Моя прелесть. Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике

• Название: Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
• Анкор: Моя прелесть
• Дата: 04.02.2022
• Размер: 4.04 Mb.
• Имя файла: Моя прелесть.pdf
• Тип: Пособие; #351129
• страница: 4 из 34

Как найти закон движения?
Законы Ньютона позволяют решить основную задачу механики — найти закон движения тела.
В общих чертах схема действий такова.
1. Записываем второй закон Ньютона: ma =
F . С учётом того, что ускорение есть вторая производная радиус-вектора, второй закон Ньютона приобретает вид:
m d
2

r dt
2
=
F .
(1.57)
Необходимо также добавить начальные условия: в начальный момент времени t = 0 имеем

r =
r
0
и
v =
v
0
. Начальные значения радиус-вектора и скорости тела предполагаются известными — иначе движение тела нельзя будет описать однозначно.
Разумеется, должна быть известна и правая часть равенства (
1.57
) — равнодействующая

F всех сил, приложенных к телу.
2. Второй закон Ньютона в виде (
1.57
) является дифференциальным уравнением. Это урав- нение нужно проинтегрировать, то есть найти неизвестную функцию
r =
r(t) по извест- ной второй производной этой функции. Выполнив интегрирование, мы и определим закон движения.
Однако легко сказать — «выполнив интегрирование». Сила
F может зависеть от коорди- нат и скорости тела, а также от времени, вследствие чего интегрирование дифференциального уравнения (
1.57
) окажется весьма сложной задачей. Во многих практических ситуациях такая задача доступна лишь компьютеру.
52

Вот почему центральное место в школьной механике занимает равноускоренное движение:
оно происходит под действием постоянной силы, и в этом простейшем случае уравнение (
1.57
)
интегрируется элементарно. Имеем:
d
2

r dt
2
=

F
m
= a,
где a — постоянный вектор. Интегрируя один раз, с учётом начальных условий получим:
d
r dt
=
v
0
+ at.
Теперь интегрируем второй раз:

r =
r
0
+
v
0
t +
at
2 2
Получился уже известный вам закон равноускоренного движения.
Механика, основанная на законах Ньютона, называется классической механикой. Класси- ческая механика, однако, имеет ограниченную область применимости. В рамках классической механики хорошо описывается движение не очень маленьких тел с не очень большими скоро- стями. При описании атомов и элементарных частиц на замену классической механике при- ходит квантовая механика. Движение объектов со скоростями, близкими к скорости света,
происходит по законам теории относительности.
53

1.10
Сила упругости
Как мы знаем, в правой части второго закона Ньютона ma =
F стоит равнодействующая (то есть векторная сумма) всех сил, приложенных к телу. Теперь нам предстоит изучить силы взаимодействия тел в механике. Их три вида: сила упругости, гравитационная сила и сила трения. Начинаем с силы упругости.
1.10.1
Деформация
Силы упругости возникают при деформациях тел. Деформация — это изменение формы и раз- меров тела. К деформациям относятся растяжение, сжатие, кручение, сдвиг и изгиб.
Деформации бывают упругими и пластическими.
Упругая деформация полностью исчезает после снятия внешнего воздействия, которое вы- звало деформацию. В результате деформированное поначалу тело восстанавливает свои перво- начальные размеры и форму.
Пластическая деформация сохраняется (быть может, частично) после снятия внешней на- грузки, и тело уже не возвращается к прежним размерам и форме.
Частицы тела (молекулы или атомы) взаимодействуют друг с другом силами притяжения и отталкивания, имеющими электромагнитное происхождение (это силы, действующие между ядрами и электронами соседних атомов). Силы взаимодействия зависят от расстояний между частицами. Если деформации нет, то силы притяжения компенсируются силами отталкива- ния. При деформации изменяются расстояния между частицами, и баланс сил взаимодействия нарушается.
Например, при растяжении стержня расстояния между его частицами увеличиваются, и на- чинают преобладать силы притяжения. Наоборот, при сжатии стержня расстояния между ча- стицами уменьшаются, и начинают преобладать силы отталкивания. В любом случае возникает сила, которая направлена в сторону, противоположную деформации, и стремится восстановить первоначальную конфигурацию тела.
Сила упругости — это сила, возникающая при упругой деформации тела и направленная в сторону, противоположную смещению частиц тела в процессе деформации. Сила упругости:
1. действует между соседними слоями деформированного тела и приложена к каждому слою;
2. действует со стороны деформированного тела на соприкасающееся с ним тело, вызываю- щее деформацию, и приложена в месте контакта данных тел перпендикулярно их поверх- ностям (типичный пример — сила реакции опоры).
Силы, возникающие при пластических деформациях, не относятся к силам упругости. Эти силы зависят не от величины деформации, а от скорости её возникновения. Изучение таких сил выходит далеко за рамки школьной программы.
В школьной физике рассматриваются растяжения нитей и тросов, а также растяжения и сжатия пружин и стержней. Во всех этих случаях силы упругости направлены вдоль осей данных тел.
1.10.2
Закон Гука
Деформация называется малой, если изменение размеров тела много меньше его первоначаль- ных размеров. При малых деформациях зависимость силы упругости от величины деформации оказывается линейной.
Закон Гука. Абсолютная величина силы упругости прямо пропорциональна величине дефор- мации. В частности, для пружины, сжатой или растянутой на величину x, сила упругости
54

даётся формулой:
F = kx,
(1.58)
где k — коэффициент жёсткости пружины.
Коэффициент жёсткости зависит не только от материала пружины, но также от её формы и размеров.
Из формулы (
1.58
) следует, что график зависимости силы упругости от (малой) деформации является прямой линией (рис.
1.26
):
x
F
α
F = kx
Рис. 1.26. Закон Гука
Коэффициент жёсткости k — это угловой коэффициент в уравнении прямой F = kx. Поэто- му справедливо равенство:
k = tg α,
где α — угол наклона данной прямой к оси абсцисс. Это равенство удобно использовать при экспериментальном нахождении величины k.
Подчеркнём ещё раз, что закон Гука о линейной зависимости силы упругости от величи- ны деформации справедлив лишь при малых деформациях тела. Когда деформации перестают быть малыми, эта зависимость перестаёт быть линейной и приобретает более сложный вид.
Соответственно, прямая линия на рис.
1.26
— это лишь небольшой начальный участок криво- линейного графика, описывающего зависимость F от x при всех значениях деформации x.
1.10.3
Модуль Юнга
В частном случае малых деформаций стержней имеется более детальная формула, уточняю- щая общий вид (
1.58
) закона Гука.
Именно, если стержень длиной l и площадью поперечного сечения S растянуть или сжать на величину x, то для силы упругости справедлива формула:
F = ES
x l
Здесь E — модуль Юнга материала стержня. Этот коэффициент уже не зависит от гео- метрических размеров стержня. Модули Юнга различных веществ приведены в справочных таблицах.
55

1.11
Сила тяготения
Любые два тела притягиваются друг к другу — по той лишь одной причине, что они имеют массу. Эта сила притяжения называется силой тяготения или гравитационной силой.
1.11.1
Закон всемирного тяготения
Гравитационное взаимодействие любых двух тел во Вселенной подчиняется достаточно просто- му закону.
Закон всемирного тяготения. Две материальные точки массами m
1
и m
2
притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квад- рату расстояния r между ними:
F = G
m
1
m
2
r
2
(1.59)
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Это фунда- ментальная константа, и её численное значение было определено на основе эксперимента Генри
Кавендиша:
G = 6,67 · 10
−11
Н · м
2
кг
2
Порядок величины гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем взаим- ного притяжения окружающих нас предметов: гравитационные силы оказываются слишком малыми при небольших массах тел. Мы наблюдаем лишь притяжение предметов к Земле, мас- са которой грандиозна и равна примерно 6 · 10 24
кг.
Формула (
1.59
), будучи справедливой для материальных точек, перестаёт быть верной, если размерами тел пренебречь нельзя. Имеются, однако, два важных для практики исключения.
1. Формула (
1.59
) справедлива, если тела являются однородными шарами. Тогда r — рас- стояние между их центрами. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей центры шаров.
2. Формула (
1.59
) справедлива, если одно из тел — однородный шар, а другое — материаль- ная точка, находящаяся вне шара. Тогда r — расстояние от точки до центра шара. Сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей точку с центром шара.
Второй случай особенно важен, так как позволяет применять формулу (
1.59
) для силы притяжения тела (например, искусственного спутника) к планете.
1.11.2
Сила тяжести
Предположим, что тело находится вблизи некоторой планеты. Сила тяжести — это сила гра- витационного притяжения, действующая на тело со стороны планеты. В подавляющем боль- шинстве случаев сила тяжести — это сила притяжения к Земле.
Пусть тело массы m лежит на поверхности Земли. На тело действует сила тяжести mg, где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли. С другой стороны, считая Землю однородным шаром, можно выразить силу тяжести по закону всемирного тяготения:
mg = G
M m
R
2
,
где M — масса Земли, R ≈ 6400 км — радиус Земли. Отсюда получаем формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли:
g = G
M
R
2
(1.60)
56

Эта же формула, разумеется, позволяет найти ускорение свободного падения на поверхности любой планеты массы M и радиуса R.
Если тело находится на высоте h над поверхностью планеты, то для силы тяжести получаем:
mg(h) = G
M m
(R + h)
2
Здесь g(h) — ускорение свободного падения на высоте h:
g(h) = G
M
(R + h)
2
=
gR
2
(R + h)
2
В последнем равенстве мы воспользовались соотношением
GM = gR
2
,
которое следует из формулы (
1.60
).
1.11.3
Вес тела. Невесомость
Рассмотрим тело, находящееся в поле силы тяжести. Предположим, что есть опора или подвес,
препятствующие свободному падению тела. Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Подчеркнём, что вес приложен не к телу, а к опоре (подвесу).
m
g

N

P
Рис. 1.27. Сила тяжести, реакция опоры и вес тела
На рис.
1.27
изображено тело на опоре. Со стороны Земли на тело действует сила тяжести m
g (в случае однородного тела простой формы сила тяжести приложена в центре симметрии тела). Со стороны опоры на тело действует сила упругости
N (так называемая реакция опоры).
На опору со стороны тела действует сила
P — вес тела. По третьему закону Ньютона силы
P
и
N равны по модулю (P = N ) и противоположны по направлению.
Предположим, что тело покоится. Тогда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю. Имеем:
m
g +
N = 0 ⇒ m
g = −
N ⇒ mg = N.
С учётом равенства N = P получаем mg = P . Стало быть, если тело покоится, то его вес равен по модулю силе тяжести.
Рассмотрим две стандартные задачи, которые обязательно нужно уметь решать.
57

Задача. Тело массы m вместе с опорой движется с ускорением a, направленным вертикально вверх. Найти вес тела.
Решение. Направим ось Y вертикально вверх (рис.
1.28
).

N
m
g
Y
a
Рис. 1.28. Вес тела больше силы тяжести
Запишем второй закон Ньютона:
ma = m
g +
N .
Перейдём к проекциям на ось Y :
ma = N − mg.
Отсюда N = mg + ma = m(g + a). Следовательно, вес тела
P = m(g + a).
Как видим, вес тела больше силы тяжести. Такое состояние называется перегрузкой.
Задача. Тело массы m вместе с опорой движется с ускорением a 6 g , направленным верти- кально вниз. Найти вес тела.
Решение. Направим ось Y вертикально вниз (рис.
1.29
).

N
m
g
Y
a
Рис. 1.29. Вес тела меньше силы тяжести
Схема решения та же. Начинаем со второго закона Ньютона:
ma = m
g +
N .
Переходим к проекциям на ось Y :
ma = mg − N.
Отсюда N = mg − ma = m(g − a). Следовательно, вес тела
P = m(g − a).
В данном случае вес тела меньше силы тяжести. При a = g (свободное падение тела с опорой)
вес тела обращается в нуль. Это — состояние невесомости, при котором тело вообще не давит на опору.
58

1.11.4
Искусственные спутники
Для того, чтобы искусственный спутник мог совершать орбитальное движение вокруг планеты,
ему нужно сообщить определённую скорость. Найдём скорость кругового движения спутника на высоте h над поверхностью планеты. Масса планеты M , её радиус R (рис.
1.30
).

v

F
R
h
M
Планета массы M
Спутник массы m
Рис. 1.30. Спутник на круговой орбите
Спутник будет двигаться под действием единственной силы
F — силы всемирного тяготения,
направленной к центру планеты. Туда же направлено и ускорение спутника — центростреми- тельное ускорение a =
v
2
R + h
Обозначив через m массу спутника, запишем второй закон Ньютона в проекции на ось,
направленной к центру планеты: ma = F , или m
v
2
R + h
= G
M m
(R + h)
2
Отсюда получаем выражение для скорости:
v =
r
GM
R + h
Первая космическая скорость — это максимальная скорость кругового движения спутника,
отвечающая высоте h = 0. Для первой космической скорости имеем:
v
1
=
r
GM
R
,
или, с учётом формулы (
1.60
),
v
1
=
p gR .
Для Земли приближённо получаем:
v
1
=
√
10 · 6400000 = 8000 м/с = 8 км/с.
59

1.12
Сила трения
Сила трения — это сила взаимодействия между соприкасающимися телами, препятствую- щая перемещению одного тела относительно другого. Сила трения всегда направлена вдоль поверхностей соприкасающихся тел.
В школьной физике рассматриваются два вида трения.
1. Сухое трение. Оно возникает в зоне контакта поверхностей твёрдых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки.
2. Вязкое трение. Оно возникает при движении твёрдого тела в жидкой или газообразной среде или при перемещении одного слоя среды относительно другого.
Сухое и вязкое трение имеют разную природу и отличаются по свойствам. Рассмотрим эти виды трения по отдельности.
1.12.1
Сухое трение
Сухое трение может возникать даже при отсутствии относительного перемещения тел. Так,
тяжёлый диван остаётся неподвижным при слабой попытке сдвинуть его с места: наша сила,
приложенная к дивану, компенсируется силой трения, возникающей между диваном и полом.
Сила трения, которая действует между поверхностями покоящихся тел и препятствует возник- новению движения, называется силой трения покоя.
Почему вообще появляется сила трения покоя? Соприкасающиеся поверхности дивана и пола являются шероховатыми, они усеяны микроскопическими, незаметными глазу бугорками разных форм и размеров. Эти бугорки зацепляются друг за друга и не дают дивану начать дви- жение. Сила трения покоя, таким образом, вызвана силами электромагнитного отталкивания молекул, возникающими при деформациях бугорков.
Будем плавно увеличивать силу F , приложенную к дивану. Как вам хорошо известно, до некоторого момента диван всё ещё не поддаётся и стоит на месте. Это означает, что сила трения покоя f возрастает вместе с увеличением внешнего воздействия, оставаясь равной по модулю приложенной силе: f = F (рис.
1.31
, участок OA). Причина возрастания силы трения понятна:
увеличиваются деформации бугорков и возрастают силы отталкивания их молекул.
F
f f
0
f
0
O
A
B
Рис. 1.31. Зависимость силы трения f от внешней силы F
Наконец, при определённой величине внешней силы диван сдвигается с места. Это означает,
что сила трения покоя достигает максимально возможного значения f
0
(рис.
1.31
, точка A).
Деформации бугорков оказываются столь велики, что бугорки не выдерживают и начинают разрушаться. Возникает скольжение.
Сила трения, которая действует между проскальзывающими поверхностями, называется силой трения скольжения. В процессе скольжения рвутся связи между молекулами в зацеп- ляющихся бугорках поверхностей. При трении покоя таких разрывов нет.
60

Сила трения скольжения уже не зависит от величины приложенной силы F и остаётся посто- янной (рис.
1.31
, горизонтальный участок AB). Сила трения скольжения равна максимальной силе трения покоя f
0
Объяснение сухого трения в терминах бугорков является максимально простым и нагляд- ным. Реальные механизмы трения куда сложнее, и их рассмотрение выходит за рамки элемен- тарной физики.
Сила трения скольжения, приложенная к телу со стороны шероховатой поверхности, направ- лена противоположно скорости движения тела относительно этой поверхности. При изменении направления скорости меняется и направление силы трения. Зависимость силы трения от ско- рости — главное отличие силы трения от сил упругости и тяготения (величина которых зависит только от взаимного расположения тел, т. е. от их координат).
В простейшей модели сухого трения выполняются следующие законы. Они являются обоб- щением опытных фактов и носят приближённый характер.
1. Максимальная величина силы трения покоя равна силе трения скольжения.
2. Абсолютная величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе реакции опоры:
f = µN.
Коэффициент пропорциональности µ называется коэффициентом трения.
3. Коэффициент трения не зависит от скорости движения тела по шероховатой поверхности.
4. Коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
Этих законов достаточно для решения задач.
Задача. На горизонтальной шероховатой поверхности лежит брусок массой m = 3 кг. Коэф- фициент трения µ = 0,4. К бруску приложена горизонтальная сила F . Найти силу трения в двух случаях: 1) при F = 10 Н; 2) при F = 15 Н.
Решение. Сделаем рисунок, расставим силы. Силу трения обозначаем
f (рис.
1.32
).
X
Y

N
m
g

F

f
Рис. 1.32. К задаче
Запишем второй закон Ньютона:
ma = m
g +
N +
F +
f .
(1.61)
Вдоль оси Y брусок не совершает движения, a y
= 0. Проектируя равенство (
1.61
) на ось Y ,
получим: 0 = −mg + N , откуда N = mg.
Максимальная величина f
0
силы трения покоя (она же сила трения скольжения) равна:
f
0
= µN = µmg = 0,4 · 3 · 10 = 12 Н.
1) Сила F = 10 Н меньше максимальной силы трения покоя. Брусок остаётся на месте, и сила трения будет силой трения покоя: f = F = 10 Н.
2) Сила F = 15 Н больше максимальной силы трения покоя. Брусок начнёт скользить, и сила трения будет силой трения скольжения: f = f
0
= 12 Н.
61

1.12.2
Вязкое трение
Сила сопротивления, возникающая при движении тела в вязкой среде (жидкости или газе),
обладает совершенно иными свойствами.
Во-первых, отсутствует сила трения покоя. Например, человек может сдвинуть с места пла- вающий многотонный корабль, просто потянув за канат.
Во-вторых, сила сопротивления зависит от формы движущегося тела. Корпус подводной лодки, самолёта или ракеты имеет обтекаемую сигарообразную форму — для уменьшения силы сопротивления. Наоборот, при движении полусферического тела вогнутой стороной вперёд сила сопротивления очень велика (пример — парашют).
В третьих, абсолютная величина силы сопротивления существенно зависит от скорости. При малых скоростях движения сила сопротивления прямо пропорциональна скорости:
f = αv.
При больших скоростях сила сопротивления прямо пропорциональна квадрату скорости:
f = βv
2
Например, при падении в воздухе зависимость силы сопротивления от квадрата скорости имеет место уже при скоростях около нескольких метров в секунду. Коэффициенты α и β зависят от формы и размеров тела, от физических свойств поверхности тела и вязкой среды.
Так, парашютист при затяжном прыжке не набирает скорость безгранично, а с определён- ного момента начинает падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления становится равна силе тяжести:
βv
2
= mg.
Отсюда установившаяся скорость:
v =
r mg
β
(1.62)
Задача. Два металлических шарика, одинаковых по размеру и различных по массе, падают без начальной скорости с одной и той же большой высоты. Какой из шариков быстрее упадёт на землю — лёгкий или тяжёлый?
Решение. Из формулы (
1.62
) следует, что у тяжёлого шарика установившаяся скорость падения больше. Значит, он дольше будет набирать скорость и потому быстрее достигнет земли.
62

1.13
Статика твёрдого тела
Статика изучает равновесие тел под действием приложенных к ним сил. Равновесие — это состояние тела, при котором каждая его точка остаётся всё время неподвижной в некоторой инерциальной системе отсчёта.
Условием равновесия материальной точки является равенство нулю равнодействующей (т. е.
векторной суммы) всех сил, приложенных к точке. В этом случае наша точка будет двигаться равномерно и прямолинейно в произвольной инерциальной системе отсчёта. Значит, система отсчёта, связанная с точкой, также будет инерциальной, и в ней точка будет покоиться.
В случае твёрдого тела ситуация сложнее. Прежде всего, важно учитывать точку приложе- ния каждой силы.
• Сила тяжести приложена в центре тяжести тела. Для тела простой формы центр тяжести совпадает с центром симметрии.
• Силы упругости и трения приложены в точке или в плоскости контакта тела с соприка- сающимся телом.
Прямая линия, проходящая через точку приложения вдоль вектора силы, называется ли- нией действия силы. Оказывается, точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия — от этого механическое состояние тела не изменится (в частности, равновесие не нарушится).
Для равновесия твёрдого тела недостаточно потребовать равенства нулю векторной суммы всех приложенных к телу сил.
В качестве примера рассмотрим пару сил — так называются две равные по модулю проти- воположно направленные силы, линии действия которых не совпадают. Пусть пара сил
F
1
и
F
2
приложена к твёрдому стержню (рис.
1.33
).

F
1

F
2
Рис. 1.33. Пара сил
Векторная сумма этих сил равна нулю. Но стержень покоиться не будет: он начнёт вра- щаться. В данном случае не выполнено второе условие равновесия твёрдого тела. Чтобы его сформулировать, нужно ввести понятие момента силы.
Как должна быть направлена линия действия силы, чтобы тело стало вращаться вокруг неподвижной оси? Для начала заметим следующее.
• Если линия действия силы параллельна данной оси, то вращения не будет.
• Если линия действия силы пересекает данную ось, то вращения не будет.
В каждом из этих случаев действие силы вызывает лишь деформацию твёрдого тела.
Чтобы началось вращение, линия действия силы и ось вращения должны быть скрещива- ющимися прямыми.
Без ограничения общности можно считать эти прямые перпендикулярными друг другу. Мы всегда можем этого добиться, разложив силу на две составляющие — параллельную и перпен- дикулярную оси вращения — и отбросив параллельную составляющую как не вызывающую вращения. Поэтому везде далее мы считаем, что все силы, действующие на тело, перпендику- лярны оси вращения.
63

1.13.1
Момент силы
Плечо силы — это расстояние от оси вращения до линия действия силы (т. е. длина общего перпендикуляра к двум этим прямым).
В качестве примера на рис.
1.34
изображён диск, к которому приложена сила
F . Ось вра- щения перпендикулярна плоскости чертежа и проходит через точку O. Плечом силы является величина l = OH, где H — основание перпендикуляра, опущенного из точки O на линию дей- ствия силы.
O

F
H
l
Рис. 1.34. Плечо силы
Момент силы относительно оси вращения — это произведение силы на плечо:
M = F l.
Чтобы учесть также направление вращения, вызываемого действием силы, моменту силы приписывают знак. Именно, момент силы считается положительным, если сила стремится по- ворачивать тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке.
1.13.2
Условия равновесия
Если тело имеет неподвижную ось вращения и если алгебраическая сумма моментов всех сил относительно этой оси обращается в нуль, то тело будет находиться в равновесии. Это так назы- ваемое правило моментов. Оказывается, что в этом случае обращается в нуль алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой другой оси, параллельной оси вращения.
В общем случае, когда твёрдое тело может совершать как поступательное, так и вращатель- ное движение, мы имеем два условия равновесия.
1. Равна нулю векторная сумма всех сил, приложенных к телу.
2. Равна нулю алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно данной оси вращения или любой другой оси, параллельной данной.
Так, в примере на рис.
1.33
алгебраическая сумма моментов пары сил не обращается нуль
(оба момента положительны). Поэтому стержень не находится в равновесии.
При решении задач удобно использовать сформулированные выше условия равновесия в следующем виде.
1 0
. Силы уравновешены вдоль любой оси.
2 0
. Суммарный момент сил, вращающих тело в одну сторону, равен суммарному моменту сил, вращающих тело в другую сторону.
64

Сейчас мы разберём одну достаточно содержательную задачу по статике и посмотрим, как работают наши условия равновесия.
Задача. Однородная лестница опирается на гладкую вертикальную стену, образуя с ней угол α.
При каком максимальном значении α лестница будет покоиться? Коэффициент трения между лестницей и полом равен µ.
Решение. Пусть лестница опирается о пол и стену в точках A и B соответственно (рис.
1.35
).
Расставим силы, действующие на лестницу.
A
B
m
g
D

N
1

f

N
2
C
α
Рис. 1.35. К задаче
Поскольку лестница однородная, сила тяжести m
g приложена в середине лестницы.
Сила упругости пола
N
1
и сила трения
f приложены в точке A. На рис.
1.35
точка при- ложения этих сил немного смещена от точки A внутрь лестницы; тем самым мы однозначно указываем, что силы приложены именно к лестнице (а не к полу).
Точно так же сила упругости стены
N
2
приложена в точке B. Поскольку стена гладкая,
сила трения между стеной и лестницей отсутствует.
Воспользуемся условием 1 0
. Вдоль горизонтальной оси силы уравновешены:
f = N
2
(1.63)
Вдоль вертикальной оси силы также уравновешены:
mg = N
1
(1.64)
Теперь переходим к правилу моментов — условию 2 0
. Какую ось вращения выбрать? Удобнее всего взять ось, проходящую через точку A (перпендикулярно плоскости рисунка). В таком случае моменты сразу двух сил
f и
N
1
обратятся в нуль — ведь плечи этих сил относительно точки A равны нулю (поскольку линии действия сил проходят через эту точку). Ненулевые моменты относительно точки A имеют силы m
g и
N
2
, которые стремятся вращать лестницу в разные стороны; стало быть, моменты данных сил должны быть равны друг другу.
Плечо силы
N
2
— это длина перпендикуляра AC, опущенного из точки A на линию BC
действия силы
N
2
. Плечо силы m
g — это длина перпендикуляра AD, опущенного из точки A
на линию действия силы m
g. Согласно правилу моментов имеем:
N
2
· AC = mg · AD.
65

Пусть длина лестницы равна 2l. Тогда AC = 2l cos α, AD = l sin α. Подставляем эти соотно- шения в равенство моментов:
N
2
· 2l cos α = mg · l sin α,
откуда
2N
2
= mg tg α.
(1.65)
С учётом равенства (
1.63
) имеем вместо (
1.65
):
2f = mg tg α.
(1.66)
Вспомним теперь, что в условии спрашивается максимальное значение α. При максималь- ном угле α лестница пока ещё стоит, но уже находится на грани проскальзывания. Это означает,
что сила трения f достигла своего максимального значения, равного силе трения скольжения:
f = µN
1
Теперь из (
1.66
) имеем:
2µN
1
= mg tg α,
а с учётом равенства (
1.64
):
2µmg = mg tg α.
Отсюда получаем искомую максимальную величину α:
α = arctg(2µ).
66

1.14
Статика жидкостей и газов
В гидро- и аэростатике рассматриваются два вопроса: 1) равновесие жидкостей и газов под действием приложенных к ним сил; 2) равновесие твёрдых тел в жидкостях и газах.
Многие из обсуждаемых далее фактов относятся равным образом как к жидкостям, так и к газам. В таких случаях мы будем называть жидкость и газ средой.
При сжатии среды в ней возникают силы упругости, называемые силами давления. Силы давления действуют между соприкасающимися слоями среды, на погружённые в среду твёрдые тела, а также на дно и стенки сосуда.
Сила давления среды обладает двумя характерными свойствами.
1. Сила давления действует перпендикулярно поверхности выделенного элемента среды или твёрдого тела. Это объясняется текучестью среды: силы упругости не возникают в ней при относительном сдвиге слоёв, поэтому отсутствуют силы упругости, касательные к поверхности.
2. Cила давления равномерно распределена по той поверхности, на которую она действует.
Естественной величиной, возникающей в процессе изучения сил давления среды, является давление.
Пусть на поверхность площади S действует сила F , которая перпендикулярна поверхности и равномерно распределена по ней. Давлением называется величина p =
F
S
Единицей измерения давления служит паскаль (Па). 1 Па — это давление, производимое силой 1 Н на поверхность площадью 1 м
2
Полезно помнить приближённое значение нормального атмосферного давления: p
0
= 10 5
Па.
1.14.1
Гидростатическое давление
Гидростатическим называется давление неподвижной жидкости, вызванное силой тяжести.
Найдём формулу для гидростатического давления столба жидкости.
Предположим, что в сосуд с площадью дна S налита жидкость до высоты h (рис.
1.36
).
Плотность жидкости равна ρ.
S
h p
Рис. 1.36. Гидростатическое давление
Объём жидкости равен Sh, поэтому масса жидкости m = ρSh. Сила F давления жидкости на дно сосуда — это вес жидкости. Так как жидкость неподвижна, её вес равен силе тяжести:
F = mg = ρShg.
67

Разделив силу F на площадь S, получим давление жидкости:
p = ρgh.
Это и есть формула гидростатического давления.
Так, на глубине 10 м вода оказывает давление p = 1000 · 10 · 9,8 = 98000 Па, примерно равное атмосферному. Можно сказать, что атмосферное давление приблизительно равно 10 м водного столба.
Для практики столь большая высота столба жидкости неудобна, и реальные жидкостные манометры — ртутные. Посмотрим, какую высоту должен иметь столб ртути (ρ = 13600 кг/м
3
),
чтобы создать аналогичное давление:
h =
p
ρg
=
10 5
13600 · 9,8
= 0,75 м = 750 мм.
Вот почему для измерения атмосферного давления широко используется миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.).
1.14.2
Закон Паскаля
Если поставить гвоздь вертикально и ударить по нему молотком, то гвоздь передаст действие молотка по вертикали, но не вбок. Твёрдые тела из-за наличия кристаллической решётки пе- редают производимое на них давление только в направлении действия силы.
Жидкости и газы (напомним, что мы называем их средами) ведут себя иначе. В средах справедлив закон Паскаля.
Закон Паскаля. Давление, оказываемое на жидкость или газ, передаётся в любую точку этой среды без изменения по всем направлениям.
Рис. 1.37. Шар Паскаля
(В частности, на площадку, помещённую внутри жидко- сти на фиксированной глубине, действует одна и та же сила давления, как эту площадку ни поворачивай.)
Например, ныряльщик на глубине h испытывает давле- ние p = p
0
+ ρgh. Почему? Согласно закону Паскаля вода передаёт давление атмосферы p
0
без изменения на глуби- ну h, где оно прибавляется к гидростатическому давлению водяного столба ρgh.
Отличной иллюстрацией закона Паскаля служит опыт с шаром Паскаля. Это шар с множеством отверстий, соеди- нённый с цилиндрическим сосудом (рис.
1.37
)
9
Если налить в сосуд воду и двинуть поршень, то вода брызнет из всех отверстий. Это как раз и означает, что вода передаёт внешнее давление по всем направлениям.
То же самое наблюдается и для газа: если сосуд напол- нить дымом, то при движении поршня струйки дыма пойдут опять-таки из всех отверстий сразу. Стало быть, газ также передаёт давление по всем направлениям.
Вы ежедневно пользуетесь законом Паскаля, когда выдавливаете зубную пасту из тюбика.
А именно, вы сжимаете тюбик в поперечном направлении, а паста двигается перпендикуляр- но вашему усилию — в продольном направлении. Почему? Ваше давление передаётся внутри тюбика по всем направлениям, в частности — в сторону отверстия тюбика. Туда-то паста и выходит.
9
Изображение с сайта http://festival.1september.ru
68

1.14.3
Гидравлический пресс
Гидравлический пресс — это устройство, дающее выигрыш в силе. Что значит «выигрыш в силе»? Имеется в виду, что, прикладывая сравнительно небольшую силу в одном месте данного устройства, оказывается возможным получить значительно большее усилие в другом его месте.
Гидравлический пресс изображён на рис.
1.38
. Он состоит из двух сообщающихся сосудов,
имеющих разную площадь поперечного сечения и закрытых поршнями. В сосудах между порш- нями находится жидкость.

F
1

F
2
S
1
S
2
Рис. 1.38. Гидравлический пресс
Принцип действия гидравлического пресса очень прост и основан на законе Паскаля.
Пусть S
1
— площадь малого поршня, S
2
— площадь большого поршня. Надавим на малый поршень с силой F
1
. Тогда под малым поршнем в жидкости возникнет давление:
p =
F
1
S
1
Согласно закону Паскаля это давление будет передано без изменения по всем направлениям в любую точку жидкости, в частности — непосредственно под большой поршень. Следователь- но, на большой поршень со стороны жидкости будет действовать сила:
F
2
= pS
2
= F
1
S
2
S
1
Полученное соотношение можно переписать и так:
F
2
F
1
=
S
2
S
1
Мы видим, что F
2
больше F
1
во столько раз, во сколько S
2
больше S
1
. Например, если пло- щадь большого поршня в 100 раз превышает площадь малого поршня, то усилие на большом поршне окажется в 100 раз больше усилия на малом поршне. Вот каким образом гидравличе- ский пресс даёт выигрыш в силе.
1.14.4
Закон Архимеда
Почему плавают корабли? Почему поднимается вверх воздушный шар? Сейчас мы начнём разбираться с этими вопросами. И снова на помощь придёт закон Паскаля.
Мы знаем, что дерево в воде не тонет. Следовательно, сила тяжести уравновешивается какой-то другой силой, действующей на кусок дерева со стороны воды вертикально вверх.
Эта сила называется выталкивающей или архимедовой силой. Она действует на всякое тело,
погружённое в жидкость или газ.
69

Выясним причину возникновения архимедовой силы. Рассмотрим цилиндр площадью попе- речного сечения S и высотой h, погружённый в жидкость плотности ρ. Основания цилиндра горизонтальны. Верхнее основание находится на глубине h
1
, нижнее — на глубине h
2
= h
1
+ h
(рис.
1.39
).
h
2
h
1
h
S

F
2

F
1
Рис. 1.39. F
A
= F
2
− F
1
На боковую поверхность цилиндра действуют силы давления, которые приводят лишь к сжатию цилиндра. Эти силы можно не принимать во внимание.
На уровне верхнего основания цилиндра давление жидкости равно p
1
= ρgh
1
. На верхнее основание действует сила давления F
1
= p
1
S = ρgh
1
S, направленная вертикально вниз.
На уровне нижнего основания цилиндра давление жидкости равно p
2
= ρgh
2
. На нижнее основание действует сила давления F
2
= p
2
S = ρgh
2
S, направленная вертикально вверх (закон
Паскаля!).
Так как h
2
> h
1
, то F
2
> F
1
, и поэтому возникает равнодействующая сил давления, направ- ленная вверх. Это и есть архимедова сила F
A
. Имеем:
F
A
= F
2
− F
1
= ρgh
2
S − ρgh
1
S = ρgS(h
2
− h
1
) = ρgSh.
Но произведение Sh равно объёму цилиндра V . Получаем окончательно:
F
A
= ρgV.
(1.67)
Это и есть формула для архимедовой силы. Возникает архимедова сила вследствие того,
что давление жидкости на нижнее основание цилиндра больше, чем на верхнее.
Формулу (
1.67
) можно интерпретировать следующим образом. Произведение ρV — это масса жидкости m, объём которой равен V : ρV = m. Но тогда ρgV = mg = P , где P — вес жидкости,
взятой в объёме V . Поэтому наряду с (
1.67
) имеем:
F
A
= P.
(1.68)
Иными словами, архимедова сила, действующая на цилиндр, равна весу жидкости, объём ко- торой совпадает с объёмом цилиндра.
Формулы (
1.67
) и (
1.68
) справедливы и в общем случае, когда погружённое в жидкость или газ тело объёма V имеет любую форму, а не только форму цилиндра (конечно, в случае газа ρ
является плотностью этого газа). Поясним, почему так получается.
Выделим мысленно в среде некоторый объём V произвольной формы. Этот объём нахо- дится в равновесии: не тонет и не всплывает. Следовательно, сила тяжести, действующая на среду, находящуюся внутри выделенного нами объёма, уравновешена силами давления на по- верхность нашего объёма со стороны остальной среды — ведь на нижние элементы поверхности приходится большее давление, чем на верхние.
70

Иными словами, равнодействующая сил гидростатического давления на поверхность выде- ленного объёма — архимедова сила — направлена вертикально вверх и равна весу среды в этом объёме.
Сила тяжести, действующая на наш объём, приложена к его центру тяжести. Значит, и архимедова сила должна быть приложена к центру тяжести выделенного объёма. В противном случае сила тяжести и архимедова сила образуют пару сил, которая вызовет вращение нашего объёма (а он находится в равновесии).
А теперь заменим выделенный объём среды твёрдым телом того же объёма V и той же самой формы. Ясно, что силы давления среды на поверхность тела не изменятся, так как неизменной осталась конфигурация среды, окружающей тело. Поэтому архимедова сила по- прежнему будет направлена вертикально вверх и равна весу среды, взятой в объёме V . Точкой приложения архимедовой силы будет центр тяжести тела.
Закон Архимеда. На погружённое в жидкость или газ тело действует выталкивающая сила,
направленная вертикально вверх и равная весу среды, объём которой равен объёму тела.
Таким образом, архимедова сила всегда находится по формуле (
1.67
). Заметим, что в эту формулу не входят ни плотность тела, ни какие-либо его геометрические характеристики —
при фиксированном объёме величина архимедовой силы не зависит от вещества и формы тела.
До сих пор мы рассматривали случай полного погружения тела. Чему равна архимедо- ва сила при частичном погружении? На ту часть тела, которая находится над поверхностью жидкости, никакая выталкивающая сила не действует. Если эту часть мысленно срезать, то величина архимедовой силы не изменится. Но тогда мы получим целиком погружённое тело,
объём которого равен объёму погружённой части исходного тела.
Значит, на частично погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила, рав- ная весу жидкости, объём которой равен объёму погружённой части тела. Формула (
1.67
)
справедлива и в этом случае, только объём всего тела V нужно заменить на объём погружён- ной части V
погр
:
F
A
= ρgV
погр
Архимед обнаружил, что целиком погружённое в воду тело вытесняет объём воды, равный собственному объёму. Тот же факт имеет место для других жидкостей и газов. Поэтому можно сказать, что на всякое тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом среды.
1.14.5
Плавание тел
Рассмотрим тело плотности ρ и жидкость плотности ρ
0
. Допустим, что тело полностью погру- зили в жидкость и отпустили.
Сразу после отпускания на тело действуют лишь сила тяжести mg и архимедова сила F
A
Если объём тела равен V , то mg = ρgV,
F
A
= ρ
0
gV.
Имеются три возможности дальнейшего движения тела.
1. Сила тяжести больше архимедовой силы: mg > F
A
, или ρ > ρ
0
. В этом случае тело тонет.
2. Сила тяжести равна архимедовой силе: mg = F
A
, или ρ = ρ
0
. В этом случае тело остаётся неподвижным в состоянии безразличного равновесия.
3. Сила тяжести меньше архимедовой силы: mg < F
A
, или ρ < ρ
0
. В этом случае тело всплывает, достигая поверхности жидкости. При дальнейшем всплытии начнёт умень- шаться объём погружённой части тела, а вместе с ним и архимедова сила. В какой-то
71

момент архимедова сила сравняется с силой тяжести (положение равновесия). Тело по инерции всплывёт дальше, остановится, снова начнёт погружаться. . . Возникнут затухаю- щие колебания, после которых тело останется плавать в положении равновесия (mg = F
A
),
частично погрузившись в жидкость.
Таким образом, условие плавания тела можно записать в виде неравенства: ρ
6 ρ
0
. На- пример, лёд (ρ = 900 кг/м
3
) будет плавать в воде (ρ
0
= 1000 кг/м
3
), но утонет в спирте
(ρ
0
= 800 кг/м
3
).
72

1.15
Импульс
Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

p = m
v.
Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это просто произ- ведение размерности массы на размерность скорости:
[p] = [m] · [v] =
кг · м с
Почему понятие импульса является интересным? Оказывается, с его помощью можно при- дать второму закону Ньютона несколько иную, также чрезвычайно полезную форму.
1.15.1
Второй закон Ньютона в импульсной форме
Пусть
F — равнодействующая сил, приложенных к телу массы m. Начинаем с обычной записи второго закона Ньютона:
ma =
F .
С учётом того, что ускорение тела a равно производной вектора скорости, второй закон
Ньютона переписывается следующим образом:
m d
v dt
=
F .
Вносим константу m под знак производной:
d(m
v)
dt
=
F .
Как видим, в левой части получилась производная импульса:
d
p dt
=
F .
(1.69)
Соотношение (
1.69
) и есть новая форма записи второго закона Ньютона.
Второй закон Ньютона в импульсной форме. Производная импульса тела есть равнодей- ствующая приложенных к телу сил.
Можно сказать и так: результирующая сила, действующая на тело, равна скорости измене- ния импульса тела.
Производную в формуле (
1.69
) можно заменить на отношение конечных приращений:
∆
p
∆t
=
F .
(1.70)
В этом случае
F есть средняя сила, действующая на тело в течение интервала времени ∆t. Чем меньше величина ∆t, тем ближе отношение ∆
p/∆t к производной d
p/dt, и тем ближе средняя сила
F к своему мгновенному значению в данный момент времени.
В задачах, как правило, интервал времени ∆t достаточно мал. Например, это может быть время соударения мяча со стенкой, и тогда
F — средняя сила, действующая на мяч со стороны стенки во время удара.
Вектор ∆
p в левой части соотношения (
1.70
) называется изменением импульса за время
∆t. Изменение импульса — это разность конечного и начального векторов импульса. А именно,
73

если
p
0
— импульс тела в некоторый начальный момент времени,
p — импульс тела спустя промежуток времени ∆t, то изменение импульса есть разность:
∆
p =
p −
p
0
Подчеркнём ещё раз, что изменение импульса — это разность векторов (рис.
1.40
). Напом- ним, что при построении разности векторов нужно совместить начала обоих векторов, соеди- нить их концы и «уколоть» стрелкой тот вектор, из которого производится вычитание.

p
0

p
∆
p
Рис. 1.40. Изменение импульса
Пусть, например, мяч летит перпендикулярно стенке (импульс перед ударом равен
p
0
) и отскакивает назад без потери скорости (импульс после удара равен
p = −
p
0
). Несмотря на то,
что импульс по модулю не изменился (p = p
0
), изменение импульса нулю не равно:
∆
p =
p −
p
0
= −
p
0
−
p
0
= −2
p
0
Геометрически эта ситуация показана на рис.
1.41
:

p
0

p = −
p
0
∆
p = −2
p
0
Рис. 1.41. Изменение импульса при отскоке назад
Модуль изменения импульса, как видим, равен удвоенному модулю начального импульса мяча: ∆p = 2p
0
Перепишем формулу (
1.70
) следующим образом:
∆
p =
F ∆t,
(1.71)
или, расписывая изменение импульса, как и выше:

p −
p
0
=
F ∆t.
Величина
F ∆t называется импульсом силы. Специальной единицы измерения для импульса силы нет; размерность импульса силы равна просто произведению размерностей силы и време- ни:
[F ∆t] = [F ] · [t] = Н · с.
(Обратите внимание, что Н · с оказывается ещё одной возможной единицей измерения импульса тела.)
Словесная формулировка равенства (
1.71
) такова: изменение импульса тела равно импуль- су действующей на тело силы за данный промежуток времени. Это, разумеется, снова есть второй закон Ньютона в импульсной форме.
74

1.15.2
Пример вычисления силы
В качестве примера применения второго закона Ньютона в импульсной форме давайте рас- смотрим следующую задачу.
Задача. Шарик массы m = 100 г, летящий горизонтально со скоростью v = 6 м/с, ударяется о гладкую вертикальную стену и отскакивает от неё без потери скорости. Угол падения шарика
(то есть угол между направлением движения шарика и перпендикуляром к стене) равен α = 60
◦
Удар длится ∆t = 0,01 с. Найти среднюю силу, действующую на шарик во время удара.
Решение. Покажем прежде всего, что угол отражения равен углу падения, то есть шарик от- скочит от стены под тем же углом α (рис.
1.42
).
v v
α
α
Рис. 1.42. К задаче (вид сверху)
Тут всё дело в том, что стена — гладкая. Это значит, что трения между шариком и сте- ной нет. Следовательно, со стороны стены на шарик действует единственная сила
N — сила упругости, направленная перпендикулярно стене (рис.
1.43
).

N
Рис. 1.43. К задаче
Согласно (
1.71
) имеем: ∆
p =
N ∆t. Отсюда следует, что вектор изменения импульса сона- правлен с вектором
N , то есть направлен перпендикулярно стене в сторону отскока шарика
(рис.
1.44
).

p
0

p
∆
p
Рис. 1.44. К задаче
Векторы
p
0
и
p равны по модулю (так как скорость шарика не изменилась). Поэтому тре- угольник, составленный из векторов
p
0
,
p и ∆
p, является равнобедренным. Значит, угол между векторами
p и ∆
p равен α, то есть угол отражения действительно равен углу падения.
Теперь заметим вдобавок, что в нашем равнобедренном треугольнике есть угол 60
◦
(это угол падения); стало быть, данный треугольник — равносторонний. Отсюда:
∆p = p
0
= mv = 0,1 · 6 = 0,6 Н · с.
И тогда искомая средняя сила, действующая на шарик:
N =
∆p
∆t
=
0,6 0,01
= 60 Н.
75

1.15.3
Импульс системы тел
Начнём с простой ситуации системы двух тел. А именно, пусть имеются тело 1 и тело 2 с импульсами
p
1
и
p
2
соответственно. Импульс
p системы данных тел — это векторная сумма импульсов каждого тела:

p =
p
1
+
p
2
Оказывается, для импульса системы тел имеется формула, аналогичная второму закону
Ньютона в виде (
1.69
). Давайте выведем эту формулу.
Все остальные объекты, с которыми взаимодействуют рассматриваемые нами тела 1 и 2,
мы будем называть внешними телами. Силы, с которыми внешние тела действуют на тела 1
и 2, называем внешними силами. Пусть
F
1
— результирующая внешняя сила, действующая на тело 1. Аналогично
F
2
— результирующая внешняя сила, действующая на тело 2 (рис.
1.45
).

F
1

F
2

T

T
0
Тело 1
Тело 2
Рис. 1.45. Система двух тел
Кроме того, тела 1 и 2 могут взаимодействовать друг с другом. Пусть тело 2 действует на тело 1 с силой
T . Тогда тело 1 действует на тело 2 с силой
T
0
. По третьему закону Ньютона силы
T и
T
0
равны по модулю и противоположны по направлению:
T
0
= −
T . Силы
T и
T
0
—
это внутренние силы, действующие в системе.
Запишем для каждого тела 1 и 2 второй закон Ньютона в форме (
1.69
):
d
p
1
dt
=
F
1
+
T ,
(1.72)
d
p
2
dt
=
F
2
+
T
0
(1.73)
Сложим равенства (
1.72
) и (
1.73
):
d
p
1
dt
+
d
p
2
dt
=
F
1
+
F
2
+
T +
T
0
В левой части полученного равенства стоит сумма производных, равная производной суммы векторов
p
1
и
p
2
. В правой части имеем
T +
T
0
= 0 в силу третьего закона Ньютона:
d(
p
1
+
p
2
)
dt
=
F
1
+
F
2
Но
p
1
+
p
2
=
p — это импульс системы тел 1 и 2. Обозначим также
F
1
+
F
2
=
F
внеш
— это результирующая внешних сил, действующих на систему. Получаем:
d
p dt
=
F
внеш
(1.74)
Таким образом, скорость изменения импульса системы тел есть равнодействующая внеш- них сил, приложенных к системе. Равенство (
1.74
), играющее роль второго закона Ньютона для системы тел, мы и хотели получить.
Формула (
1.74
) была выведена для случая двух тел. Теперь обобщим наши рассуждения на случай произвольного количества тел в системе.
76

Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. Если система состоит из N тел, то импульс этой системы равен:

p =
p
1
+
p
2
+ . . . +
p
N
Дальше всё делается совершенно так же, как и выше (только технически это выглядит несколько сложнее). Если для каждого тела записать равенства, аналогичные (
1.72
) и (
1.73
), а затем все эти равенства сложить, то в левой части мы снова получим производную импульса системы, а в правой части останется лишь сумма внешних сил (внутренние силы, попарно складываясь, дадут нуль ввиду третьего закона Ньютона). Поэтому равенство (
1.74
) останется справедливым и в общем случае.
1.15.4
Закон сохранения импульса
Система тел называется замкнутой, если действия внешних тел на тела данной системы или пренебрежимо малы, или компенсируют друг друга. Таким образом, в случае замкнутой систе- мы тел существенно лишь взаимодействие этих тел друг с другом, но не с какими-либо другими телами.
Равнодействующая внешних сил, приложенных к замкнутой системе, равна нулю:
F
внеш
= 0.
В этом случае из (
1.74
) получаем:
d
p dt
= 0.
Но если производная вектора обращается в нуль (скорость изменения вектора равна нулю),
то сам вектор не меняется со временем:

p = const.
Закон сохранения импульса. Импульс замкнутой системы тел остаётся постоянным с тече- нием времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы.
Простейшие задачи на закон сохранения импульса решаются по стандартной схеме, которую мы сейчас покажем.
Задача. Тело массы m
1
= 800 г движется со скоростью v
1
= 3 м/с по гладкой горизонталь- ной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m
2
= 200 г со скоростью v
2
= 13 м/с.
Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.
Решение. Ситуация изображена на рис.
1.46
. Ось X направим в сторону движения первого тела.
m
1

g

N
1

v
1
m
2

g

N
2

v
2
X
Рис. 1.46. К задаче
Поскольку поверхность гладкая, трения нет. Поскольку поверхность горизонтальная, а дви- жение происходит вдоль неё, сила тяжести и реакция опоры уравновешивают друг друга:
m
1

g +
N
1
= 0,
m
2

g +
N
2
= 0.
77

Таким образом, векторная сумма сил, приложенных к системе данных тел, равна нулю. Это значит, что система тел замкнута. Стало быть, для неё выполняется закон сохранения импульса:

p до удара
=
p после удара
(1.75)
Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел:

p до удара
= m
1

v
1
+ m
2

v
2
После неупругого удара получилось одно тело массы m
1
+ m
2
, которое движется с искомой скоростью
v:

p после удара
= (m
1
+ m
2
)
v.
Из закона сохранения импульса (
1.75
) имеем:
m
1

v
1
+ m
2

v
2
= (m
1
+ m
2
)
v.
Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

v =
m
1

v
1
+ m
2

v
2
m
1
+ m
2
Переходим к проекциям на ось X:
v x
=
m
1
v
1x
+ m
2
v
2x m
1
+ m
2
По условию имеем: v
1x
= 3 м/с, v
2x
= −13 м/с, так что v
x
=
0,8 · 3 − 0,2 · 13 0,8 + 0,2
= −0,2
м с
Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Искомая скорость: v = 0,2 м/с.
1.15.5
Закон сохранения проекции импульса
Часто в задачах встречается следующая ситуация. Система тел не является замкнутой (вектор- ная сумма внешних сил, действующих на систему, не равна нулю), но существует такая ось X,
что сумма проекций внешних сил на ось X равна нулю в любой момент времени. Тогда можно сказать, что вдоль данной оси наша система тел ведёт себя как замкнутая, и проекция импульса системы на ось X сохраняется.
Покажем это более строго. Спроектируем равенство (
1.74
) на ось X:
dp x
dt
= F
внеш, x
Если проекция равнодействующей внешних сил обращается в нуль, F
внеш, x
= 0, то dp x
dt
= 0.
Следовательно, проекция p x
есть константа:
p x
= const.
78

Закон сохранения проекции импульса. Если проекция на ось X суммы внешних сил, дей- ствующих на систему, равна нулю, то проекция p x
импульса системы не меняется с течением времени.
Давайте посмотрим на примере конкретной задачи, как работает закон сохранения проекции импульса.
Задача. Мальчик массы M , стоящий на коньках на гладком льду, бросает камень массы m со скоростью v под углом α к горизонту. Найти скорость u, с которой мальчик откатывается назад после броска.
Решение. Ситуация схематически показана на рис.
1.47
. Мальчик изображён прямоугольником.
M
g

N

v
α
m
g

u
X
Рис. 1.47. К задаче
Импульс системы «мальчик + камень» не сохраняется. Это видно хотя бы из того, что после броска появляется вертикальная составляющая импульса системы (а именно, вертикальная составляющая импульса камня), которой до броска не было.
Стало быть, система, которую образуют мальчик и камень, не замкнута. Почему? Дело в том, что векторная сумма внешних сил M
g+m
g+
N не равна нулю во время броска. Величина N
больше, чем сумма M g + mg, и за счёт этого превышения как раз и появляется вертикальная компонента импульса системы.
Однако внешние силы действуют только по вертикали (трения нет). Стало быть, сохраня- ется проекция импульса на горизонтальную ось X. До броска эта проекция была равна нулю.
Направляя ось X в сторону броска (так что мальчик поехал в направлении отрицательной полуоси), получим:
−M u + mv
0
cos α = 0,
откуда u =
mv
0
cos α
M
79

1.16
Энергия
Мы приступаем к изучению энергии — фундаментального физического понятия. Но предвари- тельно нужно разобраться с другой физической величиной — работой силы.
1.16.1
Работа
Пусть на тело действует постоянная сила
F и тело, двигаясь прямолинейно по горизонтальной поверхности, совершило перемещение
s. Сила
F не обязательно является непосредственной при- чиной перемещения (так, сила тяжести не является непосредственной причиной перемещения шкафа, который передвигают по комнате).
Предположим сначала, что векторы силы и перемещения сонаправлены (рис.
1.48
; остальные силы, действующие на тело, не указаны).

s

F

F
Рис. 1.48. A = F s
В этом простейшем случае работа A определяется как произведение модуля силы на модуль перемещения:
A = F s.
(1.76)
Единицей измерения работы служит джоуль (Дж): Дж = Н · м. Таким образом, если под действием силы 1 Н тело перемещается на 1 м, то сила совершает работу 1 Дж.
Работа силы, перпендикулярной перемещению, по определению считается равной нулю. Так,
в данном случае сила тяжести и сила реакции опоры не совершают работы.
Пусть теперь вектор силы образует с вектором перемещения острый угол α (рис.
1.49
).

s

F
k

F
⊥

F
α

F
k

F
⊥

F
α
Рис. 1.49. A = F s cos α
Разложим силу
F на две составляющие:
F
k
(параллельную перемещению) и
F
⊥
(перпенди- кулярную перемещению). Работу совершает только
F
k
. Поэтому для работы силы
F получаем:
A = F
k s = F cos α · s. Итак,
A = F s cos α.
(1.77)
Если вектор силы образует с вектором перемещения тупой угол α, то работа по-прежнему определяется формулой (
1.77
). В этом случае работа оказывается отрицательной.
Например, работа силы трения скольжения, действующей на тело в рассмотренных ситуа- циях, будет отрицательной, так как сила трения направлена противоположно перемещению. В
этом случае имеем: α = 180
◦
, cos α = −1, и для работы силы трения получаем:
A
тр
= −F
тр s = −µmgs,
80

где m — масса тела, µ — коэффициент трения между телом и опорой.
Соотношение (
1.77
) означает, что работа является скалярным произведением векторов силы и перемещения:
A =
F
s.
Это позволяет вычислять работу через координаты данных векторов:
A = F
x s
x
+ F
y s
y
+ F
z s
z
Пусть на тело действуют несколько сил
F
1
,
F
2
, . . . ,
F
n
, и
F — равнодействующая этих сил.
Для работы силы
F имеем:
A =
F
s = (
F
1
+
F
2
+ . . . +
F
n
)
s =
F
1

s +
F
2

s + . . . +
F
n

s,
или
A = A
1
+ A
2
+ . . . + A
n
,
где A
1
, A
2
, . . . , A
n
— работы сил
F
1
,
F
2
, . . . ,
F
n
. Итак, работа равнодействующей приложенных к телу сил равна сумме работ каждой силы в отдельности.
1.16.2
Мощность
Часто имеет значение быстрота, с которой совершается работа. Скажем, на практике важно знать, какую работу сможет выполнить данное устройство за фиксированное время.
Мощность — это величина, характеризующая скорость совершения работы. Мощность N
есть отношение работы A ко времени t, за которое эта работа совершена:
N =
A
t
Мощность измеряется в ваттах (Вт). 1 Вт = 1 Дж/с, то есть 1 Вт — это такая мощность,
при которой работа в 1 Дж совершается за 1 с.
Предположим, что силы, действующие на тело, уравновешены, и тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью
v. В этом случае существует полезная формула для мощности,
развиваемой одной из действующих сил
F .
За время t тело совершит перемещение
s =
vt. Работа силы
F будет равна:
A =
F
s =
F
vt.
Отсюда получаем мощность:
N =
F
v,
или
N = F v cos α,
где α — угол между векторами силы и скорости.
Наиболее часто эта формула используется в ситуации, когда
F — «сила тяги» двигателя автомобиля (которая на самом деле есть сила трения ведущих колёс о дорогу). В этом случае
α = 0, и мы получаем просто:
N = F v.
81

1.16.3
Механическая энергия
Энергия является мерой движения и взаимодействия любых объектов в природе. Имеются различные формы энергии: механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная. . .
Опыт показывает, что энергия не появляется ниоткуда и не исчезает бесследно, она лишь переходит из одной формы в другую. Это самая общая формулировка закона сохранения энер- гии.
Каждый вид энергии представляет собой некоторое математическое выражение. Закон со- хранения энергии означает, что в каждом явлении природы определённая сумма таких выра- жений остаётся постоянной с течением времени.
Измеряется энергия в джоулях, как и работа.
Механическая энергия является мерой движения и взаимодействия механических объектов
(материальных точек, твёрдых тел).
Мерой движения тела является кинетическая энергия. Она зависит от скорости тела. Мерой взаимодействия тел является потенциальная энергия. Она зависит от взаимного расположения тел.
Механическая энергия системы тел равна сумме кинетической энергии тел и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.
1.16.4
Кинетическая энергия
Кинетической энергией тела (принимаемого за материальную точку) называется величина
K =
mv
2 2
,
где m — масса тела, v — его скорость.
Кинетической энергией системы из N тел называется сумма кинетических энергий каждого тела:
K =
m
1
v
2 1
2
+
m
2
v
2 2
2
+ . . . +
m
N
v
2
N
2
Если тело движется под действием силы
F , то кинетическая энергия тела, вообще гово- ря, меняется со временем. Оказывается, именение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно работе силы
F . Покажем это для случая прямолинейного равно- ускоренного движения.
Пусть
v
1
— начальная скорость,
v
2
— конечная скорость тела. Выберем ось X вдоль траек- тории тела (и, соответственно, вдоль вектора силы
F ). Для работы силы
F получаем:
A =
F
s = F
x s
x
= ma x
s x
= ma x
v
2 2x
− v
2 1x
2a x
=
mv
2 2x
− mv
2 1x
2
(мы воспользовались формулой для s x
, выведенной в разделе «Равноускоренное движение»).
Заметим теперь, что в данном случае проекция скорости отличается от модуля скорости разве что знаком; поэтому v
2 1x
= v
2 1
и v
2 2x
= v
2 2
. В результате имеем:
A =
mv
2 2
2
−
mv
2 1
2
= K
2
− K
1
= ∆K,
что и требовалось.
На самом деле соотношение ∆K = A справедливо и в самом общем случае криволинейного движения под действием переменной силы.
Теорема о кинетической энергии. Изменение кинетической энергии тела равно работе, со- вершённой приложенными к телу внешними силами за рассматриваемый промежуток времени.
82

Если работа внешних сил положительна, то кинетическая энергия увеличивается (∆K > 0,
тело разгоняется).
Если работа внешних сил отрицательна, то кинетическая энергия уменьшается (∆K < 0,
тело замедляет движение). Пример — торможение под действием силы трения, работа которой отрицательна.
Если же работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела за это время не ме- няется. Нетривиальный пример — равномерное движение по окружности, совершаемое грузом на нити в горизонтальной плоскости. Сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити всегда перпендикулярны скорости, и работа каждой из этих сил равна нулю в течение любого промежутка времени. Соответственно, кинетическая энергия груза (а значит, и его скорость)
остаётся постоянной в процессе движения.
Задача. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью v и начинает резко тормо- зить. Найти путь s, пройденный автомобилем до полной остановки, если коэффициент трения шин о дорогу равен µ.
Решение. Начальная кинетическая энергия автомобиля K
1
=
mv
2 2
, конечная кинетическая энергия K
2
= 0. Изменение кинетической энергии ∆K = K
2
− K
1
= −
mv
2 2
На автомобиль действуют сила тяжести m
g, реакция опоры
N и сила трения
f . Сила тяже- сти и реакция опоры, будучи перпендикулярны перемещению автомобиля, работы не соверша- ют. Работа силы трения:
A = −f s = −µN s = −µmgs.
Из теоремы о кинетической энергии теперь получаем:
∆K = A ⇒ −
mv
2 2
= −µmgs ⇒ s =
v
2 2µg
1.16.5
Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земли
Рассмотрим тело массы m, находящееся на некоторой высоте над поверхностью Земли. Высоту считаем много меньше земного радиуса. Изменением силы тяжести в процессе перемещения тела пренебрегаем.
P
Q

s h
1
h
2
α

g
Рис. 1.50. A = mg(h
1
− h
2
)
Если тело находится на высоте h, то потенциальная энергия тела по определению равна:
W = mgh,
где g — ускорение свободного падения вблизи поверхности
Земли.
Высоту не обязательно отсчитывать от поверхности
Земли. Как мы увидим ниже (формулы (
1.78
), (
1.79
)), фи- зическим смыслом обладает не сама по себе потенциаль- ная энергия, но её изменение. А изменение потенциаль- ной энергии не зависит от уровня отсчёта. Выбор нуле- вого уровня потенциальной энергии в конкретной задаче диктуется исключительно соображениями удобства.
Найдём работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела. Предположим, что тело перемещается по прямой из точки P , находящейся на высоте h
1
, в точку Q, находящуюся на высоте h
2
(рис.
1.50
).
83

Угол между силой тяжести m
g и перемещением тела
s обозначим α. Для работы силы тяжести получим:
A = m
g
s = mgs cos α.
Но, как видно из рис.
1.50
, s cos α = h
1
− h
2
. Поэтому
A = mg(h
1
− h
2
) = mgh
1
− mgh
2
,
или
A = W
1
− W
2
(1.78)
Учитывая, что W
1
− W
2
= −(W
2
− W
1
) = −∆W , имеем также:
A = −∆W.
(1.79)
Можно доказать, что формулы (
1.78
) и (
1.79
) справедливы для любой траектории, по ко- торой тело перемещается из точки P в точку Q, а не только для прямолинейного отрезка.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается те- ло, и равна разности значений потенциальной энергии в начальной и конечной точках тра- ектории. Иными словами, работа силы тяжести всегда равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком.
В частности, работа силы тяжести по любому замкнутому пути равна нулю.
Сила называется консервативной, если при перемещении тела работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела. Сила тяжести, таким образом, является консервативной. Работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Только в случае консервативной силы возможно ввести такую величину, как потенциальная энергия.
1.16.6
Потенциальная энергия деформированной пружины
Рассмотрим пружину жёсткости k. Начальная деформация пружины равна x
1
. Предположим,
что пружина деформируется до некоторой конечной величины деформации x
2