B направлен туда же, куда и северный конец стрелки компаса, помещённой в данную точку, а именно по касательной к линии поля в направлении этой линии. Измеряется магнитная индукция в теслах (Тл).
Как и в случае электрического поля, для индукции магнитного поля справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что индукции магнитных полей
B
1
,
B
2
, . . . ,
B
n
, создава- емых в данной точке различными токами, складываются векторно и дают результирующий вектор магнитной индукции:
B =
B
1
+
B
2
+ . . . +
B
n
3.17.5
Магнитное поле витка с током
Рассмотрим круговой виток, по которому циркулирует постоянный ток I. Источник, создающий ток, мы на рисунке не показываем.
Картина линий поля нашего витка будет иметь приблизительно следующий вид (рис.
3.79
).
I
B
Рис. 3.79. Поле витка с током
Нам будет важно уметь определять, в какое полупространство (относительно плоскости витка) направлено магнитное поле. Снова имеем два альтернативных правила.
Правило часовой стрелки. Линии поля идут туда, глядя откуда ток кажется циркулирую- щим против часовой стрелки.
Правило винта. Линии поля идут туда, куда будет перемещаться винт (с обычной правой резьбой), если вращать его в направлении тока.
Как видите, ток и поле меняются ролями — по сравнению с формулировками этих правил для случая прямого тока.
242
3.17.6
Магнитное поле катушки с током
Катушка получится, если плотно, виток к витку, намотать провод в достаточно длинную спи- раль (рис.
3.80
)
39
. В катушке может быть несколько десятков, сотен или даже тысяч витков.
Катушка называется ещё соленоидом.
Рис. 3.80. Катушка (соленоид)
Магнитное поле одного витка, как мы знаем, выглядит не очень-то просто. Пол´
я отдельных витков катушки накладываются друг на друга, и, казалось бы, в результате должна получиться совсем уж запутанная картина. Однако это не так: поле длинной катушки имеет неожиданно простую структуру (рис.
3.81
).
B
B
I
Вид слева
Рис. 3.81. Поле катушки с током
На этом рисунке ток в катушке идёт против часовой стрелки, если смотреть слева (так будет, если на рис.
3.80
правый конец катушки подключить к «плюсу» источника тока, а левый конец — к «минусу»). Мы видим, что магнитное поле катушки обладает двумя характерными свойствами.
1. Внутри катушки вдали от её краёв магнитное поле является однородным: в каждой точке вектор магнитной индукции одинаков по величине и направлению. Линии поля — парал- лельные прямые; они искривляются лишь вблизи краёв катушки, когда выходят наружу.
2. Вне катушки поле близко к нулю. Чем больше витков в катушке — тем слабее поле сна- ружи неё.
Заметим, что бесконечно длинная катушка вообще не выпускает поле наружу: вне катушки магнитное поле отсутствует. Внутри такой катушки поле всюду является однородным.
39
Изображение с сайта en.wikipedia.org
243
Ничего не напоминает? Катушка является «магнитным» аналогом конденсатора. Вы же помните, что конденсатор создаёт внутри себя однородное электрическое поле, линии которого искривляются лишь вблизи краёв пластин, а вне конденсатора поле близко к нулю; конденса- тор с бесконечными обкладками вообще не выпускает поле наружу, а всюду внутри него поле однородно.
А теперь — главное наблюдение. Сопоставьте, пожалуйста, картину линий магнитного поля вне катушки (рис.
3.81
) с линиями поля магнита на рис.
3.76
. Одно и то же, не правда ли? И
вот мы подходим к вопросу, который, вероятно, у вас уже давно возник: если магнитное поле порождается токами и действует на токи, то какова причина возникновения магнитного поля вблизи постоянного магнита? Ведь этот магнит вроде бы не является проводником с током!
3.17.7
Гипотеза Ампера. Элементарные токи
Поначалу думали, что взаимодействие магнитов объясняется особыми магнитными зарядами,
сосредоточенными на полюсах. Но, в отличие от электричества, никто не мог изолировать магнитный заряд; ведь, как мы уже говорили, не удавалось получить по отдельности северный и южный полюс магнита — полюса всегда присутствуют в магните парами.
Сомнения насчёт магнитных зарядов усугубил опыт Эрстеда, когда выяснилось, что магнит- ное поле порождается электрическим током. Более того, оказалось, что для всякого магнита можно подобрать проводник с током соответствующей конфигурации, такой, что поле этого проводника совпадает с полем магнита.
Ампер выдвинул смелую гипотезу. Нет никаких магнитных зарядов. Действие магнита объясняется замкнутыми электрическими токами внутри него.
Что это за токи? Эти элементарные токи циркулируют внутри атомов и молекул; они свя- заны с движением электронов по атомным орбитам. Магнитное поле любого тела складывается из магнитных полей этих элементарных токов.
Элементарные токи могут быть беспорядочным образом расположены друг относительно друга. Тогда их поля взаимно погашаются, и тело не проявляет магнитных свойств.
Но если элементарные токи расположены согласованно, то их поля, складываясь, усиливают друг друга. Тело становится магнитом (рис.
3.82
; магнитое поле будет направлено на нас; также на нас будет направлен и северный полюс магнита).
Рис. 3.82. Элементарные токи магнита
Гипотеза Ампера об элементарных токах прояснила свойства магнитов. Нагревание и тряска магнита разрушают порядок расположения его элементарных токов, и магнитные свойства ослабевают. Неразделимость полюсов магнита стала очевидной: в месте разреза магнита мы получаем те же элементарные токи на торцах. Способность тела намагничиваться в магнитном поле объясняется согласованным выстраиванием элементарных токов, «поворачивающихся»
должным образом (о повороте кругового тока в магнитном поле читайте в следующем листке).
Гипотеза Ампера оказалась справедливой — это показало дальнейшее развитие физики.
Представления об элементарных токах стали неотъемлемой частью теории атома, разработан- ной уже в ХХ веке — почти через сто лет после гениальной догадки Ампера.
244
3.18
Магнитное поле. Силы
В отличие от электрического поля, которое действует на любой заряд, магнитное поле действует только на движущиеся заряженные частицы. При этом оказывается, что сила зависит не только от величины, но и от направления скорости заряда.
3.18.1
Сила Лоренца
Сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, называется силой Лоренца.
Опыт показывает, что вектор
F силы Лоренца находится следующим образом.
1. Абсолютная величина силы Лоренца равна:
F = qvB sin α.
(3.72)
Здесь q — абсолютная величина заряда, v — скорость заряда, B — индукция магнитного поля, α — угол между векторами
v и
B.
2. Сила Лоренца перпендикулярна обоим векторам
v и
B. Иными словами, вектор
F перпен- дикулярен плоскости, в которой лежат векторы скорости заряда и индукции магнитного поля.
Остаётся выяснить, в какое полупространство относительно данной плоскости направлена сила Лоренца.
3. Взаимное расположение векторов
v,
B и
F для положительного заряда q показано на рис.
3.83
α
B
v
F
q
Рис. 3.83. Сила Лоренца
Направление силы Лоренца определяется в данном случае по одному из двух альтерна- тивных правил.
Правило часовой стрелки. Сила Лоренца направлена туда, глядя откуда кратчайший поворот вектора скорости частицы
v к вектору магнитной индукции
B виден против ча- совой стрелки.
Правило левой руки. Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали направление скорости частицы, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный большой палец укажет направление силы Лоренца.
Для отрицательного заряда q направление силы Лоренца меняется на противоположное.
245
Всё вышеперечисленное является обобщением опытных фактов. Формула (
3.72
) позволяет связать размерность индукции магнитного поля с размерностями других физических величин:
B =
F
qv sin α
⇒ Тл =
Н · с
Кл · м
=
В · с м
2 3.18.2
Сила Ампера
Если металлический проводник с током поместить в магнитное поле, то на этот проводник со стороны магнитного поля будет действовать сила, которая называется силой Ампера.
Происхождение силы Ампера легко понять. Ведь ток в металле является направленным движением электронов, а на каждый электрон действует сила Лоренца. Все эти силы Лоренца,
действующие на свободные электроны, имеют одинаковое направление и одинаковую величину;
они складываются друг с другом и дают результирующую силу Ампера.
Направление силы Ампера определяется по тем же двум правилам, сформулированным выше.
Правило часовой стрелки. Сила Ампера направлена туда, глядя откуда кратчайший пово- рот тока к полю виден против часовой стрелки.
Правило левой руки. Располагаем левую руку так, чтобы четыре пальца указывали на- правление тока, а линии поля входили в ладонь. Тогда оттопыренный большой палец укажет направление силы Ампера.
Взаимное расположение тока, поля и силы Ампера
F указано на рис.
3.84
l
F
B
I
α
Рис. 3.84. Сила Ампера
На этом рисунке проводник имеет длину l, а угол между направлениями тока и поля равен α.
Мы сейчас выведем выражение для абсолютной величины силы Ампера.
На каждый свободный электрон действует сила Лоренца:
F
1
= evB sin α,
где v — скорость направленного движения свободных электронов в проводнике.
Пусть N — число свободных электронов в данном проводнике, n — их концентрация (число в единице объёма). Тогда:
N = nV = nSl,
где V — объём проводника, S — площадь его поперечного сечения. Получаем:
F = N F
1
= nSl · evB sin α = (envS)Bl sin α.
Мы не случайно выделили скобками четыре сомножителя. Ведь это есть не что иное, как сила тока: I = envS (вспомните выражение силы тока через скорость направленного движения свободных зарядов!). В результате приходим к окончательной формуле для силы Ампера:
F = IBl sin α.
(3.73)
246
Хорошую возможность поупражняться в нахождении направлений магнитного поля и си- лы Ампера даёт взаимодействие параллельных токов. Оказывается, два параллельных провода отталкиваются, если направления токов в них противоположны, и притягиваются, если направ- ления токов совпадают (рис.
3.85
).
I
1
I
2
I
1
I
2
Рис. 3.85. Взаимодействие параллельных токов
Обязательно убедитесь в этом самостоятельно! Делаем так. Сначала берём произвольную точку на первом проводе и определяем направление магнитного поля, создаваемого в этой точке вторым проводом (правило вам известно — см. предыдущий листок). Ну а затем находим направление силы Ампера, действующей на первый провод со стороны магнитного поля второго провода.
3.18.3
Рамка с током в магнитном поле
В листках по термодинамике мы говорили о важности циклически работающих машин: они снабжают нас энергией. Понимание законов термодинамики позволило сконструировать тепло- вые двигатели, которые исправно служат нам и по сей день.
Понимание же законов электромагнетизма дало возможность создать циклическую машину другого типа — электродвигатель.
Мы рассмотрим один из элементов электродвигателя — рамку с током в магнитном поле.
Разобравшись в её поведении, мы сможем уловить основную идею функционирования электро- двигателя.
Пусть прямоугольная рамка 1234 может вращаться вокруг горизонтальной оси (рис.
3.86
,
слева). Рамка находится в вертикальном однородном магнитном поле
B. Ток течёт по рамке в направлении 1 → 2 → 3 → 4 → 1; это направление показано соответствующими стрелками.
1 2
3 4
F
14
F
23
F
12
F
34
B
n
ϕ
1 2
F
14
F
23
B
n
ϕ
ϕ
O
A
Вид справа
Рис. 3.86. Рамка с током в магнитном поле
Вектор
n называется вектором нормали; он перпендикулярен плоскости рамки и направлен туда, глядя откуда ток кажется циркулирующим против часовой стрелки. (Иными словами,
247
вектор
n сонаправлен с вектором индукции магнитного поля, которое создаётся током в рамке.)
Поворот рамки измеряется углом ϕ между векторами
n и
B.
Теперь определим направления сил Ампера, которые действуют на рамку со стороны маг- нитного поля. Эти силы расставлены на рисунке; вот вам ещё одно упражнение на правило часовой стрелки (левой руки) — обязательно проверьте правильность указанных направлений!
Силы
F
12
и
F
34
, приложенные к сторонам 12 и 34, действуют вдоль оси вращения. Они лишь растягивают рамку и не вызывают её вращение.
Куда более интересны силы
F
23
и
F
14
, приложеные соответственно к сторонам 23 и 14. Они лежат в горизонтальной плоскости и перпендикулярны оси вращения. Эти силы вращают рам- ку в направлении по часовой стрелке, если смотреть справа (рис.
3.86
, правая часть). Вычислим момент этой пары сил относительно оси O вращения рамки.
Пусть длина стороны 14 равна a. Тогда
F
14
= F
23
= IBa.
Пусть длина стороны 12 равна b. Плечо d силы F
14
, как видно из рис.
3.86
(справа) равно:
d = OA =
b
2
sin ϕ.
Таким же будет плечо силы F
23
. Отсюда получаем момент сил, вращающий рамку:
M = F
14
d + F
23
d = IBa ·
b
2
sin ϕ + IBa ·
b
2
sin ϕ = IBab sin ϕ.
Теперь заметим, что ab = S — площадь рамки. Окончательно имеем:
M = IBS sin ϕ.
(3.74)
В этой формуле площадь служит единственной геометрической характеристикой рамки. Это наводит на мысль, что только площадь рамки и существенна в выражении для вращающего момента. И действительно, можно доказать
40
, что формула (
3.74
) справедлива для рамки любой формы с площадью S.
Как видно из формулы (
3.74
), максимальный вращающий момент равен:
M
max
= IBS.
Эта максимальная величина момента достигается при ϕ = π/2, то есть когда плоскость рамки параллельна магнитному полю.
Вращающий момент становится равным нулю при ϕ = 0 и ϕ = π. Оба этих положения по-своему интересны.
При ϕ = π плоскость рамки перпендикулярна полю, а векторы
n и
B направлены в раз- ные стороны. Данное положение является положением неустойчивого равновенсия: стоит хоть немного шевельнуть рамку, как силы Ампера начнут её вращать в том же направлении, пово- рачивая вектор
n к вектору
B (убедитесь!).
При ϕ = 0 плоскость рамки также перпендикулярна полю, а векторы
n и
B сонаправлены.
Это — положение устойчивого равновенсия: при отклонении рамки возникает вращающий мо- мент, стремящийся вернуть рамку назад (убедитесь!). Начнутся колебания рамки, постепенно затухающие из-за трения. В конце концов рамка остановится в положении ϕ = 0; в этом поло- жении вектор индукции магнитного поля рамки сонаправлен с вектором
B индукции внешнего
40
Разбивая рамку на бесконечно узкие полоски, неотличимые от прямоугольников.
248
магнитного поля
41
. Полезное сопоставление: рамка занимает такое положение, что её поло- жительная нормаль ориентируется в том же направлении, что и северный конец стрелки компаса, помещённой в это магнитное поле.
Таким образом, поведение рамки в магнитном поле становится ясным: если отклонить рамку от положения устойчивого равновесия и отпустить, то рамка будет совершать колебания. С
точки зрения совершения механической работы это не очень хорошо: если намотать нить на ось
вращения и подвесить к нити груз, то груз будет то подниматься, то опускаться.
Но вот если исхитриться и заставить ток менять направление в нужные моменты, то вместо колебаний рамки начнётся её непрерывное вращение и, соответственно, непрерывный подъём подвешенного груза. Тогда-то и получится полноценный электродвигатель; идея с переменой направления тока реализуется с помощью коллектора и щёток.
41
Вот почему при намагничивании вещества элементарные токи ориентируются так, что их поля направлены в сторону внешнего магнитного поля.
249
3.19
Электромагнитная индукция
Опыт Эрстеда показал, что электрический ток создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. Майкл Фарадей пришёл к мысли, что может существовать и обратный эффект: магнитное поле, в свою очередь, порождает электрический ток.
Иными словами, пусть в магнитном поле находится замкнутый проводник; не будет ли в этом проводнике возникать электрический ток под действием магнитного поля?
Через десять лет поисков и экспериментов Фарадею наконец удалось этот эффект обнару- жить. В 1831 году он поставил следующие опыты.
1. На одну и ту же деревянную основу были намотаны две катушки; витки второй катушки были проложены между витками первой и изолированы. Выводы первой катушки подклю- чались к источнику тока, выводы второй катушки — к гальванометру
42
. Таким образом,
получались два контура: «источник тока — первая катушка» и «вторая катушка — галь- ванометр». Электрического контакта между контурами не было, только лишь магнитное поле первой катушки пронизывало вторую катушку.
При замыкании цепи первой катушки гальванометр регистрировал короткий и слабый импульс тока во второй катушке.
Когда по первой катушке протекал постоянный ток, никакого тока во второй катушке не возникало.
При размыкании цепи первой катушки снова возникал короткий и слабый импульс тока во второй катушке, но на сей раз в обратном направлении по сравнению с током при замыкании цепи.
Вывод.
Меняющееся во времени магнитное поле первой катушки порождает (или, как говорят,
индуцирует) электрический ток во второй катушке. Этот ток называется индукционным током.
Если магнитное поле первой катушки увеличивается (в момент нарастания тока при за- мыкании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в одном направлении.
Если магнитное поле первой катушки уменьшается (в момент убывания тока при размы- кании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в другом направлении.
Если магнитное поле первой катушки не меняется (постоянный ток через неё), то индук- ционного тока во второй катушке нет.
Обнаруженное явление Фарадей назвал электромагнитной индукцией (т. е. «наведение электричества магнетизмом»).
2. Для подтверждения догадки о том, что индукционный ток порождается переменным маг- нитным полем, Фарадей перемещал катушки друг относительно друга. Цепь первой ка- тушки всё время оставалась замкнутой, по ней протекал постоянный ток, но за счёт пере- мещения (сближения или удаления) вторая катушка оказывалась в переменном магнит- ном поле первой катушки.
Гальванометр снова фиксировал ток во второй катушке. Индукционный ток имел одно направление при сближении катушек, и другое — при их удалении. При этом сила ин- дукционного тока была тем больше, чем быстрее перемещались катушки.
42
Гальванометр — чувствительный прибор для измерения малых токов.
250
3. Первая катушка была заменена постоянным магнитом. При внесении магнита внутрь вто- рой катушки возникал индукционный ток. При выдвигании магнита снова появлялся ток,
но в другом направлении. И опять-таки сила индукционного тока была тем больше, чем быстрее двигался магнит.
Эти и последующие опыты показали, что индукционный ток в проводящем контуре возника- ет во всех тех случаях, когда меняется «количество линий» магнитного поля, пронизывающих контур. Сила индукционного тока оказывается тем больше, чем быстрее меняется это количе- ство линий. Направление тока будет одним при увеличении количества линий сквозь контур, и другим — при их уменьшении.
Замечательно, что для величины силы тока в данном контуре важна лишь скорость изме- нения количества линий. Что конкретно при этом происходит, роли не играет — меняется ли само поле, пронизывающее неподвижный контур, или же контур перемещается из области с одной густотой линий в область с другой густотой.
Такова суть закона электромагнитной индукции. Но, чтобы написать формулу и произ- водить расчёты, нужно чётко формализовать расплывчатое понятие «количество линий поля сквозь контур».
3.19.1
Магнитный поток
Понятие магнитного потока как раз и является характеристикой количества линий магнитного поля, пронизывающих контур.
B
Рис. 3.87. Φ = BS
Для простоты мы ограничиваемся случаем однородного магнитного поля. Рассмотрим контур площади S, находящий- ся в магнитном поле с индукцией
B.
Пусть сначала магнитное поле перпендикулярно плоскости контура (рис.
3.87
).
В этом случае магнитный поток Φ определяется очень про- сто — как произведение индукции магнитного поля на пло- щадь контура:
Φ = BS.
(3.75)
Теперь рассмотрим общий случай, когда вектор
B образует угол α с нормалью к плоскости контура (рис.
3.88
).
B
B
⊥
α
Рис. 3.88. Φ = BS cos α
Мы видим, что теперь сквозь контур «протекает» лишь перпендикулярная составляющая
B
⊥
вектора магнитной ин- дукции
B (а та составляющая, которая параллельна контуру,
не «течёт» сквозь него). Поэтому, согласно формуле (
3.75
),
имеем: Φ = B
⊥
S. Но B
⊥
= B cos α, поэтому
Φ = BS cos α.
(3.76)
Это и есть общее определение магнитного потока в случае однородного магнитного поля. Обратим внимание на следую- щие две ситуации.
• Если вектор
B перпендикулярен плоскости контура, то α = 0. Тогда cos α = 1, и мы снова приходим к формуле (
3.75
).
• Если вектор
B параллелен плоскости контура (то есть α = 90
◦
), то cos α = 0 и магнитный поток становится равным нулю (магнитное поле вообще не «течёт» сквозь контур).
251
А как определить магнитный поток, если поле не является однородным? Укажем лишь идею. Поверхность контура разбивается на очень большое число очень маленьких площадок,
в пределах которых поле можно считать однородным. Для каждой площадки вычисляем свой маленький магнитный поток по формуле (
3.76
), а затем все эти магнитные потоки суммируем.
Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб). Как видим,
Вб = Тл · м
2
= В · с.
(3.77)
Почему же магнитный поток характеризует «количество линий» магнитного поля, прони- зывающих контур? Очень просто. «Количество линий» определяется их густотой (а значит,
величиной B — ведь чем больше индукция, тем гуще линии) и «эффективной» площадью, про- низываемой полем (а это есть не что иное, как S cos α). Но множители B и S cos α как раз и образуют магнитный поток!
Теперь мы можем дать более чёткое определение явления электромагнитной индукции, от- крытого Фарадеем.
Электромагнитная индукция — это явление возникновения электрического тока в зам- кнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур.
3.19.2
ЭДС индукции
Каков механизм возникновения индукционного тока? Это мы обсудим позже. Пока ясно одно:
при изменении магнитного потока, проходящего через контур, на свободные заряды в контуре действуют некоторые силы — сторонние силы, вызывающие движение зарядов.
Как мы знаем, работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура называется электродвижущей силой (ЭДС):
E = A
ст
/q. В нашем случае, когда меняется магнитный поток сквозь контур, соответствующая ЭДС называется ЭДС индукции и обозначается
E
i
Итак, ЭДС индукции
E
i
— это работа сторонних сил, возникающих при изменении маг- нитного потока через контур, по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура.
Природу сторонних сил, возникающих в данном случае в контуре, мы скоро выясним.
3.19.3
Закон
электромагнитной индукции ФарадеяСила индукционного тока в опытах Фарадея оказывалась тем больше, чем быстрее менялся магнитный поток через контур.
Если за малое время ∆t изменение магнитного потока равно ∆Φ, то скорость изменения магнитного потока — это дробь ∆Φ/∆t (или, что то же самое, производная ˙
Φ магнитного потока по времени).
Опыты показали, что сила индукционного тока I прямо пропорциональна модулю скорости изменения магнитного потока:
I ∼
∆Φ
∆t
Модуль поставлен для того, чтобы не связываться пока с отрицательными величинами (ведь при убывании магнитного потока будет ∆Φ < 0). Впоследствии мы это модуль снимем.
Из закона Ома для полной цепи мы в то же время имеем: I ∼
E
i
. Поэтому ЭДС индукции прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:
E
i
∼
∆Φ
∆t
(3.78)
252
ЭДС измеряется в вольтах. Но и скорость изменения магнитного потока также измеряется в вольтах! Действительно, из (
3.77
) мы видим, что Вб/с = В. Стало быть, единицы измерения обеих частей пропорциональности (
3.78
) совпадают, поэтому коэффициент пропорционально- сти — величина безразмерная. В системе СИ она полагается равной единице, и мы получаем:
E
i
=
∆Φ
∆t
= | ˙
Φ|.
(3.79)
Это и есть закон электромагнитной индукции или закон Фарадея. Дадим его словесную фор- мулировку.
Закон электромагнитной индукции Фарадея. При изменении магнитного потока, прони- зывающего контур, в этом контуре возникает ЭДС индукции, равная модулю скорости измене- ния магнитного потока.
3.19.4
Правило Ленца
Магнитный поток, изменение которого приводит к появлению индукционного тока в контуре,
мы будем называть внешним магнитным потоком. А само магнитное поле, которое создаёт этот магнитный поток, мы будем называть внешним магнитным полем.
Зачем нам эти термины? Дело в том, что индукционный ток, возникающий в контуре, созда-
ёт своё собственное магнитное поле, которое по принципу суперпозиции складывается с внеш- ним магнитным полем. Соответственно, наряду с внешним магнитным потоком через контур будет проходить собственный магнитный поток, создаваемый магнитным полем индукционного тока.
Оказывается, эти два магнитных потока — собственный и внешний — связаны между собой строго определённым образом.
Правило Ленца. Индукционный ток всегда имеет такое направление, что собственный маг- нитный поток препятствует изменению внешнего магнитного потока.
Правило Ленца позволяет находить направление индукционного тока в любой ситуации.
Рассмотрим некоторые примеры применения правила Ленца.
Предположим, что контур пронизывается магнитным полем, которое возрастает со време- нем (рис.
3.89
). Например, мы приближаем снизу к контуру магнит, северный полюс которого направлен в данном случае вверх, к контуру.
I
Внешнее поле возрастает
Поле индукционного тока
Рис. 3.89. Магнитный поток возрастает
Магнитный поток через контур увеличивается. Индукционный ток будет иметь такое на- правление, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал увеличению внешнего маг- нитного потока. Для этого магнитное поле, создаваемое индукционным током, должно быть направлено против внешнего магнитного поля.
253
Индукционный ток течёт против часовой стрелки, если смотреть со стороны создаваемого им магнитного поля. В данном случае ток будет направлен по часовой стрелке, если смотреть сверху, со стороны внешнего магнитного поля, как и показано на (рис.
3.89
).
Теперь предположим, что магнитное поле, пронизывающее контур, уменьшается со време- нем (рис.
3.90
). Например, мы удаляем магнит вниз от контура, а северный полюс магнита направлен на контур.
I
Внешнее поле убывает
Поле индукционного тока
Рис. 3.90. Магнитный поток убывает
Магнитный поток через контур уменьшается. Индукционный ток будет иметь такое на- правление, чтобы его собственный магнитный поток поддерживал внешний магнитный поток,
препятствуя его убыванию. Для этого магнитное поле индукционного тока должно быть на- правлено в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле.
В этом случае индукционный ток потечёт против часовой стрелки, если смотреть сверху, со стороны обоих магнитных полей.
3.19.5
Взаимодействие магнита с контуром
Итак, приближение или удаление магнита приводит к появлению в контуре индукционного тока, направление которого определяется правилом Ленца. Но ведь магнитное поле действует на ток! Появится сила Ампера, действующая на контур со стороны поля магнита. Куда будет направлена эта сила?
Если вы хотите хорошо разобраться в правиле Ленца и в определении направления силы
Ампера, попробуйте ответить на данный вопрос самостоятельно. Это не очень простое упраж- нение. Рассмотрите четыре возможных случая.
1. Магнит приближаем к контуру, северный полюс направлен на контур.
2. Магнит удаляем от контура, северный полюс направлен на контур.
3. Магнит приближаем к контуру, южный полюс направлен на контур.
4. Магнит удаляем от контура, южный полюс направлен на контур.
Не забывайте, что поле магнита не однородно: линии поля расходятся от северного полюса и сходятся к южному. Это очень существенно для определения результирующей силы Ампера.
Результат получается следующий.
Если приближать магнит, то контур отталкивается от магнита. Если удалять маг- нит, то контур притягивается к магниту. Таким образом, если контур подвешен на нити,
то он всегда будет отклоняться в сторону движения магнита, словно следуя за ним. Распо- ложение полюсов магнита при этом роли не играет.
Результат этот можно объяснить и из совершенно общих соображений — при помощи закона сохранения энергии.
254
Допустим, мы приближаем магнит к контуру. В контуре появляется индукционный ток. Но для создания тока надо совершить работу! Кто её совершает? В конечном счёте — мы, пере- мещая магнит. Мы совершаем положительную механическую работу, которая преобразуется в положительную работу возникающих в контуре сторонних сил, создающих индукционный ток.
Итак, наша работа по перемещению магнита должна быть положительна. Это значит, что мы, приближая магнит, должны преодолевать силу взаимодействия магнита с контуром, кото- рая, стало быть, является силой отталкивания.
Теперь удаляем магнит. Повторите, пожалуйста, эти рассуждения и убедитесь, что между магнитом и контуром должна возникнуть сила притяжения.
3.19.6
Закон Фарадея + Правило Ленца = Снятие модуля
Выше мы обещали снять модуль в законе Фарадея (
3.79
). Правило Ленца позволяет это сделать.
Но сначала нам нужно будет договориться о знаке ЭДС индукции —
ведь без модуля, стоящего в правой части (
3.79
), величина ЭДС может получаться как положительной, так и отрицательной.
Прежде всего, фиксируется одно из двух возможных направлений обхода контура. Это на- правление объявляется положительным. Противоположное направление обхода контура назы- вается, соответственно, отрицательным. Какое именно направление обхода мы берём в каче- стве положительного, роли не играет — важно лишь сделать этот выбор.
Магнитный поток через контур считается положительным (Φ > 0), если магнитное поле,
пронизывающее контур, направлено туда, глядя откуда обход контура в положительном на- правлении совершается против часовой стрелки. Если же с конца вектора магнитной индукции положительное направление обхода видится по часовой стрелке, то магнитный поток считается отрицательным (Φ < 0).
ЭДС индукции считается положительной (
E
i
> 0), если индукционный ток течёт в положи- тельном направлении. В этом случае направление сторонних сил, возникающих в контуре при изменении магнитного потока через него, совпадает с положительным направлением обхода контура.
Наоборот, ЭДС индукции считается отрицательной (
E
i
< 0), если индукционный ток течёт в отрицательном направлении. Сторонние силы в данном случае также будут действовать вдоль отрицательного направления обхода контура.
Итак, пусть контур находится в магнитном поле
B. Фиксируем направление положительного обхода контура. Предположим, что магнитное поле направлено туда, глядя откуда положитель- ный обход совершается против часовой стрелки. Тогда магнитный поток положителен: Φ > 0.
Предположим, далее, что магнитный поток увеличивается (∆Φ/∆t > 0). Согласно правилу
Ленца индукционный ток потечёт в отрицательном направлении (рис.
3.91
).
I (течёт в отрицательном направлении)
B (магнитный поток возрастает)
Положительный обход
Рис. 3.91. Магнитный поток возрастает ⇒
E
i
< 0
Стало быть, в данном случае имеем
E
i
< 0. Знак ЭДС индукции оказался противоположен знаку скорости изменения магнитного потока. Проверим это в другой ситуации.
255
А именно, предположим теперь, что магнитный поток убывает (∆Φ/∆t < 0). По правилу
Ленца индукционный ток потечёт в положительном направлении. Стало быть,
E
i
> 0 (рис.
3.92
).
I (течёт в положительном направлении)
B (магнитный поток убывает)
Положительный обход
Рис. 3.92. Магнитный поток возрастает ⇒
E
i
> 0
Таков в действительности общий факт: при нашей договорённости о знаках правило Ленца всегда приводит к тому, что знак ЭДС индукции противоположен знаку скорости изменения магнитного потока:
E
i
= −
∆Φ
∆t
= − ˙
Φ.
(3.80)
Тем самым ликвидирован знак модуля в законе электромагнитной индукции Фарадея.
3.19.7
Вихревое электрическое поле
Рассмотрим неподвижный контур, находящийся в переменном магнитном поле. Каков же меха- низм возникновения индукционного тока в контуре? А именно, какие силы вызывают движение свободных зарядов, какова природа этих сторонних сил?
Пытаясь ответить на эти вопросы, великий английский физик Максвелл открыл фундамен- тальное свойство природы: меняющееся во времени магнитное поле порождает поле электри- ческое. Именно это электрическое поле и действует на свободные заряды, вызывая индукцион- ный ток.
Линии возникающего электрического поля оказываются замкнутыми, в связи с чем оно было названо вихревым электрическим полем. Линии вихревого электрического поля идут вокруг линий магнитного поля и направлены следующим образом.
Пусть магнитное поле увеличивается. Если в нём находится проводящий контур, то индук- ционный ток потечёт в соответствии с правилом Ленца — по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора
B. Значит, туда же направлена и сила, действующая со стороны вихревого элек- трического поля на положительные свободные заряды контура; значит, именно туда направлен вектор напряжённости вихревого электрического поля.
E
B (увеличивается)
Рис. 3.93. Вихревое электрическое поле при увеличении магнитного поля
256
Итак, линии напряжённости вихревого электрического поля направлены в данном случае по часовой стрелке (смотрим с конца вектора
B, (рис.
3.93
).
Наоборот, если магнитное поле убывает, то линии напряжённости вихревого электрического поля направлены против часовой стрелки (рис.
3.94
).
E
B (уменьшается)
Рис. 3.94. Вихревое электрическое поле при уменьшении магнитного поля
Теперь мы можем глубже понять явление электромагнитной индукции. Суть его состоит именно в том, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Данный эффект не зависит от того, присутствует ли в магнитном поле замкнутый проводящий контур или нет; с помощью контура мы лишь обнаруживаем это явление, наблюдая индукционный ток.
Вихревое электрическое поле по некоторым свойствам отличается от уже известных нам электрических полей: электростатического поля и стационарного поля зарядов, образующих постоянный ток.
1. Линии вихревого поля замкнуты, тогда как линии электростатического и стационарного полей начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.
2. Вихревое поле непотенциально: его работа перемещению заряда по замкнутому контуру не равна нулю. Иначе вихревое поле не могло бы создавать электрический ток! В то же время, как мы знаем, электростатическое и стационарное поля являются потенциальными.
Итак, ЭДС индукции в неподвижном контуре — это работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура.
Пусть, например, контур является кольцом радиуса r и пронизывается однородным пере- менным магнитным полем. Тогда напряжённость E вихревого электрического поля одинакова во всех точках кольца. Работа A силы F , с которой вихревое поле действует на заряд q, равна:
A = F · 2πr = qE · 2πr.
Следовательно, для ЭДС индукции получаем:
E
i
=
A
q
= 2πrE.
3.19.8
ЭДС индукции в движущемся проводнике
Если проводник перемещается в постоянном магнитном поле, то в нём также появляется ЭДС
индукции. Однако причиной теперь служит не вихревое электрическое поле (оно вообще не появляется — ведь магнитное поле постоянно), а действие силы Лоренца на свободные заряды проводника.
257
Рассмотрим ситуацию, которая часто встречается в задачах. В горизонтальной плоскости расположены параллельные рельсы, расстояние между которыми равно l. Рельсы находятся в вертикальном однородном магнитном поле
B. По рельсам движется тонкий проводящий стер- жень P N со скоростью
v; он всё время остаётся перпендикулярным рельсам (рис.
3.95
).
l
M
K
v
F
q
B
v∆t
P
P
0
N
N
0
Рис. 3.95. Движение проводника в магнитном поле
Возьмём внутри стержня положительный свободный заряд q. Вследствие движения этого заряда вместе со стержнем со скоростью
v на заряд будет действовать сила Лоренца:
F = qvB.
Направлена эта сила вдоль оси стержня, как показано на рисунке (убедитесь в этом сами — не забывайте правило часовой стрелки или левой руки!).
Сила Лоренца
F играет в данном случае роль сторонней силы: она приводит в движение свободные заряды стержня. При перемещении заряда q от точки N к точке P наша сторонняя сила совершит работу:
A = F l = qvBl.
(Длину стержня мы также считаем равной l.) Стало быть, ЭДС индукции в стержне окажется равной:
E
i
=
A
q
= vBl.
(3.81)
Таким образом, стержень P N аналогичен источнику тока с положительной клеммой P и отрицательной клеммой N . Внутри стержня за счёт действия сторонней силы Лоренца проис- ходит разделение зарядов: положительные заряды двигаются к точке P , отрицательные — к точке N .
Допустим сначала, что рельсы не проводят ток. Тогда движение зарядов в стержне постепен- но прекратится. Ведь по мере накопления положительных зарядов на торце P и отрицательных зарядов на торце N будет возрастать кулоновская сила, с которой положительный свободный заряд q отталкивается от P и притягивается к N — и в какой-то момент эта кулоновская сила уравновесит силу Лоренца. Между концами стержня установится разность потенциалов, равная
ЭДС индукции (
3.81
).
Теперь предположим, что рельсы и перемычка KM являются проводящими. Тогда в цепи возникнет индукционный ток; он пойдёт в направлении P → K → M → N (от «плюса ис- точника» P к «минусу» N ). Предположим, что сопротивление стержня равно r (это аналог внутреннего сопротивления источника тока), а сопротивление участка P KM N равно R (сопро- тивление внешней цепи). Тогда сила индукционного тока найдётся по закону Ома для полной цепи:
I =
E
i
R + r
=
vBl
R + r
258
Замечательно, что выражение (
3.81
) для ЭДС индукции можно получить также с помощью закона Фарадея. Сделаем это.
За время ∆t наш стержень P N проходит путь v∆t и занимает положение P
0
N
0
(рис.
3.95
).
Площадь контура возрастает на величину площади прямоугольника P P
0
N
0
N :
∆S = S
P P
0
N
0
N
= lv∆t.
Магнитный поток через контур увеличивается. Приращение магнитного потока равно:
∆Φ = B∆S = Blv∆t.
Скорость изменения магнитного потока положительна и равна ЭДС индукции:
E
i
=
∆Φ
∆t
= Blv.
Мы получили тот же самый результат, что и в (
3.81
).
Направление индукционного тока, заметим, подчиняется правилу Ленца. Действительно,
раз ток течёт в направлении P → K → M → N , то его магнитное поле направлено противо- положно внешнему полю
B и, стало быть, препятствует возрастанию магнитного потока через контур.
На этом примере мы видим, что в ситуациях, когда проводник движется в магнитном поле,
можно действовать двояко: либо с привлечением силы Лоренца как сторонней силы, либо с помощью закона Фарадея. Результаты будут получаться одинаковые.
259
3.20
Самоиндукция
Самоиндукция является частным случаем электромагнитной индукции. Оказывается, что элек- трический ток в контуре,
меняющийся со временем, определённым образом воздействует сам на себя.
Ситуация 1. Предположим, что сила тока в контуре возрастает. Пусть ток течёт против часовой стрелки; тогда магнитное поле этого тока направлено вверх и увеличивается (рис.
3.96
).
I (увеличивается)
E
вихр
B (увеличивается)
Рис. 3.96. Вихревое поле препятствует увеличению тока
Таким образом, наш контур оказывается в переменном магнитном поле своего собственно- го тока. Магнитное поле в данном случае возрастает (вместе с током) и потому порождает вихревое электрическое поле, линии которого направлены по часовой стрелке в соответствии с правилом Ленца.
Как видим, вихревое электрическое поле направлено против тока, препятствуя его возраста- нию; оно как бы «тормозит» ток. Поэтому при замыкании любой цепи ток устанавливается не мгновенно — требуется некоторое время, чтобы преодолеть тормозящее действие возникающего вихревого электрического поля.
Ситуация 2. Предположим теперь, что сила тока в контуре уменьшается. Магнитное поле тока также убывает и порождает вихревое электрическое поле, направленное против часовой стрелки (рис.
3.97
).
I (уменьшается)
E
вихр
B (уменьшается)
Рис. 3.97. Вихревое поле поддерживает убывающий ток
Теперь вихревое электрическое поле направлено в ту же сторону, что и ток; оно поддержи- вает ток, препятствуя его убыванию.
Как мы знаем, работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положи- тельного заряда вокруг контура — это ЭДС индукции. Поэтому мы можем дать такое опреде- ление.
Явление самоиндукции состоит в том, что при изменении силы тока в контуре возникает
ЭДС индукции в этом же самом контуре.
При возрастании силы тока (в ситуации 1) вихревое электрическое поле совершает отрица- тельную работу, тормозя свободные заряды. Стало быть, ЭДС индукции в этом случае отри- цательна.
260
При убывании силы тока (в ситуации 2) вихревое электрическое поле совершает положи- тельную работу, «подталкивая» свободные заряды и препятствуя убыванию тока. ЭДС индук- ции в этом случае также положительна
43 3.20.1
Индуктивность
Мы знаем, что магнитный поток, пронизывающий контур, пропорционален индукции магнит- ного поля: Φ ∼ B. Кроме того, опыт показывает, что величина индукции магнитного поля контура с током пропорциональна силе тока: B ∼ I. Стало быть, магнитный поток через по- верхность контура, создаваемый магнитным полем тока в этом самом контуре, пропорционален силе тока: Φ ∼ I.
Коэффициент пропорциональности обозначается L и называется индуктивностью контура:
Φ = LI.
(3.82)
Индуктивность зависит от геометрических свойств контура (формы и размеров), а также от магнитных свойств среды, в которую помещён контур
44
. Единицей измерения индуктивности служит генри (Гн).
Допустим, что форма контура, его размеры и магнитные свойства среды остаются посто- янными (например, наш контур — это катушка, в которую не вводится сердечник); изменение магнитного потока через контур вызвано только изменением силы тока. Тогда ∆Φ = L∆I, и закон Фарадея
E
i
= −∆Φ/∆t приобретает вид:
E
i
= −L
∆I
∆t
= −L ˙
I.
(3.83)
Благодаря знаку «минус» в (
3.83
) ЭДС индукции оказывается отрицательной при возрас- тании тока и положительной при убывании тока, что мы и видели выше.
Рассмотрим два опыта, демонстрирующих явление самоиндукции при замыкании и размы- кании цепи.
В первом опыте к батарейке подключены параллельно две лампочки, причём вторая —
последовательно с катушкой достаточно большой индуктивности L (рис.
3.98
). Ключ вначале разомкнут.
1
L
2
Рис. 3.98. Самоиндукция при замыкании цепи
При замыкании ключа лампочка 1 загорается сразу, а лампочка 2 — постепенно. Дело в том,
что в катушке возникает ЭДС индукции, препятствующая возрастанию тока. Поэтому макси- мальное значение тока во второй лампочке устанавливается лишь спустя некоторое заметное время после вспыхивания первой лампочки.
43
Нетрудно убедиться в том, что знак ЭДС индукции, определённый таким образом, согласуется с правилом выбора знака для ЭДС индукции, сформулированным в предыдущем разделе.
44
Улавливаете аналогию? Ёмкость конденсатора зависит от его геометрических характеристик, а также от диэлектрической проницаемости среды между обкладками конденсатора.
261
Это время запаздывания тем больше, чем больше индуктивность катушки. Объяснение про- стое: ведь тогда больше будет напряжённость вихревого электрического поля, возникающего в катушке, и потому батарейке придётся совершить б´
ольшую работу по преодолению вихревого поля, тормозящего заряженные частицы.
Во втором опыте к батарейке подключены параллельно катушка и лампочка рис.
3.99
).
Сопротивление катушки много меньше сопротивления лампочки.
L
Рис. 3.99. Самоиндукция при размыкании цепи
Ключ вначале замкнут. Лампочка не горит — напряжение на ней близко к нулю из-за мало- сти сопротивления катушки. Почти весь ток, идущий в неразветвлённой цепи, проходит через катушку.
При размыкании ключа лампочка ярко вспыхивает! Почему? Ток через катушку начинает резко убывать, и возникает значительная ЭДС индукции, поддерживающая убывающий ток
(ведь ЭДС индукции, как видно из (
3.83
), пропорциональна скорости изменения тока).
Иными словами, при размыкании ключа в катушке появляется весьма большое вихревое электрическое поле, разгоняющее свободные заряды. Под действием этого вихревого поля че- рез лампочку пробегает импульс тока, и мы видим яркую вспышку. При достаточно большой индуктивности катушки ЭДС индукции может стать существенно больше ЭДС батарейки, и лампочка вовсе перегорит.
Лампочку-то, может, и не жалко, но в промышленности и энергетике данный эффект яв- ляется серьёзной проблемой. Так как при размыкании цепи ток начинает уменьшаться очень быстро, возникающая в цепи ЭДС индукции может значительно превышать номинальные на- пряжения и достигать опасно больших величин. Поэтому в агрегатах, потребляющих большой ток, предусмотрены специальные аппаратные меры предосторожности (например, масляные выключатели на электростанциях), препятствующие моментальному размыканию цепи.
3.20.2
Электромеханическая аналогия
Нетрудно заметить определённую аналогию между индуктивностью L в электродинамике и массой m в механике.
1. Чтобы разогнать тело до заданной скорости, требуется некоторое время — мгновенно изменить скорость тела не получается. При неизменной силе, приложенной к телу, это время тем больше, чем больше масса m тела.
Чтобы ток в катушке достиг своего максимального значения, требуется некоторое время;
мгновенно ток не устанавливается. Время установления тока тем больше, чем больше индуктивность L катушки.
2. Если тело налетает на неподвижную стену, то скорость тела уменьшается очень быстро.
Стена
принимает на себя удар, и его разрушительное действие тем сильнее, чем больше масса тела.
262
При размыкании цепи с катушкой ток уменьшается очень быстро. Цепь принимает на се- бя «удар» в виде вихревого электрического поля, порождаемого убывающим магнитным полем тока, и этот «удар» тем сильнее, чем больше индуктивность катушки. ЭДС индук- ции может достичь столь больших величин, что пробой воздушного промежутка выведет из строя оборудование.
На самом деле эти электромеханические аналогии простираются довольно далеко; они каса- ются не только индуктивности и массы, но и других величин, и оказываются весьма полезными на практике. Мы ещё поговорим об этом в листке про электромагнитные колебания.
3.20.3
Энергия магнитного поля
Вспомним второй опыт с лампочкой, которая не горит при замкнутом ключе и ярко вспыхи- вает при размыкании цепи. Мы непосредственно наблюдаем, что после размыкания ключа в лампочке выделяется энергия. Но откуда эта энергия берётся?
Берётся она, ясное дело, из катушки — больше неоткуда. Но что за энергия была запасена в катушке и как вычислить эту энергию? Чтобы понять это, продолжим нашу электромехани- ческую аналогию между индуктивностью и массой.
Чтобы разогнать тело массы m из состояния покоя до скорости v, внешняя сила долж- на совершить работу A. Тело приобретает кинетическую энергию, которая равна затраченной работе: K = A = mv
2
/2.
Чтобы после замыкания цепи ток в катушке индуктивности L достиг величины I, источник тока должен совершить работу по преодолению вихревого электрического поля, направленного против тока. Работа источника идёт на создание тока и превращается в энергию магнитного поля созданного тока. Эта энергия запасается в катушке; именно эта энергия и выделяется потом в лампочке после размыкания ключа (во втором опыте).
Индуктивность L служит аналогом массы m; сила тока I является очевидным аналогом скорости v. Поэтому естественно предположить, что для энергии магнитного поля катушки может иметь место формула, аналогичная выражению для кинетической энергии:
W =
LI
2 2
(3.84)
(тем более, что правая часть данной формулы имеет размерность энергии — проверьте!).
Формула (
3.84
) действительно оказывается справедливой. Уметь её выводить пока не обя- зательно, но если вы знаете, что такое интеграл, то вам не составит труда понять следующие рассуждения.
Пусть в данный момент сила тока через катушку равна I. Возьмём малый промежуток времени dt. В течение этого промежутка приращение силы тока равно dI; величина dt считается настолько малой, что dI много меньше, чем I.
За время dt по цепи проходит заряд dq = Idt. Вихревое электрическое поле совершает при этом отрицательную работу:
dA
вихр
=
E
i dq =
E
i
Idt = −L
dI
dt
Idt = −LIdI.
Источник тока совершает такую же по модулю положительную работу dA (сопротивлением катушки, напомним, мы пренебрегаем, так что вся работа источника совершается против вих- ревого поля):
dA = −dA
вихр
= LIdI.
263
Интегрируя это от нуля до I, найдем работу источника A, которая затрачивается на создание тока I:
A =
I
Z
0
LIdI =
LI
2 2
Эта работа превращается в энергию W магнитного поля созданного тока, и мы приходим к формуле (
3.84
).
264
3.21
Электромагнитные колебания
Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряже- ния, происходящие в электрической цепи; кроме того, это периодические изменения напряжён- ности электрического поля и индукции магнитного поля, возникающие и распространяющиеся в окружающем пространстве.
Знакомство с электромагнитными колебаниями мы начнём с рассмотрения процессов, про- исходящих в колебательном контуре.
3.21.1
Колебательный контур
Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединён- ными конденсатором и катушкой. Колебательный контур является простейшей системой, в которой могут происходить электромагнитные колебания.
Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнутся свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.
Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через T . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.
Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.
Начальный момент: t = 0. Заряд конденсатора равен q
0
, ток через катушку отсутствует
(рис.
3.100
). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.
+q
0
−q
0
Рис. 3.100. t = 0
Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.
Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину x
0
и в начальный момент отпущен. Началь- ная скорость маятника равна нулю.
Первая четверть периода: 0 < t < T /4. Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен q. Ток I через катушку нарастает (рис.
3.101
).
+q
−q
I
Рис. 3.101. 0 < t < T /4 265
Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятству- ет нарастанию тока и направлено против тока.
Аналогия. Маятник движется влево к положению равновесия; скорость v маятника посте- пенно увеличивается. Деформация пружины x (она же — координата маятника) уменьшается.
Конец первой четверти: t = T /4. Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения I
0
(рис.
3.102
). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.
I
0
Рис. 3.102. t = T /4
Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.
Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения v
0
. Деформация пружины равна нулю.
Вторая четверть: T /4 < t < T /2. Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис.
3.103
).
−q
+q
I
Рис. 3.103. T /4 < t < T /2
Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убыва- ющий ток, сонаправлено с током.
Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой край- ней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.
Конец второй четверти: t = T /2. Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен q
0
(но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис.
3.104
). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.
−q
0
+q
0
Рис. 3.104. t = T /2
Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Дефор- мация пружины максимальна и равна x
0 266
Третья четверть: T /2 < t < 3T /4. Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис.
3.105
).
−q
+q
I
Рис. 3.105. T /2 < t < 3T /4
Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.
Конец третьей четверти: t = 3T /4. Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен I
0
, но на сей раз имеет другое направление (рис.
3.106
).
I
0
Рис. 3.106. t = 3T /4
Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью v
0
, но на сей раз в обратном направлении.
Четвёртая четверть: 3T /4 < t < T . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис.
3.107
).
+q
−q
I
Рис. 3.107. 3T /4 < t < T
Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.
Конец четвёртой четверти и всего периода: t = T . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис.
3.108
).
+q
0
−q
0
Рис. 3.108. t = T
267
Данный момент идентичен моменту t = 0, а данный рисунок — рисунку
3.100
. Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.
Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.
Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут про- должаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!
Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.
В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на кон- денсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.
Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.
3.21.2
Энергетические превращения в колебательном контуре
Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катуш- ки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость C, индуктивность катушки равна L.
Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспре- деляется между конденсатором и катушкой.
Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен q
0
, а ток отсут- ствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия W контура сосредоточена в конденсаторе:
W =
q
2 0
2C
Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен I
0
, а конденсатор раз- ряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:
W =
LI
2 0
2
В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен q и через катушку течёт ток I, энергия контура равна:
W =
q
2 2C
+
LI
2 2
Таким образом,
q
2 2C
+
LI
2 2
=
q
2 0
2C
=
LI
2 0
2
(3.85)
Соотношение (
3.85
) применяется при решении многих задач.
3.21.3
Электромеханические аналогии
В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и мас- сой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.
Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (
3.85
):
kx
2 2
+
mv
2 2
=
kx
2 0
2
=
mv
2 0
2
(3.86)
268
Здесь, как вы уже поняли, k — жёсткость пружины, m — масса маятника, x и v — текущие
значения координаты и скорости маятника, x
0
и v
0
— их наибольшие значения.
Сопоставляя друг с другом равенства (
3.85
) и (
3.86
), мы видим следующие соответствия:
q ←→ x;
(3.87)
I ←→ v;
(3.88)
L ←→ m;
(3.89)
1/C ←→ k.
(3.90)
Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для пери- ода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
T = 2π
r m k
B соответствии с аналогиями (
3.89
) и (
3.90
) заменяем здесь массу m на индуктивность L, а жёсткость k на обратную ёмкость 1/C. Получим:
T = 2π
√
LC .
(3.91)
Электромеханические аналогии не подводят: формула (
3.91
) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.
3.21.4
Гармонический закон колебаний в контуре
Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса.
Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими.
Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет;
пусть это будет направление против часовой стрелки (рис.
3.109
).
q
Рис. 3.109. Положительное направление обхода
Сила тока считается положительной (I > 0), если ток течёт в положительном направлении.
В противном случае сила тока будет отрицательной (I < 0).
Заряд конденсатора q — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток
(т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае q —
заряд левой пластины конденсатора.
При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: ˙
q = I (при ином выборе знаков могло случиться ˙
q = −I). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если I > 0, то заряд q левой пластины возрастает, и потому ˙
q > 0.
269
Величины q = q(t) и I = I(t) меняются со временем, но энергия контура остаётся неизмен- ной:
q
2 2C
+
LI
2 2
= W = const.
(3.92)
Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: ˙
W = 0. Берём производную по времени от обеих частей соотношения (
3.92
); не забываем, что слева дифференцируются сложные функции
45
:
2q ˙
q
2C
+
L · 2I ˙
I
2
= ˙
W = 0.
Подставляя сюда ˙
q = I и ˙
I = ¨
q, получим:
qI
C
+ LI ¨
q = 0,
I
q
C
+ L¨
q
= 0.
Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому q
C
+ L¨
q = 0.
Перепишем это в виде:
¨
q +
1
LC
q = 0.
(3.93)
Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида ¨
q + ω
2 0
q = 0, где
ω
2 0
= 1/LC. Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т. е.
по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:
ω
0
=
1
√
LC
(3.94)
Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в конту- ре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
T =
2π
ω
0
= 2π
√
LC .
Мы снова пришли к формуле Томсона.
Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
q = q
0
cos(ω
0
t + α).
(3.95)
Циклическая частота ω
0
находится по формуле (
3.94
); амплитуда q
0
и начальная фаза α опре- деляются из начальных условий.
Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при t = 0
заряд конденсатора максимален и равен q
0
(как на рис.
3.100
); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза α = 0, так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой q
0
:
q = q
0
cos ω
0
t = q
0
cos
t
√
LC
(3.96)
45
Если y = y(x) — функция от x, то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: (y
2
)
0
= 2yy
0 270
Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение
(
3.96
), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
I = ˙
q = −q
0
ω
0
sin ω
0
t.
Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:
I = −I
0
sin ω
0
t = −I
0
sin
t
√
LC
(3.97)
Амплитуда силы тока равна:
I
0
= q
0
ω
0
=
q
0
√
LC
Наличие «минуса» в законе изменения тока (
3.97
) понять не сложно. Возьмём, к примеру,
интервал времени 0 < t < T /4 (рис. 2).
Ток течёт в отрицательном направлении: I < 0. Поскольку ω
0
= 2π/T , фаза колебаний находится в первой четверти: 0 < ω
0
t < π/2. Синус в первой четверти положителен; стало быть,
синус в (
3.97
) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (
3.97
).
А теперь посмотрите на рис.
3.107
. Ток течёт в положительном направлении. Как же рабо- тает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!
Изобразим графики колебаний заряда и тока, т. е. графики функций (
3.96
) и (
3.97
). Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис.
3.110
).
t q, I
0
q = q(t)
I = I(t)
Рис. 3.110. Графики колебаний заряда и тока
Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот,
нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
Используя формулу приведения cos
ϕ +
π
2
= − sin ϕ,
запишем закон изменения тока (
3.97
) в виде:
I = −I
0
sin ω
0
t = I
0
cos
ω
0
t +
π
2
Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда q = q
0
cos ω
0
t, мы видим, что фаза тока, равная ω
0
t + π/2, больше фазы заряда ω
0
t на величину π/2. В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на π/2; или сдвиг фаз между током и зарядом равен π/2; или разность фаз между током и зарядом равна π/2.
271
Опережение током заряда по фазе на π/2 графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на π/2 относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз π/2).
3.21.5
Вынужденные электромагнитные колебания
Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.
Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис.
3.111
).
∼
U
C
L
Рис. 3.111. Вынужденные колебания
Если напряжение источника меняется по закону:
U = U
0
sin ωt,
то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой ω (и с периодом,
соответственно, T = 2π/ω). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте ω
0
= 1/
√
LC.
Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты ω: амплитуда тем больше, чем ближе ω к собственной частоте контура ω
0
. При ω = ω
0
наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.
272
3.22
Переменный ток. 1
Переменный ток — это вынужденные электромагнитные колебания, вызываемые в электриче- ской цепи источником переменного (чаще всего синусоидального) напряжения.
Переменный ток присутствует всюду. Он течёт по проводам наших квартир, в промышлен- ных электросетях, в высоковольтных линиях электропередач. И если вам нужен постоянный ток, чтобы зарядить аккумулятор телефона или ноутбука, вы используете специальный адап- тер, выпрямляющий переменный ток из розетки.
Почему переменный ток распространён так широко? Оказывается, он прост в получении и идеально приспособлен для передачи электроэнергии на большие расстояния. Подробнее об этих вопросах мы поговорим позже — в разделе, посвящённом производству, передаче и потреблению электрической энергии.
А сейчас мы рассмотрим простейшие цепи переменного тока. Будем подключать к источнику синусоидального напряжения поочерёдно:
• резистор сопротивлением R;
• конденсатор ёмкости C;
• катушку индуктивности L.
Изучив поведение резистора, конденсатора и катушки в цепи переменного тока, мы затем подключим их одновременно и исследуем прохождение переменного тока через колебательный контур, обладающий сопротивлением.
Напряжение на клеммах источника меняется по закону:
U = U
0
sin ωt.
(3.98)
Скачать 4.04 Mb.