Программа дисциплины (силлабус) 9 3 Краткий курс лекций 30 1
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
Тема. Математические модели сигналов Цель занятия: освоить принцип построения математических моделей сигналов. Изучаемые вопросы классификация сигналов и помех; гармонические сигналы; импульсные сигналы; сложные сигналы. Рекомендуемая литература 1 Прокис Дж. Цифровая связь.Пер. с англ./Под ред. Д.Д. Кловского.- М.: Радио и связь.2000г. 2 Панфилов Н.П., Дырда В.Е. Теория электрической связи- М.:Радио и связь.1990г. Краткое содержание Помехи классифицируются по происхождению (месту возникновения), по физическим свойствам и по характеру воздействия на сигнал [1,2]. По происхождению помехи могут быть от посторонних источников, и внутренние шумы аппаратуры. Тепловые шумы – шумы Джонсона, определяются: , [B2/Гц] Найквист предложил формулу для определения квадрата эффективного напряжения теплового шума для всей полосы частот: где: R- сопротивление, Ом; k – постоянная Больцмана; T - температура сопротивления R; F - полоса частот. Спектр теплового шума падает на частотах порядка тысяч МГц, на низких частотах спектр остается плоским. По физическим свойствам различают флуктуационные и сосредоточенные помехи. Флуктуационные помехи определяются, в основном, тепловым шумом в проводниках и дробовым эффектом в электронных устройствах. Импульсные помехи обусловлены внешним воздействием и представляют собой одиночные короткие импульсы различной интенсивности, случайной последовательности [1, 2]. Различают аддитивные и мультипликативные помехи. Из-за переходных процессов, происходящих в различных узлах и на участках систем связи, возникают искажения сигнала (изменение формы сигнала). В зависимости от типа цепи искажения могут быть линейные и нелинейные. Сигналы электросвязи – это изменяющиеся во времени электрические величины (напряжение, ток, электромагнитные колебания, напряженность электрического поля), которые можно представить в виде графиков, таблиц или математических моделей. Например, отрезок гармонического колебания можно записать в виде: U(t) = Um∙ cos (ω0 t + π/2) или U(t) = Um∙sinωt Для любого конкретного случая можно подобрать или разработать математическое описание процесса [1,2]. Сигналы принято подразделять: по форме: простые и сложные; по характеристике: непрерывные, дискретные, цифровые; по информативности: детерминированные и случайные. Простые сигналы, гармонические в функции времени: U(t) = Um ∙cos(2πft+ψ0); (-∞ <t< ∞). Импульсные сигналы отличаются от нуля в течение ограниченного времени [1, 2]. К ним относятся классические сигналы: видеоимпульсы, радиоимпульсы, дельта-импульс и др.: Up (t) = Ub(t)∙cos (ω0t + ψ0) δ(t) = Сложные сигналы представляют собой функции времени, которые сложно представить простыми математическими методами (например, отрезок речевого сигнала). Поэтому их представляют в виде ряда простых функций ψk(t) , базисных: X(t) = , где: αк - коэффициент разложения ряда. Чем точнее определен коэффициент αк , тем лучше сходимость ряда к сигналу Х(t). Следует заметить, что реальные сигналы и помехи всегда случайные. Для закрепления материала необходимо выполнить следующие задания: 1. Привести математическую модель аналогового сигнала и представить его графически при условии, что линия, к которой подключен телефонный аппарат, была неисправна (напряжение отсутствовало) в течение времени 0 - 1, затем неисправность устранили, и появился ток I0 (время:1 - 2), в течение времени 2 - 3 произошел разговор (принять гармонические колебания), далее режим ожидания. Интервалы времени принять по варианту (табл.9.2). 2. Привести математическую модель и график единичного ступенчатого аналогового сигнала 1(t). Соответствующий ему дискретный сигнал U(n), ступенчатую последовательность построить согласно заданию, привести математическую модель (вариант, по последней цифре шифра). Таблица 4.2.1 - Задание к пункту 2
2.1 Привести математическую модель и отобразить графически импульс Дирака или δ – функцию в аналоговой и дискретной областях [δ (t); δ (n)]. Построить график и привести математическую модель δ – функции, в дискретной области, при условии δ (n ± k) (вариант, по последней цифре шифра). Таблица 4.2.2 - Задание к пункту 2.1
Практическое занятие 4 (объем – 1 ч.) Тема. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье Цель занятия: приобрести практические навыки по расчету и построению спектральных диаграмм. Изучаемые вопросы базисные функции ряда; ряд Фурье; амплитудный и фазовый спектры; спектральное разложение непериодических сигналов. Рекомендуемая литература Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для ВУЗов. - М.: Высшая школа. 2000. Панфилов Н.П., Дырда В.Е. Теория электрической связи - М.: Радио и связь. 1990г. Краткое содержание Для математического представления сигналов с периодом T пользуются рядом в котором, за базисные функции, приняты sin и cos идеальные колебания кратных частот [1, 2]. Например: Ψ0 (t) = 1; Ψ1 (t) = sinω1t; Ψ2 (t) = cosω1t; Ψ3 (t) = sin 2 ω1t; Ψ4 (t) = cos 2 ω1t; и т. д. Основная угловая частота, ω1= 2π / Т. При разложении периодического сигнала в ряд по гармоническим функциям необходимо, чтобы выполнялось условие Дирихле. Практически все реальные сигналы удовлетворяют этим условиям, поэтому их можно представить рядом Фурье [1, 2]. Любому типу сигнала соответствует его спектр и наоборот. Комплексная спектральная плотность X (jf) непрерывного сигнала U (t) или x(t), которую чаще называют спектром сигнала, можно вычислить, используя формулы прямого преобразования Фурье [1, 2]: ∞ X (jf) = x(t)∙e-j2πft∙dt -∞ Сигнал x(t) может быть восстановлен, если известен спектр X(jf); с помощью обратного преобразования Фурье: ∞ x(t) = X (jf) ∙ej2πft∙df -∞ Существует зависимость сигнала и спектра, т.е. принцип дуальности или неопределенности. Если сигнал имеет ограниченную протяженность во времени, то его спектр неограничен во времени, и наоборот. При периодическом сигнале x(t) его спектр будет дискретным, тогда вместо X(jf) используются отсчеты Х(n) [2]. Интервал дискретизации спектра по частоте F можно определить, зная период сигнала, тогда В вышеприведенной формуле спектра изменим непрерывную частоту на дискретные значения nF. Тогда, учитывая связь между амплитудами гармоник x(n) периодического сигнала и отсчетами X (jnF) спектра X (jf) непрерывного сигнала, можно записать: Используя формулы Фурье [1,2], определим спектр периодического сигнала: ∞ X (n) = (1/ Tc)∙x(t)∙e-j2πnFt∙dt. -∞ Сигнал x(t) может быть восстановлен по его дискретному спектру: Учитывая принцип дуальности можно утверждать, что если спектр периодический, то сигнал дискретный [x(n) или x(nТ)]. Основываясь на вышеизложенном, формулы прямого и обратного преобразования Фурье можно записать следующим образом [1,2]: fd X(n) = (1/fd)∙ X (jf) ∙ej2πnFt∙dt 0 Задание на расчет Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных импульсов с параметрами (Um ,T, tи). Последовательность четная относительно точки, t = 0 [2]. Построить спектральные диаграммы амплитуд и фаз, если сигнал определен выражением: Таблица 4.2.3 - Исходные данные
Для разложения сигналов в ряд Фурье можно воспользоваться формулой [2]: В связи с тем, что сигнал четный, в формуле останутся только косинусные составляющие (по заданию). Коэффициенты, входящие в формулу, определяются следующим образом: Так сигнал задан, то необходимо изменить пределы интегрирования, Т/2 заменить на tи /2 [2], c учетом этой замены и согласно заданию: тогда: В результате, ряд Фурье можно записать в следующем виде: Для построения спектральных диаграмм, амплитуд и фаз расчетные значения удобнее представить в табличной форме. Таблица 4.2.4 - Расчетные значения коэффициентов гармоник.
Основная частота f1 = 1/T [Гц], ω1 = 2π f1 Проанализировать полученные диаграммы, сделать вывод. Практическое занятие 5 (объем – 1ч.) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||