ЕГЭ 14. Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Анкор: ЕГЭ 14
• Дата: 13.01.2023
• Размер: 1.05 Mb.
• Имя файла: ege14.doc
• Тип: Документы; #884857
• страница: 4 из 17

Ещё пример задания:

Р-24. (М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 64¹⁰ + 2⁹⁰ - 16 записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

Решение:

1. 
   Приведём все числа к степеням восьмерки, учитывая, что 16 = 64 - 48 =8²-6∙8¹
   

64¹⁰ + 2⁹⁰ - 16 = (8²)¹⁰ + 2^3∙30 – (8² – 48) = 8²⁰ + 8³⁰ – 8² + 6∙8¹

2. 
   Перепишем выражение, располагая степени восьмёрки в порядке убывания:
   8²⁰ + 8³⁰ – 8² + 6∙8¹ = 8³⁰ + 8²⁰ – 8² + 6∙8¹
   
3. 
   Очевидно, что «семёрки» в восьмеричной записи значения выражения возникнут только за счёт вычисления разности 8²⁰ – 8², их количество равно 20-2=18
   
4. 
   Ответ: 18.
   

Решение (использование программы в среде Pascal ABC.NET, А. Агафонцев):

1. 
   В среде Pascal ABC.NET при использовании типа BigInteger задача может быть решена с помощью программы:
   

var

a: BigInteger;

k: int64;

begin

a := BigInteger.Pow(64, 10) + BigInteger.Pow(2, 90) - 16;

k := 0;

while (a > 0) do

begin

if (a mod 8 = 7) then

k := k + 1;

a := a div 8;

end;

writeln(k);

end.

2. 
   Ответ: 18.
   
3. 
   Ещё одно решение на PascalABC.NET (П.Е. Финкель)
   

begin

var k:=0;

var x:=64bi**10+2bi**90-16;

while x>0 do begin

if x mod 8=7 then k+=1;

x:=x div 8;

end;

println(k);

end.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

1. 
   если доступна среда программирования на Python, можно написать программу, которая использует встроенную арифметику длинных чисел:
   

x = 64**10 + 2**90 - 16

print( oct(x).count('7') )

2. 
   ответ: 18.
   

Ещё пример задания:

Р-23. (М.В. Кузнецова) Значение арифметического выражения: 9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 19 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

Решение:

1. 
   Приведём все числа к степеням тройки, учитывая, что 19=27-8=3³-(2∙3¹+2∙3⁰):
   

9⁹ – 3⁹ + 9¹⁹ – 19= (3²)⁹ – 3⁹ + (3²)¹⁹ – (3³ – (2∙3¹ + 2∙3⁰)) = 3¹⁸ – 3⁹ + 3³⁸ – 3³ + 2∙3¹ + 2∙3⁰

2. 
   Перепишем выражение, располагая степени тройки в порядке убывания:
   3¹⁸ – 3⁹ + 3³⁸ – 3³ + 2∙3¹ + 2∙3⁰ = 3³⁸ + 3¹⁸ – 3⁹ – 3³ + 2∙3¹ + 2∙3⁰
   
3. 
   Сначала рассмотрим часть выражения, в которой имеется два расположенных подряд «минуса»: 3¹⁸ - 3⁹ ‑ 3³:
   
   1. 
      найдём разность двух крайних чисел: 3¹⁸ – 3³, в её троичной записи 18 – 3=15 «двоек» и 3 «нуля»;
      
   2. 
      вычтем из этого числа значение 3⁹: одна из «двоек» (на 10-й справа позиции) уменьшится на 1, остальные цифры не изменятся;
      
   3. 
      итак, троичная запись разности 3¹⁸ – 3⁹ – 3³ содержит 15 – 1=14 «двоек», одну «единицу» и 3 «нуля»
      
4. 
   Прибавим к полученному значению сумму: 2∙3¹ + 2∙3⁰ = 22₃. В троичной записи результата два крайних справа нуля заменяются на «двойки», остаётся один ноль. Общее количество «двоек»: 14+2=16.
   
5. 
   Прибавление значения 3³⁸ не изменит количества «двоек» в троичном числе: слева от имеющихся цифр появятся ещё 38 – 18=20 «нулей» и одна «единица» – на 39-й справа позиции.
   
6. 
   Итак, результат, записанный в троичной системе, содержит 39 цифр. Его состав: 16 «двоек», 2 «единицы» (их позиции: 39-я и 10-я справа) и 21 «нуль» (39-16-2=21).
   
7. 
   Ответ: 16.