Главная страница

Позиционные системы счисления


Скачать 0.83 Mb.
НазваниеПозиционные системы счисления
Дата18.04.2022
Размер0.83 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаege14 3.doc
ТипДокументы
#483521
страница11 из 14
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

Еще пример задания:


Р-9. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

  • неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

  • пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 разряды

31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1

  • можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 разряды

31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0

= k·N2 + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение:

  1. итак, нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

  1. сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

  2. из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число

  3. выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  4. из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

  5. таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу с помощью программы:

for i in range(3,50):# перебираем возможные основания

x = 23 # число по условию

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

if x%i>9:break # пропускаем цифры в виде букв

else: x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N == '': pass

elif x_N[-1]== "2":

print(i, end=",")

  1. ответ: 2, 3, 5, 30.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

  1. полная программа:

for x in range(2, 101): # x - основание

# справа число 11 переведено в 10-ую систему

if 31 % x*x == x + 1:

print( x, end = ',' )

  1. Ответ: 2, 3, 5, 30.

Еще пример задания:


Р-8. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

  1. запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 205, 17 = 325 .

  1. заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

  2. между 205 и 325 есть еще числа

215, 225, 235, 245, 305, 315.

  1. в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

  2. таким образом, верный ответ – 7.

Возможные ловушки и проблемы:

    • нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305

    • помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек

    • можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2):

  1. переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 .

  1. считаем цифры 2 – получается 7 штук

  2. таким образом, верный ответ – 7 .

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу с помощью программы:

k = 0

for i in range(10,17+1):

x = i

x5 = ''

while x > 0:# перевод в 5-ю систему

x5 += str(x%5)

x //= 5

x5 = x5[::-1]# разворот числа

k += x5.count("2")

print(k)

  1. ответ: 7.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

  1. ещё одна программа:

k = 0 # счетчик цифр 2

for x in range(10,17+1):

xw = x # xw - рабочая (work) копия x

while xw:

if xw % 5 == 2: # считаем цифры 2 в 5-ой системе

k += 1

xw //= 5

print( k )

  1. ответ: 7.

Еще пример задания:


Р-7. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение:

  1. обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид



  1. вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:



  1. поскольку запись трехзначная, , поэтому

  2. с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

  3. объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству



  1. учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:





  1. минимальное из этих значений – 4

  2. таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (без подбора):

  1. выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения

  2. найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как



  1. проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

  2. таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу с помощью программы:

for i in range(2,100):# перебираем возможные основания

x = 30 # число по условию

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if len(x_N)== 3:

print(i)

break

  1. ответ: 4.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

  1. полная программа:

for N in range(2, 10): # проверять основание N >=10 нет смысла

# (будет два или один разряд)

if N ** 2 <= 30 < N ** 3: # проверка на трёхзначность

print(N)

break

  1. Ответ: 4.

Еще пример задания:


Р-6. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение (вариант 1):

  1. нас интересуют числа от 1 до 30

  2. сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5

  3. поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр

  4. рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:



все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

  1. таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа

  2. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

  3. общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:



где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

  1. используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19

  2. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Решение (вариант 2, предложен Сенькиной Т.С., г. Комсомольск-на-Амуре ):

  1. нас интересуют числа от 1 до 30; сначала определим, сколько цифр может быть в пятеричной записи эти чисел

  2. поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр (все трехзначные пятеричные числа, начинающиеся с 3, больше 30)

  3. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

  4. выпишем все пятеричные двузначные числа, которые начинаются с 3, и переведем их в десятичную систему: 305 = 15, 315 = 16, 325 = 17, 335 = 18 и 345 = 19

  5. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу с помощью программы:

for i in range(1,31):# перебираем ответы

x = i

x5 = ''

while x > 0:# перевод в 5-ю систему

x5 += str(x%5)

x //= 5

x5 = x5[::-1]# разворот числа

if x5[0]== "3":

print(i, end=",")

  1. ответ: 3, 15, 16, 17, 18, 19.

Еще пример задания:


Р-05. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение (1 способ):

  1. Если число в системе с основанием оканчивается на 13, то

    1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 3

    2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

  2. определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

  3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

  1. остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

  1. получаем

    1. при :

    2. при : решения – не целые числа

    3. при : и , второе решение не подходит

  2. таким образом, верный ответ: 4, 68.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

  1. запись числа71 в системе с основанием оканчивается на 13, т.е. в разряде единиц – 3, это значит, что остаток от деления 71 на равен 3, то есть для некоторого целого имеем



  1. таким образом, искомые основания – делители числа 68; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

  2. среди чисел, оканчивающихся на 13 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:



так что первый ответ: 68.

  1. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 13, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше

  2. поэтому , следовательно,

  3. по условию в записи числа есть цифра 3, поэтому (в системах с основанием  3 цифры 3 нет)

  4. итак: , и при этом – делитель 68; единственное возможное значение (на 5,6,7 и 8 число 68 не делится)

  5. таким образом, верный ответ: 4, 68.

Возможные ловушки и проблемы:

    • на шаге 1 нужно вычесть из числа только число единиц, то есть младшую из двух заданных цифр (в примере – 3)

    • можно забыть рассмотреть двузначное число, записанное заданными в условии цифрами (в примере – 13x ), и пропустить максимальное основание

    • нужно помнить, что

  1. максимальная цифра на 1 меньше основания системы счисления

  2. 100 в системе с основанием p равно p2

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу с помощью программы:

for i in range(4,100):# перебираем возможные основания

x = 71 # число по условию

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

if x%i>9:break # пропускаем цифры в виде букв

else: x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N[-2:]== "13":

print(i, end=",")

  1. ответ: 4, 68.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

  1. полная программа:

for x in range(4, 72): # x - основание от 4 до 71

# (дальше перебирать нет смысла)

# справа число 13 переведено в 10-ую систему

if 71 % (x*x) == x + 3:

print( x, end = ',' )

  1. Ответ: 4, 68.

Еще пример задания:


Р-04. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 86 оканчивается на 22.

Решение (1 способ):

  1. Если число в системе с основанием оканчивается на 22, то

    1. , потому что в системах с меньшим основанием нет цифры 2

    2. это число можно представить в виде , где – целое неотрицательное число

  2. определим наибольшее возможное с учетом условия . Из уравнения следует .

  3. очевидно, что чем меньше , тем больше , поэтому значение не превышает

здесь мы подставили – наименьшее допустимое значение

  1. остается перебрать все допустимые значения (от 0 до ), решая для каждого из них уравнение

или равносильное

относительно , причем нас интересуют только натуральные числа

  1. получаем

    1. при :

    2. при : решения – не целые числа

    3. при : и , второе решение не подходит

    4. при : решения – не целые числа

  2. таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (2 способ, М.В. Кузнецова и её ученики):

  1. запись числа 86 в системе с основанием оканчивается на 22, т.е. в разряде единиц – 2, это значит, что остаток от деления 86 на равен 2, то есть для некоторого целого имеем



  1. таким образом, искомые основания – делители числа 84; остается выбрать из них те, которые соответствуют другим условиям задачи

  2. среди чисел, оканчивающихся на 22 в системе счисления с основанием ,минимальное – это само число ; отсюда найдем максимальное основание:



так что первый ответ: 42.

  1. остальные числа, окачивающиеся в этой системе на 22, имеют не менее 3-х знаков ( , …), т.е. все они больше

  2. поэтому , следовательно,

  3. по условию в записи числа есть цифра 2, поэтому

  4. итак: , и при этом – делитель 84; возможные значения (на 5,8 и 9 число 84 не делится)

  5. переводя число 86 в системы счисления с основаниями , находим, что только для основания 6 запись числа оканчивается на 22 (при делении на 3, 4 и 7 «вторые» остатки не равны 2):

    8

    6




    3










    Дальше делить
    нет смысла

    8

    6




    4



















    8

    6




    6













    8

    6




    7













    8

    4




    2

    8




    3

    8

    4




    2

    1







    4







    8

    4




    1

    4




    6




    8

    4




    1

    2




    7







    2




    2

    7




    9…




    2




    2

    0






    5…










    2




    1

    2




    2







    2







    7




    1
















    1



















    1




























    2






















    5










  6. таким образом, верный ответ: 6, 42.

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу с помощью программы:

for i in range(3,100):# перебираем возможные основания

x = 86 # число по условию

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

if x%i>9:break # пропускаем цифры в виде букв

else: x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N[-2:]== "22":

print(i, end=",")

  1. ответ: 6, 42.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

  1. полная программа:

for x in range(3, 86): # x - основание от 3 до 85

# (дальше перебирать нет смысла)

# справа число 22 переведено в 10-ую систему

if 86 % (x * x) == 2 * x + 2:

print( x, end = ',' )

  1. Ответ: 6, 42.

Еще пример задания:


Р-03. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение:

  1. Из условия сразу видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

  2. Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство ; нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , таких решений нет.

  3. Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где . При минимальном основании ( ) оно равно , поэтому запись нужного нам числа имеет не больше трех знаков.

  4. На основании (2) и (3) делаем вывод, что число трехзначное, то есть , где – целое неотрицательное число, такое что .

  5. Максимальное можно определить как решение уравнения (при ); получаем одно из решений – 6,15; поэтому

  6. Если мы знаем , то определится как ; пробуем подставлять в эту формулу , пытаясь получить

  7. Минимальное будет при : , а при получается

  8. Таким образом, верный ответ: 6.

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу с помощью программы:

for i in range(4,100):# перебираем возможные основания

x = 94 # число по условию

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N[:2]== "23":

print(i, end=",")

  1. ответ: 6.

Еще пример задания:


Р-2. Найти сумму восьмеричных чисел 178 +1708 +17008 +...+17000008, перевести в 16-ую систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, третью цифру слева.

Решение:

  1. Несложно выполнить прямое сложение восьмеричных чисел, там быстро обнаруживается закономерность:

178 + 1708 = 2078

178 + 1708 + 17008 = 21078

178 + 1708 + 17008 + 170008 = 211078

178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 = 2111078

178 + 1708 + 17008 + 170008 + 1700008 + 17000008 = 21111078

  1. Переведем последнюю сумму через триады в двоичный код (заменяем каждую восьмеричную цифру на 3 двоичных):

100010010010010001112

  1. Теперь разбиваем цепочку на тетрады (группы из 4-х двоичных цифр), начиная справа, и каждую тетраду представляем в виде шестнадцатеричной цифры

100010010010010001112

8 9 2 4 7

  1. Таким образом, верный ответ (третья цифра слева): 2.

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. решение задачи с помощью программы:

a = "17"

b = "1700000"

summa = 0

while a <= b:

  summa += int(a,8) # перевод в 10ю систему

  a += "0" # добавляем 0 к числу-строке

n16 = hex(summa)[2:] # перевод суммы в 16ю систему

print(n16[2])

  1. Ответ: 2.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

  1. полная программа:

x = 15 # 17 в 8-ой системе

s = x # s - сумма в 10-ой системе

for z in range( 1, 6 ): # z (zero) - количество нулей от 1 до 5

x *= 8 # добавление справа нуля к восьмеричному числу

# увеличивает его в 8 раз

s += x

print( hex( s )[4] ) # с учетом префикса '0x' третий символ

# (цифра) будет пятым с индексом 4

# print( hex( s ) ) # можно также найти третью цифру слева

  1. Ответ: 2.

Еще пример задания:


Р-01. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления , при котором 225x = 405y? Ответ записать в виде целого числа.

Решение:

  1. Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с .

  2. Очевидно, что , однако это не очень нам поможет.

  3. Для каждого «подозреваемого» вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные .

  4. Для и нужных решений нет, а для получаем



так что .

  1. Таким образом, верный ответ (минимальное значение ): 8.

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу перебором с помощью программы (перебор начинаем с 6, так как цифра 5 есть в записи 225x, так и в записи 405y):

for x in range(6,20):# перебираем основания X

for y in range(6,20):# перебираем основания Y

if (2*x**2+2*x+5) == (4*y**2+0*y+5):

print(x)

break

  1. ответ: 8.

Еще пример задания:


Р-00. Запись числа 3010 в системе счисления с основанием N оканчивается на 0 и содержит 4 цифры. Чему равно основание этой системы счисления N?

Решение (1 способ, подбор):

  1. запись числа 30 в системе с основанием N длиннее, чем в десятичной (4 цифры против двух), поэтому основание N меньше 10

  2. это дает шанс решить задачу методом подбора, переводя в разные системы, начиная с N = 2 до N = 9

  3. переводим:

30 = 111102 = 10103 = …

  1. дальше можно не переводить, поскольку запись 10103 удовлетворяет условию: заканчивается на 0 и содержит 4 цифры

  2. можно проверить, что при N ≥ 4 запись числа 30 содержит меньше 4 цифр, то есть не удовлетворяет условию

  3. Ответ: 3.

Решение (2 способ, неравенства):

  1. запись числа 30 в системе с основанием N содержит ровно 4 цифры тогда и только тогда, когда старший разряд – третий, то есть



  1. первая часть двойного неравенства дает (в целых числах)

  2. вторая часть неравенства дает (в целых числах)

  3. объединяя результаты пп. 2 и 3 получаем, что N = 3

  4. заметим, что условие «оканчивается на 0» – лишнее, ответ однозначно определяется по количеству цифр

  5. Ответ: 3.

Решение (программа на Python, А.Н. Носкин):

  1. можно решить задачу перебором с помощью программы:

for i in range(2,36):# перебираем возможные основания

x = 30 # число по условию

x_N = ''

while x > 0:# перевод в N-ю систему

x_N += str(x%i)

x //= i

x_N = x_N[::-1]# разворот числа

if x_N[-1]== "0" and len(x_N) == 4:

print(i)

break

  1. Ответ: 3.

Решение (программа на Python, Б.С. Михлин):

  1. полная программа:

for N in range(2, 10): # проверять основание N >=10 нет смысла

# (будет два или один разряд)

# проверка на четырёхзначность (в этой задаче проверка

# окончания на ноль не обязательна)

if N**3 <= 30 < N**4 and 30 % N == 0:

print(N)

  1. Ответ: 3.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14


написать администратору сайта