ЕГЭ 14. Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Анкор: ЕГЭ 14
• Дата: 13.01.2023
• Размер: 1.05 Mb.
• Имя файла: ege14.doc
• Тип: Документы; #884857
• страница: 3 из 17

Ещё пример задания:

Р-25. (демо-2021) Значение арифметического выражения: 49⁷ + 7²¹ – 7 – записали в системе

счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

Решение:

1. 
   приведём все числа к степеням семерки, учитывая, что 49 = 7²
   

7¹⁴ + 7²¹ – 7¹

2. 
   расставим степени в порядке убывания:
   

7²¹ + 7¹⁴ – 7¹

3. 
   Очевидно, что «шестёрки» в семеричной записи значения выражения возникнут только за счёт вычисления разности 7¹⁴ – 7¹, их количество равно 14-1=13
   
4. 
   Ответ: 13.
   

Решение (использование программы):

1. 
   язык Python позволяет работать с большими числами, не задумываясь о том, что для их хранения требуется больше памяти, чем для «обычного» целого числа (когда значение не помещается в 4 байта, интерпретатор автоматически переходит на представление числа в виде массива с «длинной арифметикой»)
   
2. 
   поэтому может быть написана программа, которая вычисляет нужное значение и методом деления в столбик определяет все цифры его записи в семеричной системе счисления; шестёрки считаем с помощью счётчика count6:
   

x = 49**7 + 7**21 - 7

count6 = 0

while x:

if x % 7 == 6: count6 += 1

x //= 7

print( count6 )

3. 
   Ответ: 13.
   

Решение (использование программы в среде Pascal ABC.NET, А. Агафонцев):

1. 
   Pascal ABC.NET за счет использования фреймворка .NET позволяет воспользоваться типом System.Numerics.BigInteger (предназначенным для произвольно больших целых со знаком) и связанными с ним функциями.
   
2. 
   Таким образом, программа получается во многом схожей с программами на Python. Особо отметим, что использование функций возведения в степень не связанных с типом BigInteger для систем с основанием, не являющимся степенью двойки, приводит к неверным результатам из-за использования вещественных чисел. Например, BigInteger(power(9,34)) или BigInteger(9 ** 34) преобразуют вещественное число в целое произвольно большой длины, но еще при операции возведения в степень потеряется часть идеальной, математической мантиссы.
   
3. 
   В связи с вышесказанным допустимо только использование записей вида BigInteger.Pow(9,34).
   
4. 
   Полная программа:
   

var

a: BigInteger;

k: int64;

begin

a := BigInteger.Pow(49, 7) + BigInteger.Pow(7, 21) - 7;

k := 0;

while (a > 0) do

begin

if (a mod 7 = 6) then

k := k + 1;

a := a div 7;

end;

writeln(k);

end.

5. 
   Ещё одно решение на PascalABC.NET (П.Е. Финкель)
   

begin

var k:=0;

var x:=49bi**7+7bi**21-7;

while x>0 do begin

if x mod 7=6 then k+=1;

x:=x div 7;

end;

println(k);

end.

6. 
   здесь «bi» длинным, а ** означает возведение в степень
   
7. 
   Ответ: 13.
   

Решение (использование программы на Java, М. Коротков):

1. 
   язык Java позволяет работать с большими числами с помощью типа BigInteger;
   
2. 
   может быть написана программа, которая вычисляет значение арифметического выражения и методом деления в столбик определяет все цифры его записи в семеричной системе счисления; шестёрки считаем с помощью счётчика amt6:
   
3. 
   полная программа:
   

import java.math.BigInteger;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
final BigInteger SIX = BigInteger.valueOf(6);
final BigInteger SEVEN = BigInteger.valueOf(7);
final BigInteger NUM1 = BigInteger.valueOf(49).pow(7);
final BigInteger NUM2 = BigInteger.valueOf(7).pow(21);

BigInteger num = NUM1.add(NUM2).subtract(SEVEN);

BigInteger amt6 = BigInteger.ZERO;
while (!num.equals(BigInteger.ZERO)) {
if (num.mod(SEVEN).equals(SIX)) {
amt6 = amt6.add(BigInteger.ONE);
}
num = num.divide(SEVEN);
}
System.out.println(amt6);
}
}

4. 
   Ответ: 13.