ЕГЭ 14. Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Анкор: ЕГЭ 14
• Дата: 13.01.2023
• Размер: 1.05 Mb.
• Имя файла: ege14.doc
• Тип: Документы; #884857
• страница: 6 из 17

Ещё пример задания:

Р-20. Сколько единиц в двоичной записи числа
4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122

Решение (способ Е.А. Смирнова, Нижегородская область):

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 2⁷ – 2² – 2¹:
   

4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122 = (2²)²⁰¹⁵ + (2³)⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹ =

= 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

2. 
   вспомним, число 2^N–2^K при K < N записывается как N–K единиц и K нулей:
   
3. 
   для того чтобы использовать это свойство, нам нужно представить заданное выражение в виде пар вида 2^N–2^K, причём в этой цепочке степени двойки нужно выстроить по убыванию
   
4. 
   в нашем случае вы выражении
   

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

стоит два знака «минус» подряд, это не позволяет сразу использовать формулу

5. 
   используем теперь равенство , так что – 2¹⁵⁰ = – 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰; получаем
   

2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵¹ + 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

здесь две пары 2^N–2^K , а остальные слагаемые дают по одной единице

6. 
   общее число единиц равно 1 + (1215 – 151) + (150 – 7) + 1 + 1 = 1210
   
7. 
   ответ: 1210.
   

Решение (С.О. Куров, Москва):

1. 
   приведём все числа к степеням двойки, учитывая, что 122 = 128 – 4 – 2 = 2⁷ – 2² – 2¹:
   

4²⁰¹⁵ + 8⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 122 = (2²)²⁰¹⁵ + (2³)⁴⁰⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹ =

= 2⁴⁰³⁰ + 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ + 2² + 2¹

2. 
   ищем в разности крайнюю левую степень двойки и крайнюю правую 2¹²¹⁵ – 2⁷, при этом 2¹⁵⁰ на время «теряем»
   
3. 
   определяем количество единиц в разности 2¹²¹⁵ – 2⁷, получаем 1215 – 7 = 1208 единиц
   
4. 
   так как «внутри» этой разности есть еще 2¹⁵⁰, то просто вычитаем одну единицу: 1208 – 1 = 1207; итого в разности 2¹²¹⁵ – 2¹⁵⁰ – 2⁷ ровно 1207 единиц
   
5. 
   осталось прибавить по одной единицы от чисел 2⁴⁰³⁰, 2², 2¹
   
6. 
   Ответ: 1210
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

1. 
   используется встроенная «длинная арифметика» в Python:
   

x = bin( 4**2015 + 8**405 - 2**150 - 122 )

print( x.count( '1' ) )

2. 
   ответ: 1210.
   

Ещё пример задания:

Р-19. Решите уравнение .

Ответ запишите в троичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1. 
   переведём все числа в десятичную систему счисления:
   

2. 
   собирая всё в одно уравнение получаем
   

3. 
   это уравнение имеет два решения, 6 и -8; основание системы счисления – натуральное число, поэтому ответ – 6
   
4. 
   переводим ответ в троичную систему: 6 = 2∙3¹ = 20₃.
   
5. 
   ответ: 20.
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу перебором с помощью программы:
   

a = 1*7**2 + 0 + 1 # перевод "101" в 10-ю систему

c = a - 1 # число "121" в 10-й системе

for i in range(3,100):# перебираем возможные основания

b = 1*i**2 + 2*i + 1 # перевод в 10-ю систему числа "121"

if b == c:

x = i # основание системы счисления (в 10й системе)

break

x3 = ''

while x > 0:# перевод основания в 3-ю систему

x3 += str(x%3)

x //= 3

x3 = x3[::-1]# разворот числа

print(x3)

2. 
   ответ: 20.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

3. 
   вариант программы:
   

for x in range( 3, 37): # среди оснований от 3 до 36

if int( '121', x ) + 1 == int( '101', 7 ):

break

print('в 10 c.c:', x)

s = ''

while x:

s = str( x%3 ) + s

x //= 3

print( 'Ответ в 3 с.с:', s )

4. 
   ответ: 20.