Моя прелесть. Пособие по физике, охватывающее всю школьную программу и, соответственно, все темы кодификатора егэ по физике
 Скачать 4.04 Mb.
|
В данном случае силу на перемещение не умножишь, так как сила упругости меняется в процессе деформации пружины. Для нахождения работы переменной силы требуется интегри- рование. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу выпишем конечный результат. Оказывается, сила упругости пружины также является консервативной. Её работа зависит лишь от величин x 1 , x 2 и определяется формулой: A = kx 2 1 2 − kx 2 2 2 Величина W = kx 2 2 называется потенциальной энергией деформированной пружины (x — величина деформации). Следовательно, A = W 1 − W 2 = −∆W, что полностью аналогично формулам ( 1.78 ) и ( 1.79 ). 84 1.16.7 Закон сохранения механической энергии Консервативные силы называются так потому, что сохраняют механическую энергию замкну- той системы тел. Механическая энергия E тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: E = K + W. Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. Предположим, что тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упру- гости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны K 1 и W 1 , в конечном положении — K 2 и W 2 . Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим A. По теореме о кинетической энергии: K 2 − K 1 = A. Но работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий: A = W 1 − W 2 Отсюда получаем: K 2 − K 1 = W 1 − W 2 , или K 1 + W 1 = K 2 + W 2 Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении: E 1 = E 2 Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механиче- ская энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения. Справедливо и более общее утверждение. Закон сохранения механической энергии. Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется. При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в по- тенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным. 1.16.8 Закон изменения механической энергии Если между телами замкнутой системы имеются силы сопротивления (сухое или вязкое тре- ние), то механическая энергия системы будет уменьшаться. Так, автомобиль останавливается в результате торможения, колебания маятника постепенно затухают и т. д. Силы трения неконсер- вативны: работа силы трения очевидным образом зависит от пути, по которому перемещается тело между данными точками. В частности, работа силы трения по замкнутому пути не равна нулю. Снова рассмотрим движение тела в поле силы тяжести и/или на пружине. Вдобавок на тело действует сила трения, которая за рассматриваемый промежуток времени совершает отрица- тельную работу A тр . Работу консервативных сил (тяжести и упругости) по-прежнему обозна- чаем A. 85 Изменение кинетической энергии тела равно работе всех внешних сил: K 2 − K 1 = A + A тр Но A = W 1 − W 2 , следовательно K 2 − K 1 = W 1 − W 2 + A тр Отсюда K 2 + W 2 − (K 1 + W 1 ) = A тр , или E 2 − E 1 = A тр В левой части стоит величина ∆E = E 2 − E 1 — изменение механической энергии тела: ∆E = A тр Итак, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине изменение механи- ческой энергии тела равно работе силы трения. Так как работа силы трения отрицательна, изменение механической энергии также отрицательно: механическая энергия убывает. Справедливо и более общее утверждение. Закон изменения механической энергии. Изменение механической энергии замкнутой си- стемы равно работе сил трения, действующих внутри системы. Ясно, что закон сохранения механической энергии является частным случаем данного утвер- ждения. Конечно, убыль механической энергии не противоречит общефизическому закону сохране- ния энергии. В данном случае механическая энергия превращается в энергию теплового движе- ния частиц вещества и их потенциальную энергию взаимодействия друг с другом, т. е. переходит во внутреннюю энергию тел системы. 86 1.17 Простые механизмы Механизмом в физике называется приспособление для преобразования силы (её увеличения или уменьшения). Например, прикладывая небольшое усилие в одном месте механизма, можно получить значительно большее усилие в другом его месте. Один вид механизма нам уже встретился: это гидравлический пресс. Здесь мы рассмотрим так называемые простые механизмы — рычаг и наклонную плоскость. 1.17.1 Рычаг Рычаг — это твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. На рис. 1.51 изображён рычаг с осью вращения O. К концам рычага (точкам A и B) приложены силы F 1 и F 2 . Плечи этих сил равны соответственно l 1 и l 2 A B O F 1 F 2 l 1 l 2 Рис. 1.51. Рычаг Условие равновесия рычага даётся правилом момен- тов: F 1 l 1 = F 2 l 2 , откуда F 1 F 2 = l 2 l 1 Из этого соотношения следует, что рычаг даёт выиг- рыш в силе или в расстоянии (смотря по тому, с какой целью он используется) во столько раз, во сколько боль- шее плечо длиннее меньшего. Например, чтобы усилием 100 Н поднять груз весом 700 Н, нужно взять рычаг с отношением плеч 7 : 1 и положить груз на короткое плечо. Мы выиграем в силе в 7 раз, но во столько же раз проиграем в расстоянии: конец длинного плеча опишет в 7 раз б´ ольшую дугу, чем конец короткого плеча (то есть груз). Примерами рычага, дающего выигрыш в силе, являются лопата, ножницы, плоскогубцы. Весло гребца — это рычаг, дающий выигрыш в расстоянии. А обычные рычажные весы явля- ются равноплечим рычагом, не дающим выигрыша ни в расстоянии, ни в силе (в противном случае их можно использовать для обвешивания покупателей). 1.17.2 Неподвижный блок O A B C F D P Рис. 1.52. Неподвижный блок Важной разновидностью рычага является блок — укреплён- ное в обойме колесо с жёлобом, по которому пропущена верёв- ка. В большинстве задач верёвка считается невесомой нерас- тяжимой нитью. На рис. 1.52 изображён неподвижный блок, т. е. блок с неподвижной осью вращения (проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку O). На правом конце нити в точке D закреплён груз весом P . Напомним, что вес тела — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. В данном случае вес P прило- жен к точке D, в которой груз крепится к нити. К левому концу нити в точке C приложена сила F . Плечо силы F равно OA = r, где r — радиус блока. Плечо веса P равно OB = r. Значит, неподвижный блок является равноплечим рычагом и потому не даёт выигрыша ни в силе, ни в расстоянии: во-первых, 87 имеем равенство F = P , а во-вторых, в процессе движении груза и нити перемещение точки C равно перемещению груза. Зачем же тогда вообще нужен неподвижный блок? Он полезен тем, что позволяет изме- нить направление усилия. Обычно неподвижный блок используется как часть более сложных механизмов. 1.17.3 Подвижный блок O A B C F D P Рис. 1.53. Подвижный блок На рис. 1.53 изображён подвижный блок, ось которого переме- щается вместе с грузом. Мы тянем за нить с силой F , которая приложена в точке C и направлена вверх. Блок вращается и при этом также движется вверх, поднимая груз, подвешенный на нити OD. В данный момент времени неподвижной точкой является точка A, и именно вокруг неё поворачивается блок (он как бы «перекатывается» через точку A). Говорят ещё, что через точку A проходит мгновенная ось вращения блока (эта ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка). Вес груза P приложен в точке D крепления груза к нити. Плечо силы P равно AO = r. А вот плечо силы F , с которой мы тянем за нить, оказыва- ется в два раза больше: оно равно AB = 2r. Соответственно, условием равновесия груза является равенство F = P/2 (что мы и видим на рис. 1.53 : длина вектора F в два раза меньше длины вектора P ). Следовательно, подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза. При этом, однако, мы в те же два раза проигры- ваем в расстоянии. Действительно, нетрудно сообразить, что для поднятия груза на один метр точку C придётся переместить вверх на два метра (то есть вытянуть два метра нити). F Рис. 1.54. Комбинация блоков У блока на рис. 1.53 есть один недостаток: тянуть нить вверх (за точку C) — не самая лучшая идея. Согласитесь, что гораздо удобнее тянуть за нить вниз! Вот тут-то нас и выручает неподвижный блок. На рис. 1.54 изображён подъёмный механизм, который представляет собой комбинацию подвижного блока с непо- движным. К подвижному блоку подвешен груз, а трос до- полнительно перекинут через неподвижный блок, что даёт возможность тянуть за трос вниз для подъёма груза вверх. Внешнее усилие на тросе снова обозначено вектором F . Принципиально данное устройство ничем не отличается от подвижного блока: с его помощью мы также получаем дву- кратный выигрыш в силе. 1.17.4 Наклонная плоскость Как мы знаем, тяжёлую бочку проще вкатить по наклонным мосткам, чем поднимать верти- кально. Мостки, таким образом, являются механизмом, который даёт выигрыш в силе. В механике подобный механизм называется наклонной плоскостью. Наклонная плоскость — это ровная плоская поверхность, расположенная под некоторым углом α к горизонту. В таком 88 случае коротко говорят: «наклонная плоскость с углом α». Найдём силу, которую надо приложить к грузу массы m, чтобы равномерно поднять его по гладкой наклонной плоскости с углом α. Эта сила F , разумеется, направлена вдоль наклонной плоскости (рис. 1.55 ). α X m g N F α Рис. 1.55. Гладкая наклонная плоскость Выберем ось X так, как показано на рисунке. Поскольку груз движется без ускорения, действующие на него силы уравновешены: m g + N + F = 0. Проектируем на ось X: −mg sin α + F = 0, откуда F = mg sin α. Именно такую силу нужно приложить, что двигать груз вверх по наклонной плоскости. Чтобы равномерно поднимать тот же груз по вертикали, к нему нужно приложить силу, равную mg. Видно, что F < mg, поскольку sin α < 1. Наклонная плоскость действительно даёт выигрыш в силе, и тем больший, чем меньше угол α. Широко применяемыми разновидностями наклонной плоскости являются клин и винт. 1.17.5 Золотое правило механики Простой механизм может дать выигрыш в силе или в расстоянии, но не может дать выигрыша в работе. Например, рычаг с отношением плеч 2 : 1 даёт выигрыш в силе в два раза. Чтобы на меньшем плече поднять груз весом P , нужно к большему плечу приложить силу P/2. Но для поднятия груза на высоту h большее плечо придётся опустить на 2h, и совершённая работа будет равна A = P 2 · 2h = P h, т. е. той же величине, что и без использования рычага. В случае наклонной плоскости мы выигрываем в силе, так как прикладываем к грузу силу F = mg sin α, меньшую силы тяжести. Однако, чтобы поднять груз на высоту h над начальным положением, нам нужно пройти путь l = h/ sin α вдоль наклонной плоскости. При этом мы совершаем работу A = mg sin α h sin α = mgh, 89 т. е. ту же самую, что и при вертикальном поднятии груза. Данные факты служат проявлениями так называемого золотого правила механики. Золотое правило механики. Ни один из простых механизмов не даёт выигрыша в работе. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, и наоборот. Золотое правило механики есть не что иное, как простой вариант закона сохранения энергии. 1.17.6 КПД механизма На практике приходится различать полезную работу A полезн , которую нужно совершить при по- мощи механизма в идеальных условиях отсутствия каких-либо потерь, и полную работу A полн , которая совершается для тех же целей в реальной ситуации. Полная работа равна сумме: • полезной работы; • работы, совершённой против сил трения в различных частях механизма; • работы, совершённой по перемещению составных элементов механизма. Так, при подъёме груза рычагом приходится вдобавок совершать работу по преодолению силы трения в оси рычага и по перемещению самого рычага, имеющего некоторый вес. Полная работа всегда больше полезной. Отношение полезной работы к полной называется коэффициентом полезного действия (КПД) механизма: η = A полезн A полн КПД принято выражать в процентах. КПД реальных механизмов всегда меньше 100%. Вычислим КПД наклонной плоскости с углом α при наличии трения. Коэффициент трения между поверхностью наклонной плоскости и грузом равен µ. Пусть груз массы m равномерно поднимается вдоль наклонной плоскости под действием силы F из точки P в точку Q на высоту h (рис. 1.56 ). В направлении, противоположном пере- мещению, на груз действует сила трения скольжения f . h P Q α m g F N f Y X α Рис. 1.56. Наклонная плоскость с трением Ускорения нет, поэтому силы, действующие на груз, уравновешены: m g + N + F + f = 0. 90 Проектируем на ось X: − mg sin α + F − f = 0. (1.80) Проектируем на ось Y : − mg cos α + N = 0. (1.81) Кроме того, f = µN. (1.82) Из ( 1.81 ) имеем: N = mg cos α. Тогда из ( 1.82 ): f = µmg cos α. Подставляя это в ( 1.80 ), получаем: F = mg sin α + f = mg sin α + µmg cos α = mg(sin α + µ cos α). Полная работа равна произведению силы F на путь, пройденный телом вдоль поверхности наклонной плоскости: A полн = F · P Q = mg(sin α + µ cos α) h sin α = mgh(1 + µ ctg α). Полезная работа, очевидно, равна: A полезн = mgh. Для искомого КПД получаем: η = A полезн A полн = mgh mgh(1 + µ ctg α) = 1 1 + µ ctg α 91 1.18 Механические колебания Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений. Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое положение системы, в кото- ром она может оставаться сколь угодно долго (будучи помещена в это положение в состоянии покоя). Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение рав- новесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия. Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл поло- жение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться. Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения рав- новесия. Период колебаний T — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды. Частота колебаний ν — это величина, обратная периоду: ν = 1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду. 1.18.1 Гармонические колебания Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной коорди- натой x. Положению равновесия отвечает значение x = 0. Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t), дающей координату тела в любой момент времени. Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функ- ции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений. Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на π/2, можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус. Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону: x = A cos(ωt + α). (1.83) Выясним смысл входящих в эту формулу величин. Положительная величина A является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому A — амплитуда колебаний. Аргумент косинуса ωt + α называется фазой колебаний. Величина α, равная значению фазы при t = 0, называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: x 0 = A cos α. Величина ω называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний T и частотой ν. Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2π радиан: ωT = 2π, откуда ω = 2π T , (1.84) ω = 2πν. (1.85) 92 Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду). В соответствии с выражениями ( 1.84 ) и ( 1.85 ) получаем ещё две формы записи гармониче- ского закона ( 1.83 ): x = A cos 2πt T + α , x = A cos(2πνt + α). График функции ( 1.83 ), выражающей зависимость координаты от времени при гармониче- ских колебаниях, приведён на рис. 1.57 0 t x x 0 −A A T Рис. 1.57. График гармонических колебаний |