присут- ствуют как положительные, так и отрицательные свободные заряды, и ток создаётся их встреч- ным движением в обоих направлениях. Какое же из этих направлений принять за направление электрического тока? Направлением тока принято считать направление движения положительных зарядов. Попросту говоря, по соглашению ток течёт от «плюса» к «минусу» (рис. 3.33 ; положительная клемма источника тока изображена длинной чертой, отрицательная клемма — короткой). Рис. 3.33. Направление тока Данное соглашение вступает в некоторое противоречие с наиболее распространённым случа- ем металлических проводников. В металле носителями заряда являются свободные электроны, и двигаются они от «минуса» к «плюсу». Но в соответствии с соглашением мы вынуждены счи- тать, что направление тока в металлическом проводнике противоположно движению свободных электронов. Это, конечно, не очень удобно. Тут, однако, ничего не поделаешь — придётся принять эту ситуацию как данность. Так уж исторически сложилось. Выбор направления тока был предложен Ампером 10 в первой половине XIX века, за 70 лет до открытия электрона. К этому выбору все привыкли, и когда в 1916 году выяснилось, что ток в металлах вызван движением свободных электронов, ничего менять уже не стали. 3.8.2 Действие электрического тока Как мы можем определить, протекает электрический ток или нет? О возникновении электри- ческого тока можно судить по следующим его проявлениям. 1. Тепловое действие тока. Электрический ток вызывает нагревание вещества, в котором он протекает. Именно так нагреваются спирали нагревательных приборов и ламп накалива- ния. Именно поэтому мы видим молнию. В основе действия тепловых амперметров лежит тепловое расширение проводника с током, приводящее к перемещению стрелки прибора. 2. Магнитное действие тока. Электрический ток создаёт магнитное поле: стрелка компаса, расположенная рядом с проводом, при включении тока поворачивается перпендикулярно проводу. Магнитное поле тока можно многократно усилить, если обмотать провод вокруг железного стержня — получится электромагнит. На этом принципе основано действие амперметров магнитоэлектрической системы: электромагнит поворачивается в поле по- стоянного магнита, в результате чего стрелка прибора перемещается по шкале. 3. Химическое действие тока. При прохождении тока через электролиты можно наблюдать изменение химического состава вещества. Так, в растворе CuSO 4 положительные ионы Cu 2+ двигаются к отрицательному электроду, и этот электрод покрывается медью. 10 Договорённость о направлении тока понадобилась Амперу для того, чтобы дать чёткое правило определения направления силы, действующей на проводник с током в магнитном поле. Сегодня эту силу мы называем силой Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки. 195 3.8.3 Сила и плотность тока Электрический ток называется постоянным, если за равные промежутки времени через попе- речное сечение проводника проходит одинаковый заряд. Постоянный ток наиболее прост для изучения. С него мы и начинаем. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В случае посто- янного тока абсолютная величина силы тока есть отношение абсолютной величины заряда q, прошедшего через поперечное сечение проводника за время t, к этому самому времени: I = q t (3.41) Измеряется сила тока в амперах (A) 11 . При силе тока в 1 А через поперечное сечение про- водника за 1 с проходит заряд в 1 Кл. Подчеркнём, что формула ( 3.41 ) определяет абсолютную величину, или модуль силы тока. Сила тока может иметь ещё и знак! Этот знак не связан со знаком зарядов, образующих ток, и выбирается из иных соображений. А именно, в ряде ситуаций (например, если заранее не ясно, куда потечёт ток) удобно зафиксировать некоторое направление обхода цепи (скажем, против часовой стрелки) и считать силу тока положительной, если направление тока совпадает с направлением обхода, и отрицательной, если ток течёт против направления обхода 12 В случае постоянного тока сила тока есть величина постоянная. Она показывает, какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за 1 с. Часто бывает удобно не связываться с площадью поперечного сечения и ввести величину плотности тока: j = I S , (3.42) где I — сила тока, S — площадь поперечного сечения проводника (разумеется, это сечение перпендикулярно направлению тока). С учётом формулы ( 3.41 ) имеем также: j = q St Плотность тока показывает, какой заряд проходит за единицу времени через единицу площади поперечного сечения проводника. Согласно формуле ( 3.42 ), плотность тока измеряется в А/м 2 3.8.4 Скорость направленного движения зарядов Когда мы включаем в комнате свет, нам кажется, что лампочка загорается мгновенно. Скорость распространения тока по проводам очень велика: она близка к 300000 км/с (скорости света в вакууме). Если бы лампочка находилась на Луне, она зажглась бы через секунду с небольшим. Однако не следует думать, что с такой грандиозной скоростью двигаются свободные заря- ды, образующие ток. Оказывается, их скорость составляет всего-навсего доли миллиметра в секунду. Почему же ток распространяется по проводам так быстро? Дело в том, что свободные заря- ды взаимодействуют друг с другом и, находясь под действием электрического поля источника тока, при замыкании цепи приходят в движение почти одновременно вдоль всего проводника. Скорость распространения тока есть скорость передачи электрического взаимодействия между 11 Единица силы тока определяется через магнитное взаимодействие проводов с током. А именно, пусть име- ются два параллельных провода, очень длинных и тонких, расположенных в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга. По этим проводам течёт одинаковый ток. Мы говорим, что сила тока равна 1 A, если сила взаимодействия проводов равна 2 · 10 −7 Н на каждый метр провода. 12 Сравните с тригонометрическим кругом: углы считаются положительными, если отсчитываются против часовой стрелки, и отрицательными, если по часовой стрелке. 196 свободными зарядами, и она близка к скорости света в вакууме. Скорость же, с которой сами заряды перемещаются внутри проводника, может быть на много порядков меньше. Итак, подчеркнём ещё раз, что мы различаем две скорости. 1. Скорость распространения тока. Это — скорость передачи электрического сигнала по цепи. Близка к 300000 км/с. 2. Скорость направленного движения свободных зарядов. Это — средняя скорость переме- щения зарядов, образующих ток. Называется ещё скоростью дрейфа. Мы сейчас выведем формулу, выражающую силу тока I через скорость v направленного движения зарядов проводника. Пусть проводник имеет площадь поперечного сечения S (рис. 3.34 ). Свободные заряды про- водника будем считать положительными; величину свободного заряда обозначим e (в наиболее важном для практики случая металлического проводника это есть заряд электрона). Концен- трация свободных зарядов (т. е. их число в единице объёма) равна n. B A C D vt S I Рис. 3.34. К выводу формулы I = envS |