ЕГЭ 14. Позиционные системы счисления

• Название: Позиционные системы счисления
• Анкор: ЕГЭ 14
• Дата: 13.01.2023
• Размер: 1.05 Mb.
• Имя файла: ege14.doc
• Тип: Документы; #884857
• страница: 2 из 17

Пример задания:

Р-26. (демо-2023) Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15.

123x5₁₅ + 1x233₁₅

В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 14.

Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 14 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

Решение (Д. Кириенко):

1. 
   Число записано в 15-ричной системе счисления, а в задаче спрашивается про делимость на 14. Это неспроста, т.к. число 15 при делении на 14 даёт остаток 1, более того, при делении любой степени числа 15 на 14 получится остаток 1 (математики говорят, что все степени числа 15 по модулю 14 равны 1).
   
2. 
   Поэтому по модулю 14 сумма чисел в 15-ричной системе счисления
   

123x5 + 1x233 ≡ 1 + 2 + 3 + x + 5 + 1 + x + 2 + 3 + 3 ≡ 20 + 2x = 6 + 2x (mod 14)

Это как признак делимости на 9 в 10-й системе счисления, такой же признак делимости на b-1 будет в системе счисления с основанием b: сумма цифр должна делиться на b-1. Думаю, именно это и имелось в виду авторами.

3. 
   Тогда минимальное x, при котором 6 + 2x делится на 14, будет x = 4.
   
4. 
   Осталось ответ посчитать:
   

(int("12345", 15) + int("14233", 15)) / 14

(будем использовать "/", чтобы по виду ответа сразу было понятно, что делится нацело).

5. 
   Ответ 8767.
   

Решение (И. Степанов):

1. 
   запишем оба слагаемых в развернутой записи в системе счисления с основанием 15:
   

123x5₁₅ + 1x233₁₅ =

(1·15⁴+2·15³+3·15²+x·15+5) + (1·15⁴+x·15³+2·15²+3·15+3) =

(2·15⁴+2·15³+5·15²+ 3·15+8) + (x·15³ +x·15)

= (101250 + 6750 + 1125 + 45 + 8) + x · (3375 + 15) = 109178 + 3390·x

2. 
   нам нужно, чтобы выражение Y = 109178 + 3390·x делилось на 14
   
3. 
   остаток от деления 109178 на 14 равен 6; остаток от деления 3390 на 14 равен 2
   
4. 
   для того чтобы Y делилось на 14, остаток от деления Y на 14 должен быть равен 0 (14, 28 и т.д.) Попробуем сложить остатки. 6+2*x = 0, даст нам отрицательное значение x, значит нужно взять следующее значение остатка 6+2*x = 14 <=> 2*x = 8 <=> x =4.
   
5. 
   Y = 109178 + 3390·4 = 122738. В качестве ответа нужно поделить Y на 14, получим 8767
   
6. 
   Ответ 8767.
   

Решение (электронные таблицы, П. Финкель):

1. 
   запишем первое число 123x5 по цифрам; известные цифры – в колонки A B C E, а в колонке D перечисляем все 15-ричные цифры (0…14):
   

2. 
   В колонке F записываем формулу: перевод 15-ричного числа в 10-ю систему: =A2*15^4+B2*15^3+C2*15^2+D2*15+E2
   

получаем в столбце F все варианты первого числа:

3. 
   также по цифрам строим второе число 1x233:
   =G2*15^4+H2*15^3+I2*15^2+J2*15+K2
   

4. 
   в столбцах M, N и O считаем сумму двух чисел, остаток от деления на 14 и частное:
   

5. 
   применяем фильтр к колонке Остаток (или просто ищем строки, где остаток = 0):
   

6. 
   находим минимальное подходящее X = 4 и частное 8767
   
7. 
   Ответ 8767.
   

Решение (программа на Python, И. Степанов):

1. 
   полный текст программы:
   

for x in '0123456789ABCDE':

a = int('123'+x+'5', 15) + int('1'+x+'233', 15)

if a % 14 == 0:

print( 'x =', x,'Otvet:', a//14 )

break

2. 
   Ответ 8767.
   

Решение (программа на Python, А. Гладков):

1. 
   полный текст программы:
   

for x in range (15):

a = 1*15**4 + 2*15**3 + 3*15**2 + x*15 + 5

b = 1*15**4 + x*15**3 + 2*15**2 + 3*15 + 3

if (a+b) %14 == 0:

print( (a+b) // 14 )

break

2. 
   Ответ 8767.
   

Решение (программа на C++, Л. Виноградова):

1. 
   полный текст программы:
   

#include

#include

using namespace std;

int main() {

int x,a,b;

for(x=0;x<15;x++) {

a=1*pow(15,4)+2*pow(15,3)+3*pow(15,2)+x*15+5;

b=1*pow(15,4)+x*pow(15,3)+2*pow(15,2)+3*15+3;

if ((a+b)%14==0) {

cout<<(a+b)/14;

break;

}

}

}

2. 
   Ответ 8767.
   

Решение (программа на С++, А. Родионов):

1. 
   полный текст программы:
   

#include

#include

using namespace std;

unsigned long f(unsigned short int);

int main()

{

const unsigned short int d=14; // делитель

unsigned short int x;

for( x = 0; f(x) % d; x++ );

cout << f(x) / d;

return 0;

}
unsigned long f(unsigned short int x)

{

const unsigned short int Osn=15, n=5; // Основание системы

// счисления и разрядность чисел

unsigned long s=0;

// Массивы a и b с числами

unsigned short int a[n]{1,2,3,0,5},b[n]{1,0,2,3,3},i;

a[3] = b[1] = x; // Запись значения x в нужный разряд

for( i = 5; i; i-- )

s += a[n-i]*pow(Osn,i-1) + b[n-i]*pow(Osn,i-1);

return s;

}

2. 
   Ответ 8767.