= 10 м/с. Через какое время камень упадёт на землю?
Решение. Направим ось OY вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли.
Берём формулу y = y
0
+ v
0y t +
a y
t
2 2
Имеем: y = 0, y
0
= h, v
0y
= v
0
, a y
= −g, так что 0 = h + v
0
t −
gt
2 2
= 15 + 10t − 5t
2
, или t
2
− 2t − 3 = 0. Решая квадратное уравнение, получим t = 3 c.
39
1.4.5
Горизонтальный бросок
Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью v
0
с высоты h. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат OXY так, как показано на рис.
1.15
O
X
Y
v
0
h
g
Рис. 1.15. Горизонтальный бросок
Используем формулы:
x = x
0
+ v
0x t +
a x
t
2 2
,
y = y
0
+ v
0y t +
a y
t
2 2
В нашем случае x
0
= 0, v
0x
= v
0
, a x
= 0, y
0
= h, v
0y
= 0, a y
= −g. Получаем:
x = v
0
t,
y = h −
gt
2 2
(1.45)
Время полёта T найдём из условия, что в момент падения координата тела y обращается в нуль:
y(T ) = 0 ⇒ h −
gT
2 2
= 0 ⇒ T =
s
2h g
Дальность полёта L — это значение координаты x в момент времени T :
L = x(T ) = v
0
T = v
0
s
2h g
Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (
1.45
). Выражаем t из пер- вого уравнения и подставляем во второе:
t =
x v
0
⇒
y = h −
g
2
x v
0
2
= h −
gx
2 2v
2 0
Получили зависимость y от x, которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.
40
1.4.6
Бросок под углом к горизонту
Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошен- ного под углом к горизонту.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью v
0
, направленной под углом α к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.
Выберем систему координат OXY так, как показано на рис.
1.16
O
X
Y
α
v
0
g
Рис. 1.16. Бросок под углом к горизонту
Начинаем с уравнений:
x = x
0
+ v
0x t +
a x
t
2 2
,
y = y
0
+ v
0y t +
a y
t
2 2
В нашем случае x
0
= y
0
= 0, v
0x
= v
0
cos α, v
0y
= v
0
sin α, a x
= 0, a y
= −g. Получаем:
x = (v
0
cos α)t,
y = (v
0
sin α)t −
gt
2 2
Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:
T =
2v
0
sin α
g
,
L =
v
2 0
sin 2α
g
,
y = x tg α −
gx
2 2v
2 0
cos
2
α
(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость y от x снова является уравнением параболы.
Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:
H =
v
2 0
sin
2
α
2g
41
1.5
Равномерное движение по окружности
Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.
Пусть точка вращается по окружности радиуса r. Скорость точки постоянна по модулю и равна v. Скорость v называется линейной скоростью точки.
Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода T имеем очевидную формулу:
T =
2πr v
(1.46)
Частота обращения — это величина, обратная периоду:
ν =
1
T
Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется ча- стота в об/с (обороты в секунду).
Пусть, например, T = 0,1 с. Это означает, что за время 0,1 с точка совершает один полный оборот. Частота при этом равна: ν = 1/0,1 = 10 об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.
1.5.1
Угловая скорость
Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат O в центре окружности (рис.
1.17
).
O
X
Y
M
v x
y
a r
ϕ
M
0
Рис. 1.17. Равномерное движение по окружности
Пусть M
0
— начальное положение точки; иными словами, при t = 0 точка имела координаты
(r, 0). Пусть за время t точка повернулась на угол ϕ и заняла положение M .
Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:
ω =
ϕ
t
(1.47)
Угол ϕ, как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с.
42
За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол 2π. Поэтому
ω =
2π
T
(1.48)
Сопоставляя формулы (
1.46
) и (
1.48
), получаем связь линейной и угловой скоростей:
v = ωr.
(1.49)
1.5.2
Закон движения
Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис.
1.17
, что x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.
Но из формулы (
1.47
) имеем: ϕ = ωt. Следовательно,
x = r cos ωt,
y = r sin ωt.
(1.50)
Формулы (
1.50
) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.
1.5.3
Центростремительное ускорение
Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продиффе- ренцировав соотношения (
1.50
):
v x
= ˙x = −ωr sin ωt,
v y
= ˙
y = ωr cos ωt,
a x
= ˙v x
= −ω
2
r cos ωt,
a y
= ˙v y
= −ω
2
r sin ωt.
С учётом формул (
1.50
) имеем:
a x
= −ω
2
x,
a y
= −ω
2
y.
(1.51)
Полученные формулы (
1.51
) можно записать в виде одного векторного равенства:
a = −ω
2
r,
(1.52)
где
r — радиус-вектор вращающейся точки.
Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис.
1.17
). Поэтому ускорение точки,
равномерно движущейся по окружности,
называется центростремительным.
Кроме того, из формулы (
1.52
) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:
a = ω
2
r.
(1.53)
Выразим угловую скорость из (
1.49
):
ω =
v r
и подставим в (
1.53
). Получится ещё одна формула для центростремительного ускорения:
a =
v
2
r
(1.54)
Заметив также, что ω
2
r = ω(ωr) = ωv, из (
1.53
) получаем и такую формулу:
a = ωv.
Наиболее употребительны формулы (
1.53
) и (
1.54
); именно они обычно используются при решении задач.
43
1.5.4
Почему ускорение направлено к центру окружности?
Напомним, что направление центростремительного ускорения (к центру окружности) мы вы- яснили с помощью математической процедуры — получив формулу (
1.52
) двукратным диффе- ренцированием закона движения (
1.50
). Теперь хотелось бы с физической точки зрения понять,
почему ускорение направлено именно в центр.
Воспользуемся определением ускорения:
a =
d
v dt
= lim
∆t→0
∆
v
∆t
= lim
∆t→0
v(t + ∆t) −
v(t)
∆t
То есть, мы берём вектор скорости в момент времени t и в близкий момент времени t + ∆t,
находим изменение скорости ∆
v =
v(t + ∆t) −
v(t) за время ∆t, а затем устремляем ∆t к нулю и смотрим, к чему стремится дробь ∆
v/∆t.
На рис.
1.18
(слева) показаны два последовательных положения вращающейся точки: поло- жение A в момент времени t и положение B в момент времени t + ∆t. Изображены векторы
v(t) и
v(t + ∆t); интервал ∆t выбран не очень малым, чтобы ясно видны были геометрические построения. Вектор
v(t + ∆t) с началом в точке B перенесён параллельно так, чтобы его на- чало оказалось в точке A, после чего построена разность ∆
v. Наконец, показан вектор ∆
v/∆t с началом в исходной точке A; этот вектор направлен внутрь окружности, но пока не точно в центр — ведь величина ∆t пока не слишком мала.
v(t)
v(t + ∆t)
∆
v
∆
v
∆t
A
B
∆
v
∆t
A
Рис. 1.18. Направление вектора ∆
v/∆t при уменьшении ∆t
На правом рисунке изображено всё то же самое, но для меньшего значения ∆t (почти все обозначения убраны, чтобы не загромождать рисунок). Мы видим, что в этом случае вектор
∆
v/∆t направлен существенно ближе к центру окружности.
Теперь становится ясно, какая картина получится в пределе при ∆t → 0. Точка B сольётся с точкой A, и приложенный в точке A вектор ускорения a = lim
∆t→0
∆
v/∆t будет направлен строго в центр окружности.
44
1.6
Путь при неравномерном движении
Сейчас мы будем рассматривать неравномерное движение — то есть движение, при котором абсолютная величина скорости меняется со временем. Оказывается, существует простая гео- метрическая интерпретация пути, пройденного телом при произвольном движении.
Начнём с равномерного движения. Пусть скорость тела постоянна и равна v. Возьмём два момента времени: начальный момент t
1
и конечный момент t
2
. Длительность рассматриваемого промежутка времени равна ∆t = t
2
− t
1
Очевидно, что за промежуток времени [t
1
, t
2
] тело проходит путь:
s = v(t
2
− t
1
) = v∆t.
(1.55)
Давайте построим график зависимости скорости от времени. В данном случае это будет прямая, параллельная оси абсцисс (рис.
1.19
).
t v
v t
1
t
2
∆t
Путь = v∆t
Рис. 1.19. Путь при равномерном движении
Нетрудно видеть, что пройденный путь равен площади прямоугольника, расположенного под графиком скорости. В самом деле, первый множитель v в формуле (
1.55
) есть вертикальная сторона этого прямоугольника, а второй множитель ∆t — его горизонтальная сторона.
Теперь нам предстоит обобщить эту геометрическую интерпретацию на случай неравномер- ного движения.
Пусть скорость тела v зависит от времени, и на рассматриваемом промежутке [t
1
, t
2
]
график скорости выглядит, например, так (рис.
1.20
):
t v
t
1
t
2
Рис. 1.20. Неравномерное движение
Дальше мы рассуждаем следующим образом.
1. Разобьём наш промежуток времени [t
1
, t
2
] на небольшие отрезки величиной ∆t.
45
2. Предположим, что на каждом таком отрезке тело движется с постоянной скоростью.
То есть, плавное изменение скорости заменим ступенчатой аппроксимацией
4
: в течение каждого небольшого отрезка времени тело движется равномерно, а затем скорость тела мгновенно и скачком меняется.
На рис.
1.21
показаны две ступенчатые аппроксимации. Ширина ступенек ∆t на правом рисунке вдвое меньше, чем на левом.
t v
t
1
t
2
t v
t
1
t
2
Рис. 1.21. Ступенчатая аппроксимация
Путь, пройденный за время ∆t равномерного движения — это площадь прямоугольника,
расположенного под ступенькой. Поэтому путь, пройденный за всё время такого «ступен- чатого» движения — это сумма площадей всех прямоугольников на графике.
3. Теперь устремляем ∆t к нулю. Ясно, что в пределе наша ступенчатая аппроксимация перейдёт в исходный график скорости на рис.
1.20
. Сумма площадей прямоугольников перейдёт в площадь под графиком скорости; следовательно, эта площадь и есть путь,
пройденный телом за время от t
1
до t
2
(рис.
1.22
).
t
1
t
2
t v
Путь
Рис. 1.22. Путь при неравномерном движении
В итоге мы приходим к нужному нам обобщению геометрической интерпретации пути, по- лученной выше для случая равномерного движения.
Геометрическая интерпретация пути. Путь, пройденный телом при любом движении, ра- вен площади под графиком скорости на заданном промежутке времени.
Посмотрим, как работает эта геометрическая интерпретация в важном частном случае рав- ноускоренного движения.
4
Аппроксимация — это приближённая замена достаточно сложного объекта более простой моделью, которую удобнее изучать.
46
Задача. Тело, имеющее скорость v
0
в начальный момент t = 0, разгоняется с постоянным ускорением a. Найти путь, пройденный телом к моменту времени t.
Решение. Зависимость скорости от времени в данном случае имеет вид:
v = v
0
+ at.
(1.56)
График скорости — прямая, изображённая на рис.
1.23
. Искомый путь есть площадь трапе- ции, расположенной под графиком скорости.
t v
t v
0
v
0
Рис. 1.23.
Путь при равноускоренном движенииМеньшее основание трапеции равно v
0
. Большее основание равно v = v
0
+ at. Высота трапе- ции равна t. Поскольку площадь трапеции есть произведение полусуммы оснований на высоту,
имеем:
s =
v
0
+ v
2
· t =
v
0
+ (v
0
+ at)
2
· t =
2v
0
+ at
2
· t =
2v
0
t + at
2 2
Эту формулу можно переписать в более привычном виде:
s = v
0
t +
at
2 2
Она, разумеется, вам хорошо известна из темы «Равноускоренное движение».
Задача. График скорости тела является полуокружностью диаметра τ (рис.
1.24
). Максималь- ная скорость тела равна v. Найти путь, пройденный телом за время τ .
t v
v
τ
0
Рис. 1.24. К задаче
Решение. Как вы знаете, площадь круга радиуса R
равна πR
2
. Но в данной задаче необходимо учесть,
что радиусы полуокружности имеют разные размер- ности: горизонтальный радиус есть время τ /2, а вер- тикальный радиус есть скорость v.
Поэтому пройденный путь, вычисляемый как пло- щадь полукруга, равен половине произведения π на горизонтальный радиус и на вертикальный радиус:
s =
1 2
· π ·
τ
2
· v =
πvτ
4 47
1.7
Первый закон Ньютона
Все тела в природе взаимодействуют друг с другом. Однако в некоторых ситуациях воздействия на данное тело со стороны других тел можно не принимать во внимание.
Так, космический корабль в далёком межзвёздном пространстве практически не испытывает гравитационного притяжения объектов Вселенной из-за их колоссальной удалённости
5
. Лежа- щий на столе карандаш притягивается к Земле, но действие Земли компенсируется упругой реакцией стола, и поэтому карандаш находится в покое, словно никакие силы на него вообще не действуют.
Во всех подобных случаях будем называть тело свободным.
Тело называется свободным, если действия на него со стороны других тел или пренебре- жимо малы, или компенсируют друг друга.
1.7.1
Инерциальные системы отсчёта
Повседневный опыт говорит о том, что свободные тела покоятся — как упомянутый карандаш на столе. Поэтому долгое время считалось, что для поддержания какого бы то ни было дви- жения необходимо осуществлять нескомпенсированное внешнее воздействие со стороны других тел.
Но это оказалось неверным. Как установил Галилей, свободное тело может не только нахо- диться в покое, но и двигаться равномерно и прямолинейно! Именно состояние равномерного прямолинейного движения является «естественным» для свободного тела; покой же — частный случай такого движения со скоростью, равной нулю.
Следует учесть, однако, что движение относительно: оно
рассматривается не само по себе,
а в определённой системе отсчёта. В различных же системах отсчёта движение данного тела будет выглядеть по-разному.
Так, дом с точки зрения неподвижно стоящего наблюдателя будет находиться в покое: сила притяжения дома к Земле компенсируется силой упругости почвы. Если наблюдатель движется относительно земли равномерно и прямолинейно, то и дом относительно наблюдателя будет совершать равномерное прямолинейное движение в полном соответствии с выводами Галилея —
ведь дом является свободным телом!
Но если у наблюдателя заплетаются ноги и он бредёт, шатаясь, то ему будет казаться, что дом раскачивается в разные стороны. В этой системе отсчёта дом, будучи свободным телом,
совершает отнюдь не равномерное и прямолинейное движение.
Таким образом, утверждение Галилея верно не во всей общности: не во всякой системе отсчёта свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Но всё же такие системы отсчёта существуют (существуют «хорошие» наблюдатели!), и в этом состоит первый закон Ньютона.
Первый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчёта, относительно которых свобод- ное тело движется равномерно и прямолинейно.
Свойство свободного тела сохранять скорость неизменной называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют ещё законом инерции. Равномерное прямолинейное движение свободного тела называется движением по инерции.
Система отсчёта, относительно которой свободное тело движется равномерно и прямоли- нейно, называется инерциальной. Первый закон Ньютона — это постулат
6
о существовании
5
Согласно закону всемирного тяготения гравитационные силы обратно пропорциональны квадрату расстоя- ния между телами.
6
Постулат — первичное утверждение физики, не выводимое из каких-либо иных утверждений. Постулат есть констатация факта: таким вот образом ведёт себя природа. Сформулировать тот или иной постулат можно лишь на основании наблюдений и физических экспериментов.
48
инерциальных систем отсчёта. В инерциальных системах отсчёта механические явления опи- сываются наиболее просто.
В действительности инерциальных систем отсчёта существует бесконечно много: всякая си- стема отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы равномерно и прямоли- нейно, сама является инерциальной.
Система отсчёта, которая движется относительно инерциальной системы отсчёта с ускорени- ем, является неинерциальной. В такой «плохой» системе отсчёта свободное тело будет двигаться с ускорением, что усложнит описание его движения.
С достаточно высокой точностью можно считать инерциальной гелиоцентрическую систе- му (систему Коперника). Это система отсчёта, начало которой помещено в центре Солнца, а координатные оси направлены на три какие-либо удалённые звезды, которые можно принять за неподвижные.
Инерциальной часто можно считать систему отсчёта, связанную с земной поверхностью.
Это, однако, более грубое приближение — ведь мы тем самым отвлекаемся от вращения Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца. Так, звезда, неподвижная в системе Коперника, в зем- ной системе будет совершать сложное движение в виде наложения двух вращений (суточного и годового). Однако в большинстве явлений, происходящих на поверхности Земли, неинерци- альность земной системы отсчёта практически никак не сказывается, и ею можно пренебречь.
1.7.2
Принцип относительности
Галилей заметил, что, находясь в трюме корабля, никакими
механическими опытами невозмож- но установить, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Это означает,
что инерциальные системы отсчёта совершенно неотличимы друг от друга с точки зрения за- конов механики. Иными словами, верен принцип относительности Галилея.
Принцип относительности Галилея. Всякое механическое явление при одних и тех же на- чальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.
Впоследствии Эйнштейн распространил этот принцип с механических явлений на вообще все физические явления. Общий принцип относительности Эйнштейна лёг в основу теории относительности.
Принцип относительности Галилея и Эйнштейна мы обсудим подробнее при изучении основ специальной теории относительности.
49
1.8
Масса и плотность
Масса — одна из самых фундаментальных физических величин. Масса характеризует сразу несколько свойств тела и обладает рядом важных свойств.
1. Масса служит мерой содержащегося в теле вещества.
2. Масса является мерой инертности тела. Инертностью называется свойство тела сохра- нять свою скорость неизменной (в инерциальной системе отсчёта), когда внешние воз- действия отсутствуют или компенсируют друг друга. При наличии внешних воздействий инертность тела проявляется в том, что его скорость меняется не мгновенно, а постепенно,
и тем медленнее, чем больше инертность (т. е. масса) тела.
3. Массы тел являются причиной их гравитационного притяжения друг к другу (см. раздел
«Сила тяготения»).
4. Масса тела равна сумме масс его частей. Это так называемая аддитивность массы. Ад- дитивность позволяет использовать для измерения массы эталон — 1 кг.
5. Масса изолированной системы тел не меняется со временем (закон сохранения массы).
6. Масса тела не зависит от скорости его движения. Масса не меняется при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Плотностью однородного тела называется отношение массы тела к его объёму:
ρ =
m
V
Плотность не зависит от геометрических свойств тела (формы, объёма) и является характе- ристикой вещества тела. Плотности веществ представлены в справочных таблицах. Желательно помнить плотность воды: 1000 кг/м
3 50
1.9
Второй и третий законы Ньютона
Взаимодействие тел можно описывать с помощью понятия силы. Сила — это векторная вели- чина, являющаяся мерой воздействия одного тела на другое.
Будучи вектором, сила характеризуется модулем (абсолютной величиной) и направлением в пространстве. Кроме того, важна точка приложения силы: одна и та же по модулю и направ- лению сила, приложенная в разных точках протяжённого тела, может оказывать различное воздействие. Так, если взяться за обод велосипедного колеса и потянуть по касательной к обо- ду, то колесо начнёт вращаться. Если же тянуть вдоль радиуса, никакого вращения не будет.
1.9.1
Принцип суперпозиции
Опыт показывает, что если на данное тело
7
действуют несколько других тел, то соответствую- щие силы складываются как векторы. Более точно, справедлив принцип суперпозиции.
Принцип суперпозиции сил. Пусть на тело действуют силы
F
1
,
F
2
, . . . ,
F
n
. Если заменить их одной силой
F =
F
1
+
F
2
+ . . . +
F
n
, то результат воздействия не изменится.
Сила
F называется равнодействующей сил
F
1
,
F
2
, . . . ,
F
n или результирующей силой
8 1.9.2
Второй закон Ньютона
Если равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю (то есть воздействия других тел компенсируют друг друга), то в силу первого закона Ньютона найдутся такие системы отсчёта
(называемые инерциальными), в которых движение тела будет равномерным и прямолинейным.
Но если равнодействующая не обращается в нуль, то в инерциальной системе отсчёта у тела появится ускорение.
Количественную связь между ускорением и силой даёт второй закон Ньютона.
Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на вектор
ускорения есть равнодейству- ющая всех сил, приложенных к телу: ma =
F .
Подчеркнём, что второй закон Ньютона связывает векторы ускорения и силы. Это означает,
что справедливы следующие утверждения.
1. ma = F , где a — модуль ускорения, F — модуль равнодействующей силы.
2. Вектор ускорения сонаправлен с вектором равнодействующей силы, так как масса тела положительна.
Например, если тело равномерно движется по окружности, то его ускорение направлено к центру окружности. Стало быть, к центру окружности направлена и равнодействующая всех сил, приложенных к телу.
Второй закон Ньютона справедлив не в любой системе отсчёта. Вспомним шатающегося на- блюдателя (раздел «Первый закон Ньютона»): относительно него дом движется с ускорением,
хотя равнодействующая всех сил, приложенных к дому, равна нулю. Второй закон Ньютона выполняется лишь в инерциальных системах отсчёта, факт существования которых устанавли- вается первым законом Ньютона.
7
Напомним, что по умолчанию тело считается материальной точкой.
8
Если тело нельзя считать материальной точкой, то ситуация становится более сложной. Может оказаться,
что действие нескольких сил на протяжённое тело не совпадает с действием их векторной суммы. Простой пример такого рода — пара сил — будет рассмотрен в разделе «Статика твёрдого тела».
51
1.9.3
Третий закон Ньютона
Опыт показывает, что если тело А действует на тело В, то и тело В действует на тело А. Коли- чественную связь между действиями тел друг на друга даёт третий закон Ньютона («действие равно противодействию»).
Третий закон Ньютона. Два тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одну и ту же физическую природу и направлены вдоль прямой, соединяющей их точки приложения.
Например, если карандаш действует на стол с силой
P , направленной вниз, то стол дей- ствует на карандаш с силой
N , направленной вверх (рис.
1.25
). Эти силы равны по абсолютной величине.
P
N
Рис. 1.25.
P = −
N
Силы
P и
N , как видим, приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга (нет смысла говорить об их равнодействующей).
1.9.4
Скачать 4.04 Mb.