ЕГЭ 14. Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Анкор: ЕГЭ 14
• Дата: 13.01.2023
• Размер: 1.05 Mb.
• Имя файла: ege14.doc
• Тип: Документы; #884857
• страница: 10 из 17

Еще пример задания:

Р-11. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход:

• 
  вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.
  
• 
  в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 11₄ = 5
  
• 
  потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16
  

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

1. 
   общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:
   

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

2. 
   среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )
   
3. 
   таким образом, верный ответ – 5, 21 .
   

Возможные ловушки и проблемы: выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

1. 
   переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 121₄, все интересующие нас числа не больше этого значения
   
2. 
   из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
   это 11₄ = 5 и 111₄ = 21
   
3. 
   таким образом, верный ответ – 5, 21 .
   

Возможные ловушки и проблемы: есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25) можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

1. 
   можно решить задачу с помощью программы:
   

for i in range(1,31):# перебираем ответы

x = i

x4 = ''

while x > 0:# перевод в 4-ю систему

x4 += str(x%4)

x //=4

x4 = x4[::-1]# разворот числа

if x4[-2:]== "11":

print(i, end=",")

2. 
   ответ: 5, 21.
   

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

1. 
   полная программа:
   

for d in '0', '1': # d - цифра (digit). При d > 1 - выход за 25

# int - переводит из 4-ой в 10-ую систему

print( int( d+'11', 4 ), end = ',' )

2. 
   Ответ: 5, 21.