. Какое поле создают в точке M оба заряда вместе?
Поместим в точку M пробный заряд q. Тогда со стороны заряда q
1
на него будет действовать сила
F
1
, а со стороны заряда q
2
— сила
F
2
. Согласно принципу суперпозиции, с которым вы познакомились в предыдущем разделе, на заряд q действует результирующая сила
F =
F
1
+
F
2
Поделим данное равенство на пробный заряд q:
F
q
=
F
1
q
+
F
2
q
С учётом определения (
3.3
) напряжённости поля получаем:
E =
E
1
+
E
2
Таким образом, напряжённость результирующего поля в точке M оказывается равна век- торной сумме напряжённостей полей каждого из зарядов (рис.
3.11
):
+
q
1
−
q
2
M
E
1
E
2
E
Рис. 3.11. Принцип суперпозиции полей
Напряжённости полей складываются векторно и в общем случае. В самом деле, поделив формулу
F =
F
1
+
F
2
+ . . . +
F
n на пробный заряд q, приходим к общей формулировке принципа суперпозиции.
Принцип суперпозиции. Пусть заряды q
1
, q
2
, . . . , q n
по отдельности создают в данной точ- ке поля
E
1
,
E
2
, . . . ,
E
n
. Тогда система этих зарядов создаёт в данной точке поле
E, равное векторной сумме напряжённостей полей отдельных зарядов:
E =
E
1
+
E
2
+ . . . +
E
n
С помощью принципа суперпозиции можно найти напряжённость поля любой системы заря- дов — разбивая систему на малые заряды, которые можно считать точечными, с последующим суммированием напряжённостей малых зарядов. Обычно это приводит к достаточно сложным вычислениям.
169
3.3.5
Поле равномерно заряженной плоскости
Важным примером системы зарядов является заряженная плоскость. В качестве бесконечной плоскости мы можем рассматривать любую плоскую пластину, если расстояние от точки, в которой ищется поле, до пластины много меньше размеров самой пластины.
Заряженная плоскость характеризуется величиной поверхностной плотности заряда. Что это такое? Возьмём небольшой участок плоскости площадью S. Пусть заряд этого участка равен q.
Тогда поверхностная плотность заряда определяется как отношение заряда к площади:
σ =
q
S
Иными словами, поверхностная плотность заряда — это заряд единицы площади.
Поверхностная плотность заряда может меняться от участка к участку. Но если на любом участке плоскости поверхностная плотность заряда одинакова (σ = const, т. е. заряд распреде- лён равномерно), то плоскость называется равномерно заряженной.
Вектор напряжённости поля равномерно заряженной плоскости перпендикулярен плоско- сти; он направлен от плоскости, если плоскость заряжена положительно, и к плоскости, если плоскость заряжена отрицательно (рис.
3.12
).
+σ
−σ
Рис. 3.12. Поле равномерно заряженной плоскости
Самое удивительное заключается в том, что величина напряжённости поля не зависит от расстояния до плоскости. Она оказывается равна:
E =
σ
2ε
0
(3.6)
Эта формула справедлива для вакуума (мы принимаем её без доказательства). В среде с диэлектрической проницаемостью ε поле, как обычно, уменьшается в ε раз:
E =
σ
2ε
0
ε
(3.7)
Пример заряженной плоскости важен потому, что мы встречаемся здесь с понятием одно- родного поля. Электрическое поле в данной области пространства называется однородным,
если вектор напряжённости поля одинаков в каждой точке области. Иными словами, напря- жённость поля в каждой точке рассматриваемой области имеет одно и то же направление и неизменную величину.
Поле точечного заряда, например, не является однородным. В самом деле, напряжённость поля точечного заряда может меняться от точки к точке как по величине, так и по направлению
(она обратно пропорциональна квадрату расстояния до заряда и направлена вдоль прямой, со- единяющей заряд с точкой наблюдения).
А вот заряженная плоскость создаёт однородное
электрическое поле в каждом из полупро- странств, на которые она разбивает пространство. Напряжённость этого поля вычисляется по формулам (
3.6
) или (
3.7
).
170
3.3.6
Линии напряжённости электрического поля
Давайте вернёмся к пространственной картине поля точечного заряда. Вместо векторов напря- жённости в разных точках нарисуем более приятные глазу линии напряжённости (рис.
3.13
):
+
−
Рис. 3.13. Линии напряжённости поля точечного заряда
Линии напряжённости идут вдоль векторов напряжённости, указывают направление этих векторов и даже содержат информацию об их абсолютных величинах: чем гуще расположены линии напряжённости, тем больше величина напряжённости поля в данной области простран- ства.
Аналогичную картину линий напряжённости мы можем нарисовать и для заряженной плос- кости (рис.
3.14
). Как видим, линии напряжённости однородного поля являются участками параллельных прямых.
+σ
−σ
Рис. 3.14. Линии напряжённости поля заряженной плоскости
Линии напряжённости можно провести и в произвольном электрическом поле. Каким обра- зом? В каждой точке пространства вектор напряжённости поля направлен по касательной к линии напряжённости. Линии напряжённости как бы «подстраиваются» под векторы напря- жённости, «обтекая» их по касательной (рис.
3.15
):
E
E
Рис. 3.15. Линия напряжённости
Линии напряжённости всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
171
3.4
Потенциал электрического поля
Мы начнём с обсуждения потенциальной энергии, которую имеет заряд в электростатическом поле. Прежде всего необходимо вспомнить, при каких условиях можно вообще ввести понятие потенциальной энергии.
3.4.1
Консервативные силы
Сила называется консервативной (или потенциальной), если работа этой силы не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела.
Пусть, например, тело под действием консервативной силы
F переместилось из начальной точки 1 в конечную точку 2 (рис.
3.16
). Тогда работа A силы
F зависит только от положения самих точек 1 и 2, но не от траектории движения тела. Например, для траекторий 1 → a → 2
и 1 → b → 2 величина A будет одинаковой.
a b
1 2
Рис. 3.16. К понятию консервативной силы
Отметим, что работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Дей- ствительно, давайте выйдем из точки 1 по траектории 1 → a → 2 и вернёмся назад по траекто- рии 2 → b → 1. На первой траектории сила совершит работу A, а на второй траектории работа будет равна −A. В итоге суммарная работа окажется нулевой.
Так вот, понятие потенциальной энергии можно ввести только в случае консервативной силы. Потенциальная энергия W — это математическое выражение, зависящее от координат тела, такое, что работа силы равна изменению этого выражения со знаком минус:
A = −∆W.
(3.8)
Или, что то же самое:
A = −(W
2
− W
1
) = W
1
− W
2
Как видим, работа консервативной силы есть разность значений потенциальной энергии,
вычисленных соответственно для начального и конечного положений тела.
Примеры консервативных сил вам хорошо известны. Например, сила тяжести является кон- сервативной. Сила упругости пружины тоже консервативна. Именно поэтому мы можем го- ворить о потенциальной энергии тела, поднятого над землёй, или о потенциальной энергии деформированной пружины.
А вот сила трения не консервативна: работа силы трения зависит от формы траектории и не равна нулю на замкнутом пути. Поэтому не существует никакой «потенциальной энергии тела в поле силы трения».
172
3.4.2
Потенциальность электростатического поля
Оказывается, что сила, с которой электростатическое поле действует на заряженное тело, также является консервативной. Работа этой силы, совершаемая при перемещении заряда, называется работой электростатического поля. Имеем, таким образом, важнейший факт:
Работа электростатического поля не зависит от формы траектории, по которой пере- мещается заряд, и определяется лишь начальным и конечным положениями заряда. Работа поля по замкнутому пути равна нулю.
Этот факт называется также потенциальностью электростатического поля. Как и поле силы тяжести, электростатическое поле является потенциальным. Работа электростатического поля одинакова для всех путей, по которым заряд может двигаться из одной фиксированной точки пространства в другую.
Строгое математическое доказательство потенциальности электростатического поля выхо- дит за рамки школьной программы. Однако «на физическом уровне строгости» мы можем убедиться в справедливости этого факта с помощью следующего простого рассуждения.
Нетрудно видеть, что если бы электростатическое поле не было потенциальным, то можно было бы построить вечный двигатель! В самом деле, тогда существовала бы замкнутая тра- ектория, при перемещении заряда по которой поле совершало бы положительную работу (и при этом никаких изменений в окружающих телах не происходило бы). Крутим себе заряд по этой траектории, черпаем неограниченное количество энергии ниоткуда — и все энергетические проблемы человечества решены :-) Но такого, увы, не наблюдается — это вопиющим образом противоречит закону сохранения энергии.
Так как электростатическое поле потенциально, мы можем говорить о потенциальной энер- гии заряда в этом поле. Начнём с простого и важного случая.
3.4.3
Потенциальная
энергия заряда в однородном полеПотенциальная энергия тела, поднятого над землёй, равна mgh. Случай заряда в однородном поле оказывается очень похожим на эту механическую ситуацию.
Рассмотрим однородное электростатическое поле E, линии напряжённости которого направ- лены вдоль оси X (рис.
3.17
). Пусть положительный заряд q перемещается вдоль силовой линии из точки 1 (с координатой x
1
) в точку 2 (с координатой x
2
).
X
E
E
0 1
2
x
1
x
2
q
F
Рис. 3.17. Перемещение заряда в однородном поле
Поле действует на заряд с силой
F , которая направлена вдоль линий напряжённости. Работа этой силы, как легко видеть, будет равна:
A = F (x
2
− x
1
) = qE(x
2
− x
1
).
173
Что изменится, если точки 1 и 2 не лежат на одной линии напряжённости? Оказывает- ся, ничего! Формула для работы поля останется той же самой. Убедимся в этом с помощью рис.
3.18
X
E
E
0 1
2
x
1
x
2 3
Рис. 3.18. Перемещение заряда в однородном поле
Двигаясь из точки 1 в точку 2, давайте выберем путь 1 → 3 → 2, где точка 3 лежит на одной силовой линии с точкой 1. Тогда работа A
32
на участке 32 равна нулю — ведь мы перемещаемся перпендикулярно силе. В результате получим:
A = A
13
+ A
32
= A
13
= qE(x
2
− x
1
).
Мы видим, что работа поля зависит лишь от абсцисс начального и конечного положений заряда.
Запишем полученную формулу следующим образом:
A = qEx
2
− qEx
1
= −((−qEx
2
) − (−qEx
1
)) = −(W
2
− W
1
) = −∆W.
Здесь W
1
= −qEx
1
, W
2
= −qEx
2
. Работа поля, в соответствии с формулой (
3.8
), оказывается равна изменению со знаком минус величины
W = −qEx.
(3.9)
Эта величина и есть потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле.
Через x обозначена абсцисса точки, в которой ищется потенциальная энергия. Нулевой уровень потенциальной энергии в данном случае соответствует началу координат x = 0 и на рисунках изображён пунктирной линией, перпендикулярной линиям напряжённости
4
Напомним, что пока считается q > 0. Из формулы (
3.9
) следует, что при движении заряда вдоль силовой линии потенциальная энергия убывает с ростом x. Это естественно: ведь поле совершает положительную работу, разгоняя заряд, а кинетическая энергия заряда растёт за счёт убыли его потенциальной энергии.
Несложно показать, что формула (
3.9
) остаётся справедливой и для q < 0. В этом случае потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с
которой поле действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда уменьшается, а потенциальная энергия — увеличивается.
Итак, важный вывод: в формуле для потенциальной энергии через q обозначается алгебра- ическая величина заряда (с учётом знака), а не его модуль.
4
На самом деле нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать где угодно. Иными словами, потен- циальная энергия определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной C, т. е. W = −qEx+C.
Ничего страшного в такой неопределённости нет: физическим смыслом обладает на потенциальная энергия сама по себе, а разность потенциальных энергий, равная работе поля. В этой разности константа C сократится.
174
3.4.4
Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов
Пусть два точечных заряда q
1
и q
2
находятся в вакууме на расстоянии r друг от друга. Можно показать, что потенциальная энергия их взаимодействия даётся формулой:
W =
kq
1
q
2
r
(3.10)
Мы принимаем формулу (
3.10
) без доказательства. Две особенности данной формулы сле- дует обсудить.
Во-первых, где находится нулевой уровень потенциальной энергии? Ведь потенциальная энергия, как видно из формулы (
3.10
), в нуль обратиться не может. Но на самом деле нулевой уровень существует, и находится он на бесконечности. Иными словами, когда заряды располо- жены бесконечно далеко друг от друга, потенциальная энергия их взаимодействия полагается равной нулю (что логично — в этом случае заряды уже «не взаимодействуют»).
Во-вторых, q
1
и q
2
— это снова алгебраические величины зарядов, т. е. заряды с учётом их знака.
Например, потенциальная энергия взаимодействия двух одноимённых зарядов будет поло- жительной. Почему? Если мы отпустим их, они начнут разгоняться и удаляться друг от друга.
Их кинетическая энергия возрастает, стало быть потенциальная энергия — убывает. Но на бес- конечности потенциальная энергия обращается в нуль, а раз она убывает к нулю, значит — она является положительной.
А вот потенциальная энергия взаимодействия разноимённых зарядов оказывается отрица- тельной. Действительно, давайте удалим их на очень большое расстояние друг от друга — так что потенциальная энергия равна нулю — и отпустим. Заряды начнут разгоняться, сближаясь,
и потенциальная энергия снова убывает. Но если она была нулём, то куда ей убывать? Только в сторону отрицательных значений.
Формула (
3.10
) помогает также вычислить потенциальную энергию системы зарядов, если число зарядов больше двух. Для этого нужно просуммировать энергии каждой пары зарядов.
Мы не будем выписывать общую формулу; лучше проиллюстрируем сказанное простым при- мером, изображённым на рис.
3.19
q
1
q
2
q
3
c a
b
Рис. 3.19. Взаимодействие трёх зарядов
Если заряды q
1
, q
2
, q
3
находятся в вершинах треугольника со сторонами a, b, c, то потенци- альная энергия их взаимодействия равна:
W =
kq
1
q
2
a
+
kq
2
q
3
b
+
kq
1
q
3
c
3.4.5
Потенциал
Из формулы W = −qEx мы видим, что потенциальная энергия заряда q в однородном поле прямо пропорциональна этому заряду.
То же самое мы видим из формулы W = kq
1
q
2
/r: потенциальная энергия заряда q
1
, находя- щегося в поле точечного заряда q
2
, прямо пропорциональна величине заряда q
1 175
Оказывается, это общий факт: потенциальная энергия W заряда q в любом электростати- ческом поле прямо пропорциональна величине q:
W = qϕ.
(3.11)
Величина ϕ уже не зависит от заряда, является характеристикой поля и называется потенци- алом:
ϕ =
W
q
(3.12)
Так, потенциал однородного поля E в точке с абсциссой x равен:
ϕ = −Ex.
(3.13)
Напомним, что ось X совпадает с линией напряжённости поля. Мы видим, что с ростом координаты x потенциал убывает. Иными словами, вектор напряжённости поля указывает направление убывания потенциала.
Для потенциала поля точечного заряда q на расстоянии r от него имеем:
ϕ =
kq r
(3.14)
Единицей измерения потенциала служит хорошо известный вам вольт. Из формулы (
3.12
)
мы видим, что В = Дж/Кл.
Итак, теперь у нас есть две характеристики поля: силовая (напряжённость) и энергетиче- ская (потенциал). У каждой из них имеются свои преимущества и недостатки. Какую именно характеристику удобнее использовать — зависит от конкретной задачи.
3.4.6
Разность потенциалов
Пусть заряд q перемещается в электростатическом поле из точки 1 в точку 2. Траектория заряда, напомним, роли не играет — работа поля A от этой траектории не зависит и равна разности потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках:
A = −∆W = −(W
2
− W
1
) = W
1
− W
2
С учётом формулы (
3.11
) имеем:
A = qϕ
1
− qϕ
2
= q(ϕ
1
− ϕ
2
).
(3.15)
Здесь ϕ
1
— потенциал поля в точке 1, ϕ
2
— потенциал поля в точке 2. Величина ϕ
1
− ϕ
2
, от
которой зависит работа поля, так и называется: разность потенциалов. Обратите внимание, что разность потенциалов есть потенциал начальной точки минус потенциал конечной точки,
а не наоборот!
Разность потенциалов называется также напряжением между точками 1 и 2 и обозначается через U :
U = ϕ
1
− ϕ
2
(3.16)
Наряду с формулой (
3.15
) получаем тогда:
A = qU.
(3.17)
Записывая формулы (
3.15
) и (
3.17
) в виде:
U = ϕ
1
− ϕ
2
=
A
q
,
(3.18)
176
получаем полезное истолкование напряжения: напряжение (или разность потенциалов) меж- ду данными точками — это работа поля по перемещению заряда из начальной точки в ко- нечную, делённая на величину этого заряда.
Как и потенциальная энергия, потенциал определён с точностью до прибавления произ- вольной постоянной C: в зависимости от выбора точки, в которой потенциал полагается рав- ным нулю, эта постоянная примет то или иное значение. Но физическим смыслом обладает не потенциал сам по себе, а напряжение (разность потенциалов). При вычитании потенциа- лов константа C сократится, и напряжение будет уже однозначно определённой величиной, не зависящей от выбора начала отсчёта потенциала.
Выбор точки нулевого потенциала позволяет истолковать в терминах работы сам потенциал.
Действительно, пусть 1 — данная точка, 2 — точка нулевого потенциала. Тогда в формуле (
3.18
)
имеем: ϕ
1
= ϕ (потенциал в данной точке), ϕ
2
= 0, A = A
0
— работа поля по перемещению заряда q из данной точки в точку с нулевым потенциалом. В результате:
ϕ =
A
0
q
(3.19)
Таким образом, потенциал поля в данной точке — это работа поля по перемещению заряда из данной точки в точку нулевого потенциала, делённая на величину этого заряда.
3.4.7
Принцип суперпозиции для потенциалов
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое системой из n заряженных тел. Это поле можно рассматривать как наложение полей, создаваемых каждым телом в отдельности.
Принцип суперпозиции для потенциалов. Пусть ϕ — потенциал результирующего поля в данной точке, а ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n
— потенциалы полей каждого из тел. Тогда:
ϕ = ϕ
1
+ ϕ
2
+ . . . + ϕ
n
(3.20)
Иными словами, потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из тел в отдельности.
Принцип суперпозиции для потенциалов вытекает из формулы (
3.19
) и из того факта, что работа равнодействующей силы есть сумма работ её слагаемых.
3.4.8
Однородное поле: связь напряжения и напряжённости
Предположим, что положительный заряд q перемещается в однородном электростатическом поле по направлению силовой линии из точки 1 в точку 2 (рис.
3.20
). Расстояние между точками равно d.
E
E
1 2
q
F
Рис. 3.20. К выводу формулы U = Ed
C одной стороны, работа поля равна произведению силы на путь:
A = F d = qEd.
177
Работа получается положительной, так как сила и перемещение сонаправлены.
C другой стороны, работа поля есть произведение заряда на разность потенциалов между точками 1 и 2:
A = qU.
(Напряжение также положительно, так как ϕ
1
> ϕ
2
— ведь напряжённость направлена в сто- рону убывания потенциала.) Приравнивая правые части последних двух формул, получим:
qU = qEd, откуда
U = Ed.
(3.21)
Эта простая формула позволяет находить напряжение между точками однородного поля E,
находящимися на одной силовой линии; при этом напряжённость поля направлена от начальной точки к конечной.
Выразим из формулы (
3.21
) напряжённость:
E =
U
d
(3.22)
Эта формула пригодится нам впоследствии, при нахождении напряжённости поля в конден- саторе. А сейчас обратим внимание на одно следствие данной формулы: единицей измерения напряжённости является В/м. Эта единица используется чаще, чем первоначальная Н/Кл.
Что ж, немало вещей пришлось узнать, чтобы понять равенство Н/Кл = В/м :-)
3.4.9
Эквипотенциальные поверхности
Как вы помните, введение силовой характеристики поля (напряжённости) дало возможность изображать поле графически — в виде картины линий напряжённости, или силовых линий.
Энергетическая характеристика поля (потенциал) также позволяет дать графическую кар- тину поля — в виде семейства эквипотенциальных поверхностей.
Поверхность в пространстве называется эквипотенциальной, если во всех точках этой по- верхности потенциал электрического поля принимает одно и то же значение. Коротко говоря,
эквипотенциальные поверхности — это поверхности равного потенциала.
Например, из формулы ϕ = −Ex мы видим, что эквипотенциальными поверхностями од- нородного поля являются всевозможные плоскости x = const. Они перпендикулярны линиям напряжённости. Так, на рис.
3.21
изображены пять плоскостей — эквипотенциальных поверх- ностей, отвечающих значениям потенциала ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
, ϕ
4
и ϕ
5
E
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
ϕ
5
Рис. 3.21. Эквипотенциальные поверхности однородного поля
Теперь рассмотрим нашу вторую стандартную ситуацию: поле точечного заряда q > 0.
Потенциал этого поля, как мы уже видели, равен:
ϕ =
kq r
178
Эквипотенциальными поверхностями здесь будут всевозможные сферы r = const. Они так- же перпендикулярны линиям напряжённости. На рис.
3.22
показаны четыре такие сферы —
эквипотенциальные поверхности, отвечающие значениям потенциала ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
и ϕ
4
+
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
Рис. 3.22. Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда
Оказывается, эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны линиям напряжён- ности. Нетрудно понять, почему это так. Предположим, что заряд перемещается по эквипо- тенциальной поверхности. Работа поля при этом равна нулю: A = q(ϕ
1
− ϕ
2
) = 0, так как
ϕ
1
= ϕ
2
. Значит, угол между перемещением заряда и силой, с которой поле действует на заряд,
всё время остаётся прямым. Иными словами, заряд перемещается перпендикулярно вектору напряжённости.
179
3.5
Проводники в электрическом поле
Если полюса батарейки замкнуть металлической проволокой, по ней пойдёт электрический ток. Заменим проволоку стеклянной палочкой — никакого тока не возникнет. Металл является проводником, а стекло — диэлектриком.
Проводники отличаются от диэлектриков наличием свободных зарядов — заряженных ча- стиц, положение которых не связано с какой-то точкой внутри вещества. Свободные заряды приходят в движение под действием электрического поля и могут перемещаться по всему объ-
ёму проводника.
Проводники — это в первую очередь металлы. В металлах свободными зарядами являются свободные электроны. Откуда они там берутся? Это особенность металлической связи. Дело в том, что валентный электрон, находящийся на внешней электронной оболочке атома металла,
весьма слабо связан с атомом. При взаимодействии атомов металла их валентные электроны покидают свои оболочки, «отправляясь в путешествие» по всему пространству металла
5
Проводниками являются также электролиты. Так называются растворы и расплавы, сво- бодные заряды в которых возникают в результате диссоциации молекул на положительные и отрицательные ионы. Бросим, например, в стакан воды щепотку поваренной соли. Молекулы
NaCl распадутся на ионы Na
+
и Cl
−
. Под действием электрического поля эти ионы начнут упорядоченное движение, и возникнет электрический ток.
Природная вода, даже пресная, является проводником из-за растворённых в ней солей
6
(но,
конечно, не таким хорошим, как металлы). Человеческое тело в основным состоит из воды, в которой также растворены соли (хлориды натрия, калия, кальция, магния). Поэтому наше тело также служит проводником электрического тока.
Из-за наличия свободных зарядов, способных перемещаться по всему объёму, проводники обладают некоторыми характерными общими свойствами.
3.5.1
Поле внутри проводника
Первое общее свойство проводников в электростатическом поле состоит в том, что напряжён- ность поля внутри проводника везде равна нулю.
Докажем от противного, как в математике. Предположим, что в какой-то области проводни- ка имеется электрическое поле. Тогда под действием этого поля свободные заряды проводника начнут направленное движение. Возникнет электрический ток — а это противоречит тому, что мы находимся в электростатике.
Конечно, такое рассуждение не оставляет ощущения удовлетворённости. Хотелось бы по- нять, почему обнуляется поле внутри проводника. Давайте попробуем.
Рассмотрим незаряженный проводящий шар, помещённый во внешнее электростатическое поле E. Для простоты считаем это поле однородным, но наши рассуждения останутся верными и в общем случае.
Под действием электрического поля E свободные электроны нашего шара скапливаются в левом его полушарии, которое заряжается отрицательно. Справа остаётся нескомпенсирован- ный положительный заряд. Возникновение этих зарядов, как вы помните, называется элек- тростатической индукцией: заряды на поверхности проводника индуцируются (т. е. наводятся)
внешним электростатическим полем. Подчеркнём ещё раз, что происходит реальное разделение зарядов: если сейчас распилить шар по диаметру в вертикальной плоскости, то получатся два разноимённо заряженных полушария.
5
В узлах кристаллической решётки остаются положительные ионы. Казалось бы, они должны разлететься под действием кулоновских сил. Но нет — промежутки между ионами заполнены «газом» свободных электронов,
который играет роль клея, держащего всю кристаллическую решётку
6
Поэтому нельзя купаться во время грозы!
180
Индуцированные заряды создают своё поле E
i
, направление которого внутри шара оказы- вается противоположным внешнему полю (рис.
3.23
).
E
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
i
Рис. 3.23. E
i
= E
Перестроение свободных зарядов шара продолжается до тех пор, пока поле E
i не компенси- рует полностью внешнее поле E во всей области внутри шара. При наступлении этого момента
(а наступает он почти мгновенно) результирующее
поле внутри шара станет равным нулю,
дальнейшее движение зарядов прекратится, и они окончательно займут свои фиксированные статические положения на поверхности шара.
А что будет в области снаружи шара? Поле E
i и тут наложится на внешнее поле E, искажая его тем сильнее, чем ближе к шару расположена точка наблюдения. На больших расстояниях от шара внешнее поле почти не изменится. В результате картина линий напряжённости будет иметь примерно следующий вид (рис.
3.24
).
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
Рис. 3.24. Поле внутри проводника равно нулю
До сих пор наши рассуждения относились к случаю незаряженного проводника. Что изме- нится, если проводнику, помещённому в электростатическое поле, сообщить вдобавок некото- рый заряд q?
Легко понять, что результирующее поле внутри проводника всё равно окажется равным нулю. В самом деле, заряд q начнёт перераспределяться по поверхности проводника таким об- разом, что поле E
i этого заряда внутри проводника будет направлено против внешнего элек- тростатического поля E. Перераспределение будет продолжаться до тех пор, пока оба поля E
и E
i не компенсируют друг друга во всей внутренней области проводника.
Таким образом, поле внутри проводника равно нулю вне зависимости от того, заряжен проводник или нет. Любой проводник, помещённый в электростатическое поле, как бы «вы- талкивает» внешнее поле из своей внутренней области.
181
3.5.2
Заряд внутри проводника
Следующий общее свойство проводников состоит в том, что объёмная плотность зарядов внут- ри проводника везде равна нулю. Сформулируем это более подробно.
Какую бы область внутри проводника мы ни взяли, её суммарный заряд окажется равен нулю. Нескомпенсированные заряды, если они имеются, располагаются целиком на поверхно- сти проводника.
Строгое доказательство этого утверждения опирается на фудаментальную теорему Гаусса,
которую в школе не проходят. А неформальное объяснение очень простое: если бы внутри проводника имелись нескомпенсированые заряды, то они создавали бы там электрическое поле.
Но электрического поля внутри проводника нет — стало быть, нет и зарядов.
Отсюда следует ещё один замечательный факт: если внутри проводника имеется полость,
то поле в этой полости равно нулю. В самом деле, создадим внутри проводника полость, изъяв часть вещества. Поле как было равно нулю до изъятия, так нулевым и останется — ведь заряд вынутого вещества равен нулю! Наши манипуляции не изменили ту статическую конфигура- цию зарядов на поверхности проводника, которая создаёт нулевое поле во всех точках внутри проводника.
На явлении исчезновения поля в полости внутри проводника основана так называемая элек- тростатическая защита. Если нужно уберечь от внешних электростатических полей какое- либо устройство, его помещают в металлический ящик (или окружают металлической сеткой),
обнуляя напряжённость поля в пространстве вокруг устройства.
3.5.3
Поле вне проводника
Теперь рассмотрим область пространства, внешнюю по отношению к проводнику. Оказывает- ся, линии напряжённости электрического поля входят в проводник (или выходят из него)
перпендикулярно поверхности проводника.
Посмотрите ещё раз на рис.
3.24
. Вы видите, что любая силовая линия, пересекающая шар,
направлена точно под прямым углом к его поверхности.
Почему так получается? Давайте снова проведём доказательство от противного. Предполо- жим, что в некоторой точке поверхности проводника силовая линия не перпендикулярна по- верхности. Тогда в данной точке имеется составляющая вектора напряжённости, направленная по касательной к поверхности проводника — так называемая касательная составляющая век- тора напряжённости. Под действием этой касательной составляющей возникнет электрический ток — а это противоречит тому, что мы находимся в электростатике.
Иными словами, заряды на поверхности проводника (при помещении проводника во внешнее поле или при сообщении проводнику заряда)
перестраиваются до тех пор, пока линии напря- жённости, уходящие в окружающее пространство, в каждой точке поверхности проводника не окажутся перпендикулярны этой поверхности (а внутри проводника не исчезнут вовсе).
3.5.4
Потенциал проводника
Раньше мы говорили о потенциале той или иной точки электростатического поля. Большой интерес представляют множества точек, потенциал которых одинаков. Один пример такого множества мы знаем — это эквипотенциальные поверхности. Другим замечательным примером служит проводник.
Все точки проводника имеют одинаковый потенциал. Иными словами, разность потен- циалов между любыми двумя точками проводника равна нулю.
182
В самом деле, если бы между какой-либо парой точек проводника существовала ненулевая разность потенциалов, возник бы ток от одной точки к другой — ведь в этом случае электриче- ское поле совершало бы ненулевую работу по перемещению зарядов между данными точками.
Но в электростатике никакого тока быть не может.
Потенциал какой-либо (и тогда любой) точки проводника называется потенциалом провод- ника.
Как видим, проводник представляет собой «эквипотенциальный объём». В частности, по- верхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Это даёт дополнительное объяснение утверждения предыдущего пункта — мы же знаем, что линии напряжённости элек- тростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
3.5.5
Напряжённость и потенциал поля проводящей сферы
Рассмотрим металлическую сферу радиуса R, которой сообщён заряд q. Нас интересуют на- пряжённость и потенциал электростатического поля, создаваемое сферой в каждой точке про- странства.
Везде далее сферу можно заменить шаром — от этого ровным счётом ничего не изменится.
Начнём с напряжённости поля. Внутри сферы, как мы уже знаем, напряжённость поля равна нулю. Вне сферы напряжённость оказывается такой же, как если бы заряд q был точечным и находился в центре сферы. Итак:
E =
kq r
2
,
если r
> R;
0,
если r < R.
На рис.
3.25
показаны линии напряжённости поля положительно заряженной сферы и гра- фик зависимости модуля вектора напряжённости от расстояния до центра сферы.
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
E
R
kq
R
2
r
Рис. 3.25. Напряжённость поля заряженной сферы
Потенциал поля вне сферы равен потенциалу поля точечного заряда q, расположенного в центре сферы. Внутри сферы потенциал везде одинаков и совпадает с потенциалом точек поверхности сферы:
ϕ =
kq r
,
если r
> R;
kq
R
,
если r < R.
183
Вот как выглядит график зависимости потенциала положительно заряженной сферы от расстояния до её центра (рис.
3.26
):
r
ϕ
R
kq
R
Рис. 3.26. Потенциал поля заряженной сферы
184
3.6
Диэлектрики в электрическом поле
В отличие от проводников, в диэлектриках нет свободных зарядов. Все заряды являются свя- занными: электроны принадлежат своим атомам, а ионы твёрдых диэлектриков колеблются вблизи узлов кристаллической решётки.
Соответственно, при помещении диэлектрика в электрическое поле не возникает направлен- ного движения зарядов
7
. Поэтому для диэлектриков не проходят наши доказательства свойств проводников — ведь все эти рассуждения опирались на возможность появления тока. И дей- ствительно, ни одно из четырёх свойств проводников, сформулированных в предыдущей статье,
не распростаняется на диэлектрики.
1. Напряжённость электрического поля внутри диэлектрика может быть не равна нулю.
2. Объёмная плотность заряда в диэлектрике может быть отличной от нуля.
3. Линии напряжённости могут быть не перпендикулярны поверхности диэлектрика.
4. Различные точки диэлектрика могут иметь разный потенциал. Стало быть, говорить о
«потенциале диэлектрика» не приходится.
3.6.1
Диэлектрическая проницаемость
Но тем не менее, одно важнейшее общее свойство у диэлектриков имеется, и вам оно известно
(вспомните формулу напряжённости поля точечного заряда в диэлектрике!). Напряжённость поля уменьшается внутри диэлектрика в некоторое число ε раз по сравнению с вакуумом.
Величина ε даётся в таблицах и называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика.
Давайте разберёмся, каковы причины ослабления поля в диэлектрике. Рассмотрим диэлек- трик, помещённый во внешнее однородное (для простоты) поле E
0
. Опыт показывает, что на противоположных поверхностях диэлектрика появляются заряды разных знаков.
E
0
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
i
E
0
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
Рис. 3.27. Ослабление поля внутри диэлектрика
Эти индуцированные заряды расположены так, что создаваемое ими поле E
i внутри ди- электрика направлено против внешнего поля E
0
(рис.
3.27
, слева). При этом E
i
< E
0
, так что внешнее поле ослабляется лишь частично (а не гасится полностью, как внутри проводника).
Результирующее поле внутри диэлектрика равно:
E = E
0
− E
i
7
Впрочем, в достаточно сильном электрическом поле может случиться пробой диэлектрика (пример — мол- ния во время грозы). Подобное явление мы изучим позже, при рассмотрении электрического тока в газах.
185
Мы видим, что E < E
0
. Данный факт как раз и подчёркивается следующей формой записи:
E =
E
0
ε
Результирующее поле E направлено в ту же сторону, что и внешнее поле E
0
(рис.
3.27
, справа;
искажение поля снаружи диэлектрика считаем пренебрежимо малым).
Хорошо, но откуда в диэлектрике берутся поверхностные индуцированные заряды? Это —
явление поляризации, свойственное всем диэлектрикам. Механизмы поляризации могут быть различными. Мы рассмотрим два типа поляризации: ориентационную и электронную.
3.6.2
Полярные диэлектрики
Молекулы полярных диэлектриков с точки зрения электрических свойств являются диполями.
+
−
Рис. 3.28. Диполь
Диполь — это система двух одинаковых по модулю и проти- воположных по знаку зарядов, находящихся на некотором рас- стоянии друг от друга (рис.
3.28
).
Например, в молекуле поваренной соли NaCl одинокий внеш- ний электрон натрия захватывается атомом хлора (которому как раз недостаёт одного электрона до полного комплекта из 8
электронов на внешней оболочке).
Молекула становится диполем, состоящим из положитель- ного иона Na
+
и отрицательного иона Cl
−
Как диполи ведут себя молекулы воды. Это связано с геометрией их строения: молекула воды похожа на треугольник, в вершинах которого расположены два атома водорода и один атом кислорода. В результате центры положительных и отрицательных зарядов молекулы ока- зываются в разных местах, что и наделяет молекулу свойствами диполя.
К полярным диэлектрикам относятся также низкомолекулярные спирты и ряд других ве- ществ.
При отсутствии внешнего электрического поля молекулы-диполи полярного диэлектрика,
совершая хаотическое тепловое движение, ориентированы в самых разных направлениях. Элек- трические поля этих диполей полностью компенсируют друг друга, и результирующее поле равно нулю во всех областях диэлектрика.
Но если поместить такой диэлектрик во внешнее поле E
0
, то оно «развернёт» диполи так, что они окажутся ориентированными вдоль линий напряжённости («минусы» диполей повернутся влево — к тем «плюсам», которые создают внешнее поле). Это показано на рис.
3.29
E
0
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
Рис. 3.29. Ориентационная поляризация
Разумеется, в реальности не будет столь идеально правильного порядка расположения дипо- лей — ведь они по-прежнему совершают хаотическое тепловое движение. Но теперь у диполей появится преимущественная ориентация — вдоль линий напряжённости внешнего поля.
186
Итак, что же мы видим на рис.
3.29
? Внутри диэлектрика заряды диполей по-прежнему ком- пенсируют друг друга. Однако на внешних поверхностях диэлектрика появляются нескомпен- сированные заряды: справа — положительные, слева — отрицательные. Именно эти заряды и показаны на рис.
3.27
; благодаря им как раз и возникает встречное поле E
i
, ослабляющее внешнее поле E
0
Итак, механизм ориентационной поляризации ясен: поворот молекул-диполей и их ориента- ция вдоль линий напряжённости внешнего поля.
3.6.3
Неполярные диэлектрики
Далеко не все диэлектрики являются полярными. Диэлектрик называется неполярным, если его молекулы имеют симметричное распределение положительных и отрицательных зарядов
8
и потому не ведут себя как диполи. К неполярным диэлектрикам относятся, например, керосин,
масло, воздух, инертные газы.
Скачать 4.04 Mb.