Лекции по теории автоматов. Прикладная теория цифровых автоматов. Методы анализа и синтеза комбинационных схем

• Название: Прикладная теория цифровых автоматов. Методы анализа и синтеза комбинационных схем
• Дата: 10.01.2023
• Размер: 3.39 Mb.
• Имя файла: Лекции по теории автоматов.doc
• Тип: Документы; #880461
• страница: 5 из 10

Структурный синтез ЦА.

Задачи синтеза ЦА.

Канонический метод структурного синтеза ЦА.

Элементарные цифровые автоматы с памятью

(триггерные устройства) и их свойства.

Вслед за этапом абстрактного синтеза автоматов следует этап структурного синтеза, целью которого является построение схемы, реализующей автомат из элементов заданного типа. Если абстрактный автомат был лишь математической моделью, проектируемого устройства, то в структурном автомате учитывается структура входных и выходных сигналов автомата, а также его внутренне устройство на уровне логических схем. Основной задачей структурной теории автоматов является разработка общих методов построения структурных схем автоматов.

В отличие от абстрактного автомата, имеющего один вход и один выход, на которые поступают сигналы во входном и выходят в выходном W={W₁,..,W_G} алфавитах, структурный автомат имеет L входных каналов х₁,х₂,..,х_L и N выходных y₁,y₂,…,y_N на каждом из которых присутствует сигнал структурного алфавита.



Обычно в качестве структурного используется двоичный алфавит.


В этом случае каждому входному сигналу Z_F абстрактного автомата соответствует некоторый двоичный вектор (l_f1,l_f2,..,l_fL), где l_fL{0,1}.

Очевидно, что для представления (кодирования) входных сигналов Z₁,..,Z_F абстрактного автомата различными двоичными векторами должно быть выполнено условие

L ] log₂F [,

аналогично

N ] log₂G [

Например , Z={Z₁,Z₂,Z₃,Z₄} W={W₁,W₂,W₃}.

Тогда L log₂4=2 N log₂3=2

Закодировать входные и выходные сигналы можно ,например, так:
Z₁ = 00 W₁ = 00

Z₂ = 01 W₂ = 01

Z₃ = 10 W₃ = 11



Z₄ = 11


Cледовательно, структурный автомат с двумя входами x₁ и x₂ и двумя выходами y₁ и y₂ может быть представлен в виде:



Задача синтеза структуры автомата.

На этапе структурного синтеза предварительно выбираются элементарные автоматы, путем композиции которых строят логические схемы полученных на этапе абстрактного синтеза автоматов Мили и Мура. Если решение задачи структурного синтеза существует, говорят, что заданная система автоматов структурно полна.

Рассмотрим канонический метод структурного синтеза при котором используются элементарные автоматы некоторого специального вида – автоматы с памятью, имеющие более одного состояния, и автоматы без памяти – с одним состоянием. Первые автоматы называются элементами памяти, вторые – комбинационные или логические элементы.

Теоретическим обоснованием канонического метода структурного синтеза автоматов служит теорема о структурной полноте:




Для правильной работы схем сигналы на входе запоминающих элементов не должны непосредственно участвовать в образовании выходных сигналов, которые по цепям обратной связи подавались бы в тот же самый момент времени на эти входы. Поэтому запоминающими элементами должны быть не автоматы Мили, а автоматы Мура. Таким образом, структурно полная система элементарных автоматов должна содержать хотя бы один автомат Мура. В то же время, для синтеза автоматов с минимальным числом элементов памяти, необходимо в качестве таких элементов выбирать автоматы Мура, имеющие полную систему переходов и полную систему выходов – полные автоматы.

Полнота системы переходовозначает, что для любой упорядоченной пары состояний автомата найдётся входной сигнал, переводящий первый элемент этой пары во второй, т.е в таком автомате в каждом столбце таблицы переходов должны встречаться все состояния автомата.

Полнота системы выходов автомата Мура состоит в том, что каждому состоянию автомата поставлен в соответствие свой особый выходной сигнал, отличный от выходных сигналов других состояний. Т.о. в таком автомате число выходных сигналов равно числу состояний автомата. В связи с этим, в автоматах памяти будем использовать одни и те же обозначения и для состояний, и для выходных сигналов.



Канонический метод структурного синтеза предполагает представление структурной схемы автомата в виде двух частей: памяти и комбинационной схемы.

Память состоит из элементарных автоматов Мура П₁,....,П_Z,....,П_R. После выбора элементов памяти каждое состояние синтезируемого автомата А кодируется набором их состояний. Если все автоматы П₁...,П_R одинаковы, что в общем случае необязательно, то их число



где M – число состояний синтезируемого автомата А, а b – число состояний элементарного автомата памяти. Обычно для элементарного автомата b=2, тогда .

Например, переход автомата А, имеющего 5 элементов памяти, алфавит состояний которых – двоичный, из одного состояния (A_m)=01011 в другое (A₃)= 11000, заключается в изменении состояний соответствующих автоматов памяти: первый элемент памяти переходит из 0 в 1, второй – из 1 в 1, третий из 0 в 0, четвёртый – из 1 в 0, пятый - из 1 в 0.

Переходы автоматов памяти, соответствующие переходам в автомате А, происходят под действием сигналов возбуждения памяти, поступающих с выхода комбинационной схемы на вход памяти автомата. Так на рисунке X=(X₁,X₂,..,X_L) и Y=(Y₁,Y₂,...,Y_N) – векторные структурные входной и выходной сигналы автомата, U=(U₁,U₂,...,U_T) – векторная функция возбуждения памяти и Q=(Q₁,...,Q_T) – вектор выходного сигнала обратной связи от элементов памяти автомата.

Рассмотрим отдельно элемент памяти П_z, таблица переходов которого дана в таблице. Множество выходных сигналов элементов памяти совпадает с множеством внутренних состояний.




Полнота переходов очевидна из таблицы (в каждом столбце все состояния встречаются). При рассмотрении автомата на абстрактном уровне его можно представить в виде рис.22 а.


При переходе от абстрактного автомата к структурному, входные и выходные сигналы должны быть закодированы наборами сигналов структурного алфавита (входного или выходного соответственно). При двоичном структурном алфавите автомат П_z будет иметь два входных и два выходных канала.

Итак, сами компоненты U_z и Q_z при Z = 1,...,R векторов сигналов возбуждения памяти U и сигналов обратной связи от памяти Q также могут быть представлены в виде векторов:

U_z = (U_Z1,U_Z2,...,U_ZK) и Q_Z = (Q_Z1,Q_Z2,...,Q_ZR).

Если не оговорено особо, то используется двоичный структурный алфавит как для входных и выходных каналов синтезируемого автомата, так и для входных и выходных каналов автоматов памяти. Алфавит состояний автоматов памяти также обычно двоичный.

При построении функций возбуждения памяти автомата используют функцию входов элемента памяти (b_i,b_j), ставящую в соответствие каждой паре состояний (b_i,b_j) сигнал, который должен быть подан на вход этого автомата для перевода его из состояния b_i в состояние b_j. Функцию входов удобно задавать в виде таблицы. Для элемента памяти (функция переходов которого приведена ранее) функция входов имеет вид:





Если входные сигналы элемента памяти q₁,...,q_p закодированы наборами (U_Z1,...,U_ZK) сигналов на его входных каналах, то элементами таблицы, задающей функцию входов вместо q_i будут соответствующие наборы. Так, если q₁ = 00, q₂ = 01, q₃ = 10, то соответствующая f входов будет иметь вид рис.23a.
Элементарные цифровые автоматы – элементы памяти.
В качестве элементов памяти структурного автомата обычно используются триггеры.

Триггер – это устройство, имеющее два устойчивых состояния, в которые он переходит под действием определённых входных сигналов.

Обычно в триггерах выделяют два вида входных сигналов (и соответственно входов): информационные и синхросигналы.

Информационные сигналы определяют новое состояние триггера и присутствуют в любых триггерах. По типу информационных сигналов осуществляется классификация триггеров: D, T, RS, JK, RST, DV и т.д.

Синхросигнал не является обязательным и вводится в триггерах с целью фиксации момента перехода триггера в новое состояние, задаваемое информационными входами. Обычно, при синтезе ЦА используются триггеры с синхровходом, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только такие триггеры.

На синхровход триггера поступают тактирующие импульсы задающего генератора, синхронизирующего работу ЦА. Период следования импульсов соответствует одному такту автоматного времени ЦА.

Рассмотрим основные типы триггеров, используемые для синтеза ЦА: D, T, RS, JK.

D-триггер – элемент задержки – имеет один информационный вход D и один выход Q и осуществляет задержку поступившего на его вход сигнала на один такт.

Условное обозначение и таблица переходов D-триггера представлена на рис. .

D	Q t	Qt+1
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	1

Из приведенной таблицы переходов для данного триггера Q^t+1 = f(Q^t,D^t) можно получить таблицу функций его входов D^t = (Q^t, Q^t+1).

Q t	Q t+1	Dt
0	0	0
0	1	1
Таблица функции входов D-триггера. 1	0	0
1	1	1

Как видно из таблицы, состояние, в которое переходит триггер (средний столбец), совпадает с поступившим на его вход сигналом D(t) (правый столбец). В связи с этим таблица функций возбуждения памяти синтезируемого автомата с использованием D-триггеров будет полностью совпадать с кодированной таблицей переходов этого автомата. Промышленность выпускает D-триггера в интегральном исполнении. Например,



K155TM2 (рис. 25).Таких триггеров два в одном корпусе. Вход С –вход синхронизации, Q,Q – выходы, Q – прямой, – инверсный. R, S – входы установки в 0 и 1 соответственно. При подаче на вход Rи Sлогического нуля триггер устанавливается в соответствующие состояния независимо от сигнала на входах DиC.

T-триггер – триггер со счетным входом – имеет один информационный вход Т и один выход Q и осуществляет суммирование по модулю два значений сигнала T и состояния Q в заданный момент времени.

Условное обозначение и таблица переходов T-триггера представлена на рис 26.

T	Q t	Qt+1
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Таблица переходов T-триггера.

Таблица функций входов триггера T^t = f(Q^t, Q^t+1) представлена в таблице.

Q t	Q t+1	Tt
0	0	0
0	1	1
Таблица функции входов T-триггера. 1	0	1
1	1	0

На основании этой таблицы можно получать функцию возбуждения элементов памяти при синтезе автомата на базе T-триггера. Например, если автомат перешел из состояния a_i = 010 в состояние a_j = 110, то для обеспечения этого перехода функции возбуждения должны быть:

для первого триггера при переходе из 0 в 1 T₁ = 1,

для второго триггера при переходе из 1 в 1 T₂ = 0,

для третьего триггера при переходе из 0 в 0 T₃ =0 и т.д.

В чистом виде промышленность не выпускает T-триггера.

RS-триггер – триггер с раздельными входами.

Данный триггер имеет два входных канала R и S и один выходной Q. Вход S (set) называется входом установки в единицу, вход R (reset) – входом установки в нуль. Условное обозначение и таблица переходов RS-триггера представлена на рис. 27.

В таблице переходов при подаче комбинации S = R = 1 состояние перехода Q^t+1 не определено и эта комбинация сигналов является запрещенной для RS-триггера.

Таблицу переходов можно более компактно изобразить в виде (см. табл. 21б) Анализируя табл.21 б,в отмечаем что, например, переход триггера из 0 в 0требует подачи комбинации R=0, S=0 или R=1,S=0, т.е. можно сказать что этот переход будет при R=X (безразличное состояние) , S=0.

Аналогично рассуждая по отношению к другим переходам получим следующую таблицу функций входов.

R	S	Q t	Q t+1			R	S	Q t+1
0	0	0	0			0	0	0
0	0	1	1			0	1	1
0	1	0	1			1	0	0
0	1	1	1			1	1	–
1	0	0	0					б)
1	0	1	0
1	1	0	–
1	1	1	–	а)

Qt	Q t+1	Rt	S
0	0	X	0
0	1	0	1
1	0	1	0
1	1	0	X

На основании таблицы можно получить функцию возбуждения памяти автомата при синтезе на базе RS-триггеров. Например, если автомат переходит из состояния a_i= 010 в состояние a_j=110, то для обеспечения такого перехода функции возбуждения должны быть:

для первого триггера при переходе из 0 в 1 R₁ =0, S₁ = 1;

для второго триггера при переходе из 1 в 1 R₂ =0, S₂ = X;

для третьего триггера при переходе из 0 в 0 R₃ =X, S₃= 0.

Аналогично для любого другого перехода автомата.

В чистом виде синхронный RS - триггер, используемый для синтеза ЦА, промышленностью не выпускается.
JK- триггер – имеет два информационных входа J и K и один выход Q. Вход J – вход установки в 1, вход K – вход установки в 0, т.е. эти входы аналогичны соответствующим входам RS-триггера: J – соответствует S, K – соответствует R. Однако, в отличие от RS-триггера, входная комбинация J = 1, K= 1 не является запрещённой. Условное обозначение и таблица переходов JK-триггера представлены на рис.28. и в табл. 22.

J	K	Q t	Q t+1			J	K	Q t+1
0	0	0	0			0	0	Q t
0	0	1	1			0	1	0
0	1	0	0			1	0	1
0	1	1	0			1	1	Q t
1	0	0	1					б)
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0	а)

Как следует из таблиц переходов, для комбинаций входных сигналов JK = 0010 триггер ведет себя как RS-триггер, а при комбинации JK = 11 – как T-триггер.

Анализируя таблицу переходов ( табл. 22 а), отмечаем, что переход триггера, например, из 0 в 1 требует подачи входных сигналов J=1, K=0 или J=1, K=1, т.е. J=1, K=Х (безразличное значение). Аналогично рассуждая по отношению к другим переходам, получим следующую таблицу функций входов JK-триггера.

Q t	Q t+1	J	K
0	0	X	0
0	1	1	X
1	0	X	1
1	1	0	X

Таблица функций выходов JK-триггера.


На основании последней таблицы можно получить функцию возбуждения элементов памяти при синтезе автомата на JK-триггерах. Например, при переходе автомата из состояния a_i=010 в состояние a_j=110, функции возбуждения должны быть:

для первого триггера при переходе из 0 в 1 J1 = 1, K1 = X;

для второго триггера при переходе из 1 в 1 J2 = X, K2 = 0;

для третьего триггера при переходе из 0 в 0 J3 = 0, K3 = X.