ЕГЭ 14. Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Анкор: ЕГЭ 14
• Дата: 13.01.2023
• Размер: 1.05 Mb.
• Имя файла: ege14.doc
• Тип: Документы; #884857
• страница: 8 из 17

Ещё пример задания:

Р-15. Решите уравнение .
Ответ запишите в шестеричной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

1. 
   удобнее всего перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в шестеричную систему
   
2. 
   получаем
   
3. 
   уравнение приобретает вид , откуда получаем
   
4. 
   переводим 15 в шестеричную систему счисления:
   
5. 
   ответ: 23.
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу с помощью программы:
   

a = int('60', 8 ) # перевод "60" в 10-ю систему

b = int('120', 7 ) # перевод "120" в 10-ю систему

x = b - a # число Х в 10-й системе

x6 = ''

while x > 0:# перевод в 6-ю систему

x6 += str(x%6)

x //= 6

x6 = x6[::-1]# разворот числа

print(x6)

2. 
   ещё один вариант программы (Б.С. Михлин):
   

x = int( '120', 7 ) - int( '60', 8 )

print('в 10 c.c:', x)

s = ''

while x:

s = str( x%6 ) + s

x //= 6

print( 'Ответ в 6 с.с:', s )

3. 
   ответ: 23.
   

Ещё пример задания:

Р-14. Запись десятичного числа в системах счисления с основаниями 3 и 5 в обоих случаях имеет последней цифрой 0. Какое минимальное натуральное десятичное число удовлетворяет этому требованию?

Решение:

1. 
   если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело
   
2. 
   поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 3 и на 5, то есть, делится на 15
   
3. 
   очевидно, что это число 15.
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу с помощью программы:
   

for i in range(1,100):

x = i

x3 = ''

while x > 0:# перевод в 3-ю систему

x3 += str(x%3)

x //= 3

x3 = x3[::-1][-1]# последняя цифра числа

x = i

x5 = ''

while x > 0:

x5 += str(x%5)

x //= 5

x5 = x5[::-1][-1]

if x3 == "0" and x5 == "0":

print(i)

break

2. 
   ответ: 15.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

1. 
   Используется тот факт, что последняя цифра в записи числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N:
   

for x in range(1,101): # ищем решение от 1 до 100

if x%3 == x%5 == 0: # 'and' можно не использовать

print(x)

break

2. 
   ответ: 15.
   

Ещё пример задания:

Р-13. Запись числа 67₁₀ в системе счисления с основанием N оканчивается на 1 и содержит 4 цифры. Укажите основание этой системы счисления N.

Решение:

1. 
   поскольку запись в системе счисления с основанием N заканчивается на 1, то остаток от деления числа 67 на N равен 1, то есть при некотором целом имеем
   

2. 
   следовательно, основание N – это делитель числа 66
   
3. 
   с другой стороны, запись числа содержит 4 цифры, то есть
   
4. 
   выпишем кубы и четвертые степени первых натуральных чисел, которые являются делителями числа 66:
   

5. 
   видим, что из этого списка только для числа N = 3 выполняется условие
   
6. 
   таким образом, верный ответ – 3.
   
7. 
   можно сделать проверку, переведя число 67 в троичную систему 67₁₀ = 2111₃
   

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно (но сложнее) решить задачу с помощью программы:
   

for i in range(2,37):# перебираем возможные основания

x = 67

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N[-1]== "1" and len(x_N) == 4:

print(i)

break

2. 
   ответ: 3.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

1. 
   Если при переводе из 10-й в N-ю систему счисления очередную полученную цифру дописывать слева к найденным ранее цифрам (т.е. так, как мы и делаем при ручном переводе), то не нужен будет разворот числа.
   
2. 
   Для i > 10 надо учитывать, что цифра может быть буквой.
   
3. 
   Верхняя граница основания 99 в цикле for i завышена. Арабских цифр и латинских букв хватит только для оснований до 10+26=36. Далее нет общепринятых правил обозначения цифр (если хотим получать N-ичное представление числа).
   

for N in range(2, 37): # подбираем основание от 2 до 36

x = 67

s = '' # в s будет представление числа в N-ичной системе

while x:

d = x % N # цифра (digit)

if d < 10:

d = str( d ) # цифра от 0 до 9

else:

d = chr( ord( 'A' ) + d - 10 ) # «цифра» от A до Z

s = d + s # цифру d приписываем слева к s

x //= N

if s[-1] == '1' and len( s ) == 4:

print( N )

break

4. 
   возможен второй вариант: без представления всего числа в N-й системе счисления; здесь можно брать основание больше 36.
   

for N in range(2, 101): # подбираем основание от 2 до 100

x = 67

k = 0 # счетчик цифр (разрядов) N-ичного числа

while x:

d = x % N # очередная цифра (digit)

k += 1

if k == 1: d0 = d # d0 - младшая цифра

x //= N

if d0 == 1 and k == 4:

print( N )

break

5. 
   ответ: 3.